专题07 奇偶性及应用11种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以11类考法为纲，构建“定义-应用-综合”三阶逻辑体系，提炼“三步走判断”“奇函数+M模型”等可迁移方法，适配新授课系统性突破需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |11类奇偶性考法|每题型1例+3变式|定义法/性质运算法/分段函数判断法/奇函数+M模型拆分等|从定义判断（基础）到求值、解析式、参数（直接应用），再到图像识别、抽象函数及与单调性/周期性/对称性综合（高阶应用），形成递进式知识链|

专题07 奇偶性及应用11种常见考法归类 ▌题型01 函数奇偶性的定义及判断 【例1】【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 【变式1-1】【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 【变式1-2】【答案】ACD 【分析】由奇偶性的定义确定为奇函数，由此得与奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即可. 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 【变式1-3】【答案】B 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. ▌题型02 利用奇偶性求值 【例2】【答案】 【分析】根据分段函数的解析式结合奇函数的性质计算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 【变式2-1】【答案】 【分析】根据分段函数和函数的奇偶性求函数值. 【详解】因为，. 所以. 故答案为： 【变式2-2】【答案】4 【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以. 故答案为：4. 【变式2-3】【答案】3 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性，赋值计算得解. 【详解】由是上的奇函数，是偶函数， 得，即， 因此， 所以. 故答案为：3 ▌题型03 奇函数+M型函数求值 【例3】【答案】D 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 【变式3-1】【答案】 【详解】函数且， 所以，即, 所以 【变式3-2】【答案】C 【分析】计算得出，结合可得出的值. 【详解】因为，则， ，所以，故. 故选：C. 【变式3-3】【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】化简可得，令， 易知，所以为奇函数， 则. 故选：B ▌题型04 利用奇偶性求解析式 【例4】【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 【变式4-1】【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 【变式4-2】【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2）利用偶函数的定义求函数解析式； （3）分情况讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，， 则； （2）设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； （3）当时，， 所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 【变式4-3】【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求解函数的解析式即可. 【详解】由题意知，当时，， 则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： ▌题型05 由函数的奇偶性求参数 【例5】【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 【变式5-1】【答案】C 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，，故选项C正确. 【变式5-2】【答案】D 【详解】由奇函数的性质可知，解得. ▌题型06 利用函数的奇偶性画函数图象 【例6】【答案】(1)作图见解析； (2)递减区间为； (3). 【分析】（1）根据奇函数求解析式，结合图象关于原点对称，画出y轴右侧图象即可. （2）（3）根据（1）所得函数图象确定减区间及不等式的解集即可. 【详解】（1）由题图及是R上的奇函数， 若，则，故， 由，故，函数图象如下： （2）由（1）所得函数图象知：单调递减区间是； （3）由（1）所得函数图象知：使的取值集合为； 【变式6-1】【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据偶函数的对称性画出函数图象； （2）根据已知写出解析式，结合点在函数图象上求参数，再用分段函数形式写出解析式； （3）由图象确定函数的单调区间和最大值. 【详解】（1）如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，补充完整其图象如下： （2）当时，； 当时，依题设， 将点代入，得，解得， 故． 即函数在上的解析式为； （3）由图知，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和， 函数在和处取得最大值，且， 所以函数的最大值为4． 【变式6-2】【答案】(1)，； (2)； (3)作图见解析，答案见解析. 【分析】（1）根据解析式及奇函数性质，将自变量代入求值即可； （2）利用奇函数的性质求解析式即可； （3）根据解析式画出图象，数形结合确定单调区间和值域. 【详解】（1）由题设，； （2）若，则，故， 由在上的函数为奇函数，则，且时，， 所以； （3） 由图知，的单调增区间为，单调减区间为，且值域为R. 【变式6-3】【答案】(1)； (2)； (3) 由图象知增区间是和，减区间是和. 【分析】（1）根据解析式和奇偶性求值； （2）利用奇偶性的定义求解析式； （3）根据（2）中解析式得函数的简图，由图象得单调区间. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. ▌题型07 利用函数的奇偶性识别图象 【例7】【答案】A 【分析】利用函数奇偶性和特殊点，排除不符合的选项即可. 【详解】函数的定义域为，， 因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足； 又，所以选项B不满足，A符合题意. 故选：A 【变式7-1】【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 【变式7-2】【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 【变式7-3】【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. ▌题型08 抽象函数的奇偶性问题 【例8】【答案】(1)0； (2)奇函数； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用赋值法求出目标值； （2）利用奇函数的定义推理判断； （3）利用增函数的定义推理得证. 【详解】（1）对于任意的，均有， 取，得，即得. （2）函数的定义域为，对，令，得， ，因此， 所以函数为奇函数. （3）且，令，则，即, 因，则， 故，即， 则，所以函数在区间上单调递增. 【变式8-1】【答案】(1) (2)奇函数 (3) 【分析】（1）利用赋值法求得， （2）根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性． （3）利用函数单调性的定义证明函数在上的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集． 【详解】（1）函数对任意的，，都有， 令，得，， （2）是奇函数，证明如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数． （3）任取，则 故， 由于，所以， 所以，即， 所以在上单调递增． 由可得， 由于在上单调递增， 所以，解得或， 所以不等式的解集是． 【变式8-2】【答案】(1)； (2) 当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. (3)8106. 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【详解】（1）当时，，则； （2）略 （3）由（2）知，，，则 【变式8-3】【答案】(1)，； (2) 函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. (3). 【分析】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）略 （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. ▌题型9 函数的单调性和奇偶性的综合应用 【例9】【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在上单调递减，且，所以， 故选：A 【变式9-1】【答案】A 【分析】根据对任意的都有可得，再结合偶函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意的都有， 所以，即，，即， 所以， 又因为是定义在上的偶函数，， 所以， 故选：A 【变式9-2】【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得出在上单调递减，再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 【变式9-3】【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． ▌题型10 函数的奇偶性和周期性的综合应用 【例10】【答案】D 【分析】使用奇偶性的定义与周期性的定义求解. 【详解】. 【变式10-1】【答案】B 【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得. 【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数， 又，所以， 所以，则是周期为的周期函数， 又因为，即， 又当时，，所以，解得， 所以， 所以. 【变式10-2】【答案】D 【分析】先利用题设条件推出4是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得. 【详解】因为为奇函数，则， 又因为为偶函数，所以，则有， 故得，即得， 故4是函数的一个周期. 又是上的奇函数，故，解得， 即当时，， 所以. 【变式10-3】【答案】C 【分析】利用函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】因为，所以函数的对称轴为. 又因为函数是偶函数，所以轴为其一条对称轴. 所以函数的最小正周期为. 所以 ▌题型11 奇偶性与对称性的综合运用 【例11】【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对称性求解即可. 【详解】由题可得，所以2是函数的周期，且的图象关于直线对称. 当时，，则. 【变式11-1】【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 【变式11-2】【答案】C 【分析】由函数关于点中心对称，即为奇函数，再根据奇函数的性质求解即可． 【详解】因为的图象关于点中心对称，所以为奇函数， 又， 则解得，所以． 故选：C． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 奇偶性及应用11种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 函数奇偶性的定义及判断 题型 02 利用奇偶性求值 题型 03 奇函数+ M 型函数求值 题型 04 利用奇偶性求解析式 题型 05 由函数的奇偶性求参数 题型 06 利用函数的奇偶性画函数图象 题型 07 利用函数的奇偶性识别图象 题型 08 抽象函数的奇偶性问题 题型 09 函数单调性与奇偶性综合应用 题型 10 函数奇偶性与周期性综合应用 题型 11 奇偶性与对称性的综合运用 ▌题型01 函数奇偶性的定义及判断 1.核心逻辑 三步走判断：先看定义域对称性再算对比与；同时可借助图像、运算性质快速判断，包含分段函数判断方法。 2.解题步骤 方法1：定义法 (1)求定义域，判断是否关于原点对称；不对称非奇非偶； (2)写出完整表达式； (3)对比：为奇函数；为偶函数；都不满足则非奇非偶。 方法2：性质运算法（同定义域区间） (1)奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶 (2)奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇 方法3：分段函数专用判断 (1)定义域对称； (2)任取，则，代入负区间解析式求； (3)对比与验证奇偶等式。 方法4：图像法 图像关于原点对称奇函数；关于轴对称偶函数。 3.易错提醒 (1)跳过定义域对称检验直接判断； (2)分段函数求时，代入同一段解析式，未切换对应区间； (3)混合加减乘除函数乱用奇偶运算规律。 【例1】（2026高一·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 【变式1-1】（2026高一·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 【变式1-2】【多选】（2026高二·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】由奇偶性的定义确定为奇函数，由此得与奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即可. 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 【变式1-3】（2026高一·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. ▌题型02 利用奇偶性求值 1.核心逻辑 已知奇偶性，把负数自变量转化为正数，代入已知解析式计算；遇到统一替换为。 2.解题步骤 (1)判断函数奇偶性； (2)负数自变量，转化：奇函数，偶函数； (3)计算正数对应的函数值，带回化简求值。 3.易错提醒 奇函数负号遗漏，直接写。 【例2】（2026高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式结合奇函数的性质计算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 【变式2-1】（2026高一·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则______. 【答案】 【分析】根据分段函数和函数的奇偶性求函数值. 【详解】因为，. 所以. 故答案为： 【变式2-2】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，则______. 【答案】4 【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以. 故答案为：4. 【变式2-3】（2026高一·四川成都·阶段检测）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是__________. 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性，赋值计算得解. 【详解】由是上的奇函数，是偶函数， 得，即， 因此， 所以. 故答案为：3 ▌题型03 奇函数+M型函数求值 1.核心逻辑 模型：，其中是奇函数，满足； 推导：，常用来求一组对称自变量函数值之和。 2.解题步骤 (1)拆分函数，分离出奇函数部分和常数； (2)代入与，相加抵消奇函数部分，得到和为； (3)遇到成对自变量（如与）直接用结论快速求和；求单值可利用，。 3.易错提醒 分不清哪一部分是奇函数，无法拆分常数；忘记有定义时。 【例3】已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数且，则的值为______． 【答案】 【详解】函数且， 所以，即, 所以 【变式3-2】（2026高一·重庆·期末）已知，且，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，结合可得出的值. 【详解】因为，则， ，所以，故. 故选：C. 【变式3-3】（2026高一·广东佛山·阶段检测）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】化简可得，令， 易知，所以为奇函数， 则. 故选：B ▌题型04 利用奇偶性求解析式 1.核心逻辑 已知函数在（或）的解析式，求对称区间解析式；设待求区间，则落在已知区间，借助变形。 2.解题步骤 (1)设待求区间内任意，判断属于已知解析式区间； (2)将代入已知表达式，写出； (3)根据奇偶性等式变形，解出； (4)分段写出完整函数，标注各段定义域。 3.易错提醒 (1)符号变形出错，奇函数忘记添加负号； (2)最后不标注分段定义域。 【例4】（2026高三·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 【变式4-1】（2026高一·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 【变式4-2】（2026高一·贵州毕节·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2）利用偶函数的定义求函数解析式； （3）分情况讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，， 则； （2）设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； （3）当时，， 所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 【变式4-3】（2026高一·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求解函数的解析式即可. 【详解】由题意知，当时，， 则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： ▌题型05 由函数的奇偶性求参数 1.核心逻辑 两种考法：①定义域含参数，利用定义域关于原点对称列方程；②解析式含参数，对定义域所有恒成立，对应同类项系数相等。 2.解题步骤 (1)若参数在定义域：区间左右端点互为相反数，列等式解参数； (2)若参数在解析式：写出，移项使； (3)等式对任意成立，则每一项系数均为0，解方程求参数； (4)代回检验，确保定义域对称。 3.易错提醒 只看解析式，忽略定义域参数的对称约束；恒等式系数提取不全。 【例5】若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 【变式5-1】（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】C 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，，故选项C正确. 【变式5-2】（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由奇函数的性质可知，解得. ▌题型06 利用函数的奇偶性画函数图象 1.核心逻辑 只画一侧图像，利用对称性镜像得到另一半：奇函数绕原点旋转180°；偶函数沿轴翻折。 口诀：奇中心对称，偶轴对称；奇同偶异：奇函数对称区间单调性相同，偶函数相反。 2.解题步骤 (1)画出区间完整图像，标记关键点、零点、端点； (2)偶函数：将右侧图像沿轴对折，得到左侧图像； (3)奇函数：将右侧图像绕原点中心对称翻转得到左侧； (4)标注处空心/实心（奇函数有定义则实心）。 3.易错提醒 奇偶图像对称方式混淆；翻转时点坐标符号计算错误。 【例6】（2026高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 【答案】(1)作图见解析； (2)递减区间为； (3). 【分析】（1）根据奇函数求解析式，结合图象关于原点对称，画出y轴右侧图象即可. （2）（3）根据（1）所得函数图象确定减区间及不等式的解集即可. 【详解】（1）由题图及是R上的奇函数， 若，则，故， 由，故，函数图象如下： （2）由（1）所得函数图象知：单调递减区间是； （3）由（1）所得函数图象知：使的取值集合为； 【变式6-1】（2026高一·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据偶函数的对称性画出函数图象； （2）根据已知写出解析式，结合点在函数图象上求参数，再用分段函数形式写出解析式； （3）由图象确定函数的单调区间和最大值. 【详解】（1）如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，补充完整其图象如下： （2）当时，； 当时，依题设， 将点代入，得，解得， 故． 即函数在上的解析式为； （3）由图知，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和， 函数在和处取得最大值，且， 所以函数的最大值为4． 【变式6-2】（2026高一·天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，. (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）. 【答案】(1)，； (2)； (3)作图见解析，答案见解析. 【分析】（1）根据解析式及奇函数性质，将自变量代入求值即可； （2）利用奇函数的性质求解析式即可； （3）根据解析式画出图象，数形结合确定单调区间和值域. 【详解】（1）由题设，； （2）若，则，故， 由在上的函数为奇函数，则，且时，， 所以； （3） 由图知，的单调增区间为，单调减区间为，且值域为R. 【变式6-3】（2026高一·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)； (2)； (3) 由图象知增区间是和，减区间是和. 【分析】（1）根据解析式和奇偶性求值； （2）利用奇偶性的定义求解析式； （3）根据（2）中解析式得函数的简图，由图象得单调区间. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. ▌题型07 利用函数的奇偶性识别图象 1.核心逻辑 先通过奇偶性排除不对称图像，再结合函数正负、单调性、零点进一步筛选选项。 2.解题步骤 (1)先判断奇偶性，直接排除不满足原点/轴对称的图像； (2)代入特殊值、判断函数正负，筛除错误图像； (3)结合单调性、区间变化锁定唯一正确图像。 3.易错提醒 只看局部图像，忽略整体对称性直接选答案。 【例7】（2026高一·甘肃庆阳·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数奇偶性和特殊点，排除不符合的选项即可. 【详解】函数的定义域为，， 因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足； 又，所以选项B不满足，A符合题意. 故选：A 【变式7-1】（2026高三·广东梅州·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 【变式7-2】（2026高一·四川广安·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 【变式7-3】（2026高一·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. ▌题型08 抽象函数的奇偶性问题 1.核心逻辑 无具体解析式，用赋值法，赋、等特殊值，构造与的关系式，推导奇偶性。 2.解题步骤 (1)令，求出； (2)令，代入抽象关系式，化简得到表达式； (3)对比与，判定奇偶； (4)结合奇偶性质求值、解不等式。 3.易错提醒 赋值选择不当，无法构造出；化简抽象等式符号出错。 【例8】（2026高三·江西·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，. (1)求； (2)探究的奇偶性； (3)用定义法证明在区间上单调递增. 【答案】(1)0； (2)奇函数； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用赋值法求出目标值； （2）利用奇函数的定义推理判断； （3）利用增函数的定义推理得证. 【详解】（1）对于任意的，均有， 取，得，即得. （2）函数的定义域为，对，令，得， ，因此， 所以函数为奇函数. （3）且，令，则，即, 因，则， 故，即， 则，所以函数在区间上单调递增. 【变式8-1】（2026高一·广西河池·阶段检测）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立，且当时，. (1)求； (2)判断函数的奇偶性； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)奇函数 (3) 【分析】（1）利用赋值法求得， （2）根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性． （3）利用函数单调性的定义证明函数在上的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集． 【详解】（1）函数对任意的，，都有， 令，得，， （2）是奇函数，证明如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数． （3）任取，则 故， 由于，所以， 所以，即， 所以在上单调递增． 由可得， 由于在上单调递增， 所以，解得或， 所以不等式的解集是． 【变式8-2】（2026高一·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)； (2) 当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. (3)8106. 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【详解】（1）当时，，则； （2）略 （3）由（2）知，，，则 【变式8-3】（2026高一·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2) 函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. (3). 【分析】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）略 （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. ▌题型9 函数的单调性和奇偶性的综合应用 1.核心逻辑 核心思路：奇偶统一区间，单调性比较大小/解不等式；负数自变量通过奇偶性转化为正数，放到同一单调区间。 2.解题步骤 考法1：比较大小 (1)利用奇偶性把所有自变量转化为正数； (2)全部放到同一单调区间； (3)根据增减判断函数值大小。 考法2：解抽象函数不等式 (1)转化为形式； (2)利用奇偶统一、符号，放到同一单调区间； (3)脱：增函数，减函数颠倒不等号； (4)联立定义域约束，取交集得解集。 3.易错提醒 自变量不在同一单调区间直接比较；脱时单调递减不反向不等号。 【例9】（2026高一·贵州铜仁·期末）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在上单调递减，且，所以， 故选：A 【变式9-1】（2026高一·安徽亳州·开学考试）定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对任意的都有可得，再结合偶函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意的都有， 所以，即，，即， 所以， 又因为是定义在上的偶函数，， 所以， 故选：A 【变式9-2】（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得出在上单调递减，再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 【变式9-3】（2026高二·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． ▌题型10 函数的奇偶性和周期性的综合应用 1.核心逻辑 周期缩小自变量范围，奇偶性处理负号；结合两个性质推导隐藏周期，化简求值。 2.解题步骤 (1)利用周期性，将任意大/小的平移到已知区间； (2)出现负自变量，用奇偶性转化； (3)代入已知区间解析式计算函数值； (4)多个条件联立可推导新周期。 3.易错提醒 周期平移加减方向错误；周期性和奇偶性混用推导周期时等式变形出错。 【例10】（2026高二·天津滨海新区·期末）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用奇偶性的定义与周期性的定义求解. 【详解】. 【变式10-1】（2026高二·天津河西·期末）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得. 【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数， 又，所以， 所以，则是周期为的周期函数， 又因为，即， 又当时，，所以，解得， 所以， 所以. 【变式10-2】（2026高二·吉林长春·期末）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用题设条件推出4是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得. 【详解】因为为奇函数，则， 又因为为偶函数，所以，则有， 故得，即得， 故4是函数的一个周期. 又是上的奇函数，故，解得， 即当时，， 所以. 【变式10-3】（2026高二·西藏昌都·期末）设是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】因为，所以函数的对称轴为. 又因为函数是偶函数，所以轴为其一条对称轴. 所以函数的最小正周期为. 所以 ▌题型11 奇偶性与对称性的综合运用 1.核心逻辑 结合轴对称、中心对称、奇偶性互相推导，常可推出函数具备周期性；图像对称性质搭配奇偶转换自变量符号。 2.解题步骤 (1)区分条件：奇偶（原点/轴对称）、轴对称、中心对称； (2)写出对应对称等式，联立奇偶定义式； (3)化简推导函数周期，或转化自变量区间； (4)结合单调性、解析式求值、解不等式。 3.易错提醒 轴对称、中心对称公式记混；多个对称条件联立不会推导周期。 【例11】（2026·河北·模拟预测）已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对称性求解即可. 【详解】由题可得，所以2是函数的周期，且的图象关于直线对称. 当时，，则. 【变式11-1】（2026高三·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 【变式11-2】（2026高三·安徽合肥·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】由函数关于点中心对称，即为奇函数，再根据奇函数的性质求解即可． 【详解】因为的图象关于点中心对称，所以为奇函数， 又， 则解得，所以． 故选：C． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 奇偶性及应用11种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 函数奇偶性的定义及判断 题型 02 利用奇偶性求值 题型 03 奇函数+ M 型函数求值 题型 04 利用奇偶性求解析式 题型 05 由函数的奇偶性求参数 题型 06 利用函数的奇偶性画函数图象 题型 07 利用函数的奇偶性识别图象 题型 08 抽象函数的奇偶性问题 题型 09 函数单调性与奇偶性综合应用 题型 10 函数奇偶性与周期性综合应用 题型 11 奇偶性与对称性的综合运用 ▌题型01 函数奇偶性的定义及判断 1.核心逻辑 三步走判断：先看定义域对称性再算对比与；同时可借助图像、运算性质快速判断，包含分段函数判断方法。 2.解题步骤 方法1：定义法 (1)求定义域，判断是否关于原点对称；不对称非奇非偶； (2)写出完整表达式； (3)对比：为奇函数；为偶函数；都不满足则非奇非偶。 方法2：性质运算法（同定义域区间） (1)奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶 (2)奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇 方法3：分段函数专用判断 (1)定义域对称； (2)任取，则，代入负区间解析式求； (3)对比与验证奇偶等式。 方法4：图像法 图像关于原点对称奇函数；关于轴对称偶函数。 3.易错提醒 (1)跳过定义域对称检验直接判断； (2)分段函数求时，代入同一段解析式，未切换对应区间； (3)混合加减乘除函数乱用奇偶运算规律。 【例1】（2026高一·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026高一·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】【多选】（2026高二·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【变式1-3】（2026高一·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 ▌题型02 利用奇偶性求值 1.核心逻辑 已知奇偶性，把负数自变量转化为正数，代入已知解析式计算；遇到统一替换为。 2.解题步骤 (1)判断函数奇偶性； (2)负数自变量，转化：奇函数，偶函数； (3)计算正数对应的函数值，带回化简求值。 3.易错提醒 奇函数负号遗漏，直接写。 【例2】（2026高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则______. 【变式2-1】（2026高一·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则______. 【变式2-2】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，则______. 【变式2-3】（2026高一·四川成都·阶段检测）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是__________. ▌题型03 奇函数+M型函数求值 1.核心逻辑 模型：，其中是奇函数，满足； 推导：，常用来求一组对称自变量函数值之和。 2.解题步骤 (1)拆分函数，分离出奇函数部分和常数； (2)代入与，相加抵消奇函数部分，得到和为； (3)遇到成对自变量（如与）直接用结论快速求和；求单值可利用，。 3.易错提醒 分不清哪一部分是奇函数，无法拆分常数；忘记有定义时。 【例3】已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数且，则的值为______． 【变式3-2】（2026高一·重庆·期末）已知，且，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026高一·广东佛山·阶段检测）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 ▌题型04 利用奇偶性求解析式 1.核心逻辑 已知函数在（或）的解析式，求对称区间解析式；设待求区间，则落在已知区间，借助变形。 2.解题步骤 (1)设待求区间内任意，判断属于已知解析式区间； (2)将代入已知表达式，写出； (3)根据奇偶性等式变形，解出； (4)分段写出完整函数，标注各段定义域。 3.易错提醒 (1)符号变形出错，奇函数忘记添加负号； (2)最后不标注分段定义域。 【例4】（2026高三·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026高一·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高一·贵州毕节·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【变式4-3】（2026高一·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. ▌题型05 由函数的奇偶性求参数 1.核心逻辑 两种考法：①定义域含参数，利用定义域关于原点对称列方程；②解析式含参数，对定义域所有恒成立，对应同类项系数相等。 2.解题步骤 (1)若参数在定义域：区间左右端点互为相反数，列等式解参数； (2)若参数在解析式：写出，移项使； (3)等式对任意成立，则每一项系数均为0，解方程求参数； (4)代回检验，确保定义域对称。 3.易错提醒 只看解析式，忽略定义域参数的对称约束；恒等式系数提取不全。 【例5】若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式5-1】（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【变式5-2】（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． ▌题型06 利用函数的奇偶性画函数图象 1.核心逻辑 只画一侧图像，利用对称性镜像得到另一半：奇函数绕原点旋转180°；偶函数沿轴翻折。 口诀：奇中心对称，偶轴对称；奇同偶异：奇函数对称区间单调性相同，偶函数相反。 2.解题步骤 (1)画出区间完整图像，标记关键点、零点、端点； (2)偶函数：将右侧图像沿轴对折，得到左侧图像； (3)奇函数：将右侧图像绕原点中心对称翻转得到左侧； (4)标注处空心/实心（奇函数有定义则实心）。 3.易错提醒 奇偶图像对称方式混淆；翻转时点坐标符号计算错误。 【例6】（2026高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 【变式6-1】（2026高一·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 【变式6-2】（2026高一·天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，. (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）. 【变式6-3】（2026高一·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） ▌题型07 利用函数的奇偶性识别图象 1.核心逻辑 先通过奇偶性排除不对称图像，再结合函数正负、单调性、零点进一步筛选选项。 2.解题步骤 (1)先判断奇偶性，直接排除不满足原点/轴对称的图像； (2)代入特殊值、判断函数正负，筛除错误图像； (3)结合单调性、区间变化锁定唯一正确图像。 3.易错提醒 只看局部图像，忽略整体对称性直接选答案。 【例7】（2026高一·甘肃庆阳·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026高三·广东梅州·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式7-2】（2026高一·四川广安·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式7-3】（2026高一·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    ▌题型08 抽象函数的奇偶性问题 1.核心逻辑 无具体解析式，用赋值法，赋、等特殊值，构造与的关系式，推导奇偶性。 2.解题步骤 (1)令，求出； (2)令，代入抽象关系式，化简得到表达式； (3)对比与，判定奇偶； (4)结合奇偶性质求值、解不等式。 3.易错提醒 赋值选择不当，无法构造出；化简抽象等式符号出错。 【例8】（2026高三·江西·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，. (1)求； (2)探究的奇偶性； (3)用定义法证明在区间上单调递增. 【变式8-1】（2026高一·广西河池·阶段检测）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立，且当时，. (1)求； (2)判断函数的奇偶性； (3)解不等式. 【变式8-2】（2026高一·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【变式8-3】（2026高一·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. ▌题型9 函数的单调性和奇偶性的综合应用 1.核心逻辑 核心思路：奇偶统一区间，单调性比较大小/解不等式；负数自变量通过奇偶性转化为正数，放到同一单调区间。 2.解题步骤 考法1：比较大小 (1)利用奇偶性把所有自变量转化为正数； (2)全部放到同一单调区间； (3)根据增减判断函数值大小。 考法2：解抽象函数不等式 (1)转化为形式； (2)利用奇偶统一、符号，放到同一单调区间； (3)脱：增函数，减函数颠倒不等号； (4)联立定义域约束，取交集得解集。 3.易错提醒 自变量不在同一单调区间直接比较；脱时单调递减不反向不等号。 【例9】（2026高一·贵州铜仁·期末）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026高一·安徽亳州·开学考试）定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2026高二·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． ▌题型10 函数的奇偶性和周期性的综合应用 1.核心逻辑 周期缩小自变量范围，奇偶性处理负号；结合两个性质推导隐藏周期，化简求值。 2.解题步骤 (1)利用周期性，将任意大/小的平移到已知区间； (2)出现负自变量，用奇偶性转化； (3)代入已知区间解析式计算函数值； (4)多个条件联立可推导新周期。 3.易错提醒 周期平移加减方向错误；周期性和奇偶性混用推导周期时等式变形出错。 【例10】（2026高二·天津滨海新区·期末）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026高二·天津河西·期末）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【变式10-2】（2026高二·吉林长春·期末）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2026高二·西藏昌都·期末）设是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． ▌题型11 奇偶性与对称性的综合运用 1.核心逻辑 结合轴对称、中心对称、奇偶性互相推导，常可推出函数具备周期性；图像对称性质搭配奇偶转换自变量符号。 2.解题步骤 (1)区分条件：奇偶（原点/轴对称）、轴对称、中心对称； (2)写出对应对称等式，联立奇偶定义式； (3)化简推导函数周期，或转化自变量区间； (4)结合单调性、解析式求值、解不等式。 3.易错提醒 轴对称、中心对称公式记混；多个对称条件联立不会推导周期。 【例11】（2026·河北·模拟预测）已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【变式11-1】（2026高三·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【变式11-2】（2026高三·安徽合肥·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形，则（   ） A． B． C．4 D．6 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $