1 第十三章 三角形 学业质量评价（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（人教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的概念、性质、重要线段及应用，通过典型例题和情境问题将三边关系、内角和定理、中线角平分线等核心内容串联，帮助学生构建完整的三角形知识体系。 其亮点在于融入几何直观、跨学科应用等新课标理念，如通过“海报设计求角度”“手机支架角度计算”等情境题培养数学眼光，以“开心三角形”新定义题发展推理能力。分层设计让不同学生提升，教师可借此精准复习，高效巩固知识。

2026秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 第十三章学业质量评价 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 新角度 几何直观 下列各组中的小棒首尾顺次相 接不能围成一个三角形的是(　B　) B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. 如图，已知点F是△ABC的重心，连接AF并延长 交BC于点G，过点F作直线分别交AB，AC于点D， E，则下列结论正确的是(　A　) A. BG＝CG B. ∠BAG＝∠CAG C. DF＝EF D. BD＝CE 第2题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3. 如图，把一副含30°角和45°角的直角三角板拼 在一起，那么图中∠EFC的度数是(　A　) A. 75° B. 80° C. 85° D. 105° 第3题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. 在△ABC中，若∠A＝36°，∠B∶∠C＝1∶5，则 ∠C等于(　A　) A. 120° B. 100° C. 24° D. 20° A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 新情境 海报设计 于都县被称为“长征第一渡 口”，该县某校为宣传于都，制作海报时设计的艺 术数字“1”如图所示，点B，F，E在一条直线上. 若BC⊥EF，∠ABC＝140°，∠AFE＝75°，则 ∠A的度数为(　C　) A. 40° B. 30° C. 25° D. 20° 第5题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两 点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中 不正确的是(　C　) A. BE是△ABD的中线 B. BD是△BCE的角平分线 C. ∠1＝∠2＝∠3 D. S△AEB＝S△EDB 第6题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7. 新考向 说法辨析 学完《三角形》这一章后，小 桐说：“存在三角形三条边之比等于2∶3∶5.”小颖 说：“存在锐角三角形三个内角之比为x∶y∶z，且x＋ y＜z.”关于两人的说法，下列判断正确的是 (　D　) A. 小桐和小颖都是对的 B. 小桐是对的，小颖是错的 C. 小桐是错的，小颖是对的 D. 小桐和小颖都是错的 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 如图为可调节式露营椅的示意图.当各个角度调 节至如图所示的位置时体验感最佳，则此时∠ABC 的度数是(　D　) A. 125° B. 126° C. 127° D. 128° 第8题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. 如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线 m翻折，点B落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是 (　D　) A. 32° B. 45° C. 60° D. 64° 第9题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交 于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的 平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于 点E，则下列结论一定正确的个数是(　D　) 第10题图 D ①∠E＋∠DCF＝90°＋∠ABD； ②∠E＝90°－∠A； ③∠BOC＝90°＋∠A； ④∠D＝∠A. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题(每小题3分，共18分) 11. 如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两 根木条，这样桌子就比较牢固了，他所应用的数学 道理是 ⁠. 第11题图 三角形的稳定性　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12. 已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为 整数，则第三边的长为 ⁠. 13. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，E 在AC上，D在BC的延长线上.若∠D＝20°，则 ∠CED的度数为 ⁠. 5　 50°　 第13题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE ＝ ⁠. 第14题图 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 跨学科 物理 射到平面镜上的光线(入射光线)和 反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等， 如图①.实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的 反射实验，如图②，一组平行光线a，b，c经过平面 镜反射后得到一组互相平行的反射光线.若∠1＝∠2 ＝65°，则∠3的度数为 ⁠°. 130　 第15题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠ACB＝ 54°，BE，CF分别是边AC，AB上的高，交于点 H，∠CBE，∠BCF的平分线交于点O，则∠BOC ＝ ⁠°. 第16题图 150　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题(共72分) 17. (6分)如图，线段AC与线段BD相交于点O， 若∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝60°，求∠D 的度数. 解：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D. ∵∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝60°， ∴70°＋30°＝60°＋∠D. ∴∠D＝40°.(6分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. (8分)已知a，b，c是△ABC的三边长. (1)若a，b，c满足｜a－b｜＋(b－c)2＝0，试判断 △ABC的形状； 解：(1)∵｜a－b｜＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0且b－c ＝0. ∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.(3分) 解：(1)∵｜a－b｜＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0且b－c＝0. ∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.(3分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)化简：｜a＋b－c｜＋｜b－c－a｜. 解：(2)∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a＋b－c＞ 0，b－c－a＜0. ∴原式＝a＋b－c－(b－c－a)＝a＋b－c－b＋c＋a＝ 2a.(8分) 解：(2)∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a＋b－c＞0，b－c－a＜0. ∴原式＝a＋b－c－(b－c－a)＝a＋b－c－b＋c＋a ＝2a.(8分) 已知a，b，c是△ABC的三边长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. (8分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3， BC＝4，AB＝5，AD是BC边上的中线. (1)画出△ABD的高DE，BF； 解：(1)DE，BF如图所示.(4分) 解：(1)DE，BF如图所示.(4分) (2)求点D到AB的距离. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(2)∵AD是BC边上的中线，∴S△ABD＝S△ABC. ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴AB·DE＝×AC·BC，即×5DE＝ ××3×4.∴DE＝.∴点D到AB的距离为.(8分) 解：(2)∵AD是BC边上的中线，∴S△ABD＝S△ABC. ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴AB·DE＝×AC·BC， 即×5DE＝ ××3×4. ∴DE＝.∴点D到AB的距离为.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. (8分)如图，已知在△ABC中，BD是高，CE是角 平分线. (1)若∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，求△ABC的最大内 角的度数； 解：(1)∵∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5， ∴设∠A＝3α，∠ABC＝4α，∠ACB＝5α. ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴3α＋4α＋5α＝180°，解得α＝15°. ∴∠ACB＝5α＝75°. ∴△ABC的最大内角的度数为75°.(4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)若∠A＝69°，∠CBD＝40°，求∠BEC的度数. 如图，已知在△ABC中，BD是高，CE是角平分线. 解：(2)∵BD是高，∴∠BDC＝90°. ∵∠CBD＝40°，∴∠BCD＝90°－∠CBD＝50°. ∵CE是角平分线，∴∠ACE＝ ∠BCD＝25°. ∵∠A＝69°， ∴∠BEC＝∠A＋∠ACE ＝69°＋25°＝94°.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. (10分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中 线，P是AD上的一点，若△ABC的面积为S. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (1)当点P是AD的中点(即PD＝AD)时，△PBC的面 积为 (用含S的式子表示)；(3分) (2)当PD＝AD时，△PBC的面积为 　　(用含S的式 子表示)；(6分) (3)当PD＝AD时，△PBC的面积为 　　(用含S，n 的式子表示).(10分) 　 (3分) 　 (6分) 　 (10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. (10分)新情境 手机支架 如图①是一种手机支 架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板 上，图②是其侧面结构示意图，托板AB可绕点C转 动，支撑板CD可绕点D转动. (1)当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线 时，若∠CDE＝70°，求∠CBD的度数； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(1)如图②，连接BD. ∵DB是∠CDE的平分线，∠CDE＝70°， ∴∠CDB＝∠CDE＝×70°＝35°. 又∵CD⊥AB，即∠BCD＝90°， ∴∠CBD＝90°－∠CDB＝55°.(5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)为了观看舒适，把AB绕点C旋转，再将CD绕点D 旋转，使点B落在直线DE上，若此时∠CDE＝ 60°，∠CBE＝130°，求此时∠ACD的度数. 如图①是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(2)如图，∵∠CDE＝60°，∠CBE＝130°， ∴∠CBD＝180°－130°＝50°.∴∠ACD＝ ∠CDE＋∠CBD＝60°＋50°＝110°.(10分) 解：(2)如图，∵∠CDE＝60°，∠CBE＝130°， ∴∠CBD＝180°－130°＝50°. ∴∠ACD＝∠CDE＋∠CBD＝60°＋50° ＝110°.(10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. (10分)新课标 数学眼光 生活中到处都存在着数 学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活， 就会有许多意想不到的收获.下面用一副三角板 (△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°；△DEF 中，∠EDF＝90°，∠E＝60°)拼接图形. (1)如图①，AC在边EF上，点D在边BC上，求 ∠CDE的度数； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(1)∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝90°－∠B＝90°－45°＝45°. ∴∠CDE＝180°－∠E－∠ECD ＝180°－60°－45°＝75°.(5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)如图②，点B与点D重合，AC交BF于点M，若 ∠AMB＝75°，判断并证明BC与EF的位置关系. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获.下面用一副三角板(△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°；△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°)拼接图形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(2)EF∥BC，证明如下：由(1)可知∠ACB＝ 45°，∴∠MBC＝∠AMB－∠ACB＝75°－45°＝ 30°.∵∠E＝60°，∴∠F＝90°－∠E＝ 30°.∴∠MBC＝∠F. ∴EF∥BC. (10分) 解：(2)EF∥BC，证明如下： 由(1)可知∠ACB＝45°， ∴∠MBC＝∠AMB－∠ACB＝75°－45°＝30°. ∵∠E＝60°，∴∠F＝90°－∠E＝30°. ∴∠MBC＝∠F. ∴EF∥BC. (10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. (12分)新考向 定义新概念 [定义]在一个三角形 中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个 角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角 形”.例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝ 35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开 心三角形”. [理解] (1)若△ABC为“开心三角形”，∠A＝132°，则这 个三角形中最小内角的度数为 ；(2分) 16°　 (2分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)若△ABC为“开心三角形”，∠A＝60°，则 这个三角形中最小内角的度数为 ；(4分) 30°或40°　 (4分) [定义]在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”.例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”. [理解] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (3)已知∠A是开心三角形ABC中最小的内角，并且 是其中的一个“开心角”，试确定∠A的取值范围. [定义]在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”.例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”. [理解] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(3)∵∠A是开心三角形ABC中最小的内角， 并且是其中的一个开心角，∴另一个开心角是 2∠A，第三个内角是180°－3∠A. ∵∠A是最 小的内角，∴0°＜∠A≤180°－3∠A. ∴0°＜ ∠A≤45°.(8分) 解：(3)∵∠A是开心三角形ABC中最小的内角， 并且是其中的一个开心角， ∴另一个开心角是2∠A， 第三个内角是180°－3∠A. ∵∠A是最小的内角， ∴0°＜∠A≤180°－3∠A. ∴0°＜∠A≤45°.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [应用]如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于 点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交 于点P，已知∠P＝30°.若∠B是开心三角形ABE中 的一个“开心角”，设∠B＝α，求α的度数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [应用]∵AD平分△ABC的内角∠BAC，CD平分 △ABC的外角∠BCF，∴∠CAD＝∠CAB，∠FCD ＝∠FCB. ∵∠FCB＝∠B＋∠CAB，∴∠FCB＝ ∠B＋∠CAB，即∠FCD＝∠B＋∠CAD. [应用]∵AD平分△ABC的内角∠BAC，CD平分 △ABC的外角∠BCF， ∴∠CAD＝∠CAB，∠FCD＝ ∠FCB. ∵∠FCB＝∠B＋∠CAB， ∴ ∠FCB＝ ∠B＋∠CAB， 即∠FCD＝∠B＋∠CAD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∵∠FCD＝∠D＋∠CAD，∴∠D＝∠B＝α. ∵∠P＝30°，∴∠DAB＝α＋30°. ∴∠AEB＝180°－α－(α＋30°)＝150°－α. ①当∠B与∠AEB互为“开心角”时， 2∠B＝∠AEB或2∠AEB＝∠B， 即2α＝150°－α或2(150°－α)＝α， 解得α＝()°或α＝75°； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ②当∠B与∠EAB互为“开心角”时，2∠B＝ ∠EAB或2∠EAB＝∠B，即2α＝α＋30°或α＝2(α ＋30°)，解得α＝20°.综上所述，α的度数为 ()°或75°或20°.(12分) ②当∠B与∠EAB互为“开心角”时， 2∠B＝∠EAB或2∠EAB＝∠B， 即2α＝α＋30°或α＝2(α＋30°)，解得α＝20°. 综上所述，α的度数为()° 或75°或20°.(12分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $