培优专题02 与三角形相关的角3考点16题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形角的性质，以“定理证明-性质应用-综合探究”为主线，系统覆盖内角和、外角性质及综合题型，突出逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |内角和|7题型（3-4题/题型）|含定理证明、角度计算、三角板综合等，标注重/高频/难|从定理证明到多情境应用，结合平行线、角平分线构建知识链| |外角|4题型（3题/题型）|性质应用、规律探究及与平行线综合|以内角和为基础，延伸外角性质，强化角的转化能力| |综合|5题型（3-4题/题型）|旋转/折叠/新定义等复杂问题，突出探究性|整合前两模块知识，培养空间观念与创新意识|

培优专题02 与三角形相关的角 常考题型·精准突破 考点一 三角形的内角和 题型1 三角形内角和定理的证明（重） 题型2 利用三角形内角和求角度（重） 题型3 利用直角三角形两锐角互余求角度 题型4 与平行线有关的三角形内角和问题（重） 题型5 与角平分线有关的三角形内角和问题（重） 题型6 三角形内角和与三角板综合（高频） 题型7 由三角形内角和定理探究角度之间的关系（难） 考点二 三角形的外角 题型1 根据三角形外角性质求角度（高频） 题型2 三角形外角性质与平行线、角平分线的综合（重） 题型3 由三角形的外角性质确定角度之间的关系（重） 题型4 与三角形外角性质有关的规律探究 考点三 与三角形有关的角综合题型 题型1 三角形中角度的旋转问题（难） 题型2 三角形中角度的折叠问题（难） 题型3 三角形中角度的规律探究问题（难） 题型4 三角形中角度的多结论问题（难） 题型5 三角形角度中的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 三角形的内角和 三角形的内角和定理定理：三角形三个内角和等于180°． 三角形的内角和定理的应用： （1)在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数； （2)在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数； （3)在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数. ◆题型1 三角形内角和定理的证明 1．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段检测）学习完平行线的性质与判定之后，借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)问题：如图1，，点在 、 内部，探究，，的关系． 过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是： _____． (2)如图 2 ，若，点在、外部，，，的数量关系如何？ 请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点作． （_____） _____ （_____） ， ， _____． （_____） (3)如图 3，在小学中我们已知道，中，．请根据以上方法说明理由． 【答案】(1) (2)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；等量代换 (3)见解析 【分析】（1）过点P作的平行线，利用平行线的性质可得，，再由即可得，，之间的数量关系； （2）读懂各步推理即可完成；　 （3）过点A作，利用平行线的性质及三个角的和为平角即可完成说理． 【详解】（1）解：过点P作作的平行线，如图1， 则； ∵，， ∴， ∴； ∴； （2）解：如图2，过点作． （两直线平行，内错角相等） （平行于同一直线的两条直线平行） ， ， ．（等量代换） （3）解：过点A作， 则， ∵， ∴, 即在中，． 2．（25-26八年级上·河北保定·期末）（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练利用平行线的性质及平角的定义是解决问题的关键． （1）过点A作直线l，使，作出辅助线，根据平行线的性质及平角的定义即可解答； （2）设三角形内角和为x， 由和内角和 等于，结合平角的定义即可解答． 【详解】证明：（1）如图，过点A作直线l，使． ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． （2）证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得 解得． 3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）小学阶段，我们可以通过“折叠”“剪拼”等方法，观察得到三角形内角和为，本学期利用平行线性质，就可以证明此猜想正确． (1)如图1，过的顶点作．（请将证明过程补充完整） 证明：， ，（_______） （_______） ____（等量代换） 即三角形的内角和为． (2)【学以致用】如图2是超市购物车及其侧面示意图，已知，，测量得知，，则_______． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平角的定义；； (2) 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理的证明，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平角的定义；； （2）解：如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． ◆题型2 利用三角形内角和求角度 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，直线分别交，于点，，点在上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，．求的大小． 【答案】(1)，理由：∵， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，从而得出，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)解：   理由如下：    又       (2) 【分析】（1）依据同位角相等，即可得到，由平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出； （2）利用平行线的性质得出和的度数，依据对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）解： ， 在中， ， ， ，   ， ， ， ，    答：的度数为． 6．（25-26七年级下·北京·期末）如图，中，D是边上一点，点E在三角形外，交于点F，点G在上，满足． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求的度数． 【答案】(1)∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由三角形内角和及互补关系得，结合已知得，再由平行线的性质即可得证； （2）由（1）知，则得，由，可求得的度数，由三角形内角和求得的度数，由角平分线的条件得的度数，再由三角形内角和求得的度数，最后由（1）的结论即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）得． ◆题型3 利用直角三角形两锐角互余求角度 7．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，求．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高；直角三角形两锐角互余，三角形的内角和定理； （1）根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，再求解即可； （2）根据，分别表示出，计算即可． 【详解】（1）解： ，是边上的高， ， ，， ， 是的平分线， ， ； （2）解：∵是边上的高，，是的平分线． ∴， ∴ 9．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比的周长小，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2)的长为． 【分析】（1）由三角形的内角和定理，结合角平分线的定义，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得的度数； （2）由已知可得，可得，结合与的周长之间的关系，即可得的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长比的周长小， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型4 与平行线有关的三角形内角和问题 10．（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ． 【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由角平分线的定义求出，最后由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义得到，，由平行线的性质得到，因此，从而可推出，从而得到，因此，，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵，， ∵平分， ∴， ∵， ． （2）略 11．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． 【答案】(1)或，理由见解析 (2)示意图有四种，见解析；图①和③关系式：， 图②和④关系式： ． 【分析】（1）①如题图②中，结论：．利用平行线的性质得到，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可．②如题图③中，结论：．利用平行线的性质，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可． （2）有四种情形，分别画出图形写出结论即可． 【详解】（1）解：第一种情况：如题图②，． 理由：， ， 即． ， ． 第二种情况：如题图③，． 理由：， ． ， ， 即． （2）解：如图，； 如图，； 如图，； 如图，． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 12．（24-25七年级下·江苏南京·期末）学习了“平行线”和“三角形”内容后，某兴趣小组探索了如下问题：如图，点、在、之间，且位于的两侧，连接、、. (1)如图①，若，，，则________； (2)如图②，若，求证：； (3)如图③，若、相交于点，， （Ⅰ）直接写出、、、满足的关系； （Ⅱ）若，，.平面内存在一点，连接、，使，，直接写出的度数（用含、的式子表示）. 【答案】(1) (2) 证明：连接交于点H， 根据三角形的内角和定理可得， 又∵， ∴， ∴； (3)（Ⅰ）；（Ⅱ）或或或 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质； （1）延长交于点G，根据（1）延长交于点G，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）连接连接交于点H，即可得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可； （3）分四种情况作图，根据三角形的内角和和外角解答即可. 【详解】（1）解：延长交于点G， ∵， ∴， 又∵∠AEF=∠F， ∴， ∴； （2）略 （3）（Ⅰ）延长交于点M， 则， 又∵， ∴， ∴； （Ⅱ）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ①如图，当，在和内部时， 根据三角形的内角和定理得，即， 解得； ②如图，当在的外部，在内部时，连接并延长到点N， 根据三角形的外角可得， 即， 解得：； ③当在的内部，在外部时， 由②可得； ④当，在和外部时， 由①得，即， 解得：； ◆题型5 与角平分线有关的三角形内角和问题 13．（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的高，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和可得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，然后根据三角形内角和及对顶角相等可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，是的角平分线， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知直线，直线分别与、相交于E、F． 【阅读理解】 (1)如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据． 解：、分别平分和， 可设，（　　）， ， （　　）， ． 又， ． ，即． 【推广应用】 (2)如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数． 【拓展提升】 (3)如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补； (2)， (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）过点向左作，根据角平分线设，由，得到，则，同理，即可构造二元一次方程组求解； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ，即． （2）解：过点向左作，如图， ∵、分别平分和， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 解得， ∴，； （3）解：分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴设，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴同理可得，， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 15．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． ◆题型6 三角形内角和与三角板综合 16．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理可得，即，再说明，进而完成解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 17．（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）一次数学拓展探究活动课上，小晨同学将一副三角板按如图所示方式摆放，边重合，，然后将三角板绕着点按顺时针方向以每秒的速度旋转．在此旋转过程中，当旋转时间为__________时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】，或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意分三种情况，或或，分别画出示意图，根据平行线的性质以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意得，分三种情况： ①如图1，当三角板旋转至时， 有， 旋转时间为． ②如图2，当三角板旋转至时， 有， 旋转时间为． ③如图3，当三角板旋转至时，连接， 有． ，， ． ． 旋转时间为． 综上所述：当旋转时间为，或时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 故答案为：，或． 18．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点与点重合，求的度数． 【答案】(1) (2) 平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， 即DE平分． (3) 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线性质、三角形内角和定理，准确找到各个角度是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）延长交于点．根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到，再根据三角形内角和可求得结果； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）延长交于点． 由题可得：，，， ， ， ， ． ◆题型7 由三角形内角和定理探究角度之间的关系 19．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高线，垂线的定义，理解三角形的角平分线和高线，垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再根据即可得出； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系． 【详解】（1）证明：在中，， 是的平分线， ， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ； （3）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）【提出问题】如图所示，已知P是的平分线的交点，你能找到与的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，小明是这样做的：先找一个例子，如，计算出，随后又举了几个例子，并对结论进行了证明，从而找到与的关系：． 在解决问题的过程中，小明运用了“由特例得到猜想，证明得出一般结论”的方法，请你用这种方法解决下面的问题． 【解决问题】 (1)若P是的三等分线的交点，即，则与的关系为 ，请证明你的结论； (2)若P是的四等分线的交点，即，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）； (3)若P是的n等分线的交点，即，，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线定义． （1）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）同（1）可得出结论； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可． 【详解】（1）解：猜测：； 由示例得， 、分别是、的三等分线，， ， ， 故答案为：． （2）解：由示例得， 、分别是、的四等分线，， ， ， 故答案为：． （3）解：，、分别是、的等分线，，， ， ． ∴． 故答案为：． 21．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）如图1，已知中，于平分； (1)若，则________度． (2)试用含的关系式表示，则________． (3)在图2中其它条件不变，若把“于D”改为“F是延长线上的任意一点，于D”，则与有何关系？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）依据三角形内角和定理可求得的度数，根据是角平分线，可得，再求得，故； （2）根据（1）中方法即可解答； （3）同理可求出，即可解答． 【详解】（1）解：在中，是的平分线，且， ； 在中，， ， ； （2）解：在中，是的平分线， ； 在中，， ； （3）解：，理由如下： 在中，是的平分线， ， ， ． 考点二 三角形的外角 ◆题型1 根据三角形外角性质求角度 22．（25-26八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2)的度数为 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后再利用平行线的性质可得，从而利用等量代换可得，即可解答； （2）利用平行线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数为． 23．（25-26七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ． 24．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“和谐三角形”．如图①，，点A在边上，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） (1)的度数为_______， _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”． (2)若，试说明：是“和谐三角形”． (3)如图②，点D在的边上，连结，作的平分线交于点E，在上取点F，使，∠．若是“和谐三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)，不是 (2)是的一个外角， ， 又， ， ∵， ， 是“和谐三角形”； (3)或 【分析】（1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴的三个内角度数为 不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4倍， 不是“和谐三角形”； （2）略 （3）解：，， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， ∴或 或． ◆题型2 三角形外角性质与平行线、角平分线的综合 25．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据三角形内角和，角的平分线，三角形外角性质求解即可； （2）根据三角形的面积，中线的性质，求解即可； 【详解】（1）解：在中 ， 是的角平分线 是的外角 ； （2）解：是的高，， ， 是的中线， ． 26．（25-26七年级下·吉林松原·期末）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数． (1)小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：过点作 （_____________________________） __________ __________ (2)【问题迁移】如图2，已知，点，，是线段，内部三点，请直接写出，，，，之间的数量关系； (3)【联想拓展】如图3，已知，若点在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；； (2) (3)解：，理由如下： 如图所示，过点作， ， ， ， ． 又， ． 【分析】（1）利用平行线的性质和角的等量代换求解； （2）分别过点作，利用两直线平行，内错角相等和角的等量代换求解； （3）过点作，利用平行线的性质与三角形的外角等于不相邻的两内角之和求解． 【详解】（1）解：过点作， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， ； （2）解：如图所示，分别过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ， ∴， 即． （3）解：见答案 27．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则． 证明如下：，是和的角平分线， ，， ， ， ． 【问题解决】 (1)如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 (2)如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数． 【答案】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为， 证明：，是和的角平分线， ，， ， 又，， ， ∴“前进”小组的结论不成立，正确结论为． (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得，，由外角的性质得，，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）连接，由外角的性质得，，由折叠的性质得：，即可求出的度数，再根据题干的结论，即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 由题干的结论得：， ． ◆题型3 由三角形的外角性质确定角度之间的关系 28．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图1，在中，，和的平分线相交于点．求的度数． (1)对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解（________________________）， ________（等式的性质）． 平分，平分（已知）， ________． ， ________． (2)变式1：如图2，在中，和的外角平分线相交于点．若，则________； (3)变式2：如图3，在中，的平分线与的外角平分线相交于点．直接写出与之间的关系________． 【答案】(1)三角形内角和等于，100，50，130 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义作答即可； （2）由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理得到，即可求出； （3）分别根据角平分线的定义及三角形的外角性质可表示出与，由此即可得出结论． 【详解】（1）略； （2）解：∵和的外角平分线相交于点， ，， ∴， 又， ， 即； （3）解：如图，∵的平分线与的外角平分线相交于点D， ，， ∵，， ∴， ． 29．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线得出，，则，根据，即可求解． （2）根据角平分线得出，，则，结合（1）中，即可求解． （3）根据角平分线得出，，则，结合，，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）知， ∴． （3）略 30．（25-26七年级下·山东滨州·阶段检测）（1）阅读并填空：如图1，分别是的内角的平分线，则：与之间的等量关系是__________． （2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由： （i）如图2，分别是的两个外角的平分线，试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是__________． （ii）如图③，分别是的一个内角和一个外角的平分线，试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是__________． 【答案】（1）；（2）（i）；理由见解析；（ii）；理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可； （2）（i）根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （ii）根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）（i）∵分别是的两个外角，的平分线， ∴，， ∵，， ∴ ， 故答案为：； （ii）∵分别是的一个内角和一个外角的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ◆题型4 与三角形外角性质有关的规律探究 31．（25-26八年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，在射线上分别截取，连接，在上分别截取，连接，…按此规律作下去，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是图形的变化规律题，考查了等腰三角形两底角相等的性质、三角形外角的性质，发现变化规律是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论． 【详解】解：，， ， 同理， ， ， ， 故选：B． 32．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；……按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．先根据外角和定理得出，再根据题意总结出规律，即可得到答案． 【详解】解：是的一个外角， ， 的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， 的度数为整数，， 的最大值为． 故选B． 33．（24-25八年级上·江西赣州·期中）课本再现，填空及解答 【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：______，， 设，则，从而． 在中，有． 解得．即． 【教材例题变式】 如图2，在中，，若，则______； 【边角规律再探】 如图3，，点A、B、C、D、E、F、G、H、I……．依次向右在的边和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，求的值； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母，则的取值范围是______． 【答案】教材展示：；教材例题变式：38；边角规律再探：（1）；（2） 【分析】教材例题展示：结合条件以及部分解答内容，根据等边对等角，得，设，则，从而．结合三角形内角和即可列式作答； 教材例题变式：根据等边对等角以及三角形内角和,得 ，结合三角形外角性质，； 边角规律再探：（1）由题意得，，因为为直角三角形，所以，结合，因为，且结合等边对等角以及三角形的外角性质，得，,，，，则，即可作答； （2）依题意，是存在的，是不存在的，要求在中，根据内角和为进行列式，即，故，同理，，即． 【详解】解：教材例题展示：∵，， ∴，（等边对等角）． 设， ， ， 在中，． 解得． ∴在中，，； 数材例题变式：∵，若， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 边角规律再探：（1）由题意得，， ∵为直角三角形， ∴， ∵，且， ∴， ， ， 以此类推得：， ， ∴， 解得：； （2）∵此规律恰好最多可以进行到字母I， ∴是存在的，不存在， 根据（1）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据内角和为进行列式， 即， 解得：， ∵是不存在的， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，等边对等角等内容，解题的关键是灵活运用三角形外角性质是解题的关键，三角形外角性质包括：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和． 考点三 与三角形有关的角综合题型 ◆题型1 三角形中角度的旋转问题 34．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，所有满足条件的t为__________秒． 【答案】或或 【分析】根据题意分三种情况进行讨论，画出图形，根据平行线的性质以及角的和差进行求解． 【详解】解：①如图，当时，，过点作， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时，交直线于点，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图，当时，过点作， ∴， ∴， ∴； 综上，所有满足条件的t为或或． 35．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，直线直线，、分别是直线、上的两点．将射线绕点顺时针匀速旋转，射线绕点顺时针匀速旋转，旋转后的射线分别记为、，已知射线、射线旋转的速度之和为度/秒． (1)如果射线先转动后，射线、再同时旋转秒时，射线与第一次出现平行，求射线、的旋转速度； (2)若射线、分别以（1）中速度同时转动t秒，在射线与重合之前，求为何值时； (3)若，射线、分别以（1）中的速度同时转动秒，在射线与重合之前，射线与交于点，过点作，垂足为，如图所示，设，，则当在何范围内，和满足什么数量关系？请直接写出结果． 【答案】(1)射线的旋转速度为度/秒，射线的旋转速度为度/秒； (2)时，； (3)当时，． 【分析】（1）设射线、的旋转速度分别为度/秒、度/秒，根据速度之和等于，以及射线、的旋转角度相等列方程组求解即可； （2）根据，结合图形可得，求解即可； （3）由平行线的性质得出，若射线与相交于点时，，若射线与重合时，，当时，，，得出，求出，得出即可． 【详解】（1）解：设交于点，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设射线的旋转速度为度/秒，射线的旋转速度为度/秒； 根据题意得， 解得， ∴射线的旋转速度为度/秒，射线的旋转速度为度/秒． （2）解：设交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴时，． （3）解：如图， ∵，， ∴， 若射线与相交于点时，， 若射线与重合时，， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 36．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）已知，在中，是边上一点，连接，过点作，过点作交于点，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长交于点，是的角平分线，延长交的延长线于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当与射线第一次重合时，两个三角形都停止旋转．设旋转时间为，在此旋转过程中，当与．某一边平行时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行线的性质及外角性质可求解； （2）利用平行线的性质及角平分线性质，结合三角形内角和求解即可； （3）过作，则，分三种情况讨论：① ②③，进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， 是的外角， （2）， ， 在中，， 是的角平分线， ； （3）答：，理由如下： 由旋转可知：，， ， ， 过作，则， ①时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②时，，即， ， 解得：（舍去）； ③时，， ， ， ， 解得：（舍去）， 综上，的值为15． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线性质及三角形内角和定理，结合图像角度的和差关系即可求解． ◆题型2 三角形中角度的折叠问题 37．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）如图1是一张长方形的纸片，将这张长方形的纸片沿折叠成图1的形状． 张明同学发现折叠之后，四边形与四边形是完全相同的图形，因此折痕恰好是的平分线． (1)图1中，若时，求的值； (2)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图2所示，若两条折痕形成的夹角，求与形成的夹角的度数． (3)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图3所示，试探究两条折痕形成的夹角与、形成的夹角之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据翻折以及平行的性质即可作答； （2）根据题意，结合翻折可知，，，即有，根据，可得，根据，可得，即可得，再根据，有； （3）根据题意，结合翻折可知，，，根据平行的性质有，，根据，可得，根据，可得，即可得 ，问题随之得解． 【详解】（1）∵平分，， ∴， ∵， ∴， 即所求角度为； （2）如图， 根据题意，结合翻折可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图， 根据题意，结合翻折可知，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即满足关系． 【点睛】本题考查了长方形翻折、平行线的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，根据翻折找到正确的角的等量关系是解答本题的关键． 38．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）阅读理解：如图 ， 中，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿 的平分线 折叠，点 与点 重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合， 就被称为是 的好角． 探究发现： 小丽和小亮展示了确定 是 的好角的两种情形．小丽展示的如图 ，沿等腰三角形 顶角 的平分线 折叠，点 与点 重合；小亮展示的如图 ，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 的平分线 折叠，此时点 与点 重合． （1）问题解决： 图 中 与 的关系为______，图 中 与 的关系为______． （2）小丽又经过三次折叠发现了 是 的好角，请探究 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． 根据以上内容猜想：若经过 次折叠 是 的好角，则 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 ，，，发现 和 的两个角都是此三角形的好角．如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠． （4）应用提升： 如果一个三角形的最小角是 ，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？ 请以（______，______）的形式写出所有可能的结果； 【答案】（1）；；（2）；；（3）7次，4次；（4）16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°． 【分析】（1）利用折叠的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可． （2）根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C，根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，可得∠B=3∠C，第二个问题探究规律，利用规律解决问题即可． （3）以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次． （4）根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．根据二元方程，求整数解即可． 【详解】解：（1）∵折叠后，B，C重合， ∴∠B=∠C； ∠B=2∠C， 小丽展示的情形二中， ∵沿∠BAC的平分线AB1折叠， ∴∠B=∠AA1B1； 又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合， ∴∠A1B1C=∠C； ∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理）， ∴∠B=2∠C． 故答案为：∠B=∠C，∠B=2∠C． （2）在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分， 将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合， 则∠BAC是△ABC的好角． ∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； ∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°， 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C； 由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C． 故答案为：∠B=3∠C，∠B=n∠C． （3）当以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次， 当以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次． 故答案为：7，4． （4）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角， ∵最小角是4°是△ABC的好角， 根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）． 由题意，得4m+4mn+4=180， ∴m（n+1）=44， ∵m，n都是正整数， ∴m与n+1是44的整数因子， 因此有：m=4，n=10或m=11，n=3或m=22，n=1或m=2，n=21或m=1，n=33，； 当m=4，n=10时，4m=16°，4mn=160°； 当m=11，n=3时，4m=44°，4mn=132°； 当m=22，n=1时，4m=88°，4mn=88°； 当m=2，n=21时，4m=8°，4mn=168°； 当m=1，n=43时，4m=4°，4mn=172°； ∴该三角形的另外两个角的度数分别为：16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大． 39．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；      （2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______； （4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______； 【答案】（1）；（2）成立，详见解析；（3）；（4）． 【分析】（1）根据折叠性质和三角形内角和即可； （2）根据折叠性质和三角形内角和即可； （3）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可； （4）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可． 【详解】（1）由折叠性质可知：，，， ∴，，， ∵ ∴， ∴， 故答案为：， （2）由由折叠性质可知：，，， ∴，，， ∵，，，， ∴， 同理：，， ∴， （3）根据(2)可知：，， 如图3，∵，， ∴， ∴， 故答案为：， （4）根据（2）（3）可知：，，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了翻折、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． ◆题型3 三角形中角度的规律探究问题 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）（规律探究题）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；⋯；与的平分线交于点，得．求的度数．    【答案】 【分析】由角平分线的定义可得，，由三角形外角的定义与性质可得，同理可得，…，由此可得，从而即可得到答案． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ，， ， 同理可得，…， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，根据题意得出是解题的关键． 41．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的外角，与的平分线交干点，与的平分线交于点，…，与的平分线相交于点．    （1）的度数为______； （2）若得到点后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为______． 【答案】 3 【分析】（1）根据三角形内角和为，可以得到，再根据三角形外角可以得到，即，即可得到结果； （2）根据，是角平分线，可以得到，进而可以求得，同理可得，无法求得，此时可求得结果． 【详解】解：（1）由图可得：    ∵， ∴， ∴， ∵，是角平分线， ∴， ∴； （2）∵，是角平分线， ∴， ∴， ， 同理可得， ∴， 则， 此时若再作出，则可类比上述过程得到，无法组成三角形， 即此时两条角平分线无交点， 故； 故答案为：；3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，找到各个角度之间的关系是解题的关键． 42．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，已知直线被直线所截，且，，分别平分，，，分别平分和，，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理分别求得，，的度数，再总结出变化规律，根据规律得出结论即可． 【详解】解：， ， ，分别平分， ，， ， ， ，，分别平分和， ，， ， ， ，分别平分，， ，， ， ， 由上面规律得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，关键是熟练应用这些知识解题． ◆题型4 三角形中角度的多结论问题 43．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④若则其中所有正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据中线的定义，利用等底等高的两个三角形面积相等即可判断；对于②，利用角平分线的定义及等角的余角相等证明，结合对顶角相等推导出；对于③，将转化为，分析等式成立的条件；对于④，根据三角形内角和定理计算角度． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴ ， 故①正确； ∵ 是角平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故②正确； ∵ 且， ∴ ， 若， 则， 即， 根据已知条件不能推出， 故③不符合题意； ∵ 且， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故④正确． 【点睛】本题考查了三角形中线性质、角平分线定义、直角三角形性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形中线性质、角平分线定义、直角三角形性质及三角形内角和定理是解题的关键． 44．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，是直角，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的是________． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④； ⑤的周长比的周长小7． 【答案】①②③ 【分析】①利用三角形的中线，可知和是等底同高的两个三角形，即可判断；②根据同角、等角的余角相等证明，再利用角平分线的定义即可判断；由三角形内角和定理、三角形的外角性质即可判断③；由三角形的面积公式即可得到的长判断④；由中线的性质的周长与的周长的差等于判断⑤． 【详解】解：∵是中线， ∴． ． 故①正确． ， ． ， ． ． 平分， ． ． 故②正确． ， ， ，． ． 平分， ． ，， ． 故③正确． ， ． 故④错误． ， ∴的周长比的周长小6． 故⑤错误． 45．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，，点E，F在直线上（F在E的左侧），点G在直线上，，垂足为H，P为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点Q，且点Q在直线，之间的区域，下列结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则，其中n为正整数． 上述说法正确的是 ________（写出所有正确结论的序号）．    【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，过点H作，利用平行线的性质可得，即可判断①；根据角平分的定义可得，，再根据三角形内角和定理，根据，利用平行线的性质即可判断②；设，则，利用①的结论即可判断③，同上可判断④． 【详解】解：如图，过点H作，    ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵与的角平分线交于点Q， ∴， ∴， 根据①中的结论，可得， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 设，则， ∴， 根据①中结论可得， ∴， ∴，故③正确； 设，则， ∴， ∴， 根据①中结论可得，故④正确． 故答案为：①③④． ◆题型5 三角形角度中的新定义问题 46．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是； （2）证明：∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”； （3）或 【分析】（1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）略 （3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示：    当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ∴， ∴舍去， ②如图2所示：    当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示：    当时，，同理可知舍去，； ②如图4所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． 47．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由如下； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答， ②由题意可得，所以分两种情况，或． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：略； ②∵点是边上一点，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 48．（25-26七年级下·河南南阳·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1），不是；（2）见解析；（3）或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， 或． 综合攻坚·知能拔高 1．（2025·河北衡水·模拟预测）将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角板角的度数结合，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 2．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 3．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 4．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在中，平分，平分外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质可推出，进而求解． 【详解】解：∵平分，平分外角， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴． 5．（2025·宁夏银川·一模）一副三角板如图放置，将三角板绕点A逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（     ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】B 【分析】分情况讨论：①；②，③，由垂线的定义和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当时，则， ∴， ∴， ∴，即； ②当时，则， ∴， ∴，即； ③当时，则， ∴, ∴, ∴，即； 综上所述，的度数为或或。 6．（2025·江苏镇江·一模）如图，直线，的顶点在直线上，．若，则____________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，三角形内角和，直角三角形的性质，求解即可； 【详解】解：， ， ， ， 7．（25-26七年级下·甘肃天水·期末）如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移到，使点落在上，与交于点P．给出下面三个结论：①；②；③图中阴影部分的面积之和大于的面积．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①② 【分析】根据平移的性质，三角形面积、平行四边形、长方形面积之间的关系进行判断即可． 【详解】解：∵两个大小相同的和，，， ，，，， 由平移的性质可知，，，， ， ， 因此①正确； ，， ， ， 因此②正确； ， ∴， ， 因此③不正确； 综上所述，正确的结论有①②． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②③ 【详解】解：依次分析：①是中线， ，①正确； ②是角平分线， ，②正确； ③， ， 又， ，③正确； ④通过是中线可以得到，但是无法得到，④错误． 综上可知，正确结论的序号有①②③． 9．（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质，折叠的性质以及三角形的内角和为180度，进行求解即可. 【详解】解：如图2，当点在上方时， ∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 如图3，当点在下方时， 则， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或． 10．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，所有满足条件的t为__________秒． 【答案】或或 【分析】根据题意分三种情况进行讨论，画出图形，根据平行线的性质以及角的和差进行求解． 【详解】解：①如图，当时，，过点作， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时，交直线于点，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图，当时，过点作， ∴， ∴， ∴； 综上，所有满足条件的t为或或． 11．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）根据材料回答下列问题    (1)如图，在中，、分别是和的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ (2)如图，在中，、分别是和外角的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出的度数； （2）利用角平分线的定义和三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， 、分别是和的角平分线， ，， ， ； （2）解：如下图所示， 是的外角， ， 平分， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ．    12．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）在中，与的平分线相交于点． (1)如图①，若，则______________；（用的代数式表示，请直接写出结论） (2)如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下， ∵外角，的角平分线交于点， ， ， 由（1）可知，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可得出答案． （2）根据角平分线的定义，平角的定义，结合三角形内角和定理即可得出，继而得到，继而结合（1）中结论得到． 【详解】（1）解：∵与的平分线相交于点， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略． 13．（25-26七年级下·北京海淀·期中）已知：直线，A为直线上的一个定点，过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，直接写出的度数 ； (2)射线为的角平分线． ①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②当点D与点B不重合，且时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，理由： ∵， ∴，， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 即； ②或 【分析】（1）由平行线的性质可得到：，，再利用角的等量代换换算即可； （2）①根据平行线的性质得出，，根据角平分线定义得出，求出，最后根据角度间数量关系，得出答案即可； ②分三种情况讨论：当点D在点B右侧时，当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，当D、E均在B点左侧时，运用角的等量代换推导即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，， ∴． （2）①略 ②当点D在点B右侧时，如图所示， 此时有， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当D、E均在B点左侧时，如图所示： 此时，， ， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：或． 14．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线，分别交于，两点，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在直线，之间，连接，，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，的角平分线交的角平分线于点，过点作的垂线交于点，点为垂足，若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， 又， ∴， ∴． (2)证明：如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用对顶角相等和已知条件可得，从而得到； （2）过点作，利用平行线的性质可得，，即可得证； （3）由平分，平分可得，设，，则，由（2）得：，由可得代入可得，进而即可求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵平分，平分， ∴，，， ∵，， ∴， 设，，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， 将代入得：，解得：， ∴． 15．（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且于E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G，求的度数； (3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则，，之间的数量关系是． 【答案】(1)证明：如图1中，过E作． ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) (3)或． 【分析】（1）如图1中，过E作．利用平行线的性质即可解决问题． （2）如图2中，作，，设，，可得，证明，，推出即可解决问题． （3）分两种情形分别画出图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，作，， 设，， 由（1）知：，， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ； （3）解：如图，设交于． 当点N在内部时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ． 当点在直线的下方时， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上所述：或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题02 与三角形相关的角 常考题型·精准突破 考点一 三角形的内角和 题型1 三角形内角和定理的证明（重） 题型2 利用三角形内角和求角度（重） 题型3 利用直角三角形两锐角互余求角度 题型4 与平行线有关的三角形内角和问题（重） 题型5 与角平分线有关的三角形内角和问题（重） 题型6 三角形内角和与三角板综合（高频） 题型7 由三角形内角和定理探究角度之间的关系（难） 考点二 三角形的外角 题型1 根据三角形外角性质求角度（高频） 题型2 三角形外角性质与平行线、角平分线的综合（重） 题型3 由三角形的外角性质确定角度之间的关系（重） 题型4 与三角形外角性质有关的规律探究 考点三 与三角形有关的角综合题型 题型1 三角形中角度的旋转问题（难） 题型2 三角形中角度的折叠问题（难） 题型3 三角形中角度的规律探究问题（难） 题型4 三角形中角度的多结论问题（难） 题型5 三角形角度中的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 三角形的内角和 三角形的内角和定理定理：三角形三个内角和等于180°． 三角形的内角和定理的应用： （1)在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数； （2)在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数； （3)在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数. ◆题型1 三角形内角和定理的证明 1．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段检测）学习完平行线的性质与判定之后，借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)问题：如图1，，点在 、 内部，探究，，的关系． 过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是： _____． (2)如图 2 ，若，点在、外部，，，的数量关系如何？ 请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点作． （_____） _____ （_____） ， ， _____． （_____） (3)如图 3，在小学中我们已知道，中，．请根据以上方法说明理由． 2．（25-26八年级上·河北保定·期末）（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）小学阶段，我们可以通过“折叠”“剪拼”等方法，观察得到三角形内角和为，本学期利用平行线性质，就可以证明此猜想正确． (1)如图1，过的顶点作．（请将证明过程补充完整） 证明：， ，（_______） （_______） ____（等量代换） 即三角形的内角和为． (2)【学以致用】如图2是超市购物车及其侧面示意图，已知，，测量得知，，则_______． ◆题型2 利用三角形内角和求角度 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，直线分别交，于点，，点在上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，．求的大小． 5．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 6．（25-26七年级下·北京·期末）如图，中，D是边上一点，点E在三角形外，交于点F，点G在上，满足． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求的度数． ◆题型3 利用直角三角形两锐角互余求角度 7．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，求．（用含的代数式表示） 9．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比的周长小，求的长． ◆题型4 与平行线有关的三角形内角和问题 10．（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 11．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． 12．（24-25七年级下·江苏南京·期末）学习了“平行线”和“三角形”内容后，某兴趣小组探索了如下问题：如图，点、在、之间，且位于的两侧，连接、、. (1)如图①，若，，，则________； (2)如图②，若，求证：； (3)如图③，若、相交于点，， （Ⅰ）直接写出、、、满足的关系； （Ⅱ）若，，.平面内存在一点，连接、，使，，直接写出的度数（用含、的式子表示）. ◆题型5 与角平分线有关的三角形内角和问题 13．（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的高，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 14．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知直线，直线分别与、相交于E、F． 【阅读理解】 (1)如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据． 解：、分别平分和， 可设，（　　）， ， （　　）， ． 又， ． ，即． 【推广应用】 (2)如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数． 【拓展提升】 (3)如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． 15．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． ◆题型6 三角形内角和与三角板综合 16．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）一次数学拓展探究活动课上，小晨同学将一副三角板按如图所示方式摆放，边重合，，然后将三角板绕着点按顺时针方向以每秒的速度旋转．在此旋转过程中，当旋转时间为__________时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 18．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点与点重合，求的度数． ◆题型7 由三角形内角和定理探究角度之间的关系 19．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）【提出问题】如图所示，已知P是的平分线的交点，你能找到与的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，小明是这样做的：先找一个例子，如，计算出，随后又举了几个例子，并对结论进行了证明，从而找到与的关系：． 在解决问题的过程中，小明运用了“由特例得到猜想，证明得出一般结论”的方法，请你用这种方法解决下面的问题． 【解决问题】 (1)若P是的三等分线的交点，即，则与的关系为 ，请证明你的结论； (2)若P是的四等分线的交点，即，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）； (3)若P是的n等分线的交点，即，，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）． 21．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）如图1，已知中，于平分； (1)若，则________度． (2)试用含的关系式表示，则________． (3)在图2中其它条件不变，若把“于D”改为“F是延长线上的任意一点，于D”，则与有何关系？试说明理由． 考点二 三角形的外角 ◆题型1 根据三角形外角性质求角度 22．（25-26八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的度数． 23．（25-26七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 24．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“和谐三角形”．如图①，，点A在边上，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） (1)的度数为_______， _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”． (2)若，试说明：是“和谐三角形”． (3)如图②，点D在的边上，连结，作的平分线交于点E，在上取点F，使，∠．若是“和谐三角形”，直接写出的度数． ◆题型2 三角形外角性质与平行线、角平分线的综合 25．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 26．（25-26七年级下·吉林松原·期末）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数． (1)小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：过点作 （_____________________________） __________ __________ (2)【问题迁移】如图2，已知，点，，是线段，内部三点，请直接写出，，，，之间的数量关系； (3)【联想拓展】如图3，已知，若点在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由． 27．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则． 证明如下：，是和的角平分线， ，， ， ， ． 【问题解决】 (1)如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 (2)如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数． ◆题型3 由三角形的外角性质确定角度之间的关系 28．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图1，在中，，和的平分线相交于点．求的度数． (1)对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解（________________________）， ________（等式的性质）． 平分，平分（已知）， ________． ， ________． (2)变式1：如图2，在中，和的外角平分线相交于点．若，则________； (3)变式2：如图3，在中，的平分线与的外角平分线相交于点．直接写出与之间的关系________． 29．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 30．（25-26七年级下·山东滨州·阶段检测）（1）阅读并填空：如图1，分别是的内角的平分线，则：与之间的等量关系是__________． （2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由： （i）如图2，分别是的两个外角的平分线，试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是__________． （ii）如图③，分别是的一个内角和一个外角的平分线，试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是__________． ◆题型4 与三角形外角性质有关的规律探究 31．（25-26八年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，在射线上分别截取，连接，在上分别截取，连接，…按此规律作下去，若，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；……按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 33．（24-25八年级上·江西赣州·期中）课本再现，填空及解答 【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：______，， 设，则，从而． 在中，有． 解得．即． 【教材例题变式】 如图2，在中，，若，则______； 【边角规律再探】 如图3，，点A、B、C、D、E、F、G、H、I……．依次向右在的边和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，求的值； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母，则的取值范围是______． 考点三 与三角形有关的角综合题型 ◆题型1 三角形中角度的旋转问题 34．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，所有满足条件的t为__________秒． 35．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，直线直线，、分别是直线、上的两点．将射线绕点顺时针匀速旋转，射线绕点顺时针匀速旋转，旋转后的射线分别记为、，已知射线、射线旋转的速度之和为度/秒． (1)如果射线先转动后，射线、再同时旋转秒时，射线与第一次出现平行，求射线、的旋转速度； (2)若射线、分别以（1）中速度同时转动t秒，在射线与重合之前，求为何值时； (3)若，射线、分别以（1）中的速度同时转动秒，在射线与重合之前，射线与交于点，过点作，垂足为，如图所示，设，，则当在何范围内，和满足什么数量关系？请直接写出结果． 36．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）已知，在中，是边上一点，连接，过点作，过点作交于点，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长交于点，是的角平分线，延长交的延长线于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当与射线第一次重合时，两个三角形都停止旋转．设旋转时间为，在此旋转过程中，当与．某一边平行时，请直接写出此时的值． ◆题型2 三角形中角度的折叠问题 37．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）如图1是一张长方形的纸片，将这张长方形的纸片沿折叠成图1的形状． 张明同学发现折叠之后，四边形与四边形是完全相同的图形，因此折痕恰好是的平分线． (1)图1中，若时，求的值； (2)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图2所示，若两条折痕形成的夹角，求与形成的夹角的度数． (3)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图3所示，试探究两条折痕形成的夹角与、形成的夹角之间的数量关系． 38．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）阅读理解：如图 ， 中，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿 的平分线 折叠，点 与点 重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合， 就被称为是 的好角． 探究发现： 小丽和小亮展示了确定 是 的好角的两种情形．小丽展示的如图 ，沿等腰三角形 顶角 的平分线 折叠，点 与点 重合；小亮展示的如图 ，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 的平分线 折叠，此时点 与点 重合． （1）问题解决： 图 中 与 的关系为______，图 中 与 的关系为______． （2）小丽又经过三次折叠发现了 是 的好角，请探究 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． 根据以上内容猜想：若经过 次折叠 是 的好角，则 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 ，，，发现 和 的两个角都是此三角形的好角．如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠． （4）应用提升： 如果一个三角形的最小角是 ，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？ 请以（______，______）的形式写出所有可能的结果； 39．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；      （2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______； （4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______； ◆题型3 三角形中角度的规律探究问题 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）（规律探究题）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；⋯；与的平分线交于点，得．求的度数．    41．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的外角，与的平分线交干点，与的平分线交于点，…，与的平分线相交于点．    （1）的度数为______； （2）若得到点后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为______． 42．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，已知直线被直线所截，且，，分别平分，，，分别平分和，，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为___________． ◆题型4 三角形中角度的多结论问题 43．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④若则其中所有正确结论的序号有________． 44．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，是直角，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的是________． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④； ⑤的周长比的周长小7． 45．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，，点E，F在直线上（F在E的左侧），点G在直线上，，垂足为H，P为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点Q，且点Q在直线，之间的区域，下列结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则，其中n为正整数． 上述说法正确的是 ________（写出所有正确结论的序号）．    ◆题型5 三角形角度中的新定义问题 46．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 47．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 48．（25-26七年级下·河南南阳·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 综合攻坚·知能拔高 1．（2025·河北衡水·模拟预测）将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 4．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在中，平分，平分外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2025·宁夏银川·一模）一副三角板如图放置，将三角板绕点A逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（     ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 6．（2025·江苏镇江·一模）如图，直线，的顶点在直线上，．若，则____________． 7．（25-26七年级下·甘肃天水·期末）如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移到，使点落在上，与交于点P．给出下面三个结论：①；②；③图中阴影部分的面积之和大于的面积．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 9．（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 10．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，所有满足条件的t为__________秒． 11．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）根据材料回答下列问题    (1)如图，在中，、分别是和的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ (2)如图，在中，、分别是和外角的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ 12．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）在中，与的平分线相交于点． (1)如图①，若，则______________；（用的代数式表示，请直接写出结论） (2)如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 13．（25-26七年级下·北京海淀·期中）已知：直线，A为直线上的一个定点，过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，直接写出的度数 ； (2)射线为的角平分线． ①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②当点D与点B不重合，且时，直接写出的度数． 14．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线，分别交于，两点，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在直线，之间，连接，，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，的角平分线交的角平分线于点，过点作的垂线交于点，点为垂足，若，，求的度数． 15．（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且于E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G，求的度数； (3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则，，之间的数量关系是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $