第14章 专题6 构造全等三角形解题的常见思路（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“构造全等三角形解题的常见思路”，涵盖遇中点构造“8”字型全等、角平分线构造全等、截长补短法三大类型，通过基本图形引入，结合一阶到二阶变式及例题，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以“基本图形-辅助线-结论”清晰结构呈现，例题证明步骤规范，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和规范表达（数学语言）。如倍长中线例题通过全等推理证AC=2AE，帮助学生构建解题模型，提升推理能力，教师可直接用于分层教学，提高效率。

2026秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 第十四章　全等三角形 专题6　构造全等三角形解题的常见思路 类型一　遇中点构造“8”字型全等 一阶：　遇中线倍长中线 [基本图形]已知：如图，D为BC的中点. 辅助线：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. 结论：△ADC≌△ ⇒AC＝ ⁠， AC∥ ⁠. EDB　 BE　 BE　 1. 如图，已知点D在△ABC的边BC上，CD＝AB， AE是△ABD的中线. (1)若AB＝5，AD＝3，则AE的取值范围为 ⁠ ⁠； 1＜AE ＜4　 2 3 4 1 1. 如图，已知点D在△ABC的边BC上，CD＝AB， AE是△ABD的中线. (2)若∠BAD＝∠BDA，求证：AC＝2AE. 2 3 4 1 证明：如图，延长AE到F，使EF＝AE，连接BF， 则AF＝2AE. ∵AE是△ABD的中线，∴BE＝DE. 在△BEF和△DEA中， ∴△BEF≌△DEA(SAS). ∴BF＝AD，∠EBF＝∠EDA. 2 3 4 1 ∴BF∥AD. ∴∠BAD＋∠ABF＝180°. 又∵∠BDA＋∠ADC＝180°，∠BAD＝∠BDA， ∴∠ABF＝∠ADC. 在△ABF和△CDA中， ∴△ABF≌△CDA(SAS). ∴AF＝AC. ∴AC＝2AE. 2 3 4 1 二阶：　遇中点延长或截取等线段 [变式图形1]已知：如图①，D为BC的中点. 辅助线：延长ED至点F，使DF＝ED，连接BF. 结论：△CDE≌△ ⇒BF＝ ⁠， BF∥ ⁠. BDF　 CE　 CE　 2 3 4 1 [变式图形2]已知：如图②，F为DE的中点. 辅助线：在FA上截取FG＝CF，连接EG. 结论：△ ≌△ ⇒CD＝ ⁠， CD∥ ⁠. CDF　 GEF　 GE　 GE　 2 3 4 1 2. 如图，在△ABC中，D是BC边上的中点， DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F， 连接EF. 求证：BE＋CF＞EF. 2 3 4 1 证明：如图，延长FD到G，使DG＝FD，连接BG， EG. 证明：如图，延长FD到G，使DG＝FD，连接BG， EG. ∵D是BC边上的中点，∴BD＝CD. 在△BDG和△CDF中， ∴△BDG≌△CDF(SAS).∴BG＝CF. 2 3 4 1 在△EDF和△EDG中， ∴△EDF≌△EDG(SAS).∴EF＝EG. 在△EBG中，∵BE＋BG＞EG， ∴BE＋CF＞EF. 2 3 4 1 类型二　利用角的平分线构造全等 [基本图形1]已知：如图①，OP是∠MON的平分 线. 辅助线：作角两边的垂线. 结论：△AOP≌△ →OA＝ ⁠. BOP　 OB　 2 3 4 1 [基本图形2]已知：如图②，OP是∠MON的平分 线，AP⊥OP. 辅助线：延长AP交ON于点B. 结论：△AOP≌△ →PA＝ .遇“角 的平分线＋垂直”，延长构造全等. BOP　 PB　 2 3 4 1 3. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BD 于点D，连接CD. 若△ABC的面积为12，求△ADC的 面积. 2 3 4 1 解：如图，延长BD交AC于点E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAD. ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°. 在△ABD和△AED中， 2 3 4 1 ∴△ABD≌△AED(ASA). ∴S△ABD＝S△ADE，BD＝DE. ∴S△CBD＝S△CDE. ∴S△ABD＋S△CBD＝S△ADE＋S△CDE＝S△ADC. ∵S△ABD＋S△CBD＋S△ADC＝S△ABC， ∴S△ADC＋S△ADC＝12.∴S△ADC＝6. 2 3 4 1 类型三　截长补短法 4. 如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，C是BD边 的中点.若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线 段AE，AB，DE的长度满足的数量关系，并证明. 思路一(截长法)：在AE上截取AF＝AB，连接CF. 2 3 4 1 解：AE＝AB＋DE. 证明如下： ∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC. 在△ACB和△ACF中， ∴△ACB≌△ACF(SAS). ∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF. ∵C是BD边的中点，∴BC＝CD. ∴CF＝CD. 2 3 4 1 ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°. ∴∠ECF＝∠ECD. 在△CEF和△CED中， ∴△CEF≌△CED(SAS).∴EF＝ED. ∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE. 2 3 4 1 4. 如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，C是BD边 的中点.若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线 段AE，AB，DE的长度满足的数量关系，并证明. 思路二(补短法)：延长ED到M，使得DM＝AB，连 接CM. 2 3 4 1 证明如下：∵ED∥AB，∴∠B＝∠CDM. 又∵点C是BD的中点，∴BC＝DC. 在△ABC和△MDC中， ∴△ABC≌△MDC(SAS). ∴AC＝MC，∠ACB＝∠MCD. ∵∠ACB＋∠ACD＝180°， ∴∠MCD＋∠ACD＝180°. ∴点A，C，M在同一直线上. 2 3 4 1 ∵∠ACE＝90°，∴∠MCE＝90°. 在△AEC和△MEC中， ∴△AEC≌△MEC(SAS).∴AE＝ME. 又∵EM＝DE＋DM＝DE＋AB， ∴AE＝AB＋DE. 2 3 4 1 $