第13章 专题2 与三角形的高、角平分线有关的求角度模型（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级三角形专题，围绕高与角平分线的角度计算模型，以教材例题变式为导入，通过结论变式（锐角、钝角高的交点）搭建学习支架，衔接三角形内角和知识，逐步过渡到复杂角度关系探究。 其亮点在于通过多维度变式（图形、结论变式）培养几何直观与推理能力，如角平分线和高结合问题中，推导∠DAE=½(α-β)，体现抽象能力与模型意识。学生能掌握模型化解题思路，教师可利用分层变式素材提升教学效率。

2026秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 第十三章　三角形 专题2　与三角形的高、角平分线有关的求角度模型 类型一　两条高结合求角度问题 1. 教材P14例3变式 如图，在△ABC中，已知∠ABC ＝50°，∠ACB＝60°，BE，CF分别是边AC，AB 上的高，H是BE和CF的交点.求∠ABE的度数，并 说明∠ABE和∠ACF的关系. 2 3 1 解：∵BE是AC上的高， ∴∠AEB＝90°. ∵∠ABC＝50°， ∠ACB＝60°， ∴∠A＝180°－60°－50°＝70°. ∴∠ABE＝90°－70°＝20°. ∵CF是AB上的高，∴∠AFC＝90°. ∴∠ACF＝90°－70°＝20°. ∴∠ABE＝∠ACF. 解：∵BE是AC上的高， ∴∠AEB＝90°. ∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60° ∴∠A＝180°－60°－50°＝70°. ∴∠ABE＝90°－70°＝20°. ∵CF是AB上的高，∴∠AFC＝90°. ∴∠ACF＝90°－70°＝20°. ∴∠ABE＝∠ACF. 2 3 1 结论变式 在△ABC中，两条高BD，CE所在的直线相交于 点O. (1)当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠BOC＋ ∠BAC＝180°；∠BOE＝180°. 2 3 1 (1)证明：∵BD，CE是△ABC的两条高， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. ∴∠BAC＋∠ABD＝90°， ∠BOE＋∠ABD＝90°. ∴∠BAC＝∠BOE. ∵∠BOC＋∠BOE＝180°， ∴∠BOC＋∠BAC＝∠BOC＋∠BOE＝180°. 2 3 1 (2)当∠BAC为钝角时，如图②，请在图②中画出相 应的图形(用三角尺)，并回答(1)中结论是否成立， 不需证明. 在△ABC中，两条高BD，CE所在的直线相交于 点O. (2)解：如图②所示. (1)中结论成立. 2 3 1 类型二　角平分线和高结合求角度问题 2. 教材P22复习题T7变式 如图，在△ABC中，AD， AE分别是△ABC的高和角平分线，已知∠ABC＝ α，∠ACB＝β(α＞β). (1)若α＝55°，β＝35°，则∠DAE＝ ⁠°. 10　 2 3 1 2. 教材P22复习题T7变式 如图，在△ABC中，AD， AE分别是△ABC的高和角平分线，已知∠ABC＝ α，∠ACB＝β(α＞β). (2)小明说：“无须给出α，β的具体度数，只需确定 α与β的差值，即可确定∠DAE的度数.”请通过计 算验证小明的说法是否正确. 2 3 1 解：∵∠ABC＝α，∠ACB＝β， ∴∠BAC＝180°－α－β. ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝(180°－α－β). ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∴∠BAD＝90°－α. ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝(180°－α－β)－ (90°－α)＝(α－β). 解：∵∠ABC＝α，∠ACB＝β， ∴∠BAC＝180°－α－β. ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝(180°－α－β). ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∴∠BAD＝90°－α. ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝(180°－α－β)－ (90°－α)＝(α－β). 2 3 1 ∴∠DAE的度数与α，β的具体度数无关，只和α与β 的差值有关. ∴小明的说法是正确的. ∴∠DAE的度数与α，β的具体度数无关，只和α与β 的差值有关. ∴小明的说法是正确的. 2 3 1 图形变式 (1)在图①中，∠B＝x，∠C＝y(x＞y)，若把“AD是 △ABC的高”改为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于 D”，其他条件不变，试用x，y表示∠DFE＝ ⁠ ；(直接写结果) (x －y)　 2 3 1 (2)在图②中，若把(1)中的“F是线段AE上一点”改 为“F是AE延长线上一点”，其他条件不变，试用 x，y表示∠DFE＝ .(直接写结果) (x－y)　 2 3 1 类型三　与三角形角平分线相关的求角度问题 3. 教材P17习题T9变式 (双内)如图，在△ABC中， BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90° ＋∠A. 2 3 1 证明：∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB. ∴∠P＝180°－(∠PCB＋∠PBC)＝180°－ (∠ACB＋∠ABC)＝180°－(180°－∠A)＝90° ＋∠A. 证明：∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB. ∴∠P＝180°－(∠PCB＋∠PBC)＝180°－ (∠ACB＋∠ABC)＝180°－(180°－∠A)＝90° ＋∠A. 2 3 1 [变式1](双外)如图，在△ABC中，BP平分外角 ∠DBC，CP平分外角∠BCE，猜想∠P和∠A有何数 量关系，并证明你的结论. 解：∠P＝90°－∠A. 证明如下：∵BP，CP为△ABC 两外角∠DBC，∠ECB的平分线， ∴∠BCP＝∠BCE＝(∠A＋∠ABC)， ∠PBC＝ ∠DBC＝(∠A＋∠ACB). 2 3 1 由三角形内角和定理得∠P＝180°－∠BCP－ ∠PBC＝180°－[∠A＋(∠A＋∠ABC＋∠ACB)]＝ 180°－(∠A＋180°)， 即∠P＝90°－∠A. 2 3 1 [变式2](一内一外)如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，猜想∠P和∠A 有何数量关系，并证明你的结论. 2 3 1 解：∠P＝∠A. 证明如下： ∵BP，CP分别为∠ABC，∠ACD的平分线， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD. 根据三角形的外角性质，得∠ACD＝∠A＋ ∠ABC， ∠PCD＝∠PBC＋∠P， ∴∠A＋∠ABC＝2(∠PBC＋∠P)＝2∠PBC＋ 2∠P. 解：∠P＝∠A. 证明如下： ∵BP，CP分别为∠ABC，∠ACD的平分线， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD. 根据三角形的外角性质，得∠ACD＝∠A＋∠ABC， ∠PCD＝∠PBC＋∠P， ∴∠A＋∠ABC＝2(∠PBC＋∠P)＝ 2∠PBC＋2∠P. ∴∠A＝2∠P，即∠P＝∠A. 2 3 1 [变式3]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于 点D，BE平分∠ABC交AD于点E. 若∠BED＝ 45°，则∠C的度数为 ⁠. 变式3题图 90°　 2 3 1 [变式4]如图，在△ABC中，BO，CO分别平分 ∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角 ∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E. 已知∠E＝ 25°，则∠BOC的度数为 ⁠. 变式4题图 115°　 2 3 1 [变式5]如图，点O是△ABC的内角平分线的交点， 点I是△ABC的两个外角平分线的交点，则∠O＋∠I ＝ ⁠°. 变式5题图 180　 2 3 1 $