第13章 专题4 与三角形的角平分线有关的模型-【绿卡初中创新题】2026-2027学年八年级上册数学习题课件（人教版·新教材）河北专版

该初中数学课件聚焦三角形角平分线相关模型，通过初步探究（特殊值猜想、严格证明）、深入探究（折叠、外角、垂线等综合情境）及模型归纳表格（2内、2外、1内1外位置结论），系统构建知识网络，体现知识点内在逻辑。 其亮点在于“探究-证明-归纳-应用”的复习策略，如初步探究从特殊值到一般结论培养抽象能力与推理意识，模型归纳表格强化模型观念，模型应用题分层设计（基础选择到规律探究），助力学生巩固知识，教师精准实施复习教学。

2 第十三章　三角形　 专题4　与三角形的角平分线有关的模型 3 【初步探究】在△ABC中，P是∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且∠A=α. （1）如图1，你能找到∠P与α之间的数量关系吗？ 在解决这个问题时，某小组的同学是这样做的： 先赋予α几个特殊值： 当α=40°时，计算出∠P=110°； 当α=80°时，计算出∠P=130°； 当α=100°时，计算出∠P=140°； …… 目 录 导 航 2 3 4 5 1 4 由以上特例猜想∠P与α之间的数量关系为∠P=90°+ [12] α，再证明这一结论. 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵P是∠ABC与∠ACB的平分线的交点， ∴∠PBC=∠________，∠PCB=∠________. 又在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A=________°， ∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠________）=90°- ∠________， ∴∠P=180°-（∠_______+∠_______）=180°- （90°-∠A）=90°+ ∠A， 即∠P=90°+α. ABC ACB 180 A A PBC PCB 目 录 导 航 2 3 4 5 1 5 【深入探究】 （2）如图2，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，且∠1+∠2=100°. ①求∠A的度数； ②∠BPC=________°. 115 解析：①根据题意可知，∠AEP=2∠AED，∠ADP=2∠ADE. ∵∠1+∠AEP=180°，∠2+∠ADP=180°，∠1+∠2=100°， ∴2∠AED+2∠ADE=260°，∴∠AED+∠ADE=130°， ∴∠A=180°-（∠AED+∠ADE）=50°. 目 录 导 航 2 3 4 5 1 6 （3）如图3，过点P作DP⊥PC，交AC于点D，△ABC的外角∠ACF的平分线CE与BP的延长线交于点E，则下列角中与∠ADP相等的是________（填序号）. ①∠APC；　　　②∠APB；　　　③∠BPC. ② 解析：提示：由（1）可知，∠APC=90°+∠ABC， ∠APB=90°+∠ACB，∠BPC=90°+∠BAC. ∵DP⊥PC，CP平分∠ACB，∴∠DPC=90°，∠DCP=∠ACB. ∵∠ADP是△CDP的外角，∴∠ADP=∠DPC+∠DCP=90°+∠ACB， ∴∠APB=∠ADP. 目 录 导 航 2 3 4 5 1 （4）如图4，H是△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线的交点. ①若∠A=50°，则∠H=________°； ②试猜想∠H与α之间的数量关系，并说明理由. 50 解：①提示：∵H是△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线的交点， ∴∠HBC=∠MBC=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC， ∠HCB=∠NCB=（180°-∠ACB）=90°-∠ACB， ∴∠H=180°-∠HBC-∠HCB=180°-（90°-∠ABC）-（90°-∠ACB）= （∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A=65°. 目 录 导 航 2 3 4 5 1 8 ②∠H=90°-α. 理由如下： ∵H是△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线的交点， ∴∠HBC=∠MBC=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC， ∠HCB=∠NCB=（180°-∠ACB）=90°-∠ACB， ∴∠H=180°-∠HBC-∠HCB=180°-（90°-∠ABC）-（90°-∠ACB）= （∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A， 即∠H=90°-α. 目 录 导 航 2 3 4 5 1 9 （5）如图5，在（3）（4）的基础上解决下列问题： ①试判断DP与EC之间的位置关系，并说明理由； ②试猜想∠E与α之间的数量关系，并说明理由； ③在△BHE中，若∠H=3∠E，求∠BAC的度数. 解：①DP∥EC. 理由如下：∵DP⊥PC，∴∠DPC=90°. ∵CP平分∠ACB，CE平分∠ACF，∴∠DCP=∠ACB，∠DCE=∠ACF， ∴∠PCE=∠DCP+∠DCE=（∠ACB+∠ACF）=×180°=90°， ∴∠DPC+∠PCE=180°，∴DP∥EC. 目 录 导 航 2 3 4 5 1 10 ②∠E=α. 理由如下： ∵CE平分∠ACF，BP平分∠ABC，∴∠ECF=∠ACF，∠PBC=∠ABC， ∴∠E=∠ECF-∠PBC=（∠ACF-∠ABC）=∠BAC，即∠E=α. ③∵BP平分∠ABC，BH平分∠MBC， ∴∠PBH=∠PBC+∠HBC=（∠ABC+∠MBC）=90°，∴∠H=90°-∠E. 又∠H=3∠E，∴90°-∠E=3∠E，解得∠E=22.5°，∴∠H=67.5°. 由（4）可知，∠H=90°-∠BAC，即67.5°=90°-∠BAC，∴∠BAC=45°. 目 录 导 航 2 3 4 5 1 11 【模型归纳】 目 录 导 航 2 3 4 5 1 【模型应用】 1. 【教材P17第9题改编】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC=140°，则∠A的度数为 （　　） A. 40° B. 90° C. 100° D. 140° C 目 录 导 航 2 3 4 5 1 2. 如图，在△ABC中，∠B=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，则∠D的度数为 （　　） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° D 目 录 导 航 2 3 4 5 1 14 3. 如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE平分∠ACD，交BO的延长线于点E，下列结论错误的是 （　　） A. ∠A=2∠E　 B. ∠BOC=3∠E C. ∠BOC=90°+∠A D. ∠BOC=90°+∠E B 目 录 导 航 2 3 4 5 1 15 4. 如图，F是△ABC的角平分线CD和BE的交点，CG⊥AB于点G，若∠ACG=32°，则∠BFC的度数为________. 119° 目 录 导 航 2 3 4 5 1 5. 【新趋势 规律探究题】如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线……若∠A=α，则∠A2 027=________. α 目 录 导 航 2 3 4 5 1 18 $