第13章 新趋势拉分练（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦三角形重心性质，从均匀三角形纸板悬挂平衡的物理现象导入，通过等底等高三角形面积相等的基础，逐步探究三条中线分六个小三角形面积关系，最终推导重心分中线比例，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以“综合与实践”活动为载体，通过问题链引导学生自主推理，体现数学眼光（几何直观观察图形）、数学思维（推理意识证明面积关系）。如设未知数证明六个小三角形面积相等，推导重心分中线1:2，培养学生探究能力，为教师提供结构化素养教学素材。

2026秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 第十三章　三角形 新趋势拉分练 活动　探究三角形重心的性质 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫作物体的重心.如图①，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你 经过下面的探索过程能得到答案. (1)如图②，AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD等 底等高，可以得到它们面积的大小关系为S△ABD S△ACD(填“＞”“＜”或“＝”). ＝　 (2)如图③，若△ABC的三条中线AD，BE，CF的交 点为G，则GD也是△GBC的中线，利用上述结论可 得S△GCD＝S△GBD，同理可得S△GBF＝S△GAF，S△GAE＝ S△GCE. 若设S△GCD＝x，S△GBF＝y，S△GAE＝z，探索 x，y，z之间的数量关系并加以证明. 解：(2)x＝y＝z，证明如下： ∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD. ∵S△GCD＝x，S△GBF＝y，S△GAE＝z，S△GCD＝ S△GBD，S△GBF＝S△GAF，S△GAE＝S△GCE，∴x＋2y＝x ＋2z. ∴y＝z.同理，S△BCE＝S△ABE，∴2x＋z＝2y＋z. ∴x＝y.∴x＝y＝z. 解：(2)x＝y＝z，证明如下： ∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD. ∵S△GCD＝x，S△GBF＝y，S△GAE＝z，S△GCD＝ S△GBD，S△GBF＝S△GAF，S△GAE＝S△GCE， ∴x＋2y＝x＋2z. ∴y＝z.同理，S△BCE＝S△ABE，∴2x＋z＝2y＋z. ∴x＝y.∴x＝y＝z. (3)如图③，△ABC被三条中线分成六个小三角形， 点G为△ABC的重心，求的值. 解：(3)由(2)可知，三条中线分成的六个三角形面积 相等，每个小三角形的面积是△ABC面积的， ∴2S△BGD＝S△ABG. ∴2GD＝AG. ∴＝. 解：(3)由(2)可知，三条中线分成的六个三角形面积 相等，每个小三角形的面积是△ABC面积的， ∴2S△BGD＝S△ABG. ∴2GD＝AG. ∴＝. (4)如图④，在△ABC中，点O是△ABC的重心.连接 BO，CO并延长，分别交AC，AB于点D，E. 若 BO⊥CO，BD＝6，CE＝9，直接利用上面的结论， 求四边形AEOD的面积. 解：(4)∵点O是△ABC的重心，∴由(3)可知＝ ＝2. ∵BD＝6，CE＝9，∴OD＝2，OB＝4，OE＝3， OC＝6. ∵BO⊥CO， ∴S△BCE＝CE·OB＝×9×4＝18， S△COD＝OC·OD＝×6×2＝6. ∴S△BCE＝S△ACE＝18. 解：(4)∵点O是△ABC的重心， ∴由(3)可知 ＝ ＝2. ∵BD＝6，CE＝9， ∴OD＝2，OB＝4，OE＝3，OC＝6. ∵BO⊥CO， ∴S△BCE＝CE·OB＝×9×4＝18， S△COD＝OC·OD＝×6×2＝6. ∴S△BCE＝S△ACE＝18. ∴S四边形AEOD＝S△ACE－S△COD＝18－6＝12. $