2.2 简谐运动的描述（导学案）物理人教版选择性必修第一册

该高中物理导学案聚焦简谐运动的描述，核心知识点涵盖振幅、周期、频率、相位的概念，简谐运动表达式及图像的相互转化。课堂导入通过播放傅科摆运动视频，结合“简谐运动位移与时间遵从正弦规律”的回顾，以问题链引导学生思考描述振动的物理量，搭建从概念理解到定量描述的学习支架。 资料特色在于融合自主预习与情景导学，通过实验探究周期与振幅、系统参数的关系，培养科学探究能力。利用表格对比振幅、位移、路程的差异深化物理观念，典例与变式题强化表达式与图像的转化，体现科学思维中的模型建构与科学推理，助力学生掌握简谐运动的周期性与对称性，提升应用能力。

2. 简谐运动的描述 导学案 1．知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义，理解周期和频率、圆频率的关系。 2．知道相位、初相位的概念，理解相位差的含义。 3．知道简谐运动的表达式及其各量的物理意义。 4．能依据简谐运动的表达式描绘图像，或根据简谐运动图像写出表达式。 1．弹簧振子往复运动特点，振幅、周期、频率概念。（重点） 2．弹簧振子位移 — 时间图像的绘制与图像信息解读。。（重点） 3．由振动图像归纳简谐运动周期性特征，辨析理想振动与实际振动差异。（难点） 【自主预习】 一、振幅、周期和频率 1．振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离。振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示，单位是米。振动物体运动的范围是振幅的两倍。 2．全振动 在图中，如果从振动物体向右通过O的时刻开始计时，则从O→M→O→M′→O，这样一个完整的振动过程称为一次全振动。不管以哪里作为开始研究的起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。 注意：完成一次全振动时，位移(x)、速度(v)同时与初始状态相同。 3．周期和频率 (1)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 (2)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示，f＝。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz，1 Hz＝1 s－1。 (3)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 (4)ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”。它也表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。 (5)所有简谐运动的周期均与其振幅无关。 二、相位、简谐运动的表达式 1．相位 (1)ωt＋φ 代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态，叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。 拓展：相位(ωt＋φ)相当于三角函数中的角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 (2)相位差：如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝φ1－φ2。此时，我们常说1的相位比2超前Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。 2．简谐运动的表达式 根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ0，可以知道做简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是x＝Asin。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。 一、描述简谐运动的物理量 【情景导学】播放视频：仔细观察傅科摆的运动，现实生活有很多物体的运动类似于简谐运动，思考如何描述简谐运动的这种独特性呢？ 知识回顾：什么样的运动叫做简谐运动？ 提示：简谐运动：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象（x—t图象）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。 物体做简谐运动的物体的位移x与运动时间t之间满足正弦函数关系，因此我们如何表达x与t的关系式？ 提示： 根据上述表达式，请你尝试说明A有什么物理意义？ 提示：弹簧振子偏离平衡位置的最大距离。 【生成知识一】 （一）振幅 1.定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。国际单位——米。 2.振幅是描述振动强弱的物理量，常用字母A表示; 请同学们思考一下振子振动范围的大小与振幅与振动能量的关系。 3.振子振动范围的大小是振幅的两倍——2A; 4.振幅的大小直接反映了振子振动能量(E=EK+EP)的高低。 【深化理解】 振幅 位移 路程 定义 振动物体离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 运动轨迹的长度 矢、标性 标量 矢量 标量 变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间做周期性变化 随时间增加 联系 (1)振幅等于位移最大值的数值；(2)振子在一个周期内的路程等于4个振幅；而振子在一个周期内的位移等于零。 【情景导学】请同学们阅读课文结合下图，回答什么是全振动？并回答若从振子向右经过某点p起，经过怎样的运动才叫完成一次全振动？ 请同学们阅读课文结合下图并总结什么是周期，什么是频率，并说明周期和频率间的关系？ 【生成知识二】 （二）周期、角速度 1.全振动 振动物体从某一初始状态开始，再次回到初始状态（即位移、速度均与初态完全相同）所经历的过程。 2.周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，称为周期T，单位：s。 3.频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作频率f，数值等于单位时间内完成的全振动的次数。单位：赫兹(Hz)。1Hz=1s-1。 4.意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大， 表示振动越快。 5.周期和频率的关系：Ｔ＝1/f。 对于正弦函数x=Asin(ωt+φ)，要使函数值循环变化一次，(ωt+φ)需要增加多少？这一变化过程所需的时间为多少？ 于是有：[ω(t+T)+φ]-(ωt+φ)=2π 由此解出： 根据周期与频率的关系，则：ω=2πf 6.ω是一个与周期成反比，与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”。它也表示简谐运动的快慢。 【情景导学】如图，弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球从平衡位置向下拉一段距离 A，放手让其运动，A 就是振动的振幅。给你一个停表，怎样测出振子的振动周期T？ 提示：用停表测出钢球完成 n 个全振动所用的时间 t， nt 就是振动的周期。n 的值取大一些可以减小测量误差。再把振幅减小为原来的一半，用同样的方法测量振动的周期。T=t/n 换用不同的弹簧和小球，你发现有何不同？ 实验结果： 1.振动周期与振幅大小无关。 2.振动周期与弹簧的劲度系数有关，劲度系数较大时，周期较小。 3.振动周期与振子的质量有关，质量较小时，周期较小。 结论：弹簧振子的周期由振动系统本身的质量和劲度系数决定，而与振幅无关，所以常把周期和频率叫做固有周期和固有频率。 【生成知识三】 （三）相位 1.定义：物理学中把(ωt+φ)叫作相位。其中φ是t=0时的相位，称作初相位或初相。 2.意义：是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在各个时刻所处的不同状态。 3.相位差：实际上经常用到的是两个相同频率的简谐运动的相位差，简称相差。 【典例1】(2025·北京市高二期中)如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10 cm。振子经过B点时开始计时，0.5 s后首次到达C点，下列说法正确的是(　　) A.振子的振动周期是0.5 s，振幅是10 cm B.B→O→C过程振子完成一次全振动 C.从B开始运动经过5 s，振子通过的路程是100 cm D.振子每次经过O点时速度都相同 【答案】　C 【解析】　振子从B首次运动到C的时间0.5 s等于半个周期，所以周期T=2×0.5 s=1 s，振幅A是振子离开平衡位置的最大距离，且B、C相距10 cm，则振幅A= cm=5 cm，故A错误；一次全振动是振子完成一次完整的往复运动，从B→O→C→O→B才是一次全振动，故B错误；一个周期振子运动4A路程，故从B开始运动经过5 s，振子通过的路程是s=×4A=100 cm，故C正确；振子每次经过O点时，速度大小相等，但方向可能不同(从B到C经过O点时速度方向向右，从C到B经过O点时速度方向向左)，所以速度不一定相同，故D错误。 【变式1】一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　) A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm B.质点经过每1 s通过的路程总是2 cm C.0~3 s内，质点通过的路程为6 cm D.t=3 s时，质点的振幅为零 【答案】　C 【解析】　由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s内即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t=0时质点在正向最大位移处，0~3 s为T，则质点通过的路程为3A=6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t=3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误。 二、简谐运动的表达式与图像 【导学】请同学们根据简谐运动的表达式，回答各个字母的物理意义以及公式变换方式说明弹簧振子从平衡位置运动和从最大位移开始运动的表达式。 【生成知识四】 （四）简谐运动的表达式：两种特殊位置计时： 平衡位置处开始计时： 最大位移处开始计时 【导学】如图所示为一做简谐运动质点的振动图像,则: (1)通过图像可以得到哪些物理量? (2)能否用简谐运动表达式表示x与t的变化关系? 要点提示： (1)根据图像可以直接得出振幅、周期、 振动物体在各个时刻的位移等。 (2)能。可以得到表达式为 【深化理解】简谐运动两种描述方法的比较 (1)简谐运动图像,即x-t图像是表示质点振动情况的一种手段,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。 (2)x=Asin(ωt+φ0)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。 两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的。我们能够做到两个方面:一是根据振动方程作出振动图像,二是根据振动图像读出振幅、周期、初相,进而写出位移的函数表达式。 【典例2】　(多选)一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin (2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为s。则(　　) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t=0.2 s时，振子的运动速度为零 D.若另一弹簧振子B的位移y随时间t变化的关系式为y=0.2sin，则A的相位落后B的相位 【答案】　CD 【解析】　由振动方程为y=0.1sin(2.5πt)，可读出振幅A=0.1 m，圆频率ω=2.5π rad/s，故周期T== s=0.8 s，故A、B错误；在t=0.2 s时，振子的位移最大，故运动速度为零，故C正确；两振动的相位差Δφ=φ2-φ1=2.5πt+-2.5πt=，即B的相位超前A的相位，或者说A的相位落后B的相位，故D正确。 【变式2】根据如图所示弹簧振子的振动图像回答下列问题： (1)将位移随时间的变化规律写成x＝Asin(ωt＋φ)的形式，并指出振动的初相位。 (2)分别求出t1＝0.5 s时和t2＝1.5 s时振子相对平衡位置的位移。 [答案]　(1)x＝10sin cm　 (2)5 cm　－5 cm [解析]　(1)由题图知，A＝10 cm，T＝4 s，ω＝＝ rad/s，φ＝ 则弹簧振子位移随时间的变化规律为 x＝Asin(ωt＋φ)＝10sin cm 振动的初相位是。 (2)振子的振动方程为x＝10sin cm 则t1＝0.5 s时，振子相对平衡位置的位移 x1＝10sin cm＝5 cm 则t2＝1.5 s时，振子相对平衡位置的位移 x2＝10sin cm＝－5 cm。 三、简谐运动的周期性与对称性 【深化点拨】 1．简谐运动的对称性 (1)瞬时量的对称性：振动质点连续两次通过同一点时，位移相同，速度的大小相等，方向相反；振动质点经过关于平衡位置对称的两点时，位移大小相等，方向相反，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；振动质点通过关于平衡位置对称的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图所示。 2．简谐运动的周期性 (1)若t2－t1＝nT(n为正整数)，则t1、t2两时刻，振动物体在同一位置，运动情况相同。 (2)若t2－t1＝nT＋T(n为自然数)，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x，a，v)均大小相等，方向相反。 (3)若t2－t1＝nT＋T(n为自然数)或t2－t1＝nT＋T(n为自然数)，则当t1时刻物体在最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处要视具体情况而定。 【典例3】如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子经过a、b两点时的速度相同，若它从a经O到b历时0.2 s，然后从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为(　　) A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz [答案]　B [解析]　振子经过a、b两点时的速度相同，根据弹簧振子的运动特点，可知a、b两点相对平衡位置O一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0.2 s，由于“从b再回到a的最短时间为0.4 s”，即振子运动到b后第一次回到a点所用时间为0.4 s，且Ob不是振子的振动过程中相对平衡位置的最大位移。设图中的c、d点为振动过程中相对平衡位置的最大位移处，则振子从b经c到b历时0.2 s，同理，振子从a经d到a也历时0.2 s，故该振子的周期T＝0.8 s，根据周期和频率互为倒数的关系，就可以确定该振子的振动频率为1.25 Hz，B正确。 课堂小结： 一、单选题 1．一质点做简谐运动的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin（5πt）m，则（　 　） A．该质点振动的振幅为0.4m B．该质点振动的周期为0.4s C．该质点振动的频率为5Hz D．在t=0.2s时，该质点的运动速度为零 【答案】B 【详解】ABC．由质点的位移x随时间t变化的关系式可知 所以，该质点的振动周期为 振动频率为 故A、C错误，B正确； D．在t=0.2s时，质点的位移为 即该质点位于平衡位置，速度最大，故D错误。 故选B。 2．如图是一质点做简谐运动的图像，由图可知（　　） A．振动的振幅是4cm B．振动的周期是5s C．3s时刻质点的位移是0 D．5s时刻质点向正方向振动 【答案】C 【详解】A．振动的振幅是2cm，A错误； B．振动的周期是4s，B错误； C．3s时刻质点的位移是0，C正确； D．根据周期性，5s时刻质点与1s时刻相同向负方向振动，D错误。 故选C。 3．物体A做简谐运动的振动方程是，物体B做简谐运动的振动方程是。比较A、B的运动，下列说法正确的是（　　） A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s C．A振动的频率fA大于B振动的频率fB D．B的相位滞后A的相位 【答案】D 【详解】A．振幅是标量，A、B的振幅分别为3m、5m，故A错误； B．周期是标量，A、B的周期均为 故B错误； C．因为 故 故C错误； D．A的相位始终超前B的相位 故D正确。 故选D。 4．如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球偏离平衡位置的最大距离为20cm B．末到末小球的路程为40cm C．末和末小球的运动方向相同 D．小球在内完成一次往复性运动 【答案】B 【详解】A．由图像可知，小球偏离平衡位置的最大距离为A=10cm，选项A错误；     B．1s末到5s末即经过一个周期小球的路程为 s=4A=40cm 选项B正确； C．由图像可知，2s末和4s末小球的运动方向相反，选项C错误； D．小球振动周期为4s，则在4s内完成一次往复性运动，选项D错误。 故选B。 5．如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的图像。下列说法正确的是（　　） A．振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动 B．图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向 C．振子的振动方程为 D．振子在1.5s时的位移为0.1m 【答案】B 【详解】A．振子从C点经过O点运动到B点，然后再经过O点到A点为一次全振动，选项A错误； B．有振动图像可知，图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向，选项B正确； C．振子的振幅0.1m， 则振动方程为，选项C错误； D．振子在1.5s时的位移为-0.1m，选项D错误。 故选B。 6．有一弹簧振子的振动图像如图所示，则它的振动方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题图读出振幅A=2cm=0.02m，振动周期为T=4s，则振动角速度为，初相位。根据位移表达式可得 故选D。 7．如图所示为某质点沿x轴做简谐运动的图像，根据图像可知该质点（　　） A．在任意1s内通过的路程相同 B．在第2s末和第4s末的速度相同 C．在第3s内所受回复力沿x轴正方向 D．在第2s内位移方向与瞬时速度方向相同 【答案】C 【详解】A．由题图可知周期为，在任意1s内，即任意的内，如果初始位置处于平衡位置或最大位移处，则质点通过的路程等于一个振幅，初始位置在其它位置时，则质点通过的路程不等于一个振幅，故A错误； B．由题图可知在第2s末和第4s末的速度大小相等，方向相反，故B错误； C．由题图可知在第3s内位移沿x轴负方向，根据可知，所受回复力沿x轴正方向，故C正确； D．由题图可知在第2s内位移方向沿x轴正方向，瞬时速度方向沿x轴负方向，故D错误。 故选C。 8．并列悬挂的的两个弹簧振子如图甲所示，分别以振子A、B的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立y轴，当振子在振动过程中某次经过平衡位置时开始计时，两振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．两振子的振动频率之比为fA：fB = 2：1 B．振子A 速度为零时，振子B速度最大 C．任意0.5s内，A、B两振子运动的路程相等 D．0.5s~1s内，振子A 向下振动，振子B先向上振动后向下振动 【答案】B 【详解】A．由乙图可知，两振子的周期分别为， 由可知，，A错误； B．由乙图可知，振子A 速度为零时，振子B处于平衡位置，速度最大，B正确； C．由可知，振子B在任意0.5s内路程均为两倍振幅10cm；由可知，振子A若在平衡位置或最大位移处计时，在0.5s时间内位移为10cm，若从其它位置计时，在0.5s时间内经过平衡位置，则平均速度较大，路程大于10cm，若在0.5s时间内经过最大位移处，则平均速度较小，路程小于10cm，C错误； D．由乙图可知，0.5s~1s内，振子A 向下振动，振子B先向下振动后向上振动，D错误。 故选B。 9．如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，则P做简谐运动的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为 由图可知，当时，P的位移为，代入振动方程解得 则P做简谐运动的表达式为，根据公式画出图像应为A图像。 故选A。 二、多选题 10．如图所示为一弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子的周期为6s B．该弹簧振子的振幅为5cm C．该弹簧振子在前20s的总路程是1m D．该弹簧振子在前20s的总位移是0.05m 【答案】BC 【详解】AB．由题图振动图像可得，弹簧振子的振幅为 该弹簧振子的周期为 故A错误，B正确； CD．前20s经过了 个周期，则位移为 总路程为 故C正确，D错误。 故选BC。 11．如图所示为甲、乙两个简谐运动的振动图像，它们的周期和振幅均相同，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的圆频率均为 B．甲、乙的圆频率均为 C．甲的相位比乙落后 D．甲的相位比乙落后 【答案】BC 【详解】AB．甲、乙的周期相同，由图可知，周期 故甲、乙的圆频率均为，故A错误，B正确； CD．由图可知，甲的振动方程为 设乙的振动方程为 则有 得 故甲、乙的相位差为，即甲的相位比乙落后，故C正确，D错误。 故选BC。 三、解答题 12．图甲所示一弹簧振子在M、N之间做简谐运动，已知M、N间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向，从滑块经过O点向右运动时开始计时。求： (1)弹簧振子的振动周期； (2)在图乙中画出振子在第一个周期内的x-t图像； (3)写出振子位移随时间变化的关系式。 【答案】(1)0.2s (2) (3) 【详解】（1）振子在2s内完成了10次全振动，则周期 （2）题意易知振幅A=10cm，从滑块经过O点向右运动时开始计时，故t=0时刻，位移是0，经周期振子的位移为正向最大，再经周期振子的位移为0，依次类推，可得图像如下 （3）因为周期为0.2s，故 且滑块经过O点向右运动时开始计时，可知初相位为0，故写出振子位移随时间变化的关系式 13．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，B、C之间的距离为25 cm，取向右为正方向。t = 0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t = 0.2 s时，振子速度第一次变为−v；在t = 0.5 s时，振子速度第二次变为−v。求： (1)弹簧振子振动周期T；振子在4.0 s内通过的路程s； (2)从平衡位置计时，经振子的加速度负向最大，写出弹簧振子位移表达式。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）弹簧振子简谐运动示意图如图所示 由对称性可得弹簧振子振动周期为 由于B、C之间距离为25 cm，则振幅为 由于 则振子4.0 s内通过的路程为 （2）从平衡位置计时，经振子的加速度负向最大，可知t = 0时刻振子向正方向振动，则弹簧振子位移表达式为 其中 ， 可得 14．一位游客在永定龙湖边欲乘游船体验美景，当日风浪较大，游船上下浮动。若把游船的上下浮动简化为竖直方向的简谐运动，已知该简谐运动的振幅为，周期为。当游船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。只要甲板与码头地面的高度差不超过，游客都能舒适地登船。现在以游船刚好上升到甲板与码头地面平齐为计时起点。求： (1)甲板与码头地面的最大高度差； (2)游船做简谐运动的振动方程； (3)在的时间里，游客能舒适地登船的总时间。 【答案】(1)60cm (2) (3)20s 【详解】（1）甲板与码头地面的最大高度差 （2）由于从最高点开始计时，设游船做简谐运动的振动方程为 其中， 联立解得 （3）当时，代入上式可解得，故一个内游客有时间可以舒适登船，由于，可知内游客可以舒适登船的总时间为 简谐运动两类典型问题的解题思路 (1)根据表达式画振动图像 ①根据x＝Asin(ωt＋φ0)找出振幅A和振动周期T＝。 ②令t＝0，找出初始时刻的位移x(x的正、负要有明确表示)，并根据表达式判断此后极短时间内x的变化。 ③选好标度，作出正弦函数图像。 (2)根据振动图像写表达式 ①从振动图像中找出振幅A和周期T，ω＝。 ②根据t＝0时的位移求出初相φ0，即x0＝Asinφ0。根据三角函数的周期性，一般在区间[0，2π)内或(－π，π]内求φ0，而且通常需要根据t＝0前后极短时间内x的变化，排除2个可能解中的一个。 ③把A、ω、φ0代入表达式x＝Asin(ωt＋φ0)即可。 注：a.有的题目给出振动表达式而不要求画振动图像，但可以通过画振动图像从而更直观地分析问题；b.有的题目给出振动图像而不要求写振动表达式，但可以借助表达式进行定量计算。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 x=2sincm。 $ 2. 简谐运动的描述 导学案 1．知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义，理解周期和频率、圆频率的关系。 2．知道相位、初相位的概念，理解相位差的含义。 3．知道简谐运动的表达式及其各量的物理意义。 4．能依据简谐运动的表达式描绘图像，或根据简谐运动图像写出表达式。 1．弹簧振子往复运动特点，振幅、周期、频率概念。（重点） 2．弹簧振子位移 — 时间图像的绘制与图像信息解读。。（重点） 3．由振动图像归纳简谐运动周期性特征，辨析理想振动与实际振动差异。（难点） 【自主预习】 一、振幅、周期和频率 1．振幅 振动物体离开平衡位置的 。振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示，单位是米。振动物体运动的范围是振幅的 倍。 2．全振动 在图中，如果从振动物体向右通过O的时刻开始计时，则从O→M→O→M′→O，这样一个 的振动过程称为一次全振动。不管以哪里作为开始研究的起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是 。 注意：完成一次全振动时，位移(x)、速度(v)同时与初始状态相同。 3．周期和频率 (1)周期：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是 (s)。 (2)频率：物体完成全振动的次数与 之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成 的次数，用f表示，f＝ 。在国际单位制中，频率的单位是 ，简称赫，符号是Hz，1 Hz＝1 。 (3)周期和频率都是表示物体 的物理量，周期越小，频率越大，表示振动 。 (4)ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“ ”。它也表示简谐运动的快慢，ω＝＝ 。 (5)所有简谐运动的周期均与其振幅 。 二、相位、简谐运动的表达式 1．相位 (1) 代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个 ，叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作初相位，或 。 拓展：相位(ωt＋φ)相当于三角函数中的角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 (2)相位差：如果两个简谐运动的频率 ，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝ 。此时，我们常说1的相位比2 Δφ，或者说2的相位比1 Δφ。 2．简谐运动的表达式 根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ0，可以知道做简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是x＝ 。 、 、 是描述简谐运动特征的物理量。 一、描述简谐运动的物理量 【情景导学】播放视频：仔细观察傅科摆的运动，现实生活有很多物体的运动类似于简谐运动，思考如何描述简谐运动的这种独特性呢？ 知识回顾：什么样的运动叫做简谐运动？ 提示：简谐运动：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象（x—t图象）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。 物体做简谐运动的物体的位移x与运动时间t之间满足正弦函数关系，因此我们如何表达x与t的关系式？ 提示： 根据上述表达式，请你尝试说明A有什么物理意义？ 提示：弹簧振子偏离平衡位置的最大距离。 【生成知识一】 （一）振幅 1.定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。国际单位——米。 2.振幅是描述振动强弱的物理量，常用字母A表示; 请同学们思考一下振子振动范围的大小与振幅与振动能量的关系。 3.振子振动范围的大小是振幅的两倍——2A; 4.振幅的大小直接反映了振子振动能量(E=EK+EP)的高低。 【深化理解】 振幅 位移 路程 定义 振动物体离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 运动轨迹的长度 矢、标性 标量 矢量 标量 变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间做周期性变化 随时间增加 联系 (1)振幅等于位移最大值的数值；(2)振子在一个周期内的路程等于4个振幅；而振子在一个周期内的位移等于零。 【情景导学】请同学们阅读课文结合下图，回答什么是全振动？并回答若从振子向右经过某点p起，经过怎样的运动才叫完成一次全振动？ 请同学们阅读课文结合下图并总结什么是周期，什么是频率，并说明周期和频率间的关系？ 【生成知识二】 （二）周期、角速度 1.全振动 振动物体从某一初始状态开始，再次回到初始状态（即位移、速度均与初态完全相同）所经历的过程。 2.周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，称为周期T，单位：s。 3.频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作频率f，数值等于单位时间内完成的全振动的次数。单位：赫兹(Hz)。1Hz=1s-1。 4.意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大， 表示振动越快。 5.周期和频率的关系：Ｔ＝1/f。 对于正弦函数x=Asin(ωt+φ)，要使函数值循环变化一次，(ωt+φ)需要增加多少？这一变化过程所需的时间为多少？ 于是有：[ω(t+T)+φ]-(ωt+φ)=2π 由此解出： 根据周期与频率的关系，则：ω=2πf 6.ω是一个与周期成反比，与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”。它也表示简谐运动的快慢。 【情景导学】如图，弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球从平衡位置向下拉一段距离 A，放手让其运动，A 就是振动的振幅。给你一个停表，怎样测出振子的振动周期T？ 提示：用停表测出钢球完成 n 个全振动所用的时间 t， nt 就是振动的周期。n 的值取大一些可以减小测量误差。再把振幅减小为原来的一半，用同样的方法测量振动的周期。T=t/n 换用不同的弹簧和小球，你发现有何不同？ 实验结果： 1.振动周期与振幅大小无关。 2.振动周期与弹簧的劲度系数有关，劲度系数较大时，周期较小。 3.振动周期与振子的质量有关，质量较小时，周期较小。 结论：弹簧振子的周期由振动系统本身的质量和劲度系数决定，而与振幅无关，所以常把周期和频率叫做固有周期和固有频率。 【生成知识三】 （三）相位 1.定义：物理学中把(ωt+φ)叫作相位。其中φ是t=0时的相位，称作初相位或初相。 2.意义：是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在各个时刻所处的不同状态。 3.相位差：实际上经常用到的是两个相同频率的简谐运动的相位差，简称相差。 【典例1】(2025·北京市高二期中)如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10 cm。振子经过B点时开始计时，0.5 s后首次到达C点，下列说法正确的是(　　) A.振子的振动周期是0.5 s，振幅是10 cm B.B→O→C过程振子完成一次全振动 C.从B开始运动经过5 s，振子通过的路程是100 cm D.振子每次经过O点时速度都相同 【变式1】一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　) A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm B.质点经过每1 s通过的路程总是2 cm C.0~3 s内，质点通过的路程为6 cm D.t=3 s时，质点的振幅为零 二、简谐运动的表达式与图像 【导学】请同学们根据简谐运动的表达式，回答各个字母的物理意义以及公式变换方式说明弹簧振子从平衡位置运动和从最大位移开始运动的表达式。 【生成知识四】 （四）简谐运动的表达式：两种特殊位置计时： 平衡位置处开始计时： 最大位移处开始计时 【导学】如图所示为一做简谐运动质点的振动图像,则: (1)通过图像可以得到哪些物理量? (2)能否用简谐运动表达式表示x与t的变化关系? 要点提示： (1)根据图像可以直接得出振幅、周期、 振动物体在各个时刻的位移等。 (2)能。可以得到表达式为 【深化理解】简谐运动两种描述方法的比较 (1)简谐运动图像,即x-t图像是表示质点振动情况的一种手段,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。 (2)x=Asin(ωt+φ0)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。 两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的。我们能够做到两个方面:一是根据振动方程作出振动图像,二是根据振动图像读出振幅、周期、初相,进而写出位移的函数表达式。 【典例2】　(多选)一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin (2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为s。则(　　) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t=0.2 s时，振子的运动速度为零 D.若另一弹簧振子B的位移y随时间t变化的关系式为y=0.2sin，则A的相位落后B的相位 【变式2】根据如图所示弹簧振子的振动图像回答下列问题： (1)将位移随时间的变化规律写成x＝Asin(ωt＋φ)的形式，并指出振动的初相位。 (2)分别求出t1＝0.5 s时和t2＝1.5 s时振子相对平衡位置的位移。 三、简谐运动的周期性与对称性 【深化点拨】 1．简谐运动的对称性 (1)瞬时量的对称性：振动质点连续两次通过同一点时，位移相同，速度的大小相等，方向相反；振动质点经过关于平衡位置对称的两点时，位移大小相等，方向相反，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；振动质点通过关于平衡位置对称的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图所示。 2．简谐运动的周期性 (1)若t2－t1＝nT(n为正整数)，则t1、t2两时刻，振动物体在同一位置，运动情况相同。 (2)若t2－t1＝nT＋T(n为自然数)，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x，a，v)均大小相等，方向相反。 (3)若t2－t1＝nT＋T(n为自然数)或t2－t1＝nT＋T(n为自然数)，则当t1时刻物体在最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处要视具体情况而定。 【典例3】如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子经过a、b两点时的速度相同，若它从a经O到b历时0.2 s，然后从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为(　　) A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz 课堂小结： 一、单选题 1．一质点做简谐运动的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin（5πt）m，则（　 　） A．该质点振动的振幅为0.4m B．该质点振动的周期为0.4s C．该质点振动的频率为5Hz D．在t=0.2s时，该质点的运动速度为零 2．如图是一质点做简谐运动的图像，由图可知（　　） A．振动的振幅是4cm B．振动的周期是5s C．3s时刻质点的位移是0 D．5s时刻质点向正方向振动 3．物体A做简谐运动的振动方程是，物体B做简谐运动的振动方程是。比较A、B的运动，下列说法正确的是（　　） A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s C．A振动的频率fA大于B振动的频率fB D．B的相位滞后A的相位 4．如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球偏离平衡位置的最大距离为20cm B．末到末小球的路程为40cm C．末和末小球的运动方向相同 D．小球在内完成一次往复性运动 5．如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的图像。下列说法正确的是（　　） A．振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动 B．图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向 C．振子的振动方程为 D．振子在1.5s时的位移为0.1m 6．有一弹簧振子的振动图像如图所示，则它的振动方程是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示为某质点沿x轴做简谐运动的图像，根据图像可知该质点（　　） A．在任意1s内通过的路程相同 B．在第2s末和第4s末的速度相同 C．在第3s内所受回复力沿x轴正方向 D．在第2s内位移方向与瞬时速度方向相同 8．并列悬挂的的两个弹簧振子如图甲所示，分别以振子A、B的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立y轴，当振子在振动过程中某次经过平衡位置时开始计时，两振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．两振子的振动频率之比为fA：fB = 2：1 B．振子A 速度为零时，振子B速度最大 C．任意0.5s内，A、B两振子运动的路程相等 D．0.5s~1s内，振子A 向下振动，振子B先向上振动后向下振动 9．如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，则P做简谐运动的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 10．如图所示为一弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子的周期为6s B．该弹簧振子的振幅为5cm C．该弹簧振子在前20s的总路程是1m D．该弹簧振子在前20s的总位移是0.05m 11．如图所示为甲、乙两个简谐运动的振动图像，它们的周期和振幅均相同，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的圆频率均为 B．甲、乙的圆频率均为 C．甲的相位比乙落后 D．甲的相位比乙落后 三、解答题 12．图甲所示一弹簧振子在M、N之间做简谐运动，已知M、N间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向，从滑块经过O点向右运动时开始计时。求： (1)弹簧振子的振动周期； (2)在图乙中画出振子在第一个周期内的x-t图像； (3)写出振子位移随时间变化的关系式。 13．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，B、C之间的距离为25 cm，取向右为正方向。t = 0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t = 0.2 s时，振子速度第一次变为−v；在t = 0.5 s时，振子速度第二次变为−v。求： (1)弹簧振子振动周期T；振子在4.0 s内通过的路程s； (2)从平衡位置计时，经振子的加速度负向最大，写出弹簧振子位移表达式。 14．一位游客在永定龙湖边欲乘游船体验美景，当日风浪较大，游船上下浮动。若把游船的上下浮动简化为竖直方向的简谐运动，已知该简谐运动的振幅为，周期为。当游船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。只要甲板与码头地面的高度差不超过，游客都能舒适地登船。现在以游船刚好上升到甲板与码头地面平齐为计时起点。求： (1)甲板与码头地面的最大高度差； (2)游船做简谐运动的振动方程； (3)在的时间里，游客能舒适地登船的总时间。 简谐运动两类典型问题的解题思路 (1)根据表达式画振动图像 ①根据x＝Asin(ωt＋φ0)找出振幅A和振动周期T＝。 ②令t＝0，找出初始时刻的位移x(x的正、负要有明确表示)，并根据表达式判断此后极短时间内x的变化。 ③选好标度，作出正弦函数图像。 (2)根据振动图像写表达式 ①从振动图像中找出振幅A和周期T，ω＝。 ②根据t＝0时的位移求出初相φ0，即x0＝Asinφ0。根据三角函数的周期性，一般在区间[0，2π)内或(－π，π]内求φ0，而且通常需要根据t＝0前后极短时间内x的变化，排除2个可能解中的一个。 ③把A、ω、φ0代入表达式x＝Asin(ωt＋φ0)即可。 注：a.有的题目给出振动表达式而不要求画振动图像，但可以通过画振动图像从而更直观地分析问题；b.有的题目给出振动图像而不要求写振动表达式，但可以借助表达式进行定量计算。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 x=2sincm。 $