2.3 简谐运动的回复力和能量（导学案）物理人教版选择性必修第一册

该高中物理导学案聚焦简谐运动的回复力和能量，引导学生明确回复力的概念、特点及表达式F=-kx，掌握简谐运动的动力学特征，理解动能与势能的转化规律及机械能守恒。通过情景导学观察弹簧振子运动，结合自主预习问题支架，衔接振动图像、周期性等前置知识，构建从现象到规律的学习脉络。 以弹簧振子为核心模型，通过问题导学和任务驱动，引导学生从动力学和能量双视角分析位移、回复力等物理量变化，典例与变式练习注重模型建构和科学推理，培养运动与相互作用观念、能量观念，提升科学探究能力和解决实际问题的思维。

3. 简谐运动的回复力和能量 导学案 1．明确回复力的概念和特点，掌握简谐运动的动力学特征。 2．知道简谐运动中动能和势能之和不变，且其大小与振幅有关。 3．会应用动力学、能量观点分析简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等各物理量的变化规律。 1．弹簧振子往复运动规律及核心物理量。（重点） 2．x-t 振动图像绘制与信息解读。（重点） 3．依托振动图像提炼简谐运动周期性，区分理想与实际振动。（难点） 【自主预习】 一、简谐运动的回复力 1．回复力的定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力。 2．回复力的作用：总是要把振子拉回到平衡位置。 注意：回复力是根据力的效果命名的，它可能由几个力的合力、某个力或某个力的分力提供。回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。 3．简谐运动回复力的表达式：F＝－kx，即回复力的大小与物体的位移大小成正比，“－”号表示回复力与位移方向始终相反。k是常数，对于弹簧振子，k为弹簧的劲度系数。 4．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 二、简谐运动的能量 1．振动系统(水平弹簧振子)的状态与能量的对应关系：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，系统的动能与势能之和一定，遵守机械能守恒定律。而实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的模型。 3．对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。 一、简谐运动的回复力 【情景导学】观察弹簧振子的运动，并尝试做出以下8个时刻小球的合力和位移方向？ 弹簧振子的合力有什么特点？ （1）方向：F合的方向总是指向平衡位置，总与位移方向相反。 （2）作用效果：F合的作用效果“总想”把小球拉回平衡位置。 （3）大小：弹簧振子所受的合力F与振子位移X的大小成正比。 【生成知识一】 （一）简谐运动的回复力 1.定义:使振子回到平衡位置的力。 2.来源：回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力);可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力. 3.大小: F=-kx ---表示回复力方向始终与位移方向相反。 4.方向: 总是指向平衡位置。 5.平衡位置： F回 = 0 6.简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。 即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 【问题导学】判断简谐运动的方法有哪些？ 方法总结：（1）x-t图像为正弦曲线 （2）回复力满足 F=-kx的形式 【任务导学】 请总结位移大小、速度大小、回复力大小在以下时刻或过程的变化情况？ 【答案】 【典例1】(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　) A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C.小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置 【答案】AD 【解析】弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确。 【变式1】　(多选)如图所示，物体m系在两水平轻质弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1=k，k2=2k，两弹簧均处于自然伸长状态，现向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计摩擦和空气阻力)，O为平衡位置，x为物体相对O的位移，则下列判断正确的是(　　) A.m做简谐运动，OC=OB B.m做简谐运动，OC≠OB C.回复力F=-kx D.回复力F=-3kx 【答案】　AD 【解析】　以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受回复力：F=-(k1x+k2x)=-3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC=OB，故A、D正确。 二、简谐运动的能量 【导学】如图所示的弹簧振子运动过程中弹簧振子的速度是不断变化的，所以它的动能也是不断变化的；弹簧的伸长量和压缩量也是不断变化的，所以它的弹性势能也是不断变化的。那么弹簧振子的能量变化具有什么规律呢？ 能量变化关系 总结简谐运动能量变化特点？ 【生成知识二】 （二）简谐运动的能量 1.简谐运动中动能和势能相互转化，但机械能总量不变，即机械能守恒，是理想化模型。 2.简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。 3.物体在做简谐运动时的Ek-t和Ep-t及E-t图象 【问题导学】总结简谐运动有哪些规律？（按照以下的提示回答问题） 1.两个特殊位置 最大位移处：x、F、a、Ep最大，v、Ek为零； 平衡位置处：x、F、a、Ep为零，v、Ek最大. 2.各个物理量间的关系 3.对称性 关于平衡位置的对称点： （1）x、F回、a大小相同，方向相反；动能、势能相同。 （2）v大小相同，方向不一定。 4.周期性 （1）相距nT的两个时刻，振子的振动情况完全相同。x、F回、a、v大小相等方向相同，动能和势能相同。 （2）相距的两个时刻，振子的振动情况完全相反x 、F回、 v 、a 等大反向，动能和势能相同 【生成知识三】 （三）简谐运动的规律 以水平弹簧振子为例，如图所示，振子以O为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为： 物理量 变化规律 运动过程 A→O O→B B→O O→A 位移 大小 减小 增大 减小 增大 方向 O→A O→B O→B O→A 回复力、 加速度 大小 减小 增大 减小 增大 方向 A→O B→O B→O A→O 速度 大小 增大 减小 增大 减小 方向 A→O O→B B→O O→A 动能 增大 减小 增大 减小 势能 减小 增大 减小 增大 总结：(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反。 (2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点。 (3)最大位移处是速度方向变化的转折点。 【典例2】(2025·哈尔滨市高二期中)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它以O为平衡位置在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　　) A.小球在O位置时，动能最小，加速度最大 B.小球在A、B位置时，动能最小，回复力最大 C.小球从A经O的过程中，加速度变小，振幅变小 D.小球从B到O的过程中，动能增大，势能减小，总能量变小 【答案】　B 【解析】　小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能最小，动能最大，位移为零，加速度为零，故A错误；小球在最大位移处A、B位置时，速度为零，动能为零，回复力最大，则加速度最大，故B正确；小球从A到O的过程中，位移减小，加速度减小，振幅为偏离平衡位置的最大距离，不随运动过程变化，故C错误；小球从B到O的过程中，速度增大，动能增大，势能减小，但总能量不变，故D错误。 【变式2】如图所示，A、B两个物体与水平轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。 (1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化？振幅有什么变化？ (2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化？振幅有什么变化？ 【解析】(1)在M点时，系统的动能为零，弹性势能最大，拿走A物体后，振动系统的最大弹性势能不变，总能量不变，最大动能不发生变化，振幅也不发生变化。 (2)在O点时弹簧弹性势能为零，振动系统的动能最大，拿走A物体后，振动系统的最大动能减小，总能量减小，最大弹性势能将减小，振幅将变小。 课堂小结： 1．如图甲所示，某物理兴趣小组利用橡皮槌轻敲音叉演示简谐运动。如图乙所示，取叉臂上某质点来分析，其以O点为中心，在B、C之间做周期性的往返运动。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（     ） A．该质点的运动是匀变速运动 B．该质点到达C点时，具有向右的加速度 C．该质点在O点时的速度最大 D．该质点由B往C运动时，速度先减小后增大 【答案】C 【详解】A．质点做简谐运动，根据简谐运动回复力公式有 根据牛顿第二定律有 联立解得 由于质点的位移随时间不断变化，可知质点的加速度随时间不断变化，则该质点的运动为非匀变速运动，故A错误； B．质点到达点时，质点的位移方向向右，产生的回复力方向向左，根据牛顿第二定律可知质点具有向左的加速度，故B错误； C．点为平衡位置，质点在点时回复力为零，加速度为零，此时质点的速度达到最大值，故C正确； D．质点由往运动时，质点先靠近平衡位置后远离平衡位置，回复力先做正功后做负功，可知质点的速度先增大后减小，故D错误。 故选C。 2．如图甲、乙所示，将完全相同的弹簧振子分别放在水平和倾斜的木板上，两图中小球位于A点时，弹簧均处于原长状态，图甲中小球从某位置由静止释放，小球经过B点时的速度为零，图乙中小球从A点由静止释放，点为平衡位置，小球经过点时的速度为零，且，不考虑一切摩擦，则下列说法正确的是（　　） A．两图中，均由弹簧弹力提供小球振动的回复力 B．图甲中，小球从A点向B点的运动过程中，小球的加速度先减小后增大 C．两图中，小球振动时的机械能均守恒 D．图甲中小球的最大动能大于图乙中小球的最大动能 【答案】D 【详解】A．图甲中，由弹簧弹力提供小球振动的回复力，图乙中，由弹簧弹力与重力的分力的合力提供小球振动的回复力，故A错误； B．在图甲中，A点是平衡位置，从A点到B点的运动过程中，回复力一直增大，加速度一直增大，故B错误； C．图甲和图乙中，振子做简谐振动，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故C错误； D．由弹簧振子的分析可知，图甲的振幅是图乙的振幅的两倍，回复力的比例常数一样，振幅越大，弹簧振子的能量越高，小球的最大动能越大，故D正确。 故选D。 3．如图所示是竖直方向的弹簧振子在0~0.4s内做简谐运动的图像，由图像可知    （　　） A．在0.25~0.3s内，弹簧振子受到的回复力越来越小 B．t＝0.7s时刻，弹簧振子的速度最大 C．系统的动能和势能相互转化的周期为0.4 s D．系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s 【答案】D 【详解】A．在0.25~0.30s内，弹簧振子的位移越来越大，受到的回复力越来越大，A错误； B．振动的周期为0.4s，弹簧振子在0.7s时刻的位移最大，速度为零，B错误； CD．动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐运动的周期的一半，所以系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s，C错误，D正确。 故选D。 4．如图甲所示，在轻质弹簧下端挂上手机组成振动装置，同时用手机的加速度传感器记录手机的振动情况。以竖直向上为正方向，某段时间内其加速度a随时间t变化的曲线为余弦曲线，如图乙所示。已知手机的质量，弹簧的劲度系数，不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．时，手机的回复力为5N B．时，手机向下运动 C．0~0.25s内手机的动能先减小后增大 D．弹簧的最大形变量为20cm 【答案】D 【详解】A．由得，时刻手机的回复力为1.5N，故A错误； B．内，手机从最低点运动到平衡位置，故时手机向上运动，故B错误； C．0~0.25s内手机从最低点一直向上运动，速度先增大后减小，故动能先增大后减小。其中时到达平衡位置，速度达到最大值，动能达到最大值，之后向上做减速运动，速度减小，动能减小，故C错误； D．手机到达最低点时弹簧的形变量最大，加速度为，由 解得弹簧的最大形变量为，故D正确。 故选D。 5．某钓鱼爱好者用粗细均匀的塑料直管制成如图所示的浮漂，浮漂在水中平衡时，O点恰好与水面平齐，A、B两点到O点的距离相等。现将浮漂向下按至A点与水面平齐后由静止释放，若不计阻力，浮漂做简谐运动，下列对于浮漂释放后的运动过程说法正确的是（     ） A．浮漂被释放瞬间，加速度为零 B．从释放开始，到第一次运动到图示状态，加速度逐渐增大 C．浮漂上的O点与水面平齐时，浮漂的速度最大 D．浮漂位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同 【答案】C 【详解】AB．设浮漂横截面积为，质量为，水的密度为。浮漂向下偏离平衡位置时，浸入水中的体积增加，浮力比平衡时增大 方向向上的合力大小为 故加速度大小 可知加速度大小与位移大小成正比。释放时位移大小最大，加速度大小最大；从释放到第一次到达图示平衡位置，位移大小逐渐减小，加速度大小也逐渐减小，故A错误，B错误。 C．当点与水面平齐时，浮漂位于平衡位置，回复力和加速度均为零，速度达到最大，故C正确； D．在简谐运动中，位移方向总与加速度方向相反；由释放点向平衡位置运动时，位移方向向下而速度方向向上，二者方向相反，故D错误。 故选C。 6．一弹簧振子做简谐运动时，其频率为，振幅为。下列说法正确的是（　　） A．振子在关于平衡位置对称的两点速度一定相同 B．振子在关于平衡位置对称的两点加速度一定不同 C．若振幅变为，振子的频率变为 D．若振幅变为，振子的周期变为 【答案】B 【详解】A．振子在关于平衡位置对称的两点速度大小相等，但方向可能相反，也可能相同，故A错误； B．简谐运动中加速度由回复力公式决定。对称点的位移大小相等、符号相反，导致加速度大小相等但方向相反，故B正确； CD．简谐运动的频率仅与系统本身属性（和）有关，与振幅无关。振幅变为时，频率仍为，周期也不变，仍为，故CD错误。 故选B。 7．如图甲所示，在拉力传感器的下端竖直悬挂一个弹簧振子，拉力传感器可以实时测量弹簧弹力大小。图乙是小球简谐振动时传感器示数随时间变化的图像。下列说法正确的是（　　） A．振动的周期为8s B．小球的质量为0.8kg C．第3s时小球在最低点 D．第3s和第5s的加速度相同 【答案】B 【详解】ABC．根据图像可知，t=1s时，弹簧弹力最大，且，小球位于最低点；t=3s时，弹簧弹力最小，，小球位于最高点。由对称性可知，小球振动的周期为4s，小球位于平衡位置时，弹力 联立解得 故AC错误，B正确； D．第3s时，小球位于最高点，回复力向下，加速度向下，第5s时，弹簧弹力最大，小球位于最低点，回复力向上，加速度向上，故第3s和第5s的加速度不相同，故D错误。 故选B。 8．图甲所示的“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。现固定底座B，用力向下按物块A，松手后物块A沿竖直方向做简谐运动。取向上为正方向，物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（     ） A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力提供 B．时和时，物块A的位移大小相等、方向相反 C．物块A在任意内经过的路程不一定为 D．内，头部的动能与弹簧的弹性势能之和增加 【答案】C 【详解】A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力与物块A的重力的合力提供，故A错误； B．物块A做简谐运动，在平衡位置运动的速度最大，离平衡位置越远运动速度越小，时物块A的位移比时大；时和时，物块A的位移均为负值，方向相同，故B错误； C．只有当物块A从平衡位置或最大位移处开始运动时，0.2s内经过的路程才为10cm，从其余位置开始运动时0.2s内路程不一定为10cm，故C正确； D．运动过程中头部与弹簧系统机械能守恒，内，头部向上运动，头部的重力势能增大，头部的动能与弹簧的弹性势能之和减小，故D错误。 故选C。 9．如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的MN之间做往复振动，振幅为A，周期为T，O为平衡位置，P0为ON的中点，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 B．弹簧振子每经过时间，通过的距离均为A C．振子由O运动至P0，所用的时间为 D．振子由N向O运动过程中，回复力和位移逐渐减小 【答案】D 【详解】A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力的作用，回复力是效果力，由其他力提供，故A错误； B．弹簧振子每经过时间，通过的距离不一定为A，可能为0，故B错误； C．由简谐振动位移关系式有 当时，有， 解得，故C错误； D．由简谐振动的回复力公式，则振子由N向O运动过程中，回复力和位移逐渐减小，故D正确。 故选D。 10．如图所示，劲度系数的轻弹簧上端固定在天花板上，下端挂着质量的小球M，M的下端用细线连接质量的小球N。现剪断细线，M沿竖直方向振动，重力加速度g取，则M的最大回复力F及其振动的振幅A分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】系统静止时弹簧的弹力 剪断细线，M由静止向上运动，最大回复力 M运动的平衡位置时，有 振动的振幅 故选A。 11．（多选）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由向运动过程中，动能逐渐减小 D．小球由向运动过程中，回复力的方向一直为由指向 【答案】AC 【详解】AB．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，其中弹簧弹力充当回复力，故A正确，B错误； C．小球由向运动过程中，弹簧弹力做负功，弹簧弹性势能增加，小球动能减小，故C正确； D．回复力方向总是指向平衡位置，所以小球由向运动过程中，回复力的方向一直为由指向，故D错误。 故选AC。 12．（多选）如图所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端与质量为的钢板连接，钢板静止时，弹簧的压缩量为。质量也为的物块从钢板正上方某处由静止开始自由落下，打在钢板上并立刻与钢板粘连，钢板和碰撞后称为结合体，结合体此后做简谐运动，弹簧的最大压缩量为，从钢板与碰撞完成到弹簧达到最大压缩量所用的时间为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．结合体的最大回复力为 B．结合体的振幅为 C．结合体的周期为 D．从钢板与碰撞完成到结合体第一次回到平衡位置所用的时间为 【答案】BC 【详解】AB．结合体做简谐运动，设结合体到达平衡位置时弹簧的压缩量为，则 初始时根据平衡条件有 弹簧的最大形变量为，则结合体的振幅 此时结合体的回复力最大，最大回复力 故A错误，B正确； CD．发生碰撞处到平衡位置的距离为，且，设结合体的周期为T，从钢板与A碰撞完成到结合体第一次回到平衡位置所用的时间 依据题意有 解得 联立解得 故C正确，D错误。 故选BC。 13．（多选）如图所示，质量为的木块放置在质量为的木块上，劲度系数为的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端与木块相连，时刻，两木块一起从平衡位置向右出发，在光滑水平面上做周期为的简谐运动，且两木块之间始终未发生相对运动，木块和木块之间动摩擦因数为，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法中正确的是（    ） A．在时刻，木块所受摩擦力方向向左 B．时间内，摩擦力对木块做的总功为零 C．两木块做简谐运动的振幅不能超过 D．由于两木块与弹簧组成的系统机械能守恒，所以运动过程中摩擦力始终不做功 【答案】BC 【详解】A．t=0时两木块从平衡位置向右出发，经过后，两木块回到平衡位置，简谐运动在平衡位置加速度为，因此木块的合力为，所受摩擦力为，故A错误； B．对木块，只有摩擦力对它做功。和时，都在平衡位置，速度大小相等，动能变化为。根据动能定理，摩擦力对做的总功为，故B正确； C．两木块不相对滑动的临界条件是在最大位移处，最大静摩擦力恰好提供的加速度。整体在最大位移处由牛顿第二定律得 对最大静摩擦力提供加速度，即 联立得 ，即振幅不能超过该值，故C正确； D．系统机械能守恒是因为和之间的静摩擦力是内力，无相对位移，一对静摩擦力总功为。但静摩擦力对单个木块做功 ，比如对：从平衡位置向最大位移运动时，摩擦力与位移方向相反，做负功；从最大位移返回平衡位置时，摩擦力做正功。因此不是摩擦力始终不做功，故D错误。 故选 BC。 14．如图甲所示的弹簧振子沿竖直方向做简谐运动。从某一时刻开始计时，规定竖直向上为正方向，得到弹簧对小球的弹力F与运动时间t的关系图像如图乙所示，若重力加速度为g，弹簧振子的振幅为A，图像的坐标值为已知量，求： (1)小球的质量； (2)从计时开始，弹簧振子的振动方程； (3)从计时开始到13t0时，小球运动的路程。 【答案】(1) (2)或 (3)39A 【详解】（1）小球做简谐运动，利用对称性，根据牛顿第二定律，小球在最高点有     小球在最低点有     解得 （2）利用简谐运动的对称性，由题图乙可知 解得 t=0时刻小球所受弹力最大，方向竖直向上，所以小球处于最低点，则弹簧振子的振动方程为 也可表示为 （3）结合上述可知     则小球的路程为s=9×4A+3A=39A 15．如图所示，质量为M的托盘内放有质量为m的物体，开始时手托住托盘，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于原长，现放手让托盘向下运动，求 (1)系统做简谐运动的振幅； (2)当系统运动到最低点时的加速度和物体对托盘的压力。 【答案】(1) (2)（方向竖直向上），（方向竖直向下） 【详解】（1）根据简谐运动的特点有 解得； （2）刚释放托盘时，托盘的加速度为g，方向竖直向下，根据简谐运动对称性可知当托盘运动到最低点时，加速度大小也为g，方向竖直向上，此时对物体受力分析 根据牛顿第三定律，可知物体对托盘的压力，方向竖直向下。 一、判断物体是否做简谐运动的一般方法 (1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，看看是否满足正弦函数的规律，如果满足，则物体做简谐运动。 (2)对物体进行受力分析，求振动方向上的合力，看看此合力是否满足简谐运动的动力学特征F＝－kx，如果满足，则物体做简谐运动。 二、分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 (2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3. 简谐运动的回复力和能量 导学案 1．明确回复力的概念和特点，掌握简谐运动的动力学特征。 2．知道简谐运动中动能和势能之和不变，且其大小与振幅有关。 3．会应用动力学、能量观点分析简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等各物理量的变化规律。 1．弹簧振子往复运动规律及核心物理量。（重点） 2．x-t 振动图像绘制与信息解读。（重点） 3．依托振动图像提炼简谐运动周期性，区分理想与实际振动。（难点） 【自主预习】 一、简谐运动的回复力 1．回复力的定义：使物体在 位置附近做往复运动的力。 2．回复力的作用：总是要把振子拉回到平衡位置。 注意：回复力是根据力的效果命名的，它可能由几个力的合力、某个力或某个力的分力提供。回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。 3．简谐运动回复力的表达式： ，即回复力的大小与物体的位移大小成正比，“－”号表示回复力与位移方向始终 。k是常数，对于弹簧振子，k为弹簧的 。 4．简谐运动的动力学定义：如果物体在 上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 ，并且总是 平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 二、简谐运动的能量 1．振动系统(水平弹簧振子)的状态与能量的对应关系：弹簧振子运动的过程就是 和 互相转化的过程。 (1)在最大位移处， 最大， 为零。 (2)在平衡位置处， 最大， 最小。 2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，系统的动能与势能之和 ，遵守 定律。而实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种 的模型。 3．对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统， 越大，机械能越大。 一、简谐运动的回复力 【情景导学】观察弹簧振子的运动，并尝试做出以下8个时刻小球的合力和位移方向？ 弹簧振子的合力有什么特点？ （1）方向：F合的方向总是指向平衡位置，总与位移方向相反。 （2）作用效果：F合的作用效果“总想”把小球拉回平衡位置。 （3）大小：弹簧振子所受的合力F与振子位移X的大小成正比。 【生成知识一】 （一）简谐运动的回复力 1.定义:使振子回到平衡位置的力。 2.来源：回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力);可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力. 3.大小: F=-kx ---表示回复力方向始终与位移方向相反。 4.方向: 总是指向平衡位置。 5.平衡位置： F回 = 0 6.简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。 即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 【问题导学】判断简谐运动的方法有哪些？ 方法总结：（1）x-t图像为正弦曲线 （2）回复力满足 F=-kx的形式 【任务导学】 请总结位移大小、速度大小、回复力大小在以下时刻或过程的变化情况？ 【答案】 【典例1】(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　) A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C.小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置 【变式1】　(多选)如图所示，物体m系在两水平轻质弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1=k，k2=2k，两弹簧均处于自然伸长状态，现向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计摩擦和空气阻力)，O为平衡位置，x为物体相对O的位移，则下列判断正确的是(　　) A.m做简谐运动，OC=OB B.m做简谐运动，OC≠OB C.回复力F=-kx D.回复力F=-3kx 二、简谐运动的能量 【导学】如图所示的弹簧振子运动过程中弹簧振子的速度是不断变化的，所以它的动能也是不断变化的；弹簧的伸长量和压缩量也是不断变化的，所以它的弹性势能也是不断变化的。那么弹簧振子的能量变化具有什么规律呢？ 能量变化关系 总结简谐运动能量变化特点？ 【生成知识二】 （二）简谐运动的能量 1.简谐运动中动能和势能相互转化，但机械能总量不变，即机械能守恒，是理想化模型。 2.简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。 3.物体在做简谐运动时的Ek-t和Ep-t及E-t图象 【问题导学】总结简谐运动有哪些规律？（按照以下的提示回答问题） 1.两个特殊位置 最大位移处：x、F、a、Ep ，v、Ek ； 平衡位置处：x、F、a、Ep ，v、Ek . 2.各个物理量间的关系 3.对称性 关于平衡位置的对称点： （1）x、F回、a大小 ，方向 ；动能、势能 。 （2）v大小相同，方向 。 4.周期性 （1）相距nT的两个时刻，振子的振动情况 。x、F回、a、v大小相等方向 ，动能和势能 。 （2）相距的两个时刻，振子的振动情况 x 、F回、 v 、a 等大反向，动能和势能 【生成知识三】 （三）简谐运动的规律 以水平弹簧振子为例，如图所示，振子以O为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为： 物理量 变化规律 运动过程 A→O O→B B→O O→A 位移 大小 减小 增大 减小 增大 方向 O→A O→B O→B O→A 回复力、 加速度 大小 减小 增大 减小 增大 方向 A→O B→O B→O A→O 速度 大小 增大 减小 增大 减小 方向 A→O O→B B→O O→A 动能 增大 减小 增大 减小 势能 减小 增大 减小 增大 总结：(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反。 (2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点。 (3)最大位移处是速度方向变化的转折点。 【典例2】(2025·哈尔滨市高二期中)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它以O为平衡位置在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　　) A.小球在O位置时，动能最小，加速度最大 B.小球在A、B位置时，动能最小，回复力最大 C.小球从A经O的过程中，加速度变小，振幅变小 D.小球从B到O的过程中，动能增大，势能减小，总能量变小 【变式2】如图所示，A、B两个物体与水平轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。 (1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化？振幅有什么变化？ (2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化？振幅有什么变化？ 课堂小结： 1．如图甲所示，某物理兴趣小组利用橡皮槌轻敲音叉演示简谐运动。如图乙所示，取叉臂上某质点来分析，其以O点为中心，在B、C之间做周期性的往返运动。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（     ） A．该质点的运动是匀变速运动 B．该质点到达C点时，具有向右的加速度 C．该质点在O点时的速度最大 D．该质点由B往C运动时，速度先减小后增大 2．如图甲、乙所示，将完全相同的弹簧振子分别放在水平和倾斜的木板上，两图中小球位于A点时，弹簧均处于原长状态，图甲中小球从某位置由静止释放，小球经过B点时的速度为零，图乙中小球从A点由静止释放，点为平衡位置，小球经过点时的速度为零，且，不考虑一切摩擦，则下列说法正确的是（　　） A．两图中，均由弹簧弹力提供小球振动的回复力 B．图甲中，小球从A点向B点的运动过程中，小球的加速度先减小后增大 C．两图中，小球振动时的机械能均守恒 D．图甲中小球的最大动能大于图乙中小球的最大动能 3．如图所示是竖直方向的弹簧振子在0~0.4s内做简谐运动的图像，由图像可知    （　　） A．在0.25~0.3s内，弹簧振子受到的回复力越来越小 B．t＝0.7s时刻，弹簧振子的速度最大 C．系统的动能和势能相互转化的周期为0.4 s D．系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s 4．如图甲所示，在轻质弹簧下端挂上手机组成振动装置，同时用手机的加速度传感器记录手机的振动情况。以竖直向上为正方向，某段时间内其加速度a随时间t变化的曲线为余弦曲线，如图乙所示。已知手机的质量，弹簧的劲度系数，不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．时，手机的回复力为5N B．时，手机向下运动 C．0~0.25s内手机的动能先减小后增大 D．弹簧的最大形变量为20cm 5．某钓鱼爱好者用粗细均匀的塑料直管制成如图所示的浮漂，浮漂在水中平衡时，O点恰好与水面平齐，A、B两点到O点的距离相等。现将浮漂向下按至A点与水面平齐后由静止释放，若不计阻力，浮漂做简谐运动，下列对于浮漂释放后的运动过程说法正确的是（     ） A．浮漂被释放瞬间，加速度为零 B．从释放开始，到第一次运动到图示状态，加速度逐渐增大 C．浮漂上的O点与水面平齐时，浮漂的速度最大 D．浮漂位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同 6．一弹簧振子做简谐运动时，其频率为，振幅为。下列说法正确的是（　　） A．振子在关于平衡位置对称的两点速度一定相同 B．振子在关于平衡位置对称的两点加速度一定不同 C．若振幅变为，振子的频率变为 D．若振幅变为，振子的周期变为 7．如图甲所示，在拉力传感器的下端竖直悬挂一个弹簧振子，拉力传感器可以实时测量弹簧弹力大小。图乙是小球简谐振动时传感器示数随时间变化的图像。下列说法正确的是（　　） A．振动的周期为8s B．小球的质量为0.8kg C．第3s时小球在最低点 D．第3s和第5s的加速度相同 8．图甲所示的“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。现固定底座B，用力向下按物块A，松手后物块A沿竖直方向做简谐运动。取向上为正方向，物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（     ） A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力提供 B．时和时，物块A的位移大小相等、方向相反 C．物块A在任意内经过的路程不一定为 D．内，头部的动能与弹簧的弹性势能之和增加 9．如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的MN之间做往复振动，振幅为A，周期为T，O为平衡位置，P0为ON的中点，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 B．弹簧振子每经过时间，通过的距离均为A C．振子由O运动至P0，所用的时间为 D．振子由N向O运动过程中，回复力和位移逐渐减小 10．如图所示，劲度系数的轻弹簧上端固定在天花板上，下端挂着质量的小球M，M的下端用细线连接质量的小球N。现剪断细线，M沿竖直方向振动，重力加速度g取，则M的最大回复力F及其振动的振幅A分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 11．（多选）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由向运动过程中，动能逐渐减小 D．小球由向运动过程中，回复力的方向一直为由指向 12．（多选）如图所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端与质量为的钢板连接，钢板静止时，弹簧的压缩量为。质量也为的物块从钢板正上方某处由静止开始自由落下，打在钢板上并立刻与钢板粘连，钢板和碰撞后称为结合体，结合体此后做简谐运动，弹簧的最大压缩量为，从钢板与碰撞完成到弹簧达到最大压缩量所用的时间为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．结合体的最大回复力为 B．结合体的振幅为 C．结合体的周期为 D．从钢板与碰撞完成到结合体第一次回到平衡位置所用的时间为 13．（多选）如图所示，质量为的木块放置在质量为的木块上，劲度系数为的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端与木块相连，时刻，两木块一起从平衡位置向右出发，在光滑水平面上做周期为的简谐运动，且两木块之间始终未发生相对运动，木块和木块之间动摩擦因数为，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法中正确的是（    ） A．在时刻，木块所受摩擦力方向向左 B．时间内，摩擦力对木块做的总功为零 C．两木块做简谐运动的振幅不能超过 D．由于两木块与弹簧组成的系统机械能守恒，所以运动过程中摩擦力始终不做功 14．如图甲所示的弹簧振子沿竖直方向做简谐运动。从某一时刻开始计时，规定竖直向上为正方向，得到弹簧对小球的弹力F与运动时间t的关系图像如图乙所示，若重力加速度为g，弹簧振子的振幅为A，图像的坐标值为已知量，求： (1)小球的质量； (2)从计时开始，弹簧振子的振动方程； (3)从计时开始到13t0时，小球运动的路程。 15．如图所示，质量为M的托盘内放有质量为m的物体，开始时手托住托盘，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于原长，现放手让托盘向下运动，求 (1)系统做简谐运动的振幅； (2)当系统运动到最低点时的加速度和物体对托盘的压力。 一、判断物体是否做简谐运动的一般方法 (1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，看看是否满足正弦函数的规律，如果满足，则物体做简谐运动。 (2)对物体进行受力分析，求振动方向上的合力，看看此合力是否满足简谐运动的动力学特征F＝－kx，如果满足，则物体做简谐运动。 二、分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 (2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $