14圆锥曲线与平面向量的交汇问题——2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义（解析版+原卷版）

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线与平面向量交汇核心考点，涵盖向量垂直、共线、数量积等题型，按“知识梳理-教材回归-考点突破”逻辑架构，通过转化规则、解题流程等方法指导与真题训练，帮助学生系统构建解题思路。 资料突出回归教材夯实基础，分层练习覆盖选择、填空、解答题，创新运用向量语言与坐标语言转化的逻辑推理（数学思维），如用韦达定理整体代换解决数量积定值问题，高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——14圆锥曲线与平面向量的交汇问题 知识梳理： 平面向量作为解题工具在解析几何中有广泛的应用，通过向量形式给出题目条件，体现向量在圆锥曲线中的渗透，也是高考设置综合题的一个特色，解答此类问题除对知识熟练外，还要具备很强的知识间的交汇和迁移变通能力． 一、平面向量与圆锥曲线交汇常见基本题型 （1）向量垂直问题：给出、等条件； （2）向量共线关系：如、； （3）向量数量积定值、最值问题：如，求参数或范围； （4）向量夹角、投影相关问题。 二、平面向量与圆锥曲线交汇解题策略 1、核心转化规则（向量语言⇔坐标语言） （1）向量垂直： （2）向量共线（倍数关系）：，横纵坐标分别成比例，常用于求点坐标、线段比例。 （3）向量数量积：，用于求值、定值、最值、求参数。 （4）向量模长：，常结合距离、弦长问题。 2、通用解题流程 （1）设点设线：设交点，合理设直线（斜率存在：；斜率不存在单独讨论）。 （2）联立方程：直线与圆锥曲线方程联立，整理为一元二次方程。 （3）判别式优先：直线与曲线相交，保证，限定参数范围。 （4）韦达定理：写出（或）。 （5）向量翻译代入：把题目向量条件转化为坐标等式，整体代入韦达结论，减少单独求解坐标的计算量。 3、常见题型针对性技巧 （1）向量垂直问题：目标构造，利用韦达整体代换，建立方程求参数。 （2）向量成比例（共线）：利用坐标相等得到点坐标关系，结合焦半径、定比分点简化计算。 （3）数量积定值 / 最值：把数量积表达式整理为关于的式子，判断是否为定值；求最值常转化为函数值域。 （4）向量夹角问题：利用夹角公式，转化为数量积与模长运算。 4、避坑要点 （1）直线斜率不存在要单独验证，防止漏解； （2）使用韦达定理前提是； （3）不要盲目解出，优先整体代换简化运算。 回归教材： 1、【人教B版选择性必修一复习题03B组第16题】已知直线与椭圆相交于A，B两点，O为坐标原点，如果，求的值。 2、【人教B版选择性必修一复习题03B组第24题】设A、B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点P满足，求动点P的轨迹方程。 3、【人教B版选择性必修一习题2—8A第8题】已知抛物线与过其焦点的斜率为1的直线交于A，B两点，O为坐标原点，求。 4、【人教B版选择性必修一第2.8节例5】已知直线与抛物线相交于A，B两点，且O为坐标原点，（1）求弦长；（2）判断是否成立，并说明理由。 5、【人教B版选择性必修一习题2-6B第5题】已知是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上，如果，求的面积。 6、【人教B版选择性必修一第2.7.2节例3】已知直线平行于y轴，且与x轴的交点为（4,0），点A在直线上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状。 7、【人教B版选择性必修一第2.7.2节练习B第4题】已知抛物线的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上的点A的横坐标为2，且，求此抛物线的方程。 8、【人教B版选择性必修一习题2—7B第1题】已知抛物线的焦点为F，准线为,P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，求。 考点梳理： 与向量的数量积交汇问题 例．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 例．（2026·浙江温州·二模）已知O为坐标原点，直线l与x轴交于Q点，与抛物线交于A，B两点，且，则（   ） A． B． C． D． 例．（2026·辽宁辽阳·二模）已知动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，动点形成的轨迹称为曲线． (1)求点P的轨迹方程； (2)已知曲线上的两点、满足，且的面积为，求直线的方程． 例．（2026·河北廊坊·一模）已知，分别是双曲线的上、下焦点，双曲线的渐近线方程是，且到双曲线的渐近线的距离是． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与交于两点，其中在第一象限，关于原点对称的点为，且，求直线的方程． 与共线（平行）向量交汇问题 例．（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例．（2026·河北保定·二模）已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 例．（2026·山西运城·二模）在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，点，，且向量与共线． (1)求的方程． (2)已知动直线与交于两个不同的点． （ⅰ）若过点且斜率小于0，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长大于． （ⅱ）若不经过点，且平分，求的外接圆圆心的轨迹方程． 与向量的加减运算交汇问题 例、已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)． (1)证明：k<－； (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明||，||，||成等差数列，并求该数列的公差． 例．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于P，Q两点；当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时，△F1PQ的周长为4，且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为. (1)求椭圆C的方程； (2)点M为△POQ内一点，O为坐标原点，满足＋＋＝0，若点M恰好在圆O：x2＋y2＝上，求实数m的取值范围． 跟踪练习： 1．（2026·河北衡水·二模）已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2026·湖北荆州·一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 3、已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2＝，则|FN|＝(　　) A. B. C. D．1 4、已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　) A.　　　　 B. C. D. 5．（2026·辽宁盘锦·一模）已知P，Q是双曲线右支上两点，且满足（其中），则最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 6．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．(多选)已知F1，F2是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M，N是左、右顶点，e为椭圆C的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，若·＝0，3＝2，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和直线BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是(　　) A．e＝ B．k＝ C．k1·k2＝－ D．k3·k4＝ 8．（多选）（2026·河南郑州·二模）已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点．则（    ） A． B．当时，直线的方程为 C．当四点共圆时， D．点落在定直线上 9．（2026·湖北十堰·二模）已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 10、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________． 11．（2026·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 12．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆与抛物线在第一象限交于点，A，B分别为的左、右顶点. (1)若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程； (2)设点是和的一个共同焦点，过点F的一条直线l与相交于C，D两点，与相交于E，G两点，，若，求直线l的方程； (3)若，设直线QA，QB分别与直线交于M，N两点，与的面积分别为，，若，求点Q的坐标. 13．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，点P满足.记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C的左、右顶点分别为A、B，设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线交曲线C于点M（异于点E），直线交曲线C于点N（异于点E）.若的角平分线交x轴于点T，，求t的取值范围； 14．（2026·陕西商洛·一模）已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3)直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 15．（2026·天津河西·二模）已知椭圆（）的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设A为椭圆C的右顶点，不过点A的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q，直线AP、AQ分别交y轴于M、N，若，的面积为，求直线l的方程. 16．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）设O为坐标原点，A，B分别是直线和上的动点，且，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)，过曲线E的中心O作一条直线交曲线E于P，Q两点，求周长的最小值、面积的最大值； (3)若点C是曲线E上异于顶点的任意一点，若，，直线，分别交直线于点N，M.以为直径的圆是否恒经过x轴上的某两个定点?若经过，求出这两个定点的坐标；若不经过，请说明理由. 17．（2026·山东聊城·二模）已知双曲线的渐近线方程为，过点且与轴不重合的动直线交于、两点，当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使为定值，若存在，求出的坐标及的值；若不存在，说明理由． 18．（2026·新疆·二模）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，O为坐标原点，M为椭圆C上任意一点，的最大值为，当时，的面积为1． (1)求椭圆C的方程及其离心率； (2)已知A，B为椭圆C的左右顶点，若点P满足，当M与A，B不重合时，直线MP交椭圆C于另一点N，直线AM，BN交于点T． （ⅰ）证明：点T在一条定直线上； （ⅱ）求的最大值． 19．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A(2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，点C在第一象限，且·＝0，|－|＝2|＋|. (1)求椭圆的标准方程． (2)设P，Q为椭圆上不重合的两点且异于A，B，若∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，问：是否存在实数λ，使得＝λ？若存在，求出λ取得最大值时PQ的长；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——14圆锥曲线与平面向量的交汇问题 知识梳理： 平面向量作为解题工具在解析几何中有广泛的应用，通过向量形式给出题目条件，体现向量在圆锥曲线中的渗透，也是高考设置综合题的一个特色，解答此类问题除对知识熟练外，还要具备很强的知识间的交汇和迁移变通能力． 一、平面向量与圆锥曲线交汇常见基本题型 （1）向量垂直问题：给出、等条件； （2）向量共线关系：如、； （3）向量数量积定值、最值问题：如，求参数或范围； （4）向量夹角、投影相关问题。 二、平面向量与圆锥曲线交汇解题策略 1、核心转化规则（向量语言⇔坐标语言） （1）向量垂直： （2）向量共线（倍数关系）：，横纵坐标分别成比例，常用于求点坐标、线段比例。 （3）向量数量积：，用于求值、定值、最值、求参数。 （4）向量模长：，常结合距离、弦长问题。 2、通用解题流程 （1）设点设线：设交点，合理设直线（斜率存在：；斜率不存在单独讨论）。 （2）联立方程：直线与圆锥曲线方程联立，整理为一元二次方程。 （3）判别式优先：直线与曲线相交，保证，限定参数范围。 （4）韦达定理：写出（或）。 （5）向量翻译代入：把题目向量条件转化为坐标等式，整体代入韦达结论，减少单独求解坐标的计算量。 3、常见题型针对性技巧 （1）向量垂直问题：目标构造，利用韦达整体代换，建立方程求参数。 （2）向量成比例（共线）：利用坐标相等得到点坐标关系，结合焦半径、定比分点简化计算。 （3）数量积定值 / 最值：把数量积表达式整理为关于的式子，判断是否为定值；求最值常转化为函数值域。 （4）向量夹角问题：利用夹角公式，转化为数量积与模长运算。 4、避坑要点 （1）直线斜率不存在要单独验证，防止漏解； （2）使用韦达定理前提是； （3）不要盲目解出，优先整体代换简化运算。 回归教材： 1、【人教B版选择性必修一复习题03B组第16题】已知直线与椭圆相交于A，B两点，O为坐标原点，如果，求的值。 【答案】 【解析】联立，消去：， 且判别式，设， 韦达定理：，由，得， ，则=0， 统分后可得分子：，满足。 2、【人教B版选择性必修一复习题03B组第24题】设A、B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点P满足，求动点P的轨迹方程。 【答案】 【解析】设，由： 解得：，：两边同除以 20： 重新代入：，同乘 20： 3、【人教B版选择性必修一习题2—8A第8题】已知抛物线与过其焦点的斜率为1的直线交于A，B两点，O为坐标原点，求。 【答案】 【解析】抛物线焦点。斜率为 1 的直线：。 联立，得，设，韦达定理：。 则，所以。 4、【人教B版选择性必修一第2.8节例5】已知直线与抛物线相交于A，B两点，且O为坐标原点，（1）求弦长；（2）判断是否成立，并说明理由。 【答案】(1)；(2)不成立 【解析】联立直线与抛物线方程：,把代入， 得, 设，由韦达定理得。 (1) 因为直线斜率，由弦长公式得。 (2)。 ，故与不垂直。 5、【人教B版选择性必修一习题2-6B第5题】已知是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上，如果，求的面积。 【答案】 【解析】双曲线：，。 设，不妨。双曲线定义：。垂直：。 ，所以的面积为。 6、【人教B版选择性必修一第2.7.2节例3】已知直线平行于y轴，且与x轴的交点为（4,0），点A在直线上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状。 【答案】轨迹方程；除去原点的抛物线 【解析】设（纵坐标相等）。。由：，设，，代入：，不能为零向量，存在；若则向量垂直无意义，剔除原点。轨迹：抛物线去掉原点。 7、【人教B版选择性必修一第2.7.2节练习B第4题】已知抛物线的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上的点A的横坐标为2，且，求此抛物线的方程。 【答案】 【解析】抛物线顶点在原点、对称轴为轴，设方程，焦点。 设，在抛物线上，故。，由，代入： 抛物线方程为。 8、【人教B版选择性必修一习题2—7B第1题】已知抛物线的焦点为F，准线为,P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，求。 【答案】 【解析】抛物线，，焦点，准线，设，， 则。由，得，解得， 由抛物线焦半径公式：。 考点梳理： 与向量的数量积交汇问题 例．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即，因此左右焦点，，因为面积为，故，得，即，将代入椭圆方程：，解得. ，，则. 例．（2026·浙江温州·二模）已知O为坐标原点，直线l与x轴交于Q点，与抛物线交于A，B两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线l的方程为，由计算，利用两点间距离公式和韦达定理计算即可. 【详解】设，直线l的方程为，代入抛物线得，，设，，则，，因为，， 所以，即.，同理， 则，因为，所以，异号，所以，又，所以，不是定值，故A C错误；则，代入韦达定理得，故，故B错误，D正确. 例．（2026·辽宁辽阳·二模）已知动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，动点形成的轨迹称为曲线． (1)求点P的轨迹方程； (2)已知曲线上的两点、满足，且的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）点到点的距离与到的距离相等，根据抛物线定义得到方程； （2）先设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，并求出，表达出的方程，得到过定点，表达出计算求解直线； 【详解】（1）由动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，可知点到点的距离与到的距离相等，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故轨迹方程为. （2）设，由题可知斜率不为0，设，联立曲线方程并消去可得，显然，因为， 所以，所以或，当时，过定点，所以， ， 所以，所以；当时，过定点，所以， ，所以， 所以；综上，直线的方程为或. 例．（2026·河北廊坊·一模）已知，分别是双曲线的上、下焦点，双曲线的渐近线方程是，且到双曲线的渐近线的距离是． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与交于两点，其中在第一象限，关于原点对称的点为，且，求直线的方程． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用给定的渐近线设出双曲线方程，再结合点到直线距离公式求解. （2）设出直线的方程，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程是，即，设双曲线的方程为，即，点，由到双曲线的渐近线的距离是，得，解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）得，设直线的方程为，，则，由消去得，， 则，， ，而， 则， 则，所以直线的方程为. 与共线（平行）向量交汇问题 例．（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出的位置关系，利用已知条件求出相应的点，代入方程中建立关于的方程，解齐次方程，再由椭圆的离心率范围求解即可. 【详解】因为为抛物线与椭圆的公共焦点，且抛物线与椭圆相交于两点，由抛物线和椭圆对称性以及可知，轴，设点在第一象限，如图所示： 令，此时有，又抛物线的焦点为，所以，所以抛物线方程为，因为点在抛物线上，所以，所以，即点，又点在椭圆上，所以，又，所以，所以，即，又，所以，令 ，则，解得（舍去）或， 即，又，所以. 例．（2026·河北保定·二模）已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可. 【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得．在中，由余弦定理得，整理得， 解得或（舍去）．，根据双曲线定义可得， ∴，则,∴为直角三角形，且．在中，，即，∴，∴．即该双曲线的离心率为． 例．（2026·山西运城·二模）在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，点，，且向量与共线． (1)求的方程． (2)已知动直线与交于两个不同的点． （ⅰ）若过点且斜率小于0，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长大于． （ⅱ）若不经过点，且平分，求的外接圆圆心的轨迹方程． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用向量的坐标表示，结合向量共线的条件即，求出，进而得到抛物线的方程； （2）（ⅰ）设直线方程与抛物线方程联立，用韦达定理表示出的横坐标和与积，即和，表示出半径，得出以为直径圆的弦长公式，结合的条件进行判断； （ⅱ）利用角平分线的性质，结合三角形外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点的性质， 分别求出，，的直线方程，联立垂直平分线方程，得到圆心坐标的参数式， 消除参数即可得到圆心的轨迹方程，需注意排除原点. 【详解】（1）解：（1）由题意知，则，因为向量与共线，所以，解得，故的方程为． （2）（ⅰ）证明：设的方程为，代入，得， ．设，，则，， 则．设以为直径的圆为圆，且圆心的坐标为，则，则圆心到轴的距离， 所以圆被轴截得的弦长为，因为，所以， 则，即以为直径的圆被轴截得的弦长大于4． （ⅱ）因为平分，所以直线与关于直线对称，又直线的方程为，且点关于直线对称的点为，所以，即．将，代入，得，因为，所以．当直线的斜率不存在时，，此时，重合， 这显然不符合题意，则直线的斜率存在．设的方程为，代入，得， 则，，解得．由，得或， 由平分，，都在上，得均位于第一象限，则．设外接圆的圆心为， 线段的中点坐标为，则，所以线段的垂直平分线的方程为， 整理得①．同理可得线段的垂直平分线的方程为②．由，及①②可得．因为，所以线段的垂直平分线的方程为，将代入上式得．因为，所以，故的外接圆圆心的轨迹方程为． 与向量的加减运算交汇问题 例、已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)． (1)证明：k<－； (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明||，||，||成等差数列，并求该数列的公差． 解：(1)证法一(点差法)： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减，并由＝k得＋·k＝0， 由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①由题设得0<m<，故k<－. 证法二(常规设线)： 设直线AB：y＝kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，当k＝0时，显然不满足题意； 由得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0，所以Δ>0，即4k2＋3－t2>0，x1＋x2＝－， 而＝1，所以3＋4k2＝－4kt，又m＝k＋t＝k－＝－>0，所以k<0，4k2＋3－>0， 即k2>，又k<0，解得k<－. (2)解法一(常规运算＋整体思想)： 由题意得F(1，0)，设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0)，由(1)及题设得 x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.又点P在C上，所以m＝，从而P，||＝.于是||＝＝＝2－.同理||＝2－，所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.故2||＝||＋||，即||，||，||成等差数列．设该数列的公差为d，则2|d|＝|||－|||＝|x1－x2|＝.②，将m＝代入①得k＝－1.所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝，所以该数列的公差为或－. 解法二(直接运算)： 由＋＋＝0，知点F为△PAB的重心，由三角形的重心坐标公式可得xP＝1，yP＝－2m， 即P(1，－2m)．由点P在椭圆上，把坐标代入方程解得m＝，即P.由(1)有k＝－＝－1， 直线l的方程为y＝－x＋，将其与椭圆方程联立，消去y得28x2－56x＋1＝0，求得x1，2＝，不妨设xA<xB，所以xA＝，xB＝，||＝＝＝2－＝，同理，可得||＝2－＝，所以||＋||＝3，而||＝，故||＋||＝2||，即||，||，||成等差数列，从而公差为－＝(x1，2－1)，即该数列的公差为或－. 解法三(焦半径公式的应用)： 因为线段AB的中点为M(1，m)，所以x1＋x2＝2.由＋＋＝0，知点F为△PAB的重心， 由三角形的重心坐标公式可得xP＝1，由椭圆方程可知e＝， 由椭圆的焦半径公式得||＋||＝(a－ex1)＋(a－ex2)＝2a－e(x1＋x2)＝3，||＝a－exP＝. 所以||＋||＝2||，即||，||，||成等差数列．由解法二可得，xA＝或xA＝， 从而公差为－＝(xA－1)，即该数列的公差为或－. 例．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于P，Q两点；当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时，△F1PQ的周长为4，且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为. (1)求椭圆C的方程； (2)点M为△POQ内一点，O为坐标原点，满足＋＋＝0，若点M恰好在圆O：x2＋y2＝上，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意知4a＝4，∴a＝，直线AF2的方程为y＝(x－c)．设直线AF2与椭圆C的另一个交点为，则解得c＝1或c＝2(舍去)，∴b2＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵＋＋＝0，∴点M为△POQ的重心， ∴M.∵点M在圆O：x2＋y2＝上，∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4. 由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 又Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，∴1＋2k2>m2.∴x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝2＋2＝4， 整理得m2＝.又1＋2k2>m2，∴1＋2k2>，解得k≠0， ∴m2＝＝1＋＝1＋>1，解得m>1或m<－1. 故实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 跟踪练习： 1．（2026·河北衡水·二模）已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】设出点、，利用椭圆上的点的切线性质及圆的切点弦性质可表示出，即可得、坐标关系，再利用数量积的坐标公式计算即可得. 【详解】设，，有，即，由直线与椭圆切于点，则，即，由为点关于圆的切点弦，则，故，故，则. 2．（2026·湖北荆州·一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知M为的中点，而O是的中点，所以，由于⊥，所以是线段的中垂线，故，由双曲线的对称性知，所以，故. 3、已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2＝，则|FN|＝(　　) A. B. C. D．1 【答案】A 解析：因为F是抛物线C：y＝2x2的焦点，所以F，抛物线C的准线方程为y＝－，如图，过点M作抛物线的准线的垂线，交x轴于点A，交抛物线C的准线于点B，则MA∥OF，所以＝.因为2＝，所以|MA|＝×＝， |MF|＝|MB|＝＋＝，|FN|＝3|FM|＝. 4、已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　) A.　　　　 B. C. D. 【答案】A 解析：由题意知a＝，b＝1，c＝，设F1(－，0)，F2(，0)，则＝(－－x0，－y0)， ＝(－x0，－y0)．∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，解得－<y0<. 5．（2026·辽宁盘锦·一模）已知P，Q是双曲线右支上两点，且满足（其中），则最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】设，根据向量数量积的坐标运算，将问题转化为关于的二次函数求最值问题，结合题干求解即可. 【详解】设， 由，得， ，代入和，得，在双曲线右支，故. 设二次函数，对称轴为，所以最小值为验证可知时，，存在符合条件的在右支，故最小值为. 6．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由题意可得直线的直线方程为，利用向量的线性运算可求得，求得的中点的轨迹方程，进而可得，进而求得的最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为三角形为等腰直角三角形，且，所以，所以直线的直线方程为， 因为，所以，所以，又，所以，解得.因为，，所以的轨迹方程为和. 记的中点为，则，所以， 所以，所以的轨迹方程为.过分别向直线作垂线，垂足分别为，则，又因为，所以为直角梯形，又，为的中点，所以.则的最大值即为的最大值，又到直线的距离为，所以的最大值为，所以的最大值即为. 7．(多选)已知F1，F2是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M，N是左、右顶点，e为椭圆C的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，若·＝0，3＝2，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和直线BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是(　　) A．e＝ B．k＝ C．k1·k2＝－ D．k3·k4＝ 【答案】AC 解析：∵·＝0，∴AF1⊥BF1，过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E， ∴AF1⊥EF2.设|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，又3＝2，∴|AB|＝5t，∵AF1⊥BF1， ∴|F1B|＝3t，∴12t＝4a，∴a＝3t.∴|BF1|＝|BF2|＝3t＝a，∴B(0，b)． 在△EF1F2中，|EF1|＝|AF1|＝，|EF2|＝|BF1|＝，|F1F2|＝2c， ∵|EF1|2＋|EF2|2＝|F1F2|2，∴c＝，b＝＝，椭圆离心率e＝＝，故A正确；k＝＝2，故B错误；设A(x，y)，易得M(－a,0)，N(a,0)，则k1·k2＝·＝＝＝－＝－，故C正确；同理k3·k4＝－＝－，故D错误． 8．（多选）（2026·河南郑州·二模）已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点．则（    ） A． B．当时，直线的方程为 C．当四点共圆时， D．点落在定直线上 【答案】ACD 【分析】根据条件求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求解判定A，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，根据已知条件判定B，C，根据条件求出的横坐标，再结合韦达定理计算判定D. 【详解】因为点，则，又，则，所以，代入抛物线，得到，解得，A选项正确；所以抛物线的方程为，设直线方程为，设，联立，消得到，则，当时，，所以或，且，即得，所以直线的方程为，B选项错误；当四点共圆时，则有，故，则，所以， 又， 所以，即， 整理得到，又，所以，故直线的方程为，C选项正确； 由，得到直线，由，得， 直线，联立方程，解得，，， 由，得， 所以点落在定直线上，D选项正确； 9．（2026·湖北十堰·二模）已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 【答案】 【分析】法1：设点在渐近线上，由向量垂直得数量积为零，整理出关于的一元二次方程，利用方程有解判别式非负，结合双曲线关系化简，最终求得离心率范围. 法2：由向量垂直知在以为直径的圆上，利用渐近线与圆有公共点，得圆心到渐近线距离不大于半径，代入双曲线关系化简，求出离心率取值范围. 【详解】法1：双曲线的右顶点，不妨取渐近线方程为.设，则，.由，得，整理得.由题意知该关于的方程有解，所以.化简可得，即，所以，又.所以，即的离心率的取值范围是． 法2：由知，点在以为直径的圆上.由题意知的渐近线与圆有公共点，所以到的渐近线的距离满足，即，所以，所以.所以，又，所以，即的离心率的取值范围为． 10、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________． [答案]　2 [解析]　法一：由＝，知A是BF1的中点．因为F1B⊥F2B，O是F1，F2的中点， 所以OA为中位线，且OA⊥BF1，所以OB＝OF1，因此∠F1OA＝∠BOA.又根据两条渐近线对称， 可知∠F1OA＝∠F2OB，所以∠F2OB＝60°，e＝ ＝＝2. 法二：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，由·＝0，得F1B⊥F2B. 故点B在圆O：x2＋y2＝c2上．不妨设点B在第一象限，由得点B(a，b)．由＝，得点A为线段F1B的中点，所以A，将其代入y＝－x中，得c＝2a，所以e＝＝2. 11．（2026·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，由得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，点的横坐标满足，得到不等式即可求得结果. 【详解】已知椭圆方程为，离心率，则， 如图所示，设左右焦点分别为，，椭圆上的点，， 由题意得，即， 由于都在椭圆上，则有，，代入，得，由可得：，整理得， 再代入得， 整理得， 当时，得，显然不符合条件； 当时，得，符合条件； 当且时，解得，代入，则，化简得，为了使点在椭圆范围内，则点的横坐标需要满足，即，解得.而当或时，与平行，即点，重合，不符合条件.综上所述，的取值范围为. 12．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆与抛物线在第一象限交于点，A，B分别为的左、右顶点. (1)若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程； (2)设点是和的一个共同焦点，过点F的一条直线l与相交于C，D两点，与相交于E，G两点，，若，求直线l的方程； (3)若，设直线QA，QB分别与直线交于M，N两点，与的面积分别为，，若，求点Q的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及抛物线方程，进而求出准线方程. （2）设出直线的方程并分别与椭圆及抛物线方程联立，利用弦长公式列式求解. （3）由点的坐标表示出点的坐标，利用三角形面积及关系列出方程即可求出点的坐标. 【详解】（1）由椭圆的焦距为2，得椭圆的半焦距，则， 因此椭圆的方程为，由为椭圆与抛物线的交点，且在第一象限， 得，又，则，而，于是， 抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为. （2） 点是和的一个共同焦点，由（1）知椭圆的方程为，由，得， 抛物线的方程为，设直线的方程为，由消去得，设，则， ，由得，设， 则，，由，，得，因此，解得， 所以直线l的方程为，即. （3）当时，椭圆，则，， 直线，点，直线，点， ， ，由，得，即， 整理得，而，解得，，所以点坐标为. 13．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，点P满足.记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C的左、右顶点分别为A、B，设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线交曲线C于点M（异于点E），直线交曲线C于点N（异于点E）.若的角平分线交x轴于点T，，求t的取值范围； 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意判断出点P的轨迹曲线C是以，为焦点的椭圆，然后根据焦点位置即可求出； （2）设，则，由角平分线定理得，再根据即可求出； 【详解】（1）因为，所以点P的轨迹曲线C是以，为焦点的椭圆， 设曲线C的方程为，所以，，， 所以，，，所以曲线C的方程为. （2） 设，则，则；，所以在中， 由角平分线定理得， 由，所以，所以t的取值范围为. 14．（2026·陕西商洛·一模）已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3)直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)是定值，；(3) 【分析】（1）先设点，根据题设条件推得，结合离心率代入求出即可； （2）设，利用向量共线的坐标运算即可求解； （3）设，由联立方程组可得，再结合平面向量共线，分类讨论的取值即可. 【详解】（1）的渐近线方程为，设双曲线上一点， 则， 又在上，所以，即，代入可得， 又，代入可得，所以的方程为. （2）由（1）易得，设， 由，可得， 即得，(*)， 又，所以， 即，，即， 又，所以. 因为，所以，， 又，所以， 即，所以，所以，又，所以，所以， 解得，即为定值. （3）设，由消元得， 由，解得，则有. 因为，所以，因为点在上，所以， 即，因， 故得，即， 即， 代入韦达定理，可得整理得. 当时，等式左边，右边，因为左边右边，不合题意； 当时，因，则，解得，产生矛盾，舍去； 当时，，解得或，故或. 综上，的取值范围为. 15．（2026·天津河西·二模）已知椭圆（）的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设A为椭圆C的右顶点，不过点A的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q，直线AP、AQ分别交y轴于M、N，若，的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1)；(2)或. 【分析】(1)将点的坐标代入方程，结合解方程即可求解； (2)设直线l的方程为（斜率必不为0）与椭圆方程联立，得到根与系数关系，分别表示直线AP、AQ的方程，求出M、N的坐标，结合，化简可得的值，利用弦长公式结合化简即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆的焦距，所以.因为，所以.将点代入椭圆方程，得：，去分母化简，得： .因为，所以.从而.故椭圆的标准方程为：. （2）由（1）知，右顶点，左焦点 设直线l的方程为（斜率必不为0） 代入椭圆方程：.设，， 所以，，直线AP过点和，其方程为： 令，得交点M的纵坐标：同理可得交点N的纵坐标： 因为 所以 由已知 ，解得 所以直线l必定恒过左焦点此时直线方程为 判别式 恒成立 由于直线l的x轴截距为，以原点到x轴交点的线段长度为底， 高即为，面积S为： 由已知，可得： 整理得：即 解得. 综上所述，满足条件的直线l的方程为或. 16．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）设O为坐标原点，A，B分别是直线和上的动点，且，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)，过曲线E的中心O作一条直线交曲线E于P，Q两点，求周长的最小值、面积的最大值； (3)若点C是曲线E上异于顶点的任意一点，若，，直线，分别交直线于点N，M.以为直径的圆是否恒经过x轴上的某两个定点?若经过，求出这两个定点的坐标；若不经过，请说明理由. 【答案】(1)；(2)周长最小值为，面积最大值为 (3)经过，这两个定点的坐标为， 【分析】（1）设，，，借助可得、与、的关系，再利用可得、间关系，从而可得、间关系，即可得动点P的轨迹方程； （2）借助椭圆定义及椭圆对称性可得的周长等于，则最小时，周长最小；，则最大时，面积最大； （3）设，再表示出直线、的方程后可表示、坐标，即可得为直径的圆的方程，令该圆方程中，可解出该圆与x轴交点横坐标，即可得解. 【详解】（1）设，，，∵，∴，∵，∴，，则有，整理得，故曲线E的方程为； （2）为曲线E的右焦点，则其左焦点，根据椭圆的对称性， 的周长为，故当最小时，周长最小， 因此当轴时周长最小，此时，故的周长最小值为； 而，故当最大时，面积最大，因此当轴时面积最大，此时，故面积的最大值为. （3）设，∴，∴，直线、的方程分别为，，故，， 以为直径的圆的方程为， 令，得，即，解得或， 故以为直径的圆恒经过x轴上的两个定点，. 17．（2026·山东聊城·二模）已知双曲线的渐近线方程为，过点且与轴不重合的动直线交于、两点，当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使为定值，若存在，求出的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，点，定值为 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的方程； （2）根据题意设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，化简的表达式，根据为定值可得出关于的等式，解出的值，即可得出结果. 【详解】（1）由的渐近线方程为，得①，由，根据双曲线的对称性，不妨设，则②，由①②得，，所以双曲线的方程为． （2）根据题意设直线的方程为，将的方程代入双曲线方程， 得，且， 设点、，由韦达定理得，，假设存在满足题意， 则 要使为定值，则上式需与无关，则，解得，此时．所以存在点使得为定值，定值为． 18．（2026·新疆·二模）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，O为坐标原点，M为椭圆C上任意一点，的最大值为，当时，的面积为1． (1)求椭圆C的方程及其离心率； (2)已知A，B为椭圆C的左右顶点，若点P满足，当M与A，B不重合时，直线MP交椭圆C于另一点N，直线AM，BN交于点T． （ⅰ）证明：点T在一条定直线上； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1)，离心率为 (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【分析】（1）根据给定条件，结合勾股定理及椭圆定义求出即可； （2）（ⅰ）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点的横坐标即可；（ⅱ）利用斜率坐标公式及差角的正切公式求解. 【详解】（1）令椭圆C：的半焦距为，由的最大值为，得， 由，的面积为1，得，， 而，因此，即，， 解得，所以椭圆C的方程为，离心率为. （2）（ⅰ）由（1）得，由，得点，设， 显然直线不垂直于，设其方程为， 由消去，得，，， 直线的方程为，即， 同理直线方程为，联立消去得， 整理得，因此， 即，所以点T在一条定直线上. （ⅱ）由对称性不妨令点在上方，设，则， 因此， 当且仅当时取等号，而为锐角，所以的最大值为. 19．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A(2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，点C在第一象限，且·＝0，|－|＝2|＋|. (1)求椭圆的标准方程． (2)设P，Q为椭圆上不重合的两点且异于A，B，若∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，问：是否存在实数λ，使得＝λ？若存在，求出λ取得最大值时PQ的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵·＝0，∴∠ACB＝90°，∵|－|＝2|＋|，即||＝2||， ∴△AOC是等腰直角三角形，又A(2,0)，∴C(1,1)． ∵点C在椭圆上，∴＋＝1，又a＝2，∴b2＝，∴所求椭圆方程为＋＝1. (2)对于椭圆上两点P，Q， ∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于x＝1对称，设kPC＝k，则kCQ＝－k， ∵C(1,1)，∴PC的直线方程为y＝k(x－1)＋1， ① CQ的直线方程为y＝－k(x－1)＋1， ② 将①代入＋＝1，得(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0，③ ∵C(1,1)在椭圆上，∴x＝1是方程③的一个根，∴xP＝. 以－k替换k，得到xQ＝，∴kPQ＝＝. ∵∠ACB＝90°，A(2,0)，C(1,1)，弦BC过椭圆的中心O， ∴B(－1，－1)，∴kAB＝，∴kPQ＝kAB，∴PQ∥AB，∴存在实数λ，使得＝λ， ||＝＝≤，当且仅当9k2＝，即k＝±时取等号， 又||＝，∴λmax＝＝，∴λ取得最大值时PQ的长为. 学科网（北京）股份有限公司 $