14与球有关的“切”、“接”问题——2027届高三数学一轮复习立体几何回归教材版讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何中球的“切”“接”核心考点，按球的截面、外接球、内切球、棱切球逻辑层次梳理知识，结合教材原题与高考真题，通过知识梳理、考点精讲、方法总结、跟踪练习环节，帮助学生构建系统解题框架。 讲义突出回归教材与高考对接，创新运用补形法、等体积法等策略，如对棱相等三棱锥补成长方体求外接球，培养学生空间观念与推理能力。分层练习覆盖基础到综合，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——14 与球有关的“切”、“接”问题 知识梳理 1、球的截面问题 1. 球的截面一定是圆或者是圆的一部分; 2. 确定球心与半径, 建立直角三角形, 计算截面与球心的距离; 3. 最大的截面半径 ,最小的截面半径 . 2、外接球 （1）长方体切割体的外接球 设长方体相邻的三条边棱长分别为 . 图 1 与图 2 有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图 3 无重垂线，俯视图是一矩形， 为虚线，主视图和左视图为直角三角形,外接球半径均为长方体体对角线一半, . 图 4 中 （2）三棱柱的切割体的外接球 图 1: 立着放的模型一定有重垂线,且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个,底面三角形非直角三角形,将重垂线长度设为,底面三角形外接圆半径设为可以求出,则 ; 图 2: 躺着放的模型,底面是直角三角形或者矩形,侧面非直角三角形,底面一条棱垂直于侧面, . 3、内切球 （1）内切球的基本概念 1）内切球定义:①球心到多面体各面距离相等且等于半径的球；②与圆柱两底面以及每条母线都相切的球; ③与圆锥底面和各母线都相切的球; ④与圆台上下两底面以及每条母线都相切的球. 2）正多面体的内切球和外接球球心重合. 3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，除正四面体外，均不重合. 4）任意四面体都有内切球，面数超过四的凸多面体需利用定义判断是否存在内切球. （2）多面体和旋转体的内切球 1）棱锥内切球半径: ①等体积法:由球心到各面距离相等，多面体体积可表示为: 所以 ②相似法求解正棱锥内切球半径:（以下以正三棱锥为例） 如图,由正三棱锥内切球球心在高线上,则球与侧面的切点在侧面的高线上,与底面的切点为高线垂足,易知,故利用 ,可解出内切球半径 . 2）旋转体内切球半径:（可按照轴截面的内切圆半径计算，外接球同理） 如图,已知圆锥高为,底面半径为,利用两个直角三角形和相似可得 ,故 ,所以 . 注:圆柱、圆台同样以轴截面的方式处理. （3）常见几何体内切球、外接球半径: 棱长为 的正方体: 内切球半径 ,外接球半径 . 棱长为 的正四面体: 内切球半径 ,外接球半径 . 柱体侧棱长 ,底面外接圆半径 : 柱体可能不存在内切球,柱体中最大的球的半径 . 4、棱切球 （1）常用结论 ①已知正方体的棱长为 ，则它的棱切球半径为 . ②已知正三棱柱的棱长均为 ，则它的棱切球半径为 . ③已知正四面体的棱长为 ，则它的棱切球半径为 . 证明①:正方体棱切球的半径即为面对角线的一半，易得 . 证明②:如图，设正三棱柱棱棱长均为，上底面中心为 ，下底面中心为 ，连接 ，则球 的球心 在 的中点上,设球 切棱 于 ,切棱 于 ,则 分别为所在棱的中点,则 ,又 ,所以 . 证明③:将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，若正四面体的棱长为， 则正方体的棱长为,故. （2）解题技巧 ①找切点，找球心，构造直角三角形. ②正棱柱的棱切球的球心为上下底面中心连线的中点，正棱锥的棱切球的球心在其高线上，可以通过对称性或者截面内切圆圆心的垂线交点确定. ③ 棱长都为的正棱柱,则棱切球的半径为 . 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.2节例4】如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 【答案】 【分析】利用圆柱和球的体积公式，求出体积即可. 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.球的体积， 圆柱的体积，. 【点睛】本题考查圆柱和球的体积，是基础题. 【人教A版必修二第8.3.2节例3】如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14） 【答案】423.9kg 【分析】先求出一个浮标的表面积，进而可得所需涂料. 【详解】一个浮标的表面积是，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料. 【点睛】本题考查旋转体的体积，是基础题. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题】将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积. 【答案】 【分析】先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可. 【详解】由题意知，球内切于正方体，，. 所以球的体积，即可制作的最大零件的体积为. 【点睛】本题考查球的体积公式，是基础题. 【人教A版必修二习题8.3第5题】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求球的体积. 【答案】 【分析】由正方体的棱长为，其顶点都在一个球面上，则正方体的对角线即为球的直径，求出球的半径后，代入球的体积公式，即可得到答案． 【详解】∵正方体的棱长为,∴正方体的体对角线长为， ∴球的半径，. 【点睛】本题考查正方体的外接球的体积计算问题，棱长为的正方体，内接正四面体的棱长为，外接球直径等于长方体的对角线长，属于基础题． 【人教A版必修二第8.3.2节练习第4题】一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 【答案】不会 【分析】分别求出球的体积，水中球的体积，长方体的体积，利用它们之间的关系确定答案. 【详解】解：球的体积， 水中球的体积，长方体的体积， .故水不会从水槽中溢出. 【点睛】本题考查球的体积，长方体的体积，关键是要好好审题，注意数量关系，是基础题. 【人教B版必修四03复习题B组第11题】已知球O的半径为2，一平面截球面所得圆的圆心为，且A、B都是圆上的点，，，求△OAB的面积． 【答案】 【分析】根据题意，由勾股定理可得的长度，然后再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图，，又，，又， 则的面积为. 【人教B版必修四03复习题C组第7题】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，求球心到截面的距离． 【答案】 【详解】试题分析：三棱锥中两两互相垂直，所以三棱锥外接球与以为临边的正方体外接球是相同的，由半径为可得,由得P到平面的距离为，所以球心到截面的距离为 点评：本题根据三棱锥的特点将其转化到正方体上，使其容易确定球心位置 考点梳理： 例、在三棱锥S－ABC中，SA＝BC＝5，SB＝AC＝，SC＝AB＝，则该三棱锥外接球的表面积是(　　) A．50π B．100π C．150π D．200π 答案：A 解析：因为SA＝BC＝5，SB＝AC＝，SC＝AB＝，所以可以将三棱锥S－ABC放置于一个长方体中，如图所示．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有整理得a2＋b2＋c2＝50，则该三棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，所以有a2＋b2＋c2＝50＝(2R)2⇒R2＝，所以该三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝4×π×＝50π.故选A. 小结：对棱相等的三棱锥，可补形成长方体，此时三棱锥的6条棱均为长方体的面对角线．计算时，可以设而不求，设出长方体的长、宽、高，利用勾股定理列式，可以不计算出棱长，直接得到外接球的半径． 例、已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 答案：B 解析：如图所示，设球O的半径为R，由球的体积公式得πR3＝，解得R＝2.如图，设GA＝r，∠OAG＝α，则r＝2cosα，圆柱的高为4sinα，∴圆柱的侧面积为4πcosα×4sinα＝8πsin2α，当且仅当α＝，sin2α＝1时，圆柱的侧面积最大，∴圆柱的侧面积的最大值为8π. 例、已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 答案：A 解析：设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1，r2，所以2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4.设球心到上、下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R(R≥4)，所以d1＝，d2＝，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|－|＝1或＋＝1，解得R2＝25，符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π.故选A. 例、在直三棱柱A1B1C1－ABC中，A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，则其外接球与内切球的表面积之比为(　　) A． B． C． D．29 答案：A 解析：如图，连接AC1. 由底面三角形的三边长可知，底面三角形为直角三角形，内切球的半径r＝＝1，取AC，A1C1的中点D，E，连接DE交AC1于点O，则外接球的球心是DE的中点O，由A1C1＝5，AA1＝2，得AC1＝，所以外接球的半径R＝OA＝，所以＝＝.故选A. 例、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为(　　) A．10 cm B．10 cm C．10 cm D．30 cm 解析：选B　依题意，在四棱锥S­ABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝10 cm，SA＝20 cm， 所以O到SA的距离d＝10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm， 所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O，所以皮球的半径r＝10 cm. 例、已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为36π，则该正四棱锥体积的最大值为(　　) A．18 B． C． D．27 答案：B 解析：如图，设正四棱锥的底面边长AB＝2a，高PO＝h，外接球的球心为M，则OD＝a. 因为球的体积为πR3＝36π，所以球的半径为R＝3，在Rt△MOD中，MD2＝OD2＋OM2，即32＝2a2＋(h－3)2，所以正四棱锥的体积为V＝Sh＝×4a2h＝[9－(h－3)2]h，整理得V＝－h3＋4h2(0<h<6)，则V′＝－2h2＋8h＝－2h(h－4)，当0＜h＜4时，V′＞0，当4<h<6时，V′＜0，所以V＝－h3＋4h2(0<h<6)在(0，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，所以当h＝4时，V取得最大值－×43＋4×42＝.故选B. 例、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． [答案]　π [解析]　法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC.在Rt△BCD中，CD＝＝2.易知BE＝BD＝1，则CE＝2.设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2－R.在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(2－R)2－R2＝4，解得R＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π. 法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB.在Rt△BCD中，CD＝＝2，则S△ABC＝2.设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π. 例．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球(与几何体所有棱都相切的球)的表面积分别为S1，S2，则＝________． 答案： 解析：如图，设正三棱柱的棱长为a，上、下底面的中心分别为D1，D，BB1的中点为E，则由正三棱柱与球的对称性可知，DD1的中点O即为外接球的球心，也是棱切球的球心，所以OB即为外接球的半径r1，OE即为棱切球的半径r2.在△ABC中，BD＝×a＝a，所以r＝OD2＋BD2＝＋＝，r＝BD2＝＝，所以＝＝＝. 小结： 1．求解空间几何体的外接球问题的策略 (1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径． (2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的． (3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解． 2．补形法主要应用于以下特点的图形 (1)若四面体中有三条棱两两垂直，则方法是找到三条两两互相垂直的棱，借助墙角模型补成长方体(如图)． (2)若四面体的对棱相等，则借助墙角模型补成长方体(如图)． 3．与外接球有关的常用结论 (1)正方体的棱长为a，外接球的半径为R，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)由棱柱的上、下底面平行和球的对称性，可知直棱柱外接球的球心为上、下底面外接圆圆心连线的中点，根据勾股定理求直棱柱外接球的半径． 4．“切”的处理 解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面． 注意：体积分割是求内切球半径的通用方法． 5．与内(棱)切球有关的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的内切球，则2R＝a； ②若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)二级结论：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足V＝Sr. 跟踪练习： 1．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A.π　　　　　　　　 B．4π C．4π D．6π 答案：B 解析：球半径r＝＝，所以球的体积为π×()3＝4π. 2、在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则V的最大值是(　　) A．16π B． C．36π D． 答案：B 解析：由题意，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，可得△ABC的内切圆的半径为r＝＝2，又AA1＝6，故在直三棱柱ABC－A1B1C1的内部的球半径最大为R＝2，所以V的最大值为πR3＝π×23＝. 3、如图所示的粮仓可近似看作一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为－1和3，则此组合体外接球的表面积是(　　) A．16π B．20π C．24π D．28π 解析：选B　设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为O1，则OO＋12＝R2，而OO1＝－1＋3－R，故R2＝1＋(＋2－R)2，解得R＝，此组合体外接球的表面积S＝4πR2＝20π.故选B. 4、两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　　) A．3π B．4π C．9π D．12π 答案：B 解析：如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD，设球的半径为R，则＝，可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因为CD⊥AB，则∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，所以∠CAD＝∠BCD，又因为∠ADC＝∠BDC，所以△ACD∽△CBD，所以＝，所以CD＝＝，因此这两个圆锥的体积之和为π·CD2·(AD＋BD)＝×3×4＝4π.故选B. 5、已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 答案：A 解析：设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1，r2，所以2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4.设球心到上、下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R(R≥4)，所以d1＝，d2＝，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|－|＝1或＋＝1，解得R2＝25，符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π.故选A. 6．【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A．底面半径为，高为的圆柱体 B．底面直径为，高为的圆锥体 C．半径为的球体 D．各棱长均为的四面体 【答案】B 【分析】根据空间几何体的形状，结合选项即可求解. 【详解】对于A,由于正方体的棱长为，故圆柱底面圆最大为正方体底面的内切圆，故半径最大为5，圆柱的高最大不超过，故A错误，B正确，正方体的内切球的半径为5，为正方体内最大的球，故C错误，D.正方体的面对角线的长度为，故棱长不超过.D错误，故选：B 7．在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．8π D．12π 【答案】C 解析：易知△ABC是等边三角形．如图，作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心， 且点O满足OM＝PA＝1，则点O为三棱锥P­ABC外接球的球心． 于是，该外接球的半径R＝OA＝＝＝. 8．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为(　　) A.＋1 B．3 C.＋1 D．2 【答案】A 解析：不妨设其棱长为2，外接球的半径为R，内切球的半径为r，如图． 则BO＝BD＝×2＝，PO＝ ＝，PM＝ ＝， 所以可知O即为该几何体外接球的球心，故R＝. 因为VP­ABCD＝4××S△PCD×r＋×S四边形ABCD×r＝×S四边形ABCD×PO， 又S四边形ABCD＝22＝4，S△PCD＝·CD·PM＝， 所以内切球半径为r＝，于是＝×＝＋1，故选A. 9．四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可知正四棱锥底面边长为侧棱长为，进而求出外接球的半径，应用等体积法求内切球的半径，即可求解. 【详解】因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为,则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为. 连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形， 在中，，由得，，整理得，. 设内切球的半径为，中，，，所以，所以四棱锥表面积为，由，即， ∴，则的长为.故选：B. 10、已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝2，AB＝AC＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：在三棱锥P－ABC中，如图，AB2＋PA2＝20＝PB2，则PA⊥AB，同理PA⊥AC，而AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，因此PA⊥平面ABC，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，则cos∠ABC＝＝，sin∠ABC＝＝，令△ABC的外接圆圆心为O1，连接OO1，O1A，OA，则O1A＝·＝，OO1⊥平面ABC，又PA⊥平面ABC，故OO1∥PA，取PA的中点D，连接OD，则有OD⊥PA，又PA⊥平面ABC，O1A⊂平面ABC，故O1A⊥PA，从而O1A∥OD，故四边形ODAO1为平行四边形，OO1＝AD＝1，又OO1⊥O1A，设球O的半径为R，则R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝＋12＝，所以球O的表面积S＝4πR2＝.故选A. 11、（多选）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则(　　) A．圆台的母线长为4 B．圆台的高为4 C．圆台的表面积为26π D．球O的表面积为12π 答案：ACD 解析：设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，如图，设圆台上、下底面的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，球O的半径为R，则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，设AD与圆O的切点为E，连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，且OE⊥AD，故DE＝DO1＝r1，AE＝AO2＝r2，∠OAD＋∠ODA＝，即∠DOA＝，由△AOE∽△ODE，故＝，即OE2＝DE·AE，即R2＝r1r2＝3，解得R＝，母线长为r1＋r2＝4，A正确；圆台的高为2R＝2，B错误；圆台的表面积为π×12＋π×32＋π×(1＋3)×4＝26π，C正确；球O的表面积为4×π×()2＝12π，D正确．故选ACD. 12．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论正确的是(　　) A．该正方体外接球的直径为2 B．该正方体内切球的表面积为4π C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为 D．该正方体外球接的体积为4 解析：选ABC　若正方体的棱长为2，则：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，即2R1＝＝2，故A正确；外接球体积为πR＝4π，故D错误；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故R2＝1，球的表面积为4πR＝4π，故B正确；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，即2R3＝＝2，球的半径为R3＝，故C正确． 13．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________． 答案：－1 解析：如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE， ∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心． ∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝. ∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.∵PD＝1， ∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝＝－1. 14、三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3.若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为________． 答案：4π 解析：如图，∵三棱柱ABC­A1B1C1为正三棱柱，∴设A1C1＝a，BB1＝h， ∴三棱柱的侧面积为3a·h＝3，∴ah＝. 又球O的半径R＝≥＝1， 当且仅当＝，且ah＝，即a＝，h＝时，等号成立． ∴球O的表面积S＝4πR2≥4π. 15．在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 【答案】 【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积. 【详解】如图： 在中，，，所以.取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为.连接，因为，所以.又.所以，即.又平面，，所以平面.所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，,由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 16、在四面体ABCD中，若AD＝DC＝AC＝CB＝1，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________． [答案]　 [解析]因为AD＝DC＝AC＝1，所以底面ACD的面积为定值， 因此当CB⊥平面ACD时，四面体ABCD的体积最大． 此时，将四面体ABCD补形成直三棱柱ACD­EBF， 如图所示，可得直三棱柱ACD­EBF与四面体ABCD的外接球相同． 设△ACD外接圆圆心为O1，△EBF外接圆圆心为O2， 连接O1O2，则四面体ABCD的外接球的球心O为O1O2的中点， 易得OO1＝，连接CO1，则CO1＝×＝. 因此外接球的半径R满足R2＝2＋2＝.所以外接球的表面积S＝4πR2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——14 与球有关的“切”、“接”问题 知识梳理 1、球的截面问题 1. 球的截面一定是圆或者是圆的一部分; 2. 确定球心与半径, 建立直角三角形, 计算截面与球心的距离; 3. 最大的截面半径 ,最小的截面半径 . 2、外接球 （1）长方体切割体的外接球 设长方体相邻的三条边棱长分别为 . 图 1 与图 2 有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图 3 无重垂线，俯视图是一矩形， 为虚线，主视图和左视图为直角三角形,外接球半径均为长方体体对角线一半, . 图 4 中 （2）三棱柱的切割体的外接球 图 1: 立着放的模型一定有重垂线,且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个,底面三角形非直角三角形,将重垂线长度设为,底面三角形外接圆半径设为可以求出,则 ; 图 2: 躺着放的模型,底面是直角三角形或者矩形,侧面非直角三角形,底面一条棱垂直于侧面, . 3、内切球 （1）内切球的基本概念 1）内切球定义:①球心到多面体各面距离相等且等于半径的球；②与圆柱两底面以及每条母线都相切的球; ③与圆锥底面和各母线都相切的球; ④与圆台上下两底面以及每条母线都相切的球. 2）正多面体的内切球和外接球球心重合. 3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，除正四面体外，均不重合. 4）任意四面体都有内切球，面数超过四的凸多面体需利用定义判断是否存在内切球. （2）多面体和旋转体的内切球 1）棱锥内切球半径: ①等体积法:由球心到各面距离相等，多面体体积可表示为: 所以 ②相似法求解正棱锥内切球半径:（以下以正三棱锥为例） 如图,由正三棱锥内切球球心在高线上,则球与侧面的切点在侧面的高线上,与底面的切点为高线垂足,易知,故利用 ,可解出内切球半径 . 2）旋转体内切球半径:（可按照轴截面的内切圆半径计算，外接球同理） 如图,已知圆锥高为,底面半径为,利用两个直角三角形和相似可得 ,故 ,所以 . 注:圆柱、圆台同样以轴截面的方式处理. （3）常见几何体内切球、外接球半径: 棱长为 的正方体: 内切球半径 ,外接球半径 . 棱长为 的正四面体: 内切球半径 ,外接球半径 . 柱体侧棱长 ,底面外接圆半径 : 柱体可能不存在内切球,柱体中最大的球的半径 . 4、棱切球 （1）常用结论 ①已知正方体的棱长为 ，则它的棱切球半径为 . ②已知正三棱柱的棱长均为 ，则它的棱切球半径为 . ③已知正四面体的棱长为 ，则它的棱切球半径为 . 证明①:正方体棱切球的半径即为面对角线的一半，易得 . 证明②:如图，设正三棱柱棱棱长均为，上底面中心为 ，下底面中心为 ，连接 ，则球 的球心 在 的中点上,设球 切棱 于 ,切棱 于 ,则 分别为所在棱的中点,则 ,又 ,所以 . 证明③:将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，若正四面体的棱长为， 则正方体的棱长为,故. （2）解题技巧 ①找切点，找球心，构造直角三角形. ②正棱柱的棱切球的球心为上下底面中心连线的中点，正棱锥的棱切球的球心在其高线上，可以通过对称性或者截面内切圆圆心的垂线交点确定. ③ 棱长都为的正棱柱,则棱切球的半径为 . 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.2节例4】如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 【人教A版必修二第8.3.2节例3】如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14） 【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题】将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积. 【人教A版必修二习题8.3第5题】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求球的体积. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第4题】一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 【人教B版必修四03复习题B组第11题】已知球O的半径为2，一平面截球面所得圆的圆心为，且A、B都是圆上的点，，，求△OAB的面积． 【人教B版必修四03复习题C组第7题】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，求球心到截面的距离． 考点梳理： 例、在三棱锥S－ABC中，SA＝BC＝5，SB＝AC＝，SC＝AB＝，则该三棱锥外接球的表面积是(　　) A．50π B．100π C．150π D．200π 小结：对棱相等的三棱锥，可补形成长方体，此时三棱锥的6条棱均为长方体的面对角线．计算时，可以设而不求，设出长方体的长、宽、高，利用勾股定理列式，可以不计算出棱长，直接得到外接球的半径． 例、已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 例、已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 例、在直三棱柱A1B1C1－ABC中，A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，则其外接球与内切球的表面积之比为(　　) A． B． C． D．29 例、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为(　　) A．10 cm B．10 cm C．10 cm D．30 cm 例、已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为36π，则该正四棱锥体积的最大值为(　　) A．18 B． C． D．27 例、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 例．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球(与几何体所有棱都相切的球)的表面积分别为S1，S2，则＝________． 小结： 1．求解空间几何体的外接球问题的策略 (1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径． (2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的． (3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解． 2．补形法主要应用于以下特点的图形 (1)若四面体中有三条棱两两垂直，则方法是找到三条两两互相垂直的棱，借助墙角模型补成长方体(如图)． (2)若四面体的对棱相等，则借助墙角模型补成长方体(如图)． 3．与外接球有关的常用结论 (1)正方体的棱长为a，外接球的半径为R，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)由棱柱的上、下底面平行和球的对称性，可知直棱柱外接球的球心为上、下底面外接圆圆心连线的中点，根据勾股定理求直棱柱外接球的半径． 4．“切”的处理 解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面． 注意：体积分割是求内切球半径的通用方法． 5．与内(棱)切球有关的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的内切球，则2R＝a； ②若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)二级结论：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足V＝Sr. 跟踪练习： 1．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A.π　　　　　　　　 B．4π C．4π D．6π 2、在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则V的最大值是(　　) A．16π B． C．36π D． 3、如图所示的粮仓可近似看作一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为－1和3，则此组合体外接球的表面积是(　　) A．16π B．20π C．24π D．28π 4、两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　　) A．3π B．4π C．9π D．12π 5、已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 6．【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A．底面半径为，高为的圆柱体 B．底面直径为，高为的圆锥体 C．半径为的球体 D．各棱长均为的四面体 7．在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．8π D．12π 8．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为(　　) A.＋1 B．3 C.＋1 D．2 9．四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 10、已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝2，AB＝AC＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为(　　) A． B． C． D． 11、（多选）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则(　　) A．圆台的母线长为4 B．圆台的高为4 C．圆台的表面积为26π D．球O的表面积为12π 12．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论正确的是(　　) A．该正方体外接球的直径为2 B．该正方体内切球的表面积为4π C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为 D．该正方体外球接的体积为4 13．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________． 14、三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3.若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为________． 15．在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 16、在四面体ABCD中，若AD＝DC＝AC＝CB＝1，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________． 学科网（北京）股份有限公司 $