09 抛物线及其几何性质-2027届高三数学一轮复习解析几何回归教材版讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线核心考点，涵盖定义、标准方程及几何性质，按知识梳理-回归教材-考点突破-跟踪练习逻辑架构，通过考点分类梳理、方法指导（如定义转化距离）、真题与教材例题结合训练，帮助学生构建系统知识网络，突破解题难点。 资料突出回归教材与高考对接特色，采用定义应用分类教学（轨迹、距离、最值问题），如焦半径与准线距离转化培养数学思维，设置分层练习（选择、填空、解答），配合方法小结提升解题效率，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——09 抛物线及其几何性质 知识梳理： 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 2. 抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 回归教材： 【人教A版选择性必修一第3.3.1节例1】 (1)已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程; （2）已知抛物线的焦点是,求它的标准方程. 【人教A版选择性必修一第3.3.1节练习第2题】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1);(2);(3);(4). 【人教A版选择性必修一第3.3.1节练习第3题】填空. （1）抛物线上一点与焦点间的距离是,则点到准线的距离是 ,点的横坐标是 。 (2)抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是 。 【人教A版选择性必修一习题3.3第2题】填空题. (1)准线方程为的抛物线的标准方程是 . (2)抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 . 【人教A版选择性必修一习题3.3第3题】抛物线()上一点与焦点的距离,求点的坐标. 【人教A版选择性必修一习题3.3第5题】如图,是抛物线上的一点,是抛物线的焦点,以为始边、为终边的角,求. (第5题) 【人教A版选择性必修一复习参考题3第6题】已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个等边三角形的边长. 【人教A版选择性必修一第3.3.2节138页练习第1题】求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点关于准线的对称点为; (2)关于轴对称,与直线相交所得线段的长为12; (3)关于轴对称,以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形. 【人教A版选择性必修一第3.3.2节138页练习第2题】点在抛物线上,为焦点,直线与准线相交于点,求. 【人教A版选择性必修一第3.3.2节138页练习第3题】设抛物线上的点与焦点的距离为4,点到轴的距离为,求抛物线的方程和点的坐标. 考点梳理： 抛物线的定义及应用 例、若动点满足方程，则点的轨迹是( ). A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 例、（2026·安徽滁州·一模）若是抛物线上的动点，点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．7 D． 例、（2026·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 小结：抛物线定义应用的三种类型及解题策略 轨迹问题 用抛物线的定义可以确定与定点、定直线的距离有关的动点轨迹是否为抛物线 距离问题 灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离间的等价转化 最值问题 将抛物线上的点到焦点（准线）的距离转化为该点到准线（焦点）的距离，构造出“两点之间线段最短”或利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”求解问题 抛物线的标准方程 例、【人教A版选择性必修一第3.3.2节例3】已知抛物线关于轴对称,它的顶点在原点,并且经过点 ,求它的标准方程. 例、【人教A版选择性必修一习题3.3第4题】根据下列条件,求抛物线的标准方程, (1)顶点在原点,对称轴是轴,并且顶点与焦点的距离等于6; (2)顶点在原点,对称轴是轴,并经过点. 例、(多选)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程可以是(　　) A．y2＝－x B．y2＝x C．x2＝－y D．x2＝y 例、设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点 (0，2)，则抛物线C的方程为____________． 小结、求抛物线标准方程的方法 (1)定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． (2)待定系数法 ①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程． ②当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p＞0)和y2＝2px(p＞0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)． 抛物线的几何性质 例、已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若△AFB是边长为6的等边三角形，则p的值是(　　) A．3 B．3 C．6 D．6 例、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足 ＝2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为(　　) A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 例、（多选题）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则( ) A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 小结： (1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化． (2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 跟踪练习： 1、若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　) A．x＝－4 B．x＝4 C．y2＝8x D．y2＝16x 2．已知点P(x，y)满足＝|x＋1|，则点P的轨迹为(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 3．已知抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2026·陕西·二模）已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·辽宁鞍山·二模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 7．设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝(　　) A． B． C． D． 8．以双曲线－＝1的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线y2＝2px(p＞0)于A，B两点．已知|AB|＝4，则抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A．或4 B． C．或4 D．4 9．(多选)已知点A(－2,4)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　) A．抛物线的准线方程为x＝2 B．抛物线的焦点坐标为(－2,0) C．点B的坐标为(－2，－2) D．△OAB的面积为8 10、(多选)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线y2＝4x上一动点，Q是⊙C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一动点，则下列说法正确的是(　　) A．|PF|的最小值为1 B．|QF|的最小值为 C．|PF|＋|PQ|的最小值为4 D．|PF|＋|PQ|的最小值为＋1 11．（多选）已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A．焦点F的坐标为 B．若直线MN过焦点F，则x1x2＝－ C．若＝λ，则|MN|的最小值为 D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为 12．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　　) A．C的准线方程为x＝－4 B．F点的坐标为(0,4) C．|FN|＝12 D．三角形ONF的面积为16(O为坐标原点) 13. 已知在抛物线上，则点到抛物线的准线的距离为 . 14. 设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若，则的最小值为 . 15、 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点 (0，2)，则抛物线C的方程为____________． 16． 已知为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为， 若，则 . 17．已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，则点P的坐标为 ． 18、 求分别满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，准线方程为； （2）顶点在原点，且过点； （3）顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上； （4）顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 19．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于点A，B，交C的准线于点P，Q. (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB的中点的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——09 抛物线及其几何性质 知识梳理： 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 2. 抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 回归教材： 【人教A版选择性必修一第3.3.1节例1】 (1)已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程; （2）已知抛物线的焦点是,求它的标准方程. 解:(1)因为,抛物线的焦点在轴正半轴上,所以它的焦点坐标是,准线方程是. （2）因为抛物线的焦点在轴负半轴上,且,所以抛物线的标准方程是。 【人教A版选择性必修一第3.3.1节练习第2题】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1);(2);(3);(4). 【答案】（1）焦点：；准线：；（2）焦点：；准线：； （3）焦点：；准线：；（4）焦点：；准线：. 【解析】（1）因为，开口向右；焦点，准线 。 （2）因为，开口向上；焦点，准线 。 （3）因为，所以，开口向左；焦点，准线 。 （4）因为，所以，开口向下。焦点，准线 。 【人教A版选择性必修一第3.3.1节练习第3题】填空. （1）抛物线上一点与焦点间的距离是,则点到准线的距离是 ,点的横坐标是 。 (2)抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是 。 【答案】(1)；; (2) 【解析】（1）抛物线定义：抛物线上任一点到焦点距离 = 到准线距离，故距离为。设， 准线 ，，解得 。 (2)因为，准线 。设点，由定义：。 代入 ，。坐标。 【人教A版选择性必修一习题3.3第2题】填空题. (1)准线方程为的抛物线的标准方程是 . (2)抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 . 【答案】(1) ；（2） 【解析】（1）开口向左，准线，，方程 （2）已知得，由抛物线定义得，代入方程求得， 故抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是. 【人教A版选择性必修一习题3.3第3题】抛物线()上一点与焦点的距离,求点的坐标. 【答案】或 【解析】由抛物线定义知， 代入抛物线方程解得点的纵坐标为或，故点的坐标为或. 【人教A版选择性必修一习题3.3第5题】如图,是抛物线上的一点,是抛物线的焦点,以为始边、为终边的角,求. (第5题) 【答案】 【解析】由已知得，焦点，设，由抛物线的定义得； 利用倾斜角斜率关系解得，则. 【人教A版选择性必修一复习参考题3第6题】已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个等边三角形的边长. 【答案】 【解析】图形关于轴对称，设交点；由，，即x, 代入得,则,所以p,所以这个等边三角形的边长为2y,即为。 【人教A版选择性必修一第3.3.2节138页练习第1题】求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点关于准线的对称点为; (2)关于轴对称,与直线相交所得线段的长为12; (3)关于轴对称,以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）抛物线焦点与准线关于顶点对称，顶点是中点。中点坐标为。 抛物线对称轴为轴；焦点、准线距离为。设，准线。与关于准线对称，距离相等：，解得 ，开口向下， 则方程为 。 （2）关于轴对称，设方程 （开口向下）。令，。 弦长 ，。方程 。 （3）等边三角形边长，焦点与准线上两点构成等边三角形，焦点到准线距离等于等边三角形的高：若开口向右：；开口向左：。 【人教A版选择性必修一第3.3.2节138页练习第2题】点在抛物线上,为焦点,直线与准线相交于点,求. 【答案】 【解析】代入：，。，焦点，准线。 直线斜率为。直线方程：。令，，， 则。 【人教A版选择性必修一第3.3.2节138页练习第3题】设抛物线上的点与焦点的距离为4,点到轴的距离为,求抛物线的方程和点的坐标. 【答案】抛物线：；或 【解析】焦点，准线 。设，。抛物线定义：。 因为在抛物线上，则有，，，，，。 抛物线：。，，则。 考点梳理： 抛物线的定义及应用 例、若动点满足方程，则点的轨迹是( ). A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D [解析]由得， 等式左边表示点和点之间的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.故选. 例、（2026·安徽滁州·一模）若是抛物线上的动点，点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线方程确定其焦点和准线方程，再利用抛物线的定义将进行转化，最后结合几何图形的性质求出的最小值. 【详解】由抛物线，得，则，所以抛物线的焦点，准线方程为.设点到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即.因为点到准线的距离就是，所以，那么，根据几何性质，当，，三点共线时，的值最小，即，已知，，得：，所以的最小值为. 例、（2026·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设，图形结合抛物线定义可得关于的表达式，据此可得答案. 【详解】由题可得，则，从而.又抛物线准线为， 过A作准线垂线，垂足为，由抛物线定义可得，则， 从而. 小结：抛物线定义应用的三种类型及解题策略 轨迹问题 用抛物线的定义可以确定与定点、定直线的距离有关的动点轨迹是否为抛物线 距离问题 灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离间的等价转化 最值问题 将抛物线上的点到焦点（准线）的距离转化为该点到准线（焦点）的距离，构造出“两点之间线段最短”或利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”求解问题 抛物线的标准方程 例、【人教A版选择性必修一第3.3.2节例3】已知抛物线关于轴对称,它的顶点在原点,并且经过点 ,求它的标准方程. 解：因为抛物线关于轴对称,它的顶点在原点,并且经过点,所以可设它的标准方程为 因为点在抛物线上，所以解得.因此,所求抛物线的标准方程是 例、【人教A版选择性必修一习题3.3第4题】根据下列条件,求抛物线的标准方程, (1)顶点在原点,对称轴是轴,并且顶点与焦点的距离等于6; (2)顶点在原点,对称轴是轴,并经过点. 【答案】(1)或; (2) 【解析】(1)顶点到焦点距离，又该抛物线的开口可能向向右 ，也可能向左， 故其方程为或. (2)设，将代入解得. 又点P在第四象限，该抛物线的对称轴是轴，故其方程为. 例、(多选)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程可以是(　　) A．y2＝－x B．y2＝x C．x2＝－y D．x2＝y 答案：AD 解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y.故选AD. 例、设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点 (0，2)，则抛物线C的方程为____________． 答案：y2＝4x或y2＝16x 解析：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，设M(x0，y0)，由抛物线的定义，知|MF|＝x0＋＝5，得x0＝5－，则以MF为直径的圆的圆心横坐标为，而圆的半径为，于是得该圆与y轴相切于点(0，2)，得圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即M，从而有42＝2p，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x. 小结、求抛物线标准方程的方法 (1)定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． (2)待定系数法 ①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程． ②当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p＞0)和y2＝2px(p＞0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)． 抛物线的几何性质 例、已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若△AFB是边长为6的等边三角形，则p的值是(　　) A．3 B．3 C．6 D．6 答案：A 解析：由题意知，|AF|＝|AB|，则AB⊥l.设准线l与x轴交于点D，则AB∥DF.又△AFB是边长为6的等边三角形，故∠ABF＝60°，所以∠BFD＝60°，|DF|＝|BF|cos∠BFD＝6×＝3，即p＝3.故选A. 例、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足 ＝2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为(　　) A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 【答案】B [解析]由题得抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，如图， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵＝2，∴|AF|＝2|BF|， ∴x1＋1＝2(x2＋1)，∴x1＝2x2＋1，∵|y1|＝2|y2|，∴y＝4y， ∴x1＝4x2，∴x1＝2，x2＝. ∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为[(x1＋1)＋(x2＋1)]＝.故选B. 例、（多选题）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则( ) A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC [解析]对于，在中令，得，所以抛物线的焦点为，所以，所以，故正确；对于，由知，抛物线的方程为，则由 得或不妨设,，，则由抛物线的定义，得，故不正确； 对于，由可知，以为直径的圆的圆心为点，半径为，又抛物线的准线的方程为，圆心到准线的距离为，所以以为直径的圆与相切，故正确； 对于，因为，所以由抛物线的对称性知不是等腰三角形，故不正确.故选. 小结： (1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化． (2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 跟踪练习： 1、若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　) A．x＝－4 B．x＝4 C．y2＝8x D．y2＝16x 答案：D 解析：∵点M到F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，∴点M的轨迹方程为y2＝16x. 2．已知点P(x，y)满足＝|x＋1|，则点P的轨迹为(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 答案：C 解析：表示点P(x，y)到点(1，0)的距离，|x＋1|表示点P(x，y)到直线x＝－1的距离．因为＝|x＋1|，所以点P(x，y)到点(1，0)的距离等于点P(x，y)到直线x＝－1的距离，所以点P的轨迹为抛物线．故选C. 3．已知抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的定义确定坐标，即可求解. 【详解】由抛物线方程可得：抛物线的准线方程为：，由抛物线的定义可得：点到准线的距离为6，所以点纵坐标为，代入抛物线方程可得：，得：， 所以点到轴的距离为，故选：B 4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质，结合条件可得是等边三角形，利用抛物线的性质即可求解. 【详解】因点A在C上，则，又，为正三角形，如图，准线与轴交于点，在中，，所以，即. 5．（2026·陕西·二模）已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】依题设，利用题设条件与焦准距可得，再由三角形面积计算即得. 【详解】由题意可知：，则，设，则， 可得，即，又因为的面积为，解得. 6．（2026·辽宁鞍山·二模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义有，又， 得，设准线与轴的交点为，则有，所以， 又，故. 7．设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，设P(m，n)，n＞0，则Q(m，－1)，m2＝4n，由抛物线的定义可得|PF|＝|PQ|＝n＋1，在△PQF中，∠PFQ＝∠PQF＝30°，∠FPQ＝120°，可得|FQ|＝|PQ|＝(n＋1)，即有＝＝(n＋1)，解得n＝(负值舍去)，则|PQ|＝n＋1＝.故选A. 8．以双曲线－＝1的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线y2＝2px(p＞0)于A，B两点．已知|AB|＝4，则抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A．或4 B． C．或4 D．4 答案：A 解析：双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，焦点为(±，0)，渐近线方程为y＝±x，即3x±2y＝0，焦点(，0)到渐近线3x＋2y＝0的距离为＝3，所以题中圆的方程为(x－2)2＋y2＝9，因为圆(x－2)2＋y2＝9和抛物线y2＝2px(p＞0)都关于x轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设A(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，则B(x1，－y1)，则|AB|＝2y1＝4，所以y1＝2，因为点A在圆(x－2)2＋y2＝9上，所以(x1－2)2＋8＝9，解得x1＝1或x1＝3，所以A(1，2)或A(3，2)，当A(1，2)时，8＝2p，解得p＝4；当A(3，2)时，8＝6p，解得p＝.综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为或4.故选A. 9．(多选)已知点A(－2,4)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　) A．抛物线的准线方程为x＝2 B．抛物线的焦点坐标为(－2,0) C．点B的坐标为(－2，－2) D．△OAB的面积为8 【答案】ABD 解析：将A(－2,4)代入抛物线方程可得p＝4，因此抛物线方程为y2＝－8x，所以准线方程为x＝2，焦点坐标为(－2,0)，故A、B正确；易知AF⊥x轴，所以B(－2，－4)，故C错误；又因为|AB|＝8， 所以S△OAB＝×8×2＝8，故D正确． 10、(多选)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线y2＝4x上一动点，Q是⊙C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一动点，则下列说法正确的是(　　) A．|PF|的最小值为1 B．|QF|的最小值为 C．|PF|＋|PQ|的最小值为4 D．|PF|＋|PQ|的最小值为＋1 答案：AC 解析：抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.对于A，由抛物线的性质可知，|PF|的最小值为|OF|＝1，故A正确；对于B，注意到F是定点，由圆的性质可知，|QF|的最小值为|CF|－r＝－1，故B错误；对于C，D，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|，故|PF|＋|PQ|＝|PM|＋|PQ|，|PM|＋|PQ|的最小值为点Q到准线x＝－1的距离的最小值，故最小值为4，故C正确，D错误．故选AC. 11．（多选）已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A．焦点F的坐标为 B．若直线MN过焦点F，则x1x2＝－ C．若＝λ，则|MN|的最小值为 D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为 答案：BCD 解析：易知焦点F的坐标为，A错误；根据抛物线的性质知，当MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－，B正确；若＝λ，则MN过焦点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，C正确；抛物线x2＝y的焦点为F，准线方程为y＝－，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝，所以|PP′|＝＝，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－＝－＝，D正确．故选BCD. 12．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　　) A．C的准线方程为x＝－4 B．F点的坐标为(0,4) C．|FN|＝12 D．三角形ONF的面积为16(O为坐标原点) 【答案】ACD 解析：如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′， 作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为(4,0)，则|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线|MB|＝＝6， 由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6， 故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝＝8，S△ONF＝×8×4＝16.故选A、C、D. 13. 已知在抛物线上，则点到抛物线的准线的距离为 . 【答案】 [解析]因为点在抛物线上，所以，解得，则抛物线方程为，其准线方程为，则点到抛物线的准线的距离为. 14. 设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若，则的最小值为 . 【答案】4 [解析]如图，过点作垂直于准线，交准线于点,交抛物线于点,连接，则.又,所以,即的最小值为4. 15、 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点 (0，2)，则抛物线C的方程为____________． 答案：y2＝4x或y2＝16x 解析：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，设M(x0，y0)，由抛物线的定义，知|MF|＝x0＋＝5，得x0＝5－，则以MF为直径的圆的圆心横坐标为，而圆的半径为，于是得该圆与y轴相切于点(0，2)，得圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即M，从而有42＝2p，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x. 16． 已知为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为， 若，则 . 【答案】 【分析】利用抛物线的准线确定抛物线方程，结合抛物线定义与直角三角形的边角关系计算即可． 【详解】由题意为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，且，所以，所以，所以，设准线与纵轴交于点，根据抛物线定义可知，所以，因为，所以， 在中，，所以． 17．已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据抛物线的方程确定焦点坐标与准线方程，设，结合抛物线的定义与已知即可得点P的坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设抛物线上一点，由抛物线的定义可得，解得，所以点P的坐标为或. 18、 求分别满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，准线方程为； （2）顶点在原点，且过点； （3）顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上； （4）顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. [解析]（1）由顶点在原点，准线方程为，可知抛物线的焦点在轴负半轴上，设抛物线的标准方程为,且，故抛物线的标准方程为. （2）由顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上，则设抛物线的标准方程为或，分别将代入，求得,，故抛物线的标准方程为或. （3）由于直线与轴的交点为，由题意可知抛物线焦点为，设抛物线的标准方程为，则，故抛物线的标准方程为. （4）设抛物线方程为，焦点为,，准线方程为，由题意知，抛物线焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，得，故抛物线的标准方程为. 19．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于点A，B，交C的准线于点P，Q. (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB的中点的轨迹方程． 解：(1)证明：由题意知F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R，.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. 由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2， 则k1＝＝＝＝＝－b＝k2.所以AR∥FQ. (2)设直线AB与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝|b－a|·|FD|＝|b－a|，S△PQF＝. 由题设可得2×|b－a|＝，所以x1＝0(舍去)或x1＝1. 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)． 而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以所求轨迹方程为y2＝x－1. 学科网（北京）股份有限公司 $