专题4.2 一元一次方程及其解法（7题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本初中数学讲义聚焦一元一次方程及其解法，系统梳理定义（一个未知数、次数为1、整式方程）、标准形式及五步解法流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1），构建从概念识别到错解分析、同解问题的递进学习支架。 资料以“知识点+真题题型+变式练习”设计，通过错解复原题型培养运算能力与推理意识，同解方程问题强化模型意识，课中辅助分层教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.2一元一次方程及其解法 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01一元一次方程的解法 2.知识清单 知识点02一元一次方程的同解方程 题型01解一元一次方程-合并同类项与移项 题型02解一元一次方程-去括号 元一次方程 题型03解一元一次方程-去分母（整数） 及其解法 3.题型精讲 题型04解一元一次方程-去分母（小数） 题型05一元一次方程的错解复原问题 题型06利用一元一次方程同解问题求解 题型07一元一次方程整数解问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解核心概念：掌握一元一次方程的定义（一个未知数、次数为1、整式方程）及 其标准形式。 2.掌握基本解法：熟练运用等式性质进行变形（去分母、去括号、移项等），能正确 教学目标 求解方程并检验结果。 3.建立应用意识：体会方程作为刻画实际问题的数学模型，能将简单实际问题转化为 方程并解决。 教学重点 1.准确识别并判断一元一次方程，理解其“一元”与“一次”的本质特征。 教学重难点 2.系统掌握解一元一次方程的五步流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数 化1)，实现从具体操作到程序化思维的提升。 教学难点 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.灵活运用等式的性质进行方程变形，尤其是去分母时正确处理整数项，以及去括号 时的符号易错点。 2.准确识别实际问题中的等量关系并建立方程，完成从算术思维到代数思维的过渡。 知识清单 知识点01一元一次方程的解法 ◆合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. ◆移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项 ◆去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号， ◆去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有 小数时，先将小数化成整数： 【注意】：(1)移项的时候注意变号： (2)去括号的适合注意，若括号前是“”号，那么去括号的时候要变号 【即学即练1-1】(25-26七年级下·吉林长春·期末)解方程 (1)8x=2x-7: (2)6(2x-5)+20=4(1-2x) 【即学即练1-2】(25-26七年级上：河南郑州期末)解方程： (1)3(x-2)=2x+1 2421 4 【即学即练1-3】(25-26七年级下·黑龙江大庆·期末)解一元一次方程： (1)4x+1=9+2x: @号2. 3 知识点02一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该 方程解代入另一个方程求解字母的值 【即学即练2-1】(25-26七年级上福建漳州：阶段检测)关于x的方程5m+2x=1+x.若该方程与方程 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7-x=2x+1同解，试求m的值. 【即学即练2-2】(25-26七年级下甘肃天水期中)已知关于x的方程3x-?=”+4的解与 3-2x=7-4x的解相同，求a的值。 【即学即练2-3】(25-26七年级下·福建泉州阶段检测)在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则 称这两个方程为同解方程. (1)填空：方程x-1=0与方程2-x=3-2x 同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程3x=6与关于x的方程mx=1是同解方程，求m的值： (3)若关于x的两个方程4x=2(2mn+x)与3x-4=2x+2m是同解方程，求符合要求的正整数m,n的值. 题型精讲 题型01 解一元一次方程-合并同类项与移项 【典例1】(25-26七年级下·吉林长春期末)解方程：4x-7=2x+5. 【变式1】(25-26七年级下·全国课后作业)解下列方程： (1)x-5=7: (2)4x=3x-4 【变式2】(25-26七年级上浙江绍兴开学考试)解方程 (四+x=2 1 7 (2)x-2x0.15=13 20 【变式3】(25-26七年级下·全国课后作业)解下列方程： (1)x-6=6: (2)7x=6x-4: (3)-5x=60: 1.1 ④4y=2 题型02解一元一次方程-去括号 3/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(25-26七年级下·福建泉州期末)解方程：2(x+1)-4=6。 【变式1】(25-26七年级下湖南衡阳期末)解方程：2(x-)+3=3(x+1) 【变式2】(25-26七年级下吉林长春期末)解方程：x+2=4-2(x-1). 【变式3】(24-25八年级下·上海阶段检测)解关于x的方程：a(x+3)=2(a-3). 题型03 解一元一次方程-去分母（整数) 【典例3】(25-26七年级下吉林长春期末)解方程：3= x-3_x=1 【变式1】(25-26七年级上山西吕梁期末)解方程：26 x+3_1-x+1. 【变式2】(25-26七年级下四川泸州：期末)解方程：2=3 -1, 2-x 【变式3】(25-26七年级下黑龙江大庆期末)解方程：3 +1= 2· 题型04 解一元一次方程-去分母（小数） 【典例4】(24-25六年级下山东烟台期中)解方程：0.7 0.17-0.2x=1 0.03 -0=2+0.3-02x 【变式1】(21-22六年级上山东烟台期末)解方程：-0.6 0.3 【变式2】(25-26七年级上江苏南京期末)解方程： 0.3x-0.1-2=x-5 0.2 3· x+4x-1 【变式3】(25-26六年级下山东威海期末)解方程： =-10 0.20.5 题型05一元一次方程的错解复原问题 x+2 【典例5】(25-26七年级上浙江温州：期末)小温解方程3=x+1的过程如下： 解：去分母，得x+2=3x+1 第一步 移项，得x-3x=1+2 第二步 合并同类项，得-2x=3 第三步 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 两边同除以2，得x= 2 第四步 ()小温的解题过程有错误，小温从第 步开始出现错误 (2)写出正确的解答过程。 x+1x-3 【变式1】(24-25七年级上吉林长春阶段检测)以下是圆圆解方程2-？=1的过程。 去分母，得3(x+1)-2(x-3)=1 去括号，得3x+1-2x+3=1. 移项、合并同类项，得x=-3! 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请在上面的解题过程中划出错误的地方，并写出正确的解答过 程， +3_x-3=1的过程，请认真阅读，并 【变式2】(25-26七年级下河南南阳期中)下面是小敏解方程2-6 完成相应的任务， 解：去分母，得3(x+3)-(5x-3)=1.第一步 去括号，得3x+9-5x+3=1.第二步 移项，得3x-5x=-9-3+1.第三步 合并同类项，得-2x=-11.第四步 11 系数化为1，得x=2·第五步 任务一： (1)解答过程中，第 步开始出现了错误，产生错误的原因是一； (2)第三步变形的依据是」 任务二： (3)该一元一次方程正确的解是 (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要的注意事项给其他同学提一 条建议 【变式3】(25-26七年级上·山西太原·阶段检测)在学习解一元一次方程后，小军对一道一元一次方程的 解答过程如下： 都混号1 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解： 得4(x-2)-3(3x-5)=12...第①步 去括号，得4x-8-9x+15=12…第②步 移项，得4x-9x=12-8-15.…第③步 合并同类项，得-5x=-11…第④步 1 系数化为1，得x= 5 第⑤步 任务一：填空 (1)第①步进行的是 这一步的依据是 或填为： (2)第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请直接写出该一元一次方程正确的解： 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就求解一元一次方程还需要注意的事项给其他同 学提一条建议。 题型06 利用一元一次方程同解问题求解 【奥例6】(25-26六年级下山东淄博阶段检测)如果关于y的方程2+1=7和方程2-《：-0的解相同， 3 则k的值为一. 【变式1】(25-26七年级上江苏扬州期末)若关于x的方程x+1=0与2x+5a=3的解相同，则a= 【变式2】(24-25七年级上山东聊城阶段检测)已知方程2(x-)+k=3x的解与关于x的方程 x-k 2 =k-3x的解相同，求k的值. 【变式3】(24-25七年级上陕西榆林阶段检测)关于y的方程2m+y=m与3y-3=2y-1的解相同，求 m的值. 题型07 一元一次方程整数解问题 【典例7】(25-26七年级上山东德州期末)若关于x的方程mx=5-x的解是整数，则整数m的值是 【变式1】(24-25七年级上·北京朝阳期中)等式心-2x=3中，若x是整数，则整数a的取值是」 【变式2】(24-25七年级上北京：阶段检测)关于x的方程c-3=2x的解是整数，则整数k的值为 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式3】(24-25七年级上江苏南京阶段检测)关于x的方程2x-3=的解是整数，则整数k所有取值 的和为 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26七年级下河北石家庄开学考试)若36ab-与-25a+b是同类项，则m、n的取值为() A.m=4,n=5B.m=3.n=4 C.m=2,n=5 D.m=4,n=3 2.(25-26七年级下山西临汾期末)代数式4x-3与2x-9的值互为相反数，则x的值为() A.-3 B.2 C.3 D.6 3(2526年装下程建泉州菊术)在解方经}生-时。去分过程输的足《） A.2-3(x+1)=3 B.3-2(x+1)=18 C.3-2(x+1)=3 D.2-3(x+1)=18 526士年级上河南郑州期末)若方程4-2x=2与方程”，3的解相同，则的值为 A.5 B.7 C.9 D.11 二、填空题 5.(25-26七年级下·吉林长春期末)若代数式2m与5-m的值相等，则m= 6.(25-26七年级下河南周口期末)解方程：4(x+1)=3x-5,x=_ 。《2526七华级下地川蓬宁期末)方程牛2的解是 8.(25-26七年级上安徽马鞍山期中)关于x的一元一次方程2x=4与2x+a=3的解相同，则a的值为 三、解答题 9.(25-26七年级下·吉林长春期末)解方程： (1)12-x=2x; 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-x-X-3-1 (2)3=5 10.(25-26七年级下山东淄博期中)解方程： (1)2x+5=3x-1: (2)2(x-4)=3(x+5) 62r-12x-3-1 3 4 2x-0.3_x+0.4=1 ④0.5 0.3 11.(26-27七年级上全国课后作业)解答题 分析下列解方程产生错误的原因，并改正。 (1)解方程：2x-1=-x+5 【解】移项，得2x-x=5-1,则x=4. 错误： 原因： 正解：X=」 ②解方程：言x+2。 2 【解】移项，得x=6,所以 2x=6,解得x=-9 错误： 原因： 正解：x= 12.(24-25六年级下·山东威海·期中)定义：若关于x的一元一次方程x=b(a≠0的常数)的解满足 x=b-a,则称该方程为“差解方程”，例如：方程2x=4的解为x=2,而2=4-2，则方程2x=4为“差 解方程”.根据题意，解决下面问题： (1)方程-2x=4(填“是”或“不是”)“差解方程”： (2)关于x的一元一次方程3x=2m-1是“差解方程”，求m的值： 能力提升 一、单选题 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(21-22七年级下河南驻马店·阶段检测)方程2x-6=0的解是() A.1 B.-1 C.-3 D.3 x-1 。(25-26七年级下河南周口期末)解方程21+ 3一，去分母正确的是() A.3(x-1)-1=2(2x+1) B.3(x-1)-6=2(2x+1)） C.3x-1-6=4x+1 D.3x-3-1=4x+2 3.(25-26七年级上·浙江宁波期末)若关于x的方程5-m=2(3+x)与方程x-6=-2x的解互为相反数， 则m的值为() A.4 B.-4 C.3 D.-3 4.（25-26七年级上山东滨州期末)若关于，的方程3x+2=, 2026x+a的解为x=-4:则关于y的方程 30+2)-2-2060+2)+口的解为（) A.y=2 B.y=-2 C.y=6 D.y=6 5.(25-26七年级上浙江杭州阶段检测)多项式mx-k和2mx-n(m,n,k为实数，m≠0)的值由x的取 值决定.如表是当x取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于x的方程mx-k=-2mx+n的解是() mx-k -6 2mx-n -6 4 A.x=-1 B x=1 C.x=3 D.x=4 二、填空题 6.(25-26七年级下河南周口期末)方程：12x-6(+2)=0的解为 a-4,3a+1 7.(25-26七年级下河南新乡期中)若代数式3与2的和为12，则a的值为 8.(24-25七年级上全国课后作业)按下面的运算程序计算： 输入n的值 计算：2n+3 是 >15 输出结果 否 当输入n=6时，输出结果为33；当输入n=7时，输出结果为17.如果输入n的值为正整数，输出的结果 为25，那么满足条件的n的值为 9.(25-26七年级上：河北张家口期末)若关于x的方程4x-2m=3x-1的解是关于x的方程x=2x-3m的 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解的2倍，则m的值为. 上山东德州期末)若关于的方程2026x+a=2x+b的解为x=二】 1 程20260+2)+a=2(0+2)+b的解为 三、解答题 11.(25-26七年级下湖南衡阳期末)解下列方程： (1)x-16=9x: g号2-12 4· 12.(25-26六年级下·山东淄博阶段检测)解方程： (1)4x-1=2x+5: (2)3(x-2)+1=x-(2x-1): 2 3； 0.3y+0.2-1=0.2y-0.1 (4) 0.4 0.6 13.(25-26七年级上河南郑州期末)定义一种新运算“※”：对于任意有理数4、b,规定 a※b=ab-a+b 例如：3※2=3×2-3+2=5 (1)计算：（-2)※3： (2)若x※5=15，求x的值： (3)试说明：a※b与b※a不一定相等（举例说明即可）. 3x+2x-7 14.(25-26七年级上安徽合肥·期末)下列是小明和小华同学关于一元一次方程4-8 =1的解答过 程，己知这两个同学的解答过程都有错误，请从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，帮助他 分析错因，并加以改正 小明同学： 小华同学： 3x+2_X-7=1 解方程48 3x+2x-7 解方程4 =1 8 3x+2 解：4 x8、-7 8=1×8第①步 3x+2 解：4 x8--7 8 8=1第①步 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(3x+2)-(x-7)=8第②步 2(3x+2)-(x-7)=1第②步 6x+4-x-7=8第③步 6x+4-x-7=1第③步 6x-x=8-4+7第④步 6x-x=1-4-7第④步 5x=11第⑤步 5x=-10第⑤步 11 x=- 5 第⑥步 x=-2第⑥步 (1)选择 同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”） (2)该同学的解答过程从第 一（填序号）步开始出现错误，错误的原因是 (3)请写出正确的解答过程. 15.(2025七年级上·全国·专题练习)【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义： 若x是关于x的一元一次方程ar+b=0(a≠0)的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x,y 满足x+y=10,则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”. ()已知关于y的方程：①2y-2=4;②=3.请通过计算说明哪个方程是一元一次方程3x-2x-13=0的 “友好方程”？ Q若关于y的方程y-l=1是关于x的一元一次方程x2“=a+1的“友好方程”，求a的值 11/11 专题4.2 一元一次方程及其解法 教学目标 1. 理解核心概念：掌握一元一次方程的定义（一个未知数、次数为1、整式方程）及其标准形式。 2. 掌握基本解法：熟练运用等式性质进行变形（去分母、去括号、移项等），能正确求解方程并检验结果。 3. 建立应用意识：体会方程作为刻画实际问题的数学模型，能将简单实际问题转化为方程并解决。 教学重难点 教学重点 1. 准确识别并判断一元一次方程，理解其“一元”与“一次”的本质特征。 2. 系统掌握解一元一次方程的五步流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1），实现从具体操作到程序化思维的提升。 教学难点 1. 灵活运用等式的性质进行方程变形，尤其是去分母时正确处理整数项，以及去括号时的符号易错点。 2. 准确识别实际问题中的等量关系并建立方程，完成从算术思维到代数思维的过渡。 知识点01 一元一次方程的解法 ◆合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. ◆移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. ◆去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. ◆去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 【即学即练1-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：移项合并得， 解得； （2）解：去括号得， 移项合并得， 解得． 【即学即练1-2】（25-26七年级上·河南郑州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【即学即练1-3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 知识点02 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 【即学即练2-1】（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）关于的方程．若该方程与方程同解，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，再把解代入，进行求解即可． 【详解】解：解得， 将代入，得， 解得． 【即学即练2-2】（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】先求出方程的解，再把解代入方程进行求解即可. 【详解】解：， ， ， ， ∵关于x的方程的解与的解相同， ∴方程的解为， ∴ ， 解得. 【即学即练2-3】（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)，或 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据定义进行判断即可； （2）先解方程得到，再根据同解方程的定义得到方程的解为，则，解方程即可； （3）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到，再根据m，n都是正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程与方程是同解方程； （2）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程是同解方程， ∴方程的解为， ∴， ∴； （3）解：解方程得：， 解方程得：； ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴是正整数， ∴或， 当时，； 当时，． 题型01 解一元一次方程--合并同类项与移项 【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解： 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解方程的基本步骤求解即可； （2）根据解方程的基本步骤求解即可； 【详解】（1）解：， 移项，得， 解得； （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得； 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用移项、将未知数系数化为1的基础步骤，即可求出各方程的解． 【详解】（1）解：， 移项得， 解得； （2）解：， 移项得， 解得； （3）解：， 两边同除以， 解得； （4）解：， 两边同乘以， 解得． 题型02 解一元一次方程--去括号 【典例2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解： 去括号得： 移项、合并同类项得： 系数化为1得：． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）解方程： 【答案】 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】解：去括号，得 ， 移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为，得． 【变式3】（24-25八年级下·上海·阶段检测）解关于的方程：． 【答案】 当时，方程无解；当时， 【详解】解：， ， ， 当时，方程无解；当时，． 题型03 解一元一次方程--去分母（整数） 【典例3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：． 【变式1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得出结果． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式2】（25-26七年级下·四川泸州·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：两边同乘6去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解方程：． 【答案】 【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可求解． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 题型04 解一元一次方程--去分母（小数） 【典例4】（24-25六年级下·山东烟台·期中）解方程：． 【答案】 【详解】解：整理得 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】（21-22六年级上·山东烟台·期末）解方程：． 【答案】 【分析】根据分数的性质，把分数的分子，分母都化成整数系数，求解方程即可． 【详解】解：原方程整理得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程两边同除以3，得． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．先把原方程整理得：，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 方程两边同时乘以，去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，， 将系数化为，得． 【变式3】（25-26六年级下·山东威海·期末）解方程： 【答案】 【详解】解：利用分数的基本性质将分母化为整数，得， 去括号得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型05 一元一次方程的错解复原问题 【典例5】（25-26七年级上·浙江温州·期末）小温解方程的过程如下： 解：去分母，得    第一步 移项，得        第二步 合并同类项，得        第三步 两边同除以，得        第四步 (1)小温的解题过程有错误，小温从第___________步开始出现错误． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法与步骤是解本题的关键； （1）小温第一步出现了漏乘的错误； （2）先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可． 【详解】（1）解：去分母时，方程两边都要乘3，而第一步漏乘，应为， ∴第一步有错误， 故答案为：一； （2）解： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）以下是圆圆解方程的过程． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请在上面的解题过程中划出错误的地方，并写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，划出错误的地方见解析，正确的解答过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母时，等式右边的1没有乘以系数6，去括号时等式左边的1没有乘以系数3，没有乘以系数，等式右边的1应该是6，再按照去括号，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误，划出错误的地方如下： 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 正确的解答过程如下： 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一： (1)解答过程中，第_____步开始出现了错误，产生错误的原因是_____； (2)第三步变形的依据是_____； 任务二： (3)该一元一次方程正确的解是_____； (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要的注意事项给其他同学提一条建议_____ 【答案】(1)一；去分母时，1漏乘了6 (2)等式的基本性质1 (3) (4)移项要注意变号 【分析】（1）根据等式的性质2求解； （2）根据等式的性质1求解； （3）根据解一元一次方程的步骤求解； （4）根据解一元一次方程的方法求解． 【详解】（1）解：解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6； （2）解：第三步变形的依据是等式的基本性质1； （3）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （4）解：建议：移项要注意变号． 【变式3】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）在学习解一元一次方程后，小军对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：____________，得．．．．第①步 去括号，得…第②步 移项，得…第③步 合并同类项，得…第④步 系数化为1，得第⑤步． 任务一：填空 （1）第①步进行的是____________，这一步的依据是____________，或填为：____________； （2）第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________； 任务二：请直接写出该一元一次方程正确的解； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就求解一元一次方程还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：（1）去分母，等式的基本性质，在等式的两边同乘以各分母的最小公倍数，等式仍然成立；（2）③，移项时没有变号；任务二：；任务三：去分母时不要漏乘不含分母的项（建议不唯一） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． 任务一：（1）根据去分母、等式的基本性质解答即可得； （2）根据移项法则解答即可得； 任务二：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； 任务三：结合解一元一次方程的经验，去分母时不要漏乘不含分母的项，由此即可得． 【详解】解：任务一：（1）第①步进行的是去分母，这一步的依据是等式的基本性质，或填为：在等式的两边同乘以各分母的最小公倍数，等式仍然成立， 故答案为：去分母，等式的基本性质，在等式的两边同乘以各分母的最小公倍数，等式仍然成立． （2）第③步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时没有变号， 故答案为：③，移项时没有变号． 任务二：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 任务三：提一条建议：去分母时不要漏乘不含分母的项．（建议不唯一） 题型06 利用一元一次方程同解问题求解 【典例6】（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）如果关于的方程和方程的解相同，则的值为____． 【答案】9 【分析】先解第一个方程得到的值，再根据两个方程的解相同，将代入第二个方程求解即可. 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得. 因为两个方程的解相同，将代入得 ， 去分母得， 去括号得， 解得. 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程与的解相同，则___________． 【答案】1 【分析】先求解方程得到的值，再将该值代入方程，转化为关于的一元一次方程，进而求解的值. 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 即， 解得. 【变式2】（24-25七年级上·山东聊城·阶段检测）已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，能得出关于k的方程及的解是解此题的关键．先根据等式的性质求出第一个方程的解是，求出第二个方程的解是，再根据同解方程求出的解即可． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， 解， 得． 【变式3】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段检测）关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值和解一元一次方程的步骤是解题关键．先求出的解，再代入中，求出m的值即可． 【详解】解： 所以． ∵关于的方程与的解相同， 所以， 所以． 题型07 一元一次方程整数解问题 【典例7】（25-26七年级上·山东德州·期末）若关于的方程的解是整数，则整数的值是_____． 【答案】，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确计算是解题的关键．先对方程进行变形得到，再根据解为整数，得出是的因数，且，从而求出整数的值． 【详解】解：解方程， 移项得， 即， 当时，方程无解，不符合题意； 当时，， 由于为整数，因此必须是的因数， 的因数为，， 所以或或或， 解得或或或， 故整数的值为，，，． 故答案为：，，，． 【变式1】（24-25七年级上·北京朝阳·期中）等式中，若x是整数，则整数a的取值是_____． 【答案】或1或3或5 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；由题意易得方程的解为，然后问题可求解． 【详解】解：由可得：， ∵x是整数，a也是整数， ∴3是的倍数， ∴或1或3或5； 故答案为或1或3或5． 【变式2】（24-25七年级上·北京·阶段检测）关于x的方程的解是整数，则整数k的值为________． 【答案】，1，3，5 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．方程变形后表示出x，根据x为整数，确定出整数k的值即可． 【详解】解：， 由为整数，得到整数的值为，1，3，5． 故答案为：，1，3，5． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）关于的方程的解是整数，则整数所有取值的和为______． 【答案】 【分析】本题考查方程的整数解，先求出含有参数k的方程的解，并列举出它是整数的所有可能性，再求出的整数值． 【详解】解：先解方程，， ∴， 解得：， 要使方程的解是整数，则必须是整数， ∴可以取的整数有：、， 则整数可以取的值有：、3、5． ∴整数所有取值的和为， 故答案为：． 一、单选题 1.（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）若与是同类项，则m、n的取值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据同类项的定义，构造方程求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得，． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期末）代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到的值. 【详解】解： 代数式与的值互为相反数， ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 系数化为得 . 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在解方程时，去分母过程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程去分母得：． 4．（25-26七年级上·河南郑州·期末）若方程与方程的解相同，则的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解得：， 因为方程与方程的解相同， 将代入方程，得， 解得； 故选：B． 二、填空题 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若代数式与的值相等，则___________． 【答案】/ 【分析】根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得． 6．（25-26七年级下·河南周口·期末）解方程：，______． 【答案】 【分析】按去括号，移项，合并同类项的步骤计算即可． 【详解】解： 去括号得 移项合并同类项得． 7．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）方程的解是________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 8．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）关于的一元一次方程与的解相同，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，先求解方程，得到的值，再将其代入方程，求解． 【详解】解：解方程，得． 将代入方程，得，解得． 故答案为： 三、解答题 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据解一元一次方程的方法及步骤即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得； （2）解：， 去分母（方程两边同乘），得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 10．（25-26七年级下·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解： 方程两边同乘12去分母得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得； （4）解： 将分母化为整数得， 方程两边同乘15去分母得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）解答题 分析下列解方程产生错误的原因，并改正． (1)解方程：． 【解】移项，得，则． 错误：___________． 原因：___________． 正解：___________． (2)解方程：． 【解】移项，得，所以，解得． 错误：___________． 原因：___________． 正解：___________． 【答案】(1)移项这一步，移项的时候没有变号，2 (2)移项时常数项变成6，解方程的步骤是移项，不是去分母， 【分析】本题考查一元一次方程的求解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）解方程移项时，要把未知数移到等号的左边，已知数移到等号的右边，移项要变号； （2）根据等式的性质，把未知数移到等号的左边，等号右边的数字不变，据此分析解答． 【详解】（1）解：移项，得，则． 错在：移项这一步． 原因：移项的时候没有变号． 正解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：移项，得，所以，解得． 错在：移项时常数项变成6． 原因：解方程的步骤是移项，不是去分母． 正解：解， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．（24-25六年级下·山东威海·期中）定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法，理解新定义，是解题的关键． （1）根据差根方程的定义进行求解即可； （2）先求出方程的解为：，然后根据关于x的一元一次方程是“差解方程”，列出关于m的方程，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：方程的解为：， ， ∴方程不是“差解方程”； （2）解：方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解得：． 一、单选题 1.（21-22七年级下·河南驻马店·阶段检测）方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照先移项再将系数化为1的步骤直接解方程即可． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得． 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是6， ∴给方程两边同时乘以6去分母，可得：， 化简得． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，以及方程解的关系． 先求出方程的解，根据两方程解互为相反数得到方程的解，再代入该方程计算出的值． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得 又∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 将代入中 得 即 移项得 ∴ 故选C 4．（25-26七年级上·山东滨州·期末）若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体换元思想，将第二个方程中的看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解求解． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵方程的解为， ∴方程的解为， 即， 解得． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（    ） 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键根据表格确定出方程的解即可． 【详解】解：观察表格可知当时，，， ∴， ∴当时， 则关于x的方程的解是， 故选C． 二、填空题 6．（25-26七年级下·河南周口·期末）方程：的解为______． 【答案】 【详解】解：， ， ， . 7．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若代数式与的和为12，则a的值为________． 【答案】7 【分析】根据题意列出一元一次方程，按照一元一次方程的解法求解即可． 【详解】解：根据题意列方程得 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得． 8.（24-25七年级上·全国·课后作业）按下面的运算程序计算： 当输入时，输出结果为33；当输入时，输出结果为17．如果输入的值为正整数，输出的结果为25，那么满足条件的的值为 ． 【答案】11或4 【分析】本题考查代数式求值，理解运算程序是正确解答的前提，掌握有理数混合运算法则是解答本题的关键． 根据运算程序，分别就1次输出，2次输出，3次输出，进行验证推算即可解答． 【详解】解：根据题意得， ， 解得； ， 解得； ， 解得（不合题意，舍去）； ∴的值为11或4． 故答案为：11或4． 9．（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：解方程 得； 解方程 得． 由题意，，即， 解得． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·山东德州·期末）若关于的方程的解为，那么关于的方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，通过比较两个方程的形式，设，将关于的方程转化为关于的方程，利用已知方程的解求出t的值即可得到答案． 【详解】解：设，则关于的方程可化为 ， ∵关于的方程的解为． ∴关于的方程的解为． ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 12．（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得 ； （2）解： 去括号得 合并同类项得 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （3）解： 两边同乘去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （4）解： 将分子分母化为整数得 两边同乘去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得． 13．（25-26七年级上·河南郑州·期末）定义一种新运算“※”：对于任意有理数a、b，规定． 例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)试说明：与不一定相等（举例说明即可）． 【答案】(1)； (2)； (3)解：取，， 此时，， ∵， 与不一定相等． 【分析】（1）将，代入新运算定义式计算． （2）根据新运算定义列一元一次方程求解． （3）选取具体有理数代入新运算证明结论． 【详解】（1）解：由新运算定义，代入，得： ； （2）解：根据题意得：， 解得； （3）略． 14．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）下列是小明和小华同学关于一元一次方程的解答过程，已知这两个同学的解答过程都有错误，请从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． 小明同学： 解方程 解：  第①步   第②步   第③步   第④步   第⑤步   第⑥步 小华同学： 解方程 解：  第①步   第②步   第③步   第④步   第⑤步   第⑥步 (1)选择______同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”） (2)该同学的解答过程从第______（填序号）步开始出现错误，错误的原因是______； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1) 小明（或小华） (2) ③，去括号时没有变号（或①，利用等式的基本性质2时，等式右边漏乘8）； (3) 见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤，尤其注意去括号时的符号变化”是解题的关键． （1）选择一名同学，分析其解题过程的错误； （2）找出该同学解题中出错的步骤，说明错误原因； （3）按照一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）正确求解． 【详解】（1）解：选择小明（或小华）； 故答案为：小明（或小华）； （2）解：若选择小明，从第③步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有变号； 若选择小华，从第①步开始出现错误，错误的原因是利用等式的基本性质2时，等式右边漏乘8； 故答案为：③，去括号时没有变号（或①，利用等式的基本性质2时，等式右边漏乘8）； （3）解：若选择小明，方程两边同时乘以8，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 若选择小华，方程两边同时乘以8，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【答案】(1)②是的“友好方程” (2)或 【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）首先解关于x的方程，求得x的值，再分别解关于y的方程求得y的值，进一步根据“友好方程”的定义判断即可； （2）首先解关于y的方程求得y的值，再分别求得与其“友好方程”的x的值，进一步求得a即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程，解得， ∵， ∴①不是的“友好方程”． 解方程得或． 当时，，则②是的“友好方程”． （2）解：解方程得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”， ∴当时，由题意，得， 将代入，得，解得， 当时，由题意得， 将代入，得，解得． 则a的值为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $