3.2.1单调性与最大（小）值12题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦高中数学函数单调性与最值核心知识点，系统梳理单调性概念、符号表达及单调区间判定，衔接函数最值定义与求法，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以12题型分类为特色，涵盖证明、判断、求区间等，通过定义法证明单调性培养逻辑推理（数学思维），图象法求最值发展几何直观（数学眼光），参数范围问题提升数学表达能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.2.1单调性与最大（小）值12题型分类 一、函数的单调性及其符号表达 (1)函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性． (2)函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 二、增函数、减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 三、单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求： (1)属于同一个区间D； (2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝它的定义域为Z，但不具有单调性． 3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． 5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 四、函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 1．对函数最值的三点说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方． (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点． 2．函数最值与函数值域的关系 函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值． 3．利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． （一） 证明或判断函数的单调性 定义法证明单调性的步骤 判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作． 利用定义法判断函数的单调性的步骤如下： 注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对单调递减的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 题型1：利用函数单调性定义证明单调性 1．（2026高一·全国·专题练习）利用定义证明函数在区间上为减函数. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 3．（2026高一·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 4．（2026高一·全国·课后作业）讨论函数，在上的单调性 题型2：判断函数的单调性 5．（2026高一·全国·课前预习）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·全国·周测）下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·课后作业）设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是___________（填序号）． （二） 求函数的单调区间 求函数单调区间的三种方法 方法一：转化为已知的函数(如一次函数、二次函数等)的单调性判断． 方法二：定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解． 方法三：图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间． 注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 题型3：求函数的单调区间 8．（2026高一·江苏盐城·期中）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 9．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 10．（2026高三·全国·一轮复习）函数的单调递增区间为________． 11．【多选】函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 12．【多选】（2026高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 13．（2026高一·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 14．（2026高一·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， （三） 函数单调性的应用 1、由函数单调性求参数范围的处理方法是： (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 2、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用抽象函数的单调性求范围． ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔ ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． 题型4：利用函数单调性求参数的取值范围 15．【多选】（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 16．（2026高二·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 17．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 18．（2026高一·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 19．（2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 20．（2026高一·湖北鄂州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________. 题型5：利用函数的单调性比较大小 21．【多选】（2026高一·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 22．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 23．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 24．（2026高一·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 题型6：利用函数单调性解不等式 25．（2026高三·全国·期中）已知函数则不等式的解集为__________. 26．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 27．（2026高一·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 28．（2026高一·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （四） 利用图象求函数最值 1、利用图象求函数最值的一般步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 2、图象法求最值的步骤 题型7：利用图象求函数最值 29．【多选】（2026高一·广西南宁·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．的单调递减区间为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的单调递增区间为和 30．（2026高一·江苏常州·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是_______. （1） 函数在上是单调递增 （2） 函数在上是单调递增 （3） 当时，函数有最大值 （4） 当或时，函数有最小值 31．（2026高一·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是________． 32．（2026高一·安徽马鞍山·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 （五） 利用单调性求函数最值 1、利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性； (2)利用函数的单调性求出最大(小)值． 2、函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 题型8：利用单调性求函数最值 33．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 34．（2026高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 35．（2026高二·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 36．（2026高一·全国·课后作业）函数在区间上的最大值为________；最小值为________． 37．（2026高三·全国·阶段检测）已知函数，则当时；的最大值为______． 题型9：根据函数的最值求参数 38．（2026高一·广东清远·阶段检测）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 40．（2026高一·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 41．（2026高一·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 42．（2026高一·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （六） 求二次函数的最值 二次函数最值的求法 (1)探求二次函数y＝f(x)在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． 题型10：求二次函数的最值 43．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 44．（2026高一·北京·期中）已知二次函数. (1)当时，求的最值. (2)当时，求的最小值. 45．（2026高一·重庆渝北·期中）已知函数． (1)若函数在上是减函数，求的取值范围； (2)当时，设函数的最小值为，求函数的表达式． 46．（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. （七） 一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； ②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． ③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型11：函数不等式恒成立问题 47．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是______. 48．（2026高一·安徽六安·期中）若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（2026高一·辽宁辽阳·期中）已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为________． 50．（2026高一·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 题型12：函数不等式有解问题 51．（2026高一·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 52．（2026高一·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 53．（2026高一·湖北十堰·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________ 54．（2026高一·北京·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．（2026高二·全国·暑假作业）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西崇左·模拟预测）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·河北唐山·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·江西上饶·阶段检测）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·课后作业）已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 7．（2026高一·陕西·阶段检测）若函数是上的增函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．（2026高一·全国·课后作业）用长度为的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长为（    ） A． B． C． D． 9．【多选】（2026高一·全国·课后作业）若，是，这两个函数中的较小者，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．无最小值 10．（2026高一·广东佛山·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．的最大值为1，没有最小值 B．的最小值为0，没有最大值 C．没有最大值，没有最小值 D．的最大值为1，最小值为0 11．【多选】（2026高三·青海西宁·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 12．【多选】（2026高一·江西上饶·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 13．【多选】（2026高一·云南曲靖·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（2026高一·全国·课后作业）如果函数在上是增函数，那么对于任意的，下列结论中不正确的是 A． B． C．若，则 D． E． 15．【多选】（2026高一·陕西西安·期中）函数是上的增函数，则实数a的取值可以为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 16．（2026高二·吉林白城·阶段检测）已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______．    17．（2026高一·河北邢台·阶段检测）已知二次函数的图像关于y轴对称，且在上为增函数，则，，的大小关系为______________________. 18．（2026高一·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 19．（2026高一·甘肃酒泉·期末）函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________． 20．（2026高一·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 21．（2026高一·天津滨海新区·期中）设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在上不单调，求实数的取值范围； (3)若对于，恒成立，求的取值范围． 22．（2026高二·江苏泰州·期中）已知函数，为实数. （1）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）若对任意，都有成立，求实数的值； （3）若，求函数的最小值. 23．（2026高一·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.2.1单调性与最大（小）值12题型分类 一、函数的单调性及其符号表达 (1)函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性． (2)函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 二、增函数、减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 三、单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求： (1)属于同一个区间D； (2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝它的定义域为Z，但不具有单调性． 3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． 5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 四、函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 1．对函数最值的三点说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方． (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点． 2．函数最值与函数值域的关系 函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值． 3．利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． （一） 证明或判断函数的单调性 定义法证明单调性的步骤 判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作． 利用定义法判断函数的单调性的步骤如下： 注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对单调递减的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 题型1：利用函数单调性定义证明单调性 1．（2026高一·全国·专题练习）利用定义证明函数在区间上为减函数. 【答案】证明见解析 【分析】任取且，利用函数的解析式作差比较，得到，即可得证. 【详解】任取且， 则， 因为且，可得， 所以，即，即， 所以函数是上的减函数. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 3．（2026高一·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由的单调性列出，结合的取值即可求解. 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 4．（2026高一·全国·课后作业）讨论函数，在上的单调性 【答案】答案见解析 【分析】对分离常数，利用单调性的定义，对参数进行分类讨论，即可判断函数单调性. 【详解】∵函数= ∴任取，且， 则 =- = ， ∴当，即时， ，即，是减函数； 当，即 时， ，即，是增函数. 题型2：判断函数的单调性 5．（2026高一·全国·课前预习）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别判断函数的单调性即可． 【详解】为反比例函数，在上单调递减； 为一次函数，在上单调递减； 为开口向下的二次函数，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 故选：D 6．（2026高一·全国·周测）下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本函数的单调性，进行判断即可. 【详解】在单调递减，故A错误； 定义域为，且在上单调递增，故B正确； 在上单调递减，故C错误； 在上单调递减，故D错误． 故选：B 7．（2026高一·全国·课后作业）设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是___________（填序号）． 【答案】（2）（3） 【详解】由单调函数的性质知（2）（3）正确． （二） 求函数的单调区间 求函数单调区间的三种方法 方法一：转化为已知的函数(如一次函数、二次函数等)的单调性判断． 方法二：定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解． 方法三：图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间． 注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 题型3：求函数的单调区间 8．（2026高一·江苏盐城·期中）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 【答案】C 【分析】根据函数的图象，利用单调性、值域与图象的关系，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的图象，可得在上单调递减，所以A错误； 对于B，由函数的图象，可得在上的值域是，所以B错误； 对于C，由函数的图象，可得在上单调递增，所以C正确； 对于D，由函数的图象，可得在上的最大值是，所以D错误. 故选：C. 9．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 10．（2026高三·全国·一轮复习）函数的单调递增区间为________． 【答案】和 【分析】先求出函数定义域，构造反比例函数，利用反比例函数性质得出的单调性，进而得出的单调性及单调区间． 【详解】函数中，故定义域为和， 令函数，则反比例函数在定义域和内单调递减， 在定义域和内单调递增， 的单调递增区间为和． 故答案为：和． 11．【多选】函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分情况讨论，当时，；当时，，再在直角坐标系中分别画出对应图象即可求解. 【详解】由题意可知：函数 当时，； 当时，. 画出函数图象： 所以函数的单调递减区间为、. 12．【多选】（2026高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意求出的定义域，将的解析式中绝对值符号去掉，结合二次函数的图象与性质即可判断. 【详解】因为函数的定义域为，对称轴为直线，开口向下，所以函数满足，所以. 又且图象的对称轴为直线，所以由二次函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间是和. 故选BC. 【点睛】本题主要考查含绝对值的二次函数的单调性问题，注意数形结合思想的应用，属于提升题. 13．（2026高一·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 14．（2026高一·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B （三） 函数单调性的应用 1、由函数单调性求参数范围的处理方法是： (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 2、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用抽象函数的单调性求范围． ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔ ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． 题型4：利用函数单调性求参数的取值范围 15．【多选】（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 16．（2026高二·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 17．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 18．（2026高一·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【答案】C 【详解】因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 19．（2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由求解. 【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立， 所以函数f(x)是R上的增函数， 所以，解得. 故的取值范围是. 20．（2026高一·湖北鄂州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】根据题意得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型5：利用函数的单调性比较大小 21．【多选】（2026高一·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 22．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 23．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，利用单调性即可判断大小关系，即可求解． 【详解】因为对都有，所以 又因为在上单调递减，且， 所以，即． 故选：A． 24．（2026高一·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称性得出，再结合函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. 故选：C. 题型6：利用函数单调性解不等式 25．（2026高三·全国·期中）已知函数则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】先判断的单调性，然后化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 26．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 27．（2026高一·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件构造新函数，判断新函数的单调性，由新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由， 故选：C 28．（2026高一·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象与性质得到函数在上单调递减，从而得到，即可求解. 【详解】由题意得：当时，， 则函数在上单调递减，且 当时，，则函数在上单调递减， 且， 所以函数在上是减函数， 又， 所以，解得：， 实数的取值范围是. 故选：C. （四） 利用图象求函数最值 1、利用图象求函数最值的一般步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 2、图象法求最值的步骤 题型7：利用图象求函数最值 29．【多选】（2026高一·广西南宁·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．的单调递减区间为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的单调递增区间为和 【答案】ACD 【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，D正确． 故选：ACD 30．（2026高一·江苏常州·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是_______. （1） 函数在上是单调递增 （2） 函数在上是单调递增 （3） 当时，函数有最大值 （4） 当或时，函数有最小值 【答案】（2）（4） 【分析】作出函数图象，结合图象分析即可得出答案. 【详解】，作出函数的图象如下： 由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递增， 故（1）错误，（2）正确； 由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值， 故（3）错误，（4）正确； 故答案为：（2）（4）. 31．（2026高一·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是________． 【答案】，. 【分析】根据函数图象即可求解最大值和最小值. 【详解】由图可知：当时，取最大值，当时，取最小值， 故答案为：， 32．（2026高一·安徽马鞍山·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. （五） 利用单调性求函数最值 1、利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性； (2)利用函数的单调性求出最大(小)值． 2、函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 题型8：利用单调性求函数最值 33．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 34．（2026高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【答案】B 【分析】先根据二次函数求出的最小值，无最大值，再根据反比例函数的单调性求解函数的最值，即可得解. 【详解】令，则． 又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值. 故选：B． 35．（2026高二·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 36．（2026高一·全国·课后作业）函数在区间上的最大值为________；最小值为________． 【答案】 / 【分析】根据函数的解析式可判断其在为单调递减，代入端点处的自变量值即可求出结果. 【详解】易知函数在区间上单调递减，在区间上也是单调递减， 所以函数在该区间上是单调递减， 所以，； 故答案为：， 37．（2026高三·全国·阶段检测）已知函数，则当时；的最大值为______． 【答案】9 【分析】将函数分离常数可得，再由反比例函数性质可得当时，取最大值9. 【详解】易知， 所以， 由反比例函数性质可知当时，取最大值，； 故答案为：9 题型9：根据函数的最值求参数 38．（2026高一·广东清远·阶段检测）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合二次函数的性质运算求解. 【详解】因为，可知开口向上，对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增， 又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D. 39．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，，为开口向上的二次函数，对称轴为. 要使是的最小值，只需在上递减，且， 即，解得. 故答案为： 40．（2026高一·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 41．（2026高一·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【分析】求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 42．（2026高一·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【详解】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B （六） 求二次函数的最值 二次函数最值的求法 (1)探求二次函数y＝f(x)在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． 题型10：求二次函数的最值 43．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）首先根据得到图像的对称轴，然后根据二次函数对称轴求解参数的值； （2）直接根据二次函数的图像及其性质求解最值即可. 【详解】（1）， 函数图像的对称轴为直线. 又，即. （2）（2）由（1）知函数的图像开口向上，且对称轴为直线， ，函数的最小值为， 又，， 函数的最大值为. 44．（2026高一·北京·期中）已知二次函数. (1)当时，求的最值. (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)函数最小值,函数最大值 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性即可求出函数最大最小值. （2）分别讨论函数在不同区间上的最小值再总结出在整个实数域上的最小值即可. 【详解】（1）二次函数对称轴为，开口向上. 所以在上递减，在上递增.所以， 又因为，所以. （2）①当时，在上递增，所以；②当即时， ③当，即时，在上递减，所以 综上可得 45．（2026高一·重庆渝北·期中）已知函数． (1)若函数在上是减函数，求的取值范围； (2)当时，设函数的最小值为，求函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单调区间与对称轴的关系求解； （2）分对称轴与区间的关系求函数最小值. 【详解】（1）函数对称轴为，开口向上， 又函数在上是减函数，所以. （2）函数对称轴为，开口向上， ①当时，函数在上单调递增，所以； ②当时，函数在上先单调递减后单调递增， 所以； ③当时，函数在上单调递减，所以． 故； 46．（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】利用二次函数的图象与性质、一元二次不等式恒成立及其解法，分类讨论运算即可得解. 【详解】∵对任意的，恒成立，∴当时，. ∵二次函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： （i）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴， ∴，即，解得或， ∵，∴. （ii）当，即时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴，即， ∵二次项系数大于0且，∴不等式无解. （iii）当，即时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，解得：或， ∵，∴. 综上可知，实数的取值范围为. （七） 一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； ②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． ③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型11：函数不等式恒成立问题 47．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用转化方法，把原不等式转化为关于的不等式，通过一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】原不等式， 当时，显然上述不等式不成立， 当时，设， 要想当时，恒成立， 只需， 由，或， 由，或 所以不等式的解为，或， 故答案为： 48．（2026高一·安徽六安·期中）若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式恒成立问题，转化为小于在处的最小值即可. 【详解】由题意得，对恒成立， 且在的最小值为， 则. 故选：D. 49．（2026高一·辽宁辽阳·期中）已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据单调性的性质可判断是上的增函数，即可将问题转化为在上恒成立，对讨论，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由，可知是上的增函数， 则由不等式在上恒成立，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 当时，，解得． 当时，在上恒成立． 当，且，解得． 当，且，解得． 当，且，解得． 故的取值范围为． 故答案为: 50．（2026高一·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) ，设， 则， 易得，故， 即当时，， ， 所以在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据增减性定义，设出，求证即可证明在上单调递增； （2）由题意得，结合二次函数的图象与性质即可求得，进而得到实数k的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由在恒成立，则有当时，， ，易得是开口向上的二次函数，对称轴为， 故在上单调递增，所以，即， 故实数k的取值范围是 题型12：函数不等式有解问题 51．（2026高一·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据对勾函数的单调性，结合存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）. .则， 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式能成立， 即时，能成立， 所以大于的最小值. 又在时，单调递减， 所以， 所以，，即. 52．（2026高一·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）根据函数单调性定义，即可证明； （2）若存在，使得不等式成立，即，所以根据（1）所得的函数单调性，可得，即，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，任取 ， 则 ， 因为，所以，，即， 所有，所以 ， 故函数 在区间 内单调递增； （2）由（1）得，函数在区间 内单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的值域为， 若存在实数，使得不等式成立， 只需 即可，解得， 所以a的取值范围为. 53．（2026高一·湖北十堰·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【分析】分别求在上的值域A和在上的值域B，根据题意可知 ，进而根据关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为，则，， 可得， 可知在上的值域为， 又因为，可知在上是增函数， 且，， 可知在上的值域， 若对任意的，总存在，使得成立， 则 ，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为: . 54．（2026高一·北京·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质分析函数、的值域，由题意可得，结合包含关系运算求解即可. 【详解】若，则，，可得， 所以函数在的值域为； 若，则，可得， 所以函数在的值域为； 因为对，，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 1．（2026高二·全国·暑假作业）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，在R上单调递减，故A错误； 对于B，易知开口向上，对称轴为， 所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C，开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故D错误． 2．（2026·广西崇左·模拟预测）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 3．（2026高一·河北唐山·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数即可求解. 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 4．（2026高一·江西上饶·阶段检测）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需要满足在每一段上单调递减，且分段处，左端函数值大于等于右端函数值． 【详解】在上是减函数， ，解得． 故选：D． 5．（2026高一·全国·课后作业）已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若函数在定义内具有单调性，则图像从左到右呈上升趋势（或下降趋势），可判断正确答案. 【详解】对于A，函数分别在及上单调递增， 但存在，使，故A不符合题意； 对于C，函数分别在及上单调递增， 但存在，使，故C不符合题意； 对于D，函数分别在及上单调递减， 但存在，，使，故D不符合题意； 只有B完全符合增函数的定义，具有单调性. 故选:B. 【点睛】本题考查函数图像识别函数的单调性，判断函数的单调性可通过图像、定义，属于基础题. 6．（2026高一·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 7．（2026高一·陕西·阶段检测）若函数是上的增函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上单调递增，且，即，解得，实数的取值范围是，故选B. 8．（2026高一·全国·课后作业）用长度为的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设隔墙的长为，根据材料的长度表示场地的面积，再对所得的二次函数配方，可得取何值时，场地的面积最大. 【详解】设隔墙的长为，场地面积为，则， 所以当时，有最大值，为，故隔墙的长为时，矩形场地的面积最大． 故选A． 【点睛】本题考查实际问题中的二次函数的最值应用，设合适的量，表示所求的量再根据相应的函数求最值的方法是本题的关键，属于基础题. 9．【多选】（2026高一·全国·课后作业）若，是，这两个函数中的较小者，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．无最小值 【答案】BD 【分析】画出两个函数的图象，解得交点坐标，根据图象分析函数的取值并判断结果. 【详解】如图，作出函数和函数的图象，联立易得，， 根据图象易知，所以函数在处取得最大值，无最小值. 故选：BD. 【点睛】本题考查函数图象的运用，难度一般，这类问题的解答方法如下： （1）分别画出各个函数的图象； （2）联立，解出交点的坐标； （3）观察每一段上各函数图象的变化，根据题目意思确定出结果. 10．（2026高一·广东佛山·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．的最大值为1，没有最小值 B．的最小值为0，没有最大值 C．没有最大值，没有最小值 D．的最大值为1，最小值为0 【答案】B 【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 观察可得函数有最小值0，没有最大值. 故选：B. 11．【多选】（2026高三·青海西宁·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】利用数形结合思想即可判断. 【详解】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 12．【多选】（2026高一·江西上饶·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 13．【多选】（2026高一·云南曲靖·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用函数奇偶性的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，易知在上单调递减，所以选项A错误； 对于选项B，因为的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数， 又的对称轴为，在区间上单调递增，所以选项B正确； 对于选项C，因为的定义域为，关于原点对称，但， 故为奇函数，所以选项C错误； 对于选项D，因为的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数， 当时，又在区间上单调递增，所以选项D正确； 故选：BD. 14．【多选】（2026高一·全国·课后作业）如果函数在上是增函数，那么对于任意的，下列结论中不正确的是 A． B． C．若，则 D． E． 【答案】CD 【分析】根据单调性的定义与的符号相同，逐个判断即可. 【详解】因为在上是增函数，所以对于任意的，与的符号相同，故A，B正确，D不正确； C中，若，则，所以C不正确，E正确. 故选CD 【点睛】本题考查对单调性定义的理解，是基础题. 15．【多选】（2026高一·陕西西安·期中）函数是上的增函数，则实数a的取值可以为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】根据题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】当时，的对称轴为，函数在上单调性递增，此条件对无限制； 若函数是上的增函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：BCD. 16．（2026高二·吉林白城·阶段检测）已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______．    【答案】 和 【分析】根据给定的函数图象确定单调区间即可. 【详解】由图象知在上，单调递增区间为和，单调递减区间为． 故答案为：和， 17．（2026高一·河北邢台·阶段检测）已知二次函数的图像关于y轴对称，且在上为增函数，则，，的大小关系为______________________. 【答案】>>. 【分析】根据奇偶性求出，再根据单调性可得答案. 【详解】因为二次函数的图像关于y轴对称，所以， 因为在上为增函数，且 0<3<4，所以<< 故答案为：>>. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，属于基础题. 18．（2026高一·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案. 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 19．（2026高一·甘肃酒泉·期末）函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】二次函数是开口向上的抛物线，函数在区间上不单调，说明对称轴落在区间内，因此列出不等式计算即可. 【详解】函数是开口向上的二次函数， 其对称轴为直线： 二次函数在对称轴的一侧单调，若在区间上不单调， 则对称轴需落在区间内，即. 故答案为：. 20．（2026高一·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) 在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 21．（2026高一·天津滨海新区·期中）设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在上不单调，求实数的取值范围； (3)若对于，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设可得，根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）由题意可得，进而求解即可； （3）转化问题为对于恒成立，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）当时，， 由，则，解得， 所以不等式的解集为. （2）函数开口向下，对称轴为， 要使函数在上不单调，则，解得， 则实数的取值范围为. （3）由，则， 即对于恒成立， 则，解得， 则的取值范围为. 22．（2026高二·江苏泰州·期中）已知函数，为实数. （1）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）若对任意，都有成立，求实数的值； （3）若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2)-4.(3) 见解析. 【分析】（1）函数在区间上是单调函数，故分单调增与单调减两种情况进行讨论求解的取值范围； （2）对任意，都有成立，可以得到二次函数的对称轴，从而解得结果； （3）要求函数的最小值，首先要求出在上单调性，根据题意分情况讨论求解函数的单调性及最值. 【详解】解：（1）函数在区间上是单调函数， 函数的对称轴为， 所以对称轴或 ，所以或. （2）因为函数对任意，都有成立， 所以的图像关于直线对称， 所以， 得． （3）若即时， 函数在单调递增， 故.   若即时， 函数在单调递减， 故.   若即时， 函数在单调递减， 函数在单调递增， 故. 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，根据对称轴与定义域的关系进行分情况讨论是解题的关键，本题还考查了分类讨论、数形结合的思想方法. 23．（2026高一·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可； （2）结合（1），根据二次函数的对称轴讨论在上的单调性，分别求出其最大值，再写成分段函数的形式即可． 【详解】（1）由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． （2）结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以； 当时，则函数在上单调递减， 所以． 综上所述，． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $