二次函数中特殊四边形存在性（五大题型）--2024年中考数学压轴题专项训练含参考答案

1 二次函数中特殊四边形存在性 用的解题思路： 题 一： 行四边 的存 性 解题 略： 1.直 计 法 行四边 对边 行且相 ， 这条线段为边或为对角线两大类， 计 ( 用于：已知两点的连线 轴上或 行于 轴) 2.构 全 法过顶点 轴的 线， 用对边所 的两个三角 全 ，把 行且相 的对边转 化为 或 直方 的两条对 边相 ( 用于：已知两点的连线，不与 轴 行，容 画出 图) 3. 移 法 用 移的 义， 已知两点间横、纵 的距离关系， 定两点也有 的数 关系。 ( 用于：直 写出 的题) 题 二：菱 存 性 由于菱 一组 边相 的 行四边 ，因此解决菱 存 性问题需要综 运用 行四边 三角 存 性问题的方法。 题 三：矩 存 性 由于矩 90 角的 行四边 ，因此解决矩 存 性问题需要综 运用 行四边 直角三角 存 性 问题的方法。 题 四：正方 存 性 由于正方 即 矩 又 菱 ，因此解决正方 存 性问题需要灵 用所有存 性问题的方法。 题 五： 存 性 解 的存 性问题一 三步： 一步 类， 二步画图， 三步计 ． 一 已知三角 的三个顶点， 某个图 上 四个点， 四个点围成 ．过三角 的每个顶点画对边的 行线，这条直线与图 的交点 要 寻的 的顶点． 因为 有一组对边 行，因此 角或内错角，一定可以构 一组相 的角，然 相 比 方 ，可以 解题 ． 题 一： 行四边 的存 性 1 (2024·甘 武威·一模)如图， 面直角 系中，抛物线 y= ax2+bx- 5 a≠ 0 交 x轴于A，C两 点，与 y轴交于点B，且 5OA=OB=OC． 2 (1) 此抛物线的表达 ； (2)已知抛物线的对称轴上存 一点M， △ABM的 长最 ，请 出点M的 ； (3)连 BC，点P 线段BC上一点，过点P y轴的 行线交抛物线于点Q， 四边 OBQP为 行四 边 时点P的 ． 2 (2024· 宿迁·一模)材料一；《见 知 》 ：从一个 单的经典问题出发，从特殊 一 ，由 单 复杂，从部 整 ，由 维 高维，知识与方法上的类比 题 发 的 要 ， 思想 门发现新 问题、新结论的 要方法， 数学学习 中，我们经 用 类比、转化、从特殊 一 思想方法，请 用上述有关思想，解 下 问题． 材料二： 类讨论 一种 要的数学思想，也 一种解题 略， 数学中的 用相 多，它能 许多 非 复杂的问题 单化．因此 用 类讨论解决数学问题时要 一定的规 ，注 的 类，对全 对 的 类 须 不 复、不 ，每次 类 须保 一 准． 请 读上述材料，完成题目： 如图，抛物线 y=- 2 3 x2+bx+ c与 x轴交于A、B两点 (点A 点B的左 )，点A的 为 -1,0 ，与 y轴 交于点C 0,2 ，直线CD:y=-x+ 2与 x轴交于点D． 点M 抛物线上运 ，过点M MP⊥ x轴， 足 为P，交直线CD于点N． (1) 抛物线的解析 ； (2) 点P 线段OD上时，△CDM的面积 存 最大 ，若存 ，请 出最大 ；若不存 ，请说 由； (3)点E 抛物线对称轴与 x轴的交点，点F x轴上一 点，点M 运 过 中，若以C、E、F、M为顶点 的四边 行四边 时，请直 写出点F的 ． 3 (2024· 东珠 ·一模)已知抛物线 y= ax2+bx+ 4(a> 0)与 x轴交于点A(1,0) B(4,0)，与 y轴交于 点C 3 (1) 抛物线的表达 ； (2)如图 1，点P 线段BC上的一个 点 (不与点B，C )，过点P x轴的 线交抛物线于点Q，连 OQ， 四边 OCPQ恰好 行四边 时， 点Q的 ； (3)如图 2， (2)的条件下，D OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE= 2∠ODQ， 直 线QE上 存 点F， △BEF与△ADC相 ？若存 ， 点F的 ；若不存 ，请说 由． 4 (2024·贵州·模拟预 )如图， 面直角 系 xOy中，一次函数 y= x+ b的图 经过点A -2,0 ， 且与二次函数 y= kx2+x- 1的图 交于点B 3,a ． (1) 一次函数与二次函数的表达 ； (2)设M 直线AB上一点，过点M MN∥ y轴，交二次函数 y= kx2+x- 1的图 于点N，若以点O、C、 M、N为顶点的四边 行四边 ， 点M的 ． 5 (2024· 西渭南·二模)如图，已知抛物线交 x轴于A、B两点，交 y轴于C点，点B的 为 3,0 ,OC = 2,AB= 4，点D为抛物线的顶点． (1) 抛物线的函数表达 ； (2)若直线BC与抛物线的对称轴交于点E，点P 抛物线上的 点，点Q 直线BC上的 点， 存 以 D、E、P、Q为顶点的四边 以DE为边的 行四边 ，若存 ， 出点Q的 ；若不存 ，请说 由． 6 (2024·甘 武威·一模)如图．抛物线 y=- 1 2 x2+mx+n交 x轴于点A -4,0  点B，交 y轴于点 4 C 0,2 ，点P x,y  二 的抛物线上． (1) 抛物线的解析 ； (2) 点P的 为 -2,3 时， △BCP的面积； (3)过点P PQ⊥ x轴，交直线AC于点Q， 存 点P， 四边 PQOC 行四边 ？如果存 ， 出点P的 ；若不存 ，请说 由． 7 (2024· 西宝鸡·二模)如图，抛物线 y= x2+bx+ c与 y轴交于点A，与 x轴交于点B 5,0 ，C -1,0 ． (1) 该抛物线的表达 ； (2) 抛物线 x轴的正方 移 2个单 长 新抛物线 y，Q 新抛物线 y与 x轴的交点 (靠近 y 轴)，N 原抛物线对称轴上一 点， 新抛物线上存 一点M， 以BQ为边，且以M、N、B、Q为顶点 的四边 行四边 ，请 出所有满足条件的点M的 ． 8 (2024·四川南充·模拟预 )如图 1，抛物线 y= ax2-2ax+ c a> 0 与 x轴交于A -1，0 ，B两点 (点 A 点B的左 )，与 y轴交于点C，OC= 3OA．    (1) 抛物线的解析 ； (2)若点P 抛物线上，点Q x轴上， 存 以A，C，P，Q为顶点的四边 行四边 ？若存 ， 点Q的 ，若不存 ，请说 由； (3)如图 2，若点D 四 抛物线上的一个 点，直线AD与直线BC交于点E，连 BD，设△BDE的面 积为S1，△ABE的面积为S2， S1 S2 的最大 及此时点D的 ． 9 (2024· 西大 ·二模)综 与 5 如图，抛物线 y= ax2+bx- 2与 x轴交于A(-2,0)，B(4,0)，与 y轴交于点C． 直线BC，P 抛物线上的 一个 点． (1) 抛物线的函数表达 直 写出直线BC的函数表达 ． (2) 点P 直线BC下方时，连 CP，BP，OP． S△BCP S△OBP = 2 5 时， 点P的 ． (3) 抛物线的对称轴上 存 点Q， 以P，Q，B，C为顶点的四边 行四边 ？若存 ，请直 写 出点Q的 ；若不存 ，请说 由． 10 (2024· 西宝鸡·模拟预 )如图，抛物线 y=-x2+bx+ c经过A(-1,0),C(0,3)两点， 交 x轴于另一 点B，点M 抛物线的顶点，直线AM与 y轴交于点D． (1) 该抛物线的表达 ； (2)若点P 抛物线上一 点，问 对称轴上 存 点Q， 以D，M，P，Q为顶点的四边 行四 边 ？若存 ，请直 写出所有满足条件的点Q的 ；若不存 ，请说 由． 11 (2024·上 虹口·二模)新定义：已知抛物线 y= ax2+bx+ c(其中 abc≠ 0)，我们把抛物线 y= cx2+ax + b称为 y= ax2+bx+ c的“轮 抛物线”． 如：抛物线 y= 2x2+3x+ 1的“轮 抛物线”为 y= x2+2x+ 3． 已知抛物线C1：y= 4mx2+ 4m- 5 x+m的“轮 抛物线”为C2，抛物线C1、C2与 y轴 交于点E、F，点 E 点F的上方，抛物线C2的顶点为P． (1)如果点E的 为 0,1 ， 抛物线C2的表达 ； (2)设抛物线C2的对称轴与直线 y= 3x+ 8相交于点Q，如果四边 PQEF为 行四边 ， 点E的 ； (3)已知点M -4,n  抛物线C2上，点N 为 -2,-7 12 ， △PMN∽△PEF时， m的 ． 6 12 (2023·四川自贡·中 题)如图，抛物线 y=- 4 3 x2+bx+ 4与 x轴交于A(-3,0)，B两点，与 y轴交 于点C．    (1) 抛物线解析 及B，C两点 ； (2)以A，B，C，D为顶点的四边 行四边 ， 点D ； (3)该抛物线对称轴上 存 点E， ∠ACE= 45°，若存 ， 出点E的 ；若不存 ，请说 由． 13 (2023·四川巴中·中 题) 面直角 系中，抛物线 y= ax2+bx+ c(a≠ 0)经过点A(-1,0) B(0,3)，其顶点的横 为 1．    (1) 抛物线的表达 ． (2)若直线 x=m与 x轴交于点N， 一 内与抛物线交于点M， m取 时， AN+MN有最大 ， 出最大 ． (3)若点P为抛物线 y= ax2+bx+ c(a≠ 0)的对称轴上一 点， 抛物线 左 移 1个单 长 ，Q为 移 抛物线上一 点． (2)的条件下 的点M， 能与A、P、Q构成 行四边 ？若能构成， 出Q 点 ；若不能构成，请说 由． 14 (2023· 东枣 ·中 题)如图，抛物线 y=-x2+bx+ c经过A(-1,0),C(0,3)两点， 交 x轴于另一 点B，点M 抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D． 7      (1) 该抛物线的表达 ； (2)若点H x轴上一 点， 连 MH，DH， MH+DH的最 ； (3)若点P 抛物线上一 点，问 对称轴上 存 点Q， 以D，M，P，Q为顶点的四边 行四 边 ？若存 ，请直 写出所有满足条件的点Q的 ；若不存 ，请说 由． 15 (2024· 西 ·一模)综 与 如图，抛物线 y=- 1 3 x2- 4 3 x+ 4与 x轴交于A，B两点 (点B 点A的左 )，与 y轴交于点C，P 直线 BC上方抛物线上一 点． (1) A，B，C三点的 ， 直 写出直线BC的函数表达 ． (2)连 PB，PC， △PBC面积的最大 及此时点P的 ． (3) (2)的条件下，若F 抛物线对称轴上一点， 抛物线上 存 点Q， 以B，F，P，Q为顶点的四边 行四边 ？若存 ，请直 写出点Q的 ；若不存 ，请说 由． 16 (2023· 东 ·中 题)如图①，抛物线 y= ax2+bx- 9与 x轴交于点A -3,0 ，B 6,0 ，与 y轴 交于点C，连 AC，BC.点P x轴上任 一点． 8 (1) 抛物线的表达 ； (2)点Q 抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边 为 行四边 时， 点Q的 ； (3)如图②， 点P m,0 从点A出发 x轴 点B运 时 (点P与点A，B不 )，自点P PE∥ BC，交AC于点E， PD⊥BC， 足为点D． m为 时，△PED面积最大， 出最大 ． 17 (2024· 西 ·一模)综 与 ：如图 1，已知抛物线 y=- 1 2 x2+x+ 4与 x轴相交于A，B两点 (点A 点B的左 )，与 y轴相交于点C，直线BD与 y轴相交于点D，交线段AC于点E，且 2BD= 7DE. (1) A，B，C三点的 ； (2) 直线BD的函数表达 ； (3)如图 2，若抛物线的对称轴 l与直线BD交于点P，试 ， 面内 存 一点Q， 以点A，C，P，Q 为顶点的四边 为 行四边 .若存 ， 出点Q的 ，若不存 ，请说 由. 18 (2024· 西 ·一模)综 与 如图 1，已知抛物线 y=-x2+2x+ 3与 x轴交于点A，B，与 y轴交于点C，点D 抛物线的顶点，点M 直 线BC上方抛物线上的一 点．    (1) 抛物线的顶点D的 直线BC的解析 ； (2)如图 1，连 AM交BC于点P，若 MP AP = 1 2 ， 此时点M的 ； (3)如图 2，直线 y= x+ b与抛物线交于A，E两点，过顶点D DF∥ y轴，交直线AE于点F．若点G 抛 物线上一 点，试 直线AE上 存 一点H， 以点D，F，G，H为顶点的四边 行四边 ， 若存 ，请直 写出点H的 ，若不存 ，请说 由． 19 (2024· 东泰安·一模)综 与实践 如图，抛物线 y= 2x2-4x- 6与 x轴交于A，B两点，且点A 点B的左 ，与 y轴交于点C，点D 抛物线 上的一 点． 9    (1) A，B，C三点的 ； (2)如图 2， 点D 四 时，连 BD，CD BC， △BCD， △BCD的面积最大时， 点D的 ； (3)点E x轴上运 ，以点B，C，D，E为顶点的四边 行四边 ，请 图 1 ，直 写出点E的 ． 20 (2024· 宿迁·模拟预 )若直线 y= x- 5与 y轴交于点A，与 x轴交于点B，二次函数 y= ax2 +bx+ c的图 经过点A，点B，且与 x轴交于点C -1,0 ． (1) 二次函数的解析 ； (2)若点P为直线AB下方抛物线上一点，过点P 直线AB的 线， 足为E， PF∥ y轴交直线AB于点 F， 线段PF最大 及此时点P的 ； (3) 抛物线 x轴的正方 移 2个单 长 新抛物线 y，Q 新抛物线 y与 x轴的交点 (靠近 y 轴)，N 原抛物线对称轴上一 点， 新抛物线上存 一点M， 以M、N、B、Q为顶点的四边 行 四边 ，请直 写出 条件的点M的 ． 21 (2024· 东 ·一模)如图，二次函数 y= ax2+bx+ c的图 与 x轴交于O(O为 原点)、A两点， 且二次函数的最 为-2，点M 1,m  其对称轴上一点，点B y轴上，OB= 1． 10 (1) 二次函数的解析 ； (2)二次函数 四 的图 上有一点P，连 PA，PB， △PAB面积的最大 ； (3) 二次函数图 上 存 点N， 以A，B，M，N为顶点的四边 行四边 ？若存 ，请直 写出所有 条件的点N的 ；若不存 ，请说 由． 22 (2023· 东·中 题)如图，直线 y=-x+ 4交 x轴于点B，交 y轴于点C，对称轴为 x= 3 2 的抛物线 经过B，C两点，交 x轴负半轴于点A．P为抛物线上一 点，点P的横 为m，过点P x轴的 行线交 抛物线于另一点M， x轴的 线PN， 足为N，直线MN交 y轴于点D．      (1) 抛物线的解析 ； (2)若 0<m< 3 2 ， m为 时，四边 CDNP 行四边 ？ (3)若m< 3 2 ，设直线MN交直线BC于点E， 存 这 的m ， MN= 2ME？若存 ， 出此时m的 ；若不存 ，请说 由． 23 (2024· 连云港·一模)如图， 面直角 系中，O为 原点，抛物线 y=-x2+bx+ c与 x轴 交于点A，B两点，它的对称轴直线 x= 1交抛物线于点M，过点M MC⊥ y轴于点C，连 BC，已知点 A的 为 -1,0 ． 11 (1) 此抛物线的函数表达 ； (2) 点P，Q 此抛物线上，其横 为m,m+ 1，其中-1<m< 1． ①若∠POA=∠QBO，请 此时点Q的 ； ② 线段BC上 存 一点D， 以C，P，D，Q为顶点的四边 为 行四边 ？若存 ，请直 写出 此时m的 ；若不存 ，说 由． 24 (2024· 南 直辖县级单 ·模拟预 )如图 1， 面直角 系中，抛物线 y=-x2+bx+ c经过点 A -1,0 、点B 0,3 ，M 抛物线上 一 内的点，过点M 直线MN⊥ x轴于点N. (1) 抛物线的表达 ； (2) 直线MN 抛物线的对称轴时， 四边 ABMN的面积 (3) AN+MN的最大 ， 此时点M的 ； (4) (3)的条件下，若P 抛物线的对称轴上的一 点，Q 抛物线上的一 点， 存点点P、Q， 以点 A、M、P、Q为顶点的四边 行四边 ，若存 ，请 点Q的 ，若不存 ，请说 由. 25 (2024·四川宜宾·一模)如图， 面直角 系中，抛物线 y=- 3 4 x2+bx+ c与 x轴交于点A 4,0  与 y轴交于点B 0,3 ． (1) 抛物线的函数解析 ； 12 (2)点P为直线AB上方抛物线上一 点，过点P PQ⊥ x轴于点Q，交AB于点M， PM- 6 5 AM的最 大 及此时点P的 ； (3) (2)的条件下，点P与点P关于抛物线 y=- 3 4 x2+bx+ c的对称轴 l对称．点C 抛物线上，点D 对称轴 l上，直 写出所有 以点A、P、C、D为顶点的四边 行四边 的点D的 ． 26 (2024·甘 天 ·一模)抛物线 y= ax2+bx- 4a经过A -1,0 、C 0,4 两点，与 x轴交于另一点B． (1) 抛物线、直线BC的函数解析 ； (2) 直线BC上方抛物线上 存 一点P， △PBC的面积达 最大，若存 这个最大 及P点 ，若不存 说 由． (3)点E为抛物线上一 点，点F为 x轴上一 点， 以A，C，F，E为顶点的四边 为 行四边 时，直 写出点E的 ． 27 (2024· 东 南·模拟预 )已知二次函数的图 过原点，顶点 为 4,- 16 3 ．    (1) 该二次函数的解析 ； (2)如图 1， x轴下方 x轴的 行线 l，交二次函数图 于A、B两点，过A、B两点 x轴的 线， 足 为点D、点C． 矩 ABCD为正方 时， A点的 ； (3)如图 2， (2)的条件下， 直线AC， 点P从点A出发 线AB以每秒 1个单 长 匀 运 ， 时 点Q以相 的 从点A出发 线段AD匀 运 ， 达点D时 即原 返回， 点Q返回 点A 时，P、Q两点 时 止运 ，设运 时间为 t秒 (t> 0)．过点P x轴 线，交抛物线于点E，交直线 AC于点F， 以A、E、F、Q四点为顶点的四边 行四边 时， t的 ． 28 (2023· 东 州·中 题)已知点P m,n  函数 y=- 2 x x< 0 的图 上． (1)若m=-2， n的 ； (2)抛物线 y= x-m x-n 与 x轴交于两点M，N (M N的左边)，与 y轴交于点G，记抛物线的顶点为 E． ①m为 时，点E 达最高处； ②设△GMN的外 为C，⊙C与 y轴的另一个交点为F， m+ n≠ 0时， 存 四边 FGEC为 13 行四边 ？若存 ， 此时顶点E的 ；若不存 ，请说 由． 29 (2024· 西 ·二模)综 与 如图，抛物线 y= 1 5 x2+bx+ c与 x轴交于点A 1,0  点B，与 y轴交于点C 0,1 ，抛物线的对称轴交 x轴于 点D．过点B 直线 l⊥ x轴，连 CD，过点D DE⊥CD，交直线 l于点E， 直线CE． (1) 抛物线的函数表达 直 写出直线CE的函数表达 ； (2)如图，点P为抛物线上 二 内的点，设点P的横 为m，连 BP与CE交于点Q， 点Q为线段 BP的中点时， m； (3)若点M为 x轴上一个 点，点N为抛物线上一 点，试 断 存 这 的点M， 以点D，E，M，N 为顶点的四边 行四边 ，若存 ，请直 写出点M的 ；若不存 ，请说 由． 30 (2024·甘 凉·模拟预 )如图， 面直角 系中，抛物线 y= x2+bx+ c与 x轴交于A，B两 点，与 y轴交于点C，已知B 4,0 ，C 0,-4 ，连 BC，点P 抛物线上的一个 点，点N 对称轴上的一个 点．       备用图 (1) 该抛物线的函数解析 ． (2) 线段BC的下方 存 点P， △BCP的面积最大？若存 ， 点P的 及面积最大 ． (3) 对称轴上 存 点N， 以点B，C，P，N为顶点的四边 行四边 ？若存 ， 出点N的 ；若不存 ，请说 由． 31 (2024· 东惠州·一模)综 ：如图， 面直角 系中，已知抛物线 y=- 2 3 x2+bx+ c a≠ 0  与 x轴交于A -1,0 、B 3,0 两点，与 y轴交于点C，连 BC． 14 (1) 抛物线的解析 ； (2)如图，点D 一 抛物线上一点，连 BC、DC，若∠DCB= 2∠ABC， 点D的 ； (3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上 存 点M， B，C，M，N为顶点的四边 行四边 ？若存 ，请 出所有满足条件的点M的 ；若不存 ，请说 由． 32 (2024·甘 南·一模)如图，抛物线 y=-x2+bx+ c与 x轴交于A，B 2,0 两点 (点A 点B的左 )，与 y轴交于点C 0,8 ．    (1) 该抛物线的解析 ； (2)若D为抛物线的顶点， △ACD的面积； (3)若P 面直角 系内一点， 存 以A、B、C、P为顶点的四边 行四边 ？若存 ，请写出 点P的 ，若不存 ，请说 由． 33 (2024· 东 博·一模)已知抛物线 y= ax² +bx- 3 a≠ 0 与 x轴交于点A(-1,0)，点B(3,0)，与 y轴 交于点C． (1) 抛物线的表达 ； (2)如图，若直线BC下方的抛物线上有一 点M，过点M y轴 行线交BC于N，过点M BC的 线， 足为H， △HMN 长的最大 ； (3)若点P 抛物线的对称轴上，点Q x轴上， 存 以B，C，P，Q为顶点的四边 为 行四边 ，若 存 ， 出点Q的 ，若不存 ，请说 由； 15 (4) 抛物线 左 移 1个单 ，再 上 移 4个单 ， 一个新的抛物线，问 y轴正半轴上 存 一 点F， 经过点F的任 一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 1 FS2 + 1 FT2 为定 ？若存 ， 出点F 及定 ，若不存 ，请说 由． 34 (2024· 西朔州·二模)综 与 如图，抛物线 y= ax2+bx- 2 a≠ 0 与 x轴交于A -4,0 ，B 1,0 两点，与 y轴交于C点．点D与点C关于 x轴对称，直线AD交抛物线于另一点E． (1) 抛物线的函数表达 ， 直 写出直线AD的函数表达 ． (2)点P 直线AE下方抛物线上的一点，过点P 直线AE的 线， 足为F．设点P的横 为m，试 m为 时，线段PF最大？请 出PF的最大 ． (3) (2)的条件下， PF取最大 时，若点M 抛物线上，点N 抛物线的对称轴上， 存 以点B， P，M，N为顶点的四边 行四边 ？若存 ，请直 写出所有 条件的点M的 ；若不存 ，请说 由． 35 (2024·福建福州·模拟预 )已知抛物线 y= ax² -2ax+ c与 x轴交于A -1,0 、B两点，顶点为P， 与 y轴交于C点，且△ABC的面积为 6． (1) 抛物线的对称轴 解析 ； (2) 移这条抛物线， 移 的抛物线交 y轴于E，顶点Q 原抛物线上， 四边 APQE 行四边 时， 移 抛物线的表达 ； (3)若过定点K 2,1 的直线交抛物线于M、N两点 (N M点右 )，过N点的直线 y=-2x+ b与抛物线交 于点 G， 证：直线MG 过定点． 36 (2015· 东临 ·一模)如图，抛物线 y= ax2+bx+ 2与 x轴交于点A 1,0  B 4,0 ． 16 (1) 抛物线的解析 ； (2)若抛物线的对称轴交 x轴于点E，点F 于 x轴上方对称轴上一点，FC∥ x轴，与对称轴右 的抛物 线交于点C，且四边 OECF 行四边 ， 点C的 ； (3) (2)的条件下，抛物线的对称轴上 存 点P， △OCP 直角三角 ？若存 ， 出点P的 ； 若不存 ，请说 由． 37 (2023· 东 博·中 题)如图，一条抛物线 y= ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为 原 点，点A 3,-3 ，点B 一 内，对称轴 直线 x= 9 4 ，且△OAB的面积为 18    (1) 该抛物线对 的函数表达 ； (2) 点B的 ； (3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个 点，连 AP，CP， △ACP CP翻折，点A的对 点为A1．问 存 点P， 以A1，P，C，B为顶点的四边 行四边 ？若存 ， 出所有 条件 的点P的 ；若不存 ，请说 由． 38 (2023·四川南充·中 题)如图 1，抛物线 y= ax2+bx+ 3(a≠ 0)与 x轴交于A -1,0 ，B 3,0 两 点，与 y轴交于点C． (1) 抛物线的解析 ； (2)点P 抛物线上，点Q x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边 为 行四边 ， 点P的 ； 17 (3)如图 2，抛物线顶点为D，对称轴与 x轴交于点E，过点K 1,3 的直线 (直线KD 外)与抛物线交于G， H两点，直线DG，DH 交 x轴于点M，N．试 EM ⋅EN 为定 ，若 ， 出该定 ；若不 ，说 由． 39 (2024·四川 元·二模)如图，已知直线BC：y= x- 2交 x轴于点B，交 y轴于点C，抛物线 y= ax2 -x+ c的图 过点 B，C，且与 x轴交于另一点A(点 A 点 B 的左 )． 直线 BC下方的抛物线上有 一点 P，过点 P PF⊥ x轴， 足为 F，交 BC于点M，连 AC，PC，AP，AP交BC于点E． (1) 抛物线的解析 ． (2) S△CPE S△ACE = 1 3 时， 点 P 的 ． (3)连 BP，AM，已知点 D 抛物线对称轴上的一个 点， △BPC的面积最大时， 该抛物线上 存 点 Q， 以点 A，M，Q，D为顶点的四边 行四边 ？ 若存 ， 出点 Q 的 ；若不存 ，请说 由． 40 (2024· 州·一模)如图， 面直角 系中，抛物线 y=-x2+bx+ c的顶点 为F -1,4  交 x轴于A、C两点，交 y轴于点B，抛物线的对称轴交 x轴于点E． (1) 抛物线的解析 ； (2)已知抛物线上点P -2,3 ，以点P为直角顶点构 Rt△PHK， 点H x轴上，点K y轴上，G为HK 的中点， EG的最 ； (3)M为 面直角 系中一点， 抛物线上 存 一点N， 以A，B，M，N为顶点的四边 为矩 ？ 若存 ， 出点N的横 ；若不存 ，请说 由． 题 二：菱 存 性 41 (2024· 西渭南·一模)如图， 面直角 系中，抛物线 y= ax2+bx+ 2(a、b为 数，且 a≠ 0)与 x轴交于点A -4,0  点B，与 y轴交于点C，且OC=OB． 18 (1) 该抛物线的函数表达 ； (2)连 BC，点D 抛物线的对称轴 l上的 点，点E 面内的点， 存 以点B、C、D、E为顶点的四 边 菱 ？若存 ， 出点D的 ；若不存 ，请说 由． 42 (2024· 州·一模)如图， 面直角 系中，二次函数 y= ax2+bx- 3的图 交 x轴于 A -1，0 、B 3，0 两点，交 y轴于点C，点P 线段OB上，过点P PD⊥ x轴，交抛物线于点D，交直线 BC于点E． (1) a= ，b= ； (2) 点P运 过 中，若△CDE 直角三角 ， 点P的 ； (3) y轴上 存 点F， 以点C、D、E、F为顶点的四边 为菱 ？若存 ，请直 写出点F的 ；若不存 ，请说 由． 43 (2024·青 西宁·一模)如图，抛物线 y= x2+bx+ c与 y轴交于点A 0,2 ，点B 抛物线的顶点，直 线 x= 2 抛物线的对称轴，且与 x轴交于点C．    (1) 抛物线的函数解析 ； (2)点D 对称轴左 抛物线上一点，连 BD，∠DBC= 45°, 点 D 的 ． (3) (2)的条件下，若点M x轴上方抛物线对称轴上一点，点 P 面内，且以点A，D，M，P为 19 顶点的四边 以AD为边的菱 ，请 出所有 条件的点M的 44 (2023·湖南·中 题)如图， 面直角 系中，抛物线 y= ax2+x+ c经过点A -2,0  点 B 4,0 ，且与直线 l:y=-x- 1交于D、E两点 (点D 点E的右 )，点M为直线 l上的一 点，设点M的横 为 t．    (1) 抛物线的解析 ． (2)过点M x轴的 线，与拋物线交于点N．若 0< t< 4， △NED面积的最大 ． (3)抛物线与 y轴交于点C，点R为 面直角 系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边 菱 ，请 出所有满足条件的点R的 ． 45 (23- 24九 级上· 东中 ·期中)定义： 面直角 系 xOy中， 点N 图 M的内部，或 图 M上，且点N的横 纵 相 时， 称点N为图 M的“ 之点”． (1)如图①，矩 ABCD的顶点 A -1,2 ，B -1,-1 ，C 3,-1 ，D 3,2 ， 点N1 1,1 ，N2 2,2 ， N3 3,3 中， 矩 ABCD“ 之点”的 ； (2)如图②，已知点A，B 抛物线 y=- 1 2 x2+x+ 9 2 上的“ 之点”，点C 抛物线的顶点．连 AC，AB， BC， 断△ABC的 状 说 由． (3) (2)的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为 面内一点， 存 点P、Q， 以AB为对角线，以 A、B、P、Q为顶点的四边 菱 ？若存 ， 出P点 ；若不存 ，请说 由． 46 (23- 24九 级上· 南 ·期末)如图，已知抛物线 y=-x2+bx+ c与 x轴交于A 1,0  B -5,0  两点，与 y轴交于点C． 20 (1) 抛物线的函数解析 ； (2)若直线 x=m -5<m< 0 与抛物线交于点D，与直线BC交于点F，交 x轴交于点E． DF取 最大 时， m的 DF的最大 ； (3)若抛物线 y=-x2+bx+ c的顶点为P，Q 该抛物线对称轴上一点， 面内 定一点R， 以点C， R，P，Q为顶点的四边 菱 ， 点R的 ． 47 (2023·四川 安·一模)如图，抛物线 y= ax2+bx+ c a≠ 0 与 x轴交于A 4,0 ，B -2,0 两点，与 y 轴交于点C 0,4 ． (1) 抛物线的函数解析 ； (2)P 抛物线上 于直线AC上方一 点，且 抛物线的对称轴右 ，过点P y轴的 行线交直线AC于 点E，过点P x轴的 行线与抛物线的对称轴交于点F， PE+PF的最大 及此时点P的 ； (3) (2)中PE+PF取 最大 的条件下， 该抛物线 x轴 右 移 6个单 长 ， 移 的抛物线与 移 的抛物线交于点H，M为 移 抛物线对称轴上一点． 面直角 系中 定一点N， 以点 H，P，M，N为顶点的四边 菱 ， 出所有 条件的点N的 ． 48 (2023· 东 宁·二模)如图，已知直线 y= 4 3 x+ 4与 x轴交于点A，与 y轴交于点C，抛物线 y= ax2 +bx+ 4经过A，C两点，且与 x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 x=-1． (1) 抛物线的表达 ； 21 (2)D 二 内抛物线上的 点，设点D的横 为m， 四边 ABCD面积S的最大 及此时D点的 ； (3)若点P 抛物线对称轴上， 存 点P，Q， 以点A，C，P，Q为顶点的四边 以AC为对角线的 菱 ？若存 ，请 出P，Q两点的 ；若不存 ，请说 由． 49 (2024· 东 南·一模)如图 1， 面直角 系中，抛物线 y= ax2+bx+ 4交 x轴于点A -1，0 ， B 4,0 两点，交 y轴于点C． (1) 该抛物线的函数表达 ； (2)点P 直线BC上方抛物线上的一 点，过点 P ． PE⊥BC于点E，过点P y轴的 行线交直线 BC于点 F， △PEF 长的最大 及此时点P的 ； (3)如图 2， (2) 问的条件下， 该抛物线 线CB的方 移 2 2个单 新抛物线 y．点M 为 移 的新抛物线 y的对称轴上一点． 面内 定一点N． 四边 AMPN 菱 ，请 出 条件的点 N的 ． 50 (2024·湖南·一模)如图，O为 原点，抛物线C1:y=- 14 x 2-ax与 x轴交于M (-4,0)，顶点为A． (1)如图 1， 直线AM的函数解析 ； (2)如图 1， 直线AM绕点M顺时针旋转 45° 直线MN 交抛物线C1于点N，若Q为 x轴上一点， 5NQ+ 5MQ的最 ； (3)如图 2， 抛物线C1 移 C2，顶点由A 移 B(4,b)，若点B 直线AM上，点D E 抛物 线C1 C2上， 么四边 ADEB 可以为菱 ？若可以， 出D点 ，若不可以，说 由． 51 (2023·四川 ·二模)如图， 面直角 系中，直线 y= 2x+ 6与 x轴交于点A，与 y轴交点C， 抛物线 y=-2x2+bx+ c过A，C两点，与 x轴交于另一点B． 22 (1) 抛物线的解析 ； (2) 直线AC上方的抛物线上有一 点E，连 BE，与直线AC相交于点F， EF= 1 2 BF时， E点 ． (3) (2)的条件下，若点E 于对称轴左 ，点M 抛物线对称轴上一点，点N 面上一点， 以M，N， E，B为顶点的四边 菱 时，直 写出点M的 ． 52 (2024·四川泸州·一模)如图，抛物线 y= ax2+bx+ 6 a≠ 0 与 x轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，顶点 为D． (1) 抛物线的解析 ； (2)若 线段BC上存 一点M， ∠BMO= 45°，过点O OH⊥OM交BC的延长线于点H， 点M的 ； (3)点P y轴上一 点，点Q 对称轴上一 点， 存 点P，Q， 以点P，Q，C，D为顶点的四边 菱 ？若存 ， 出点Q的 ，请说 由． 53 (2024·四川成都·模拟预 )如图，抛物线 y= ax 2-2ax- 3与 y轴交于点C，与 x轴交于点A (-1,0) 点B(点A 点B的左 )． (1) 抛物线的解析 ； (2)无论 a取 ，抛物线 y= ax 2-2ax- 3一定经过两个定点M，N (点M 点N的左 )，点H 线段BC 23 上一点，连 MH，NH，MN， △MNH为直角三角 时， 点H的 ； (3) (2)的条件下，点P 线段AC上一点， 面直角 系中 存 一点Q(xQ> 0)， 以P，Q， M，H为顶点且以MH为边的四边 菱 ？若存 ， 出点Q的 ；若不存 ，请说 由． 54 (2024· 东枣 ·一模)如图，二次函数 y= x2+bx+ c的图 交 x轴于点A，B，交 y轴于点C，点B的 为 1,0 ，对称轴 直线 x=-1，点P x轴上一 点，PM⊥ x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点 N． (1) 这个二次函数的解析 ； (2)若点P 线段AO上运 (点P与点A、点O不 )， 四边 ABCN面积的最大 ， 出此时点P 的 ． (3)若点P x轴上运 ， y轴上 存 点Q， 以M、N、C、Q为顶点的四边 菱 ？若存 ，请 直 写出所有满足条件的点Q的 ；若不存 ，请说 由． 55 (2024·甘 天 ·二模)如图，二次函数 y= x2+bx+ c的图 交 x轴于点A,B，交 y轴于点C，点B的 为 1,0 ，对称轴 直线 x=-1，点P x轴上一 点，PM⊥ x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点 N． (1) 这个二次函数的解析 ； (2)若点P 线段AO上运 (点P与点A、点O不 )， 四边 ABCN面积的最大 ， 出此时点P 的 ； (3)若点P x轴上运 ， y轴上 存 点Q， 以M ,N ,C,Q为顶点的四边 菱 ？若存 ，请直 写出所有满足条件的点Q的 ；若不存 ，请说 由． 56 (2023·西藏·中 题) 面直角 系中，抛物线 y=-x2+bx+ c与 x轴交于A -3,0 ，B 1,0  两点，与 y轴交于点C． 24    (1) 抛物线的解析 ； (2)如图甲， y轴上找一点D， △ACD为 三角 ，请直 写出点D的 ； (3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点， 存 P、Q两点 以点A，C，P，Q为顶点的四边 菱 ？ 若存 ， 出P、Q两点的 ，若不存 ，请说 由． 57 (2023·四川 安·中 题)如图，二次函数 y= x2+bx+ c的图 交 x轴于点A，B，交 y轴于点C，点 B的 为 1,0 ，对称轴 直线 x=-1，点P x轴上一 点，PM⊥ x轴，交直线AC于点M，交抛物线于 点N．    (1) 这个二次函数的解析 ． (2)若点P 线段AO上运 (点P与点A、点O不 )， 四边 ABCN面积的最大 ， 出此时点P 的 ． (3)若点P x轴上运 ， y轴上 存 点Q， 以M、N、C、Q为顶点的四边 菱 ？若存 ，请 直 写出所有满足条件的点Q的 ；若不存 ，请说 由． 58 (2024九 级上·全国·专题练习)如图， 面直角 系中，二次函数 y= x2+bx+ c的图 与 x轴 交于A、B两点，A点 原点的左 ，B点的 为 3,0 ，与 y轴交于C 0,-3 点，点P 直线BC下方的 抛物线上一 点． (1) 这个二次函数的表达 ． (2)连 PO、PC， 把△POC CO翻折， 四边 POPC， 么 存 点P， 四边 POPC为菱 ？若存 ，请 出此时点P的 ；若不存 ，请说 由． 25 (3) 点P运 什么 时，四边 ABPC的面积最大？ 出此时P点的 四边 ABPC的最大面 积． 59 (2023·辽宁锦州·中 题)如图，抛物线 y=- 3x2+bx+ c交 x轴于点A -1,0  B，交 y轴于点 C 0,3 3 ，顶点为D．    (1) 抛物线的表达 ； (2)若点E 一 内对称右 的抛物线上，四边 ODEB的面积为 7 3， 点E的 ； (3) (2)的条件下，若点F 对称轴上一点，点H 面内一点， 对称轴右 的抛物线上 存 点 G， 以E，F，G，H为顶点的四边 菱 ，且∠EFG= 60°，如果存 ，请直 写出点G的 ；如果不存 ，请说 由． 60 (2024· 东 博·一模)如图 1， 面直角 系 xOy中，抛物线与 x轴交于点A -1,0 ，B 3,0 ，与 y轴交于点C 0,-3 ，点D为抛物线的顶点． (1) 该抛物线的表达 及顶点D的 ； (2)如图 2，已知经过点A的直线 y= kx+ b k> 0 与抛物线 一 交于点E，与 y轴交于点F，连 AD，DE，BE． S△ADE= 4 3 S△ABE时， 点E的 ； (3)如图 3， (2)的条件下， 直线AE与 y轴的交点F 下 移 6 5 + 3个单 长 点P． ①连 PB， ∠BPO的 数； ② △BOP绕点O 时针旋转一定的角 α 0° < α< 360°  △BOP，直线BP与 x轴交于点M．设 点N为 面直角 系内的任 一点，问 旋转过 中 存 某个 ， 四边 OPMN为菱 ？若 存 ，请直 写出所有满足条件的点N的 ；若不存 ，请说 由． 题 三：矩 存 性 26 61 (2023·内 古·中 题)如图， 面直角 系中，抛物线 y=-x2+bx+ c与 x轴的交点 为A B 1,0 (点A 点B的左 )，与 y轴交于点C 0,3 ，点P 直线AC上方抛物线上一 点． (1) 抛物线的解析 ； (2)如图 1，过点P x轴 行线交AC于点E，过点P y轴 行线交 x轴于点D， PE+PD的最大 及 点P的 ； (3)如图 2，设点M为抛物线对称轴上一 点， 点P，点M运 时， 轴上 定点N， 四边 PMCN 为矩 ， 出所有 条件的点N的 ． 62 (22- 23九 级上· 州·期末)如图 1，抛物线 y= ax2+bx- 3 a≠ 0 与 x轴交于A -1,0 ， B 3,0 ，与 y轴交于点C． (1) 抛物线的解析 ； (2)如图 2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横 比点P的横 大 1，过点P PM∥ y 轴，交BC于点M，过点Q QN∥ y轴交BC于点N， PM+QN的最大 及此时点Q的 ； (3)如图 3， 抛物线 y= ax2+bx- 3 a≠ 0 先 右 移 1个单 长 ，再 下 移 1个单 长 新的抛 物线 y， y的对称轴上有一点D， 面内有一点E， 以点B、C、D、E为顶点的四边 矩 ，且 BC为矩 一边， 出此时所有满足条件的点E的 ． 63 (2024·辽宁 ·模拟预 )【生 情境】 为 化 园环境，某学 情况，要对 观 中一个长AD= 4m，宽AB= 1m的长方 ABCD 进行 长改 (如图①，改 的 ABNM仍为长方 ，以下 称 1)． 时，再建 一个 长为 12m 的矩 EFGH(如图②，以下 称 2)． 27 【建 模 】 如果设 ABCD的边AD 长长 DM为 x(m) (x> 0)， 长 1的总面积为 y1(m2)， y1关于 x的 函数解析 为：y1= x+ 4(x> 0)；设 2的边EF的长为 x(m) (0< x< 6)，面积为 y2(m2)， y2关于 x的 函数解析 为：y2=-x2+6x(0< x< 6)，上述两个函数 一 面直角 系中的图 如图③． 【问题解决】 (1) 2面积的最大 ； (2) 1的面积大于 2的面积时， x(m)的取 围； 【数学抽 】 (3) 图③的图 中，点P 抛物线上一点，点M 抛物线对称轴上一点 (点M不与顶点D )，点N 面内， 四边 CMPN 矩 且CM= 2 3 MP，请 出点P的横 ． 64 (23- 24九 级下·湖北 宁· 段练习)已知：如图，抛物线 y= x2+bx+ c与 x轴交于A、B两点，与 y轴交于点C，OA=OC= 3，顶点为D．    (1) 此抛物线的解析 ： (2) 直线AC下方的抛物线上， 存 一点N， 四边 ABCN的面积最大？最大面积 多 ？ (3)点E y轴上的一个 点，点F 面上的一个 点， 存 这 的点E 点F， 点A，D，E， F构成矩 ，若存 ， 出点E，F的 ，若不存 ，请说 由． 65 (2023·辽宁大连·中 题)如图， 面直角 系中，抛物线C1:y= x2上有两点A、B，其中点A的 横 为-2，点B的横 为 1，抛物线C2:y=-x2+bx+ c过点A、B．过A AC∥ x轴交抛物线C1另一 点为点C．以AC、1 2 AC长为边 上构 矩 ACDE． 28    (1) 抛物线C2的解析 ； (2) 矩 ACDE 左 移m个单 ， 下 移n个单 矩 A′C′D′E′，点C的对 点C′ 抛物线 C1上． ① n关于m的函数关系 ， 直 写出自变 m的取 围； ②直线A′E′交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q． 点E′为线段PQ的中点时， m的 ； ③抛物线C2与边E′D′、A′C′ 相交于点M、N，点M、N 抛物线C2的对称轴 ， MN= 2 103 时， 点C′的 ．如图， 面直角 系中，抛物线上有两点，其中点的横 为，点的横 为，抛物线过 点．过 轴交抛物线另一点为点．以长为边 上构 矩 ． 66 (2024· 林四 ·模拟预 )如图，抛物线 y=-x2+bx+ c与 x轴交于A 1,0 、B -5,0 两点，与 y轴 交于点C．点P 抛物线上的任 一点 (点P不与点C )，点P的横 为m，抛物线上点C与点P之 间的部 (包 端点)记为图 G． (1) 出抛物线的解析 ； (2) m< 0时，图 G的最大 与最 的差为 d， 出 d与m的函数关系 ， 写出m的取 围； (3)过点P PQ⊥ y轴于点Q，点E为 y轴上的一点，纵 为-2m，以EQ、PQ为 边构 矩 PQEF， 抛物线 矩 PQEF内的部 所对 的函数 y x的增大 减 时，直 写出m的取 围． 67 (2023·辽宁丹东·中 题)抛物线 y= ax2+bx- 4与 x轴交于点A -4,0 ，B 2,0 ，与 y轴交于点 C． 29    (1) 抛物线的表达 ； (2)如图，点D 抛物线上的一个 点，设点D的横 m -4<m< 2 ，过点D 直线DE⊥ x轴， 足 为点E，交直线AC于点F． D，E，F三点中一个点 另外两点组成的线段时， 线段DF的长； (3)若点P 抛物线上的一个 点 (点P不与顶点 )，点M 抛物线对称轴上的一个点，点N 面 内， 四边 CMPN 矩 边之比为 1:2时，请直 写出点P的横 ． 68 (20- 21九 级上· ·期中)如图 1，抛物线 y= ax2+bx+ 3 a≠ 0 与 x轴交于A -3,0  B 1,0 两点，与 y轴交于点C． (1) 该抛物线的函数表达 ； (2)P 抛物线上 于直线AC上方的一个 点，过点P PD∥ y轴交AC于点D，过点P PE⊥AC于 点E，过点E EF⊥ y轴于点F， 出PD+EF的最大 及此时点P的 ； (3)如图 2， 原抛物线 左 移 2个单 长 抛物线 y，y与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对 称轴上的一点， 面直角 系中 存 点H， 以点A，M，N，H为顶点的四边 为矩 ，若存 ，请 直 写出点H的 ；若不存 ，请说 由． 69 (2024· 西 ·一模)综 与 如图，抛物线 y= 1 2 x2-x- 4与 x轴交于A,B两点 (点A 点B的左 )，与 y轴交于点C，连 BC，抛物线 的对称轴与 x轴于点D，过点D DE∥BC交 y轴于点E． 30 (1) 点A,B,C的 ； (2)点P为抛物线上 四 的一个 点，过点P PF⊥ x轴于点F， PF=AF时， PE的长； (3) (2)的条件下，若点Q x轴上一点， 面内 存 一点G， 以P,E,Q,G为顶点的四边 矩 ？若存 ，请直 写出点G的 ；若不存 ，请说 由． 70 (2024· 西 ·二模)综 与 如图，抛物线 y= 1 2 x2- 3 2 x- 2与 x轴交于A，B两点 (点A 点B的左 )，与 y轴交于点C，连 BC． (1) A，B，C三点的 直 写出直线BC的函数表达 ； (2)点D 四 内抛物线上一点，过点C CE∥ x轴，交抛物线于点E， CE ∠BCD时， 点D ． (3)若点P 抛物线对称轴上的一点，点Q为 面内一点， 以点B，C，P，Q为顶点的四边 为矩 时，请 直 写出点P的 ． 题 四：正方 存 性 71 (2024· 西·一模)如图，抛物线 y= 1 4 x2- 1 2 x- 3的对称轴 l与 x轴交于点A，与 y轴交于点B． (1) 点A、B的 ； (2)C为该抛物线上的一个 点，点D为点C关于直线 l的对称点 (点D 点C的左 )，点M 面内， 请问 存 这 的点C， 四边 ACMD 正方 ？若存 ，请 出点C的 ；若不存 ，请说 由．