第二十五章重要专题汇总2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心方法，以配方法、解法归类、根的关系为模块，构建从基础技巧到综合应用的系统性训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |专题1 配方法的妙用|4类型11题，含求参数、比大小、最值等|配方法四类应用：参数求解、大小比较、最值判断、非负式构造|从配方法基本原理到代数变形与几何应用，体现数学抽象与模型意识| |专题2 解法归类|6类型12题，含直接开平方、配方等|解法分类训练：直接开平方法、配方法、公式法等，强调解法选择|按方程特征匹配解法，培养运算能力与策略优化思维| |专题3 根的关系综合|3类型14题，含判别式、代数式求值等|判别式应用、根与系数关系及综合，结合分类讨论|从方程根的性质到代数推理，发展逻辑思维与应用意识|

人教版（新课标）九年级数学上册第二十五章 重要专题汇总（含答案） 本合辑内容包括：专题1配方法的妙用：专题2一元二次方程的解法归类；专题3根的判 别式及根与系数的关系的综合。 专题1配方法的妙用 类型一利用配方法求参数值 1.已知一元二次方程x2+6x+n=0可以配方成(x+m2=5,则以m,n为两边长的等腰三角形的 周长为 2.已知方程x2-6x+q=0可转化为x-3=±V7,则q= 3.若方程x2-2x+m=0可以配方成(x-n=6,则方程x-2x+m=3的根为 4.将方程x2-12x-13=0化为x-m2=n的形式，其中m,n是常数，则m+n= 5.若代数式x2+(k-1)x+9是完全平方式，则k的值为 类型二利用配方法比较两个二次三项式的大小 6.若M=2x2-12x+17,N=x2-8x+11,试比较M与N的大小； 第1页，共1页 7.已知A=2x2-3x+2,B=x-x-1. (1)若3B-A=0,请求出x的值： (2)请比较A与B的大小，并说明理由. 类型三利用配方法判断代数式的正负或求最值 8.戴老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值.要求同学们运用所学知识进行解答. 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+22-22+5=(x+22+1. .(x+22≥0' ∴.（x+22+1≥1' .当(x+2P=0时，(x+2P+1的值最小，最小值是1. 即x2+4x+5的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题. (1)(x-12+3的最小值为 (2)求代数式x+10x+32的最小值. 第2页，共1页 (3)你认为代数式×+2x+5有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值. (4若7x-X+y-11=0:求x+y的最小值. 9.已知多项式-2x2+5x+3. (1将它配成a(x+m2+n的形式： (2)求多项式的最大值. 类型四利用配方法构造非负式求最值或求值 10.(1)求代数式x+y+2x+10y+37的最小值. (2)已知△ABC的三边长a'bc都是正整数，且满足a+2b2-2ab=8b-16'当c=5时，求 △ABC的周长. 第3页，共1页 11.(1)【解决问题】(1)已知m2+n2-12n+10m+61=0,求(m+n2028的值； (2)【拓展应用】(2)已知a:b:c是△ABC的三边长，且6c满足b2+c2=8b+4c-20'a是 △ABC中最长的边，求的取值范围. 第4页，共1页 专题1答案和解析 1.【答案】10或11 【解析】方程x2+6x+n=0配方，得（x+3)2=9-n, m=3”9-n=5'即n=4: 当3为等腰三角形的腰长时，三边长分别为3,3,4，则周长为3+3+4=10； 当4为等腰三角形的腰长时，三边长分别为3,4,4，则周长为3+4+4=11. 故答案为10或11. 2.【答案】2 【解析】 解：由x-3=±V7,得x-3)2=7, ∴.x2-6x+9=7 ∴.x2-6x+2=0' ∴.q=2' 故答案为2， 3.【答案】x1=4,x2=-2 第5页，共1页 【解析】 解：方程x2-2x+m=0可以配方成(x-n2=6, 得到x2-2x+m=x2-2x+n2-6, .∴.-2n=-2’m=n2-6' 解得m=-5,n=1, 所求方程化为x2-2x-5=3,即x2-2x=8, 配方，得x2-2x+1=9, 即x-12=9, 开方，得x-1=±3， 解得x1=4,x2=-2, 故答案为X1=4,X2=-2. 4.【答案】55 5.【答案】±√7 6.M-N=(2x2-12x+17)-(x2-8x+11)=x2-4x+6=(x-22+2, .(x-22≥0 .(x-22+2>0 第6页，共1页 .∴.M-N>0' 即M>N; 7.【答案】解：(1).3B-A=0, ∴.3(x2-x-1)-(2x2-3x+2)=0' .x2-5=0' .x2=5 ∴.x=±V5 答：x的值为±V5: (2)A>B?理由如下： A-B=2x2-3x+2-(x2-x-1) =x2-2x+3 =(x-12+2' .(x-12≥0' ∴.A-B=(x-12+2≥2>0 .'.A>B' 第7页，共1页 8.【答案】【小题1】 3 【小题2】 x2+10x+32 =x2+10x+52-52+32 =x+52+7: .(x+52≥0' ∴.（x+52+7≥71 ,:.当(x+52=0时，(x+52+7的值最小，最小值为7 即x2+10x+32的最小值为7. 【小题3】 有最大值 x+2x+5=号父-6x+9j+8=-x-3+8 :-x-3≤0， x-3+8s8. 当x-3=-0时，代数式号×+2x+5有最大值，最大值为8。 【小题4】 .7x-x2+y-11=0 第8页，共1页 ∴.y=x-7x+11 ∴.x+y=x2-7x+11+x=x2-6x+11=x2-6x+32-32+11=x-3)}2+2: .(x-32≥0 ∴.（x-3)2+2≥2 :.当(x-3}=0时，(x-3P+2的值最小，最小值为2，即x+y的最小值为2 9.【答案】解：(1)-2x+5x+3 =-2x-4+8 52+25+3 -2x+9 8 2x-20 -2x-层≤0， ·-2x+碧0 +8≤8 49 ∴.多项式的最大值为 8 10.【答案】 【小题1】 第9页，共1页 x2+y2+2x+10y+37=x2+2x+1+y2+10y+25-1-25+37=(x+12+(y+5)2+11' .(x+1)2≥0'(y+52≥0' .（x+1)2+(y+5)2+11≥11' X2+y2+2x+10y+37的最小值为11 【小题2】 .a2+2b2-2ab=8b-16' ∴.a2-2ab+b2+b2-8b+16=0' 即(a-b)2+(b-4)2=0, .(a-b)}2≥0'(b-4)2≥0' .a-b=0'b-4=0' .∴.a=b=4' .c=5' △ABC的周长为4+4+5=13： 11.【答案】 【小题1】 ,m2+n2-12n+10m+61=0' .∴（m2+10m+25)+n2-12n+36)=0 第10页，共1页 ∴.(m+52+(n-62=0' .∴.m+5=0'n-6=0' 解得m=-5,n=6. ∴.(m+n2028=(-5+6}2028=1: 【小题2】 .b2+c2=8b+4c-20' ∴.b2+c2-8b-4c+20=0' ∴.(b2-8b+16)+(c2-4c+4)=0' ∴.(b-4)2+(c-22=0' .b-4=0'c-2=0' 解得b=4,c=2. :a是△ABC中最长的边， ..4≤a<2+4" 即a的取值范围为4≤a<6. 第11页，共1页 专题2一元二次方程的解法归类 类型1运用直接开平方法解一元二次方程 1.用直接开平方法解方程： (12x-3P-4=0: 2)x2+6x+9=7; 第12页，共1页 (3)9x2+5=2; (4)(y+22=(3y 类型2运用配方法解一元二次方程 2.用配方法解下列方程： (1)x+4x-7=0 (2)xx-7=5x-36 (3)3x2-4x-2=0: (4)2x-4x+12=0, (5)x-32x+1=-5 第13页，共1页 类型3运用公式法解一元二次方程 3.用公式法解方程： (1)x2-7x-18=0 (2)2x2-7x+7=0: (3)4x2+4x-1=-10-8x (4)2x(x+3)=x2+2 类型4运用因式分解法解一元二次方程 4.用因式分解法解下列方程. (1)xx-3)=2x-6; (2)3x(x-2)=2(2-x 3)1-x=4x-1); (4)4(x-12-25x= 第14页，共1页 (5)(2x+12-6(2x+1)+9=0 类型5解含绝对值的一元二次方程 5.阅读下面的例题与解答过程： 例解方程：x2-|x-2=0 解：当x≥0时，原方程可化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1(不合题意，舍去： 当x<0时，原方程可化为x+x-2=0,解得1=1，x2=-2(不合题意，舍去： ·原方程的解是x,=2?X,=-2 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值这是解决数学问题的一种重要思 想--分类讨论请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)x2-2x=0 (2)x2-2x-4x-1-4=0 第15页，共1页 类型6用换元法解一元二次方程 阅读材料，解答问题： 解方程：（4x-12-10(4x-1)+24=0. 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 则原方程化为y-10y+24=0, 第16页，共1页 解得y1=6,y2=4. 4x-1=6或4x-1=4: 5 Γ4,2= 4· 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想. 请仿照材料解下列方程： (1)x4-x2-6=0 (2)(x2-2x2-5x2+10x-6=0 第17页，共1页 专题2答案和解析 1.【答案】【小题1】 整理，得2x-3=子 2-3=岁 7 x的 【小题2】 写成平方的形式，得x+3)2=7, .x+3=±V7 x1=-3+7?x2=-3-V7 【小题3】 整理，得9x=-3 x2=-1 方程无实数解. 【小题4】 第18页，共1页 开方，得y+2=±(3y-1). y+2=3y-1或y+2=-3y-1 是= 2.【答案】【小题1】 解：X,=-2+1x,=-2-面 【小题2】 解：X1=x2=6: 【小题3】 解：x=2+V10 3； 【小题4】 解：该方程无实数根： 【小题5】 解名=2 3.【答案】【小题1】 .a=1’b=-7’c=-18' .∴.0=（-72-4×1×(-18)=121>0' x=-b±b-4ac=--7)±121_7±1L, 2a 2×1 第19页，共1页 即X1=9,X2=-2 【小题2】 .∵a=2’b=-7’c=7’ ∴.△=(-72-4×2×7=-7<0' .方程没有实数根 【小题3】 方程整理得4x+12x+9=0, ..a=4'b=12’c=9 .△=122-4×4×9=0' 名 6=-12=-3 2a2×421 【小题4】 方程整理得x2+6x-2=0, .∴.a=1’b=6’c=-2' ∴.△=62-4×1×(-2)=44>0' x=-b±vb-4ac=-6±v44.-3tvm 2a 2 ∴.x1=-3+V11’x2=-3-V11 4.【答案】【小题1】 第20页，共1页 移项，得x(x-3)-2x+6=0, 因式分解，得x(x-3)-2(x-3)=0, 即(x-3)(x-2=0, X-3=0或x-2=0, .X1=3’X2=2 【小题2】 移项，得3x(x-2)-2(2-x)=0, 因式分解，得x-2)3x+2)=0, x-2=0或3x+2=0, -2,为=子 【小题3】 移项，得1-x2-4(x-1)=0, 因式分解，得1+x)(1-x)+4(1-x)=0, 即(1-x)(1+x+4)=0, 1-x=0或5+x=0? .X1=1’X2=-5 【小题4】 第21页，共1页 因式分解，得[2(x-1)+5x][2(x-1)-5x]=0, 即(7x-2(-3x-2)=0, .7x-2=0或-3x-2=0 2 3 【小题5】 因式分解，得(2x+1-3)2=0, 即(2x-2)2=0, ∴.2x-2=0' ∴.X1=x2=1 5.【答案】(1)x1=0,x2=2,x3=-2: (2)x2=6’x3=-4. 【解析】 (1)当x<0时，x2+2x=0, 解得x3=-2,x4=0(舍去)： 当x≥0时，x2-2x=0, 第22页，共1页 解得x1=0,X2=2； :.原方程的解为x=0?x,=2'X=-2: (2)当x≥1时，X-2x-4x+4-4=0 即x2-6x=0, 解得x1=0舍去)，x2=6, 当x<1时，x2-2x+4x-4-4=0, 即x2+2x-8=0, 解得x3=-4,X4=2(舍去， .:原方程的解为x,=6x,=-4· 6.【答案】【小题1】 解：设x2=y,则原方程化为y2-y-6=0, 解得y1=3,y2=-2. ①当y=3时，x=3, .x=±V3 ②当y=-2时，x2=-2,方程无实数解. :原方程的解为x,=V3?x=-3 【小题2】 第23页，共1页 设x2-2x=y,则原方程化为y2-5y-6=0, 解得y1=6,y2=-1. ①当y=6时，x-2x=6, 解得x,=1+7:x,=1-7 ②当y=-1时，x2-2x=-1, 解得x3=x4=1. 综上所述，原方程的解为x,=1+7,x2=1-√7？X3=x4=1: 专题3根的判别式及根与系数的关系的综合 类型一根的判别式的运用 1.一元二次方程x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是( ）. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 2.若关于x的方程(a-1)x2+2x+1=0有两个实数根，则实数Q的取值范围是( A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1D.a<2且a≠1 第24页，共1页 3.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不过第三象限，则方程bx2-2x+k=0的根的个数为 ( ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 4.定义：如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“负 一”方程，已知ax+bx+c=0(a≠0)是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论 中错误的是( A.a=c B.b=2c C.b=2a D.a=b=c 类型二利用根与系数的关系求代数式的值 5.已知：X1,X2是一元二次方程x+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3,X1X2=1,则a、b的值分别 是( ）. A.a=-3,b=1 B.a=3,b=1 ca=是b=-1 n0-3,6= 6.若x1+x2=3,x+x=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是( ）. A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0 C.x+3x+2=0 D.x2-3x-2=0 第25页，共1页 7.已知关于x的一元二次方程x-kx+k-3=0的两个实数根分别为X1,x2,且x+x=5,则k的 值是( A.-2 B.2 C.-1 D.1 8.若c、β为方程2x-5x-1=0的两个实数根，则2a+3a3+5β的值为( ）. A.-13 B.12 C.14 D.15 9.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x+2x+k-1=0的两个实数根，且x+x2-x1x2=13,则 k的值为 10.已知一元二次方程X2+2x-8=0的两根为x,X'则X+2x,X,+- 类型三一元二次方程判别式和根与系数的关系的综合 11.已知关于x的一元二次方程mX2-(m+2)x+m=0有两个不相等的实数根x,x2若 4 1+1=4m,则m的值是( X1 X2 A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在 12.设x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+2=0的两个实数根，且 (x1+1)(x2+1)=8,则nm的值为 第26页，共1页 13.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2(a+1)x+a2+5=0的两实数根. (1)若(m-1(n-1)=28求a的值： (2)已知等腰△ABC的一边长为7，若m'n恰好是△ABC另外两边的边长，求AABC的周长. 14.已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2. (1)求m的取值范围； (2)若x'x,满足3x,=x+2,求m的值. 第27页，共1页 专题3答案和解析 1.【答案】A 【解析】原方程可化为x2-2x-4=0, .a=1’b=-2'c=-4' ∴.4=(-2)2-4×1×(-4)=20>0' :.方程有两个不相等的实数根. 故选A. 2.【答案】C 3.【答案】D 【解析】解：一次函数y=k心+bk≠0的图象不过第三象限， .k<0'b≥0' 分两种情况讨论： 当b=0时，原方程化为-2x+k=0,是一元一次方程，仅有1个根： 当b>0时，原方程为一元二次方程，计算判别式得△=(-22-4bk=4-4bk, .k<0'b>0' ..-4bk>0 ·△=4-4bk>0:即方程有2个不相等的实数根， 第28页，共1页 综上，方程根的个数为1个或2个. 4.【答案】D 【解析】：ax2+bx+c=0(a≠0)是“负一”方程，且有两个相等的实数根， a-b+c=0'且62-4ac=0 由a-b+c=0可得b=a+c, 将b=a+c代入b2-4ac=0得a2+2ac+c2-4ac=(a-c=0,则a=c, ∴.b=2a=2c 故选D. 5.【答案】D 【解析】解：：X1,x,是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根， .X1+X2=-2a'X1X2=b' .X1+X2=3’X1X2=1' ∴.-2a=3’b=1' 即a=-≥b-1, 故选D。 第29页，共1页 6.【答案】A 【解析】解：x+x=5, ∴.(x1+x22-2x1x2=5’ 而X1+x2=3, .9-2x1X2=5’ ∴.X1X2=2’ :.以x?x,为根的一元二次方程为x-3x+2=0 故选A. 7.【答案】D 【解析】解：.关于x的一元二次方程x-kx+k-3=0的两个实数根分别为x1,x2, X1+X2=k?X1X2=k-3’ .x1+x3=5 ∴(x1+x22-2x1x2=5' ∴.k2-2(k-3)=5’ 整理得出：k2-2k+1=0, 第30页，共1页 解得k1=k2=1, 故选：D. 8.【答案】B 【解析】 解：：a为2x2-5x-1=0的实数根， 22-5w-1=0'即22=5a+1 ∴.2a2+3a3+5β=5a+1+3a3+5β=5(a+β)+3cβ+1' :aB为方程2X-5x-1=0的两个实数根， ia+8-号0= 2 2a2+3g+5B=5×5+3x-号)+1=12. 故选B. 9.【答案】-2 【解析】解：根据题意得：x1+x2=-2,X1X2=k-1, x+x-X1X2 =(x1+X22-3X1X2 =4-3(k-1) 第31页，共1页 =13' 解得k=-2, 故答案为2， 10.【答案】-37 【解析】解：：一元二次方程x+2x-8=0的两根为X1、x2, .X1+X2=-2’X1‘X2=-8 克2%6 X2 =2X1X2 x好+x灯 X1X2 =2×(-8)+x+为-2x飞 -8 =-16+-22-2×(-8) -8 =-37, 故答案为- 2 11.【答案】A 【解析】 第32页，共1页 解：由一元二次方程板与系数的关系可得×+xm2,X子 m m+2 :1+1-X+x=m=4m, X1X2 XX 1 解得m1=2,m2=-1. 该方程有两个不相等的实数根， .△=[-(m+2)-4mm=4m+4>0, 解得m>-1, .m=2 故选A. 12.【答案】1 【解析】解：·x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+2=0的两实根， ∴.x1+x2=2(m+1)X1x2=m2+2' .(x1+1)(x2+1)=8’ ∴.m+2+2(m+1)+1=8' 解得：m=1或m=-3, .△=4(m+1)2-4(m+2)=8m-4≥0' 第33页，共1页 解得：m≥2 .∴.m=1' 故答案为1. 13. 【答案】解：(1)由根与系数关系得：m+n=2(a+1),mn=a2+5 依题意得m-1)(n-1)=28, mn-m-n+1=28' a+5-2(a+1)+1=28' a2-2a-24=0' 解得a1=6,a2=-4, 由△≥0得[-2(a+1)]2-4(a2+5)20, 解得a≥2， ∴.a=6 (2)分两种情况： ①当m=7或n=7时，即方程有一根为7， 第34页，共1页 把x=7代入方程得49-14(a+1)+a+5=0, 整理得a-14a+40=0, 解得a1=10,a2=4, 当a=10时，x1+x2=2(a+1)=22, 解得x2=15,而7+7<15，故舍去： 当a=4时，x1+x2=2(a+1)=10, 解得x,=3,则三角形周长为3+7+7=17： ②当m=n时，即方程有两个相等实根，X=x, 则△=0，a=2, 方程化为x2-6x+9=0, 解得X1=X2=3, 3+3<7故舍去， 所以这个三角形的周长为17. 14.【答案】解：(1).关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,2, ∴.4=(-62-4(m+4)=20-4m≥0' 解得：m≤5， 第35页，共1页 .m的取值范围为m≤5： (2:关于x的一元二次方程×-6x+m+4=0有两个实数根x'X .X1+x2=6①’X1X2=m+4②： .3x1=x2+2' 当2≥0时，有3x1=x2+2③， 联立①③解得：x1=2,2=4, ..8=m+4’m=4 当X2<0时，有3x1=-X2+2④， 联立①④解得：X1=-2,x2=8(不合题意，舍去). :.符合条件的nm的值为4 第36页，共1页