专题03 一元二次方程的应用（专项训练）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程8类应用场景，以题型为载体构建从实际问题到方程模型的转化逻辑，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|8类共31题|覆盖传播、增长率（重）、图形、数字、营销（高频）、动态几何（难）等场景，分层设置选择、填空、解答题|从实际情境抽象等量关系，通过设元、列方程、求解检验，形成“问题情境-数学模型-解决问题”的完整逻辑链| |综合攻坚|10题|融合多场景综合应用，强化复杂问题的方程建模能力|深化各题型间的内在联系，提升运用数学思维分析和解决实际问题的能力|

专题03 一元二次方程的应用 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的应用 题型1传播问题 题型2增长率问题（重） 题型3与图形有关的问题 题型4数字问题 题型5营销问题（高频） 题型6动态几何问题（难） 题型7行程问题 题型8握手、循环赛问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的应用 题型1传播问题 1．【答案】D 【详解】解：∵初始患病人数为1，每轮传染中平均1人传染个人， ∴第一轮传染后，新增患病人数为，总患病人数为， 第二轮传染中，个患者每人传染人，新增患病人数为， ∴两轮传染后总患病人数为，由题意两轮后共有168人患病，因此列方程为． 2．【答案】9 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 3．【答案】11 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意列方程得：， 解得（不符合题意，舍去）， 即每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑． 4．【答案】小华邀请了10名同学转发 【详解】解：设小华邀请了x名同学转发， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小华邀请了10名同学转发． 题型2增长率问题 5．【答案】A 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 6．【答案】B 【详解】解：设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为， 依题意，得：． 7．【答案】 【详解】设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 8．【答案】 【详解】解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 题型3与图形有关的问题 9．【答案】A 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 10．【答案】D 【详解】解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央矩形的长与宽为，， 由题意得：． 11．【答案】 【详解】解：设垂直于墙的一边长，平行于墙的栅栏总长：（出入口1不用栅栏） 当鸡场的面积为时，， 解得， ∵墙长25， ∴， 解得， ∴， 答：垂直墙一边长． 12．【答案】这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米 【详解】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， ∵墙的长度为12米， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， 答：这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米． 题型4数字问题 13．【答案】D 【详解】解：设较小的连续奇数为，则较大的为， 根据题意得：， 展开得：， ∴， ∴ 解得：或， ∴当时，较大的奇数为，即和， 当时，较大的奇数为，即和． 故选：D． 14．【答案】A 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴，， ∴这个两位数是27． 故选：A． 15．【答案】D 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 16．【答案】16 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 题型5营销问题（高频） 17．【答案】A 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 18．【答案】这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元 【详解】解：设这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元，根据题意得 解得，． ∵销售单价不得低于元， ． 答：这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元． 19．【答案】(1) (2) 销售单价应为元. 【详解】（1）解：由题意得，每千克利润为元， 销售单价相比50元上涨了元， 因此月销售量减少千克， 月销售量为千克， 因此总利润； （2）解： 将代入 得 整理得 解得， 当时，月销售量为（千克） 当时，月销售量为（千克） ∵要尽快减少库存，需要更大的月销售量 又∵ ∴ 答：销售单价应为元． 20．【答案】(1)套 (2)每套护膝的售价为400元 【详解】（1）解：每套护膝售价为420元时，售出（套）； （2）解：设每套护膝降价元，则可列方程， 解得（舍去），． ． 答：每套护膝的售价为400元． 题型6动态几何问题（难） 21．【答案】A 【详解】解：设经过了秒，的面积等于8，则 ， 解得：，， ∵点Q从点C到点A需要的时间是：（秒）， ∴，不合题意，应舍去， 因此，则当的面积等于8时，经过了1秒. 故答案为：A． 22．【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 23．【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 24．【答案】(1)2秒 (2)2秒或3秒 【详解】（1）解：设秒后，的长度等于， 由题意，得：，则：， ∵， ∴，即：， 解得：（舍去）或， ∴P，Q分别从A，B同时出发2秒后，的长度等于； （2）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， 解得：或； 答：P，Q分别从A，B同时出发2秒或3秒后，的面积等于． 题型7行程问题 25．【答案】A 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 26．【答案】/ 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 27．【答案】(1) (2)①，② 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 题型8握手、循环赛问题 28．【答案】D 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 29．【答案】B 【详解】解：设参赛选手有位（为正整数） ∵每位选手都与其他选手恰好比赛一局 ∴比赛总场次为 ∵每局比赛无论胜负，总分增加分 ∴全部选手的得分总数为 即得分总数必为两个连续正整数的乘积 ∵，且212、208、214均无法表示为两个连续正整数的乘积 ∴正确的数据为210． 故选B． 30．【答案】 【详解】解：设有x个队参赛，每两队之间进行一场比赛，则总比赛场数为 ． 根据题意，总比赛场数为28场， 因此可列方程为 ． 故答案为：． 31．【答案】(1)6； (2) (3)8 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．【答案】A 【详解】解：∵月均增长率为，6月份产值为万元， ∴7月份产值为 万元， ∴8月份产值为 万元， ∵预计8月份产值为万元， ∴列方程得 2．【答案】D 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D 3．【答案】B 【详解】解：， ， 依题意，， ． 的面积是面积的， ， 解得． 答：当s时，的面积是面积的． 故选B． 二、填空题 4．【答案】20，20 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 或， 舍去， ，， 答：羊圈的边长，各为20米，20米． 故答案为：20，20． 5．【答案】3或/或3 【详解】解：设这两个整数中较小的一个是，则较大的一个是， 根据题意得：， 解得：，． 故答案为：3或 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．【答案】 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 7．【答案】8 【详解】解：设共有支队伍参加比赛 解得：（舍去） ∴共有8支队伍参加比赛 【点睛】本题考查了一元二次方程循环赛问题，注意双循环表示每支队伍都与除自己外的所有队伍比赛2场 三、解答题 8．【答案】(1)5个人 (2)216 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 解得：或（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：人， ∴经三轮传染后共有216人患了流感． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键；本题的等量关系是两轮传染后共有36人患了流感． 9．【答案】(1)这三天票房的平均增长率为； (2)扛标旗单价上涨了2元或5元． 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 10．【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的应用 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的应用 题型1传播问题 题型2增长率问题（重） 题型3与图形有关的问题 题型4数字问题 题型5营销问题（高频） 题型6动态几何问题（难） 题型7行程问题 题型8握手、循环赛问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的应用 题型1传播问题 1．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵初始患病人数为1，每轮传染中平均1人传染个人， ∴第一轮传染后，新增患病人数为，总患病人数为， 第二轮传染中，个患者每人传染人，新增患病人数为， ∴两轮传染后总患病人数为，由题意两轮后共有168人患病，因此列方程为． 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 _______台电脑． 【答案】11 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意列方程得：， 解得（不符合题意，舍去）， 即每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑． 4．小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【答案】小华邀请了10名同学转发 【详解】解：设小华邀请了x名同学转发， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小华邀请了10名同学转发． 题型2增长率问题 5．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 6．现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷．某公司生产的一款扫地机器人年的销售量为万台，到年销售量达到万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为， 依题意，得：． 7．黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 【答案】 【详解】设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 8．第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【答案】 【详解】解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 题型3与图形有关的问题 9．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 10．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央矩形的长与宽为，， 由题意得：． 11．某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 【答案】 【详解】解：设垂直于墙的一边长，平行于墙的栅栏总长：（出入口1不用栅栏） 当鸡场的面积为时，， 解得， ∵墙长25， ∴， 解得， ∴， 答：垂直墙一边长． 12．某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 【答案】这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米 【详解】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， ∵墙的长度为12米， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， 答：这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米． 题型4数字问题 13．若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（   ） A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或 【答案】D 【详解】解：设较小的连续奇数为，则较大的为， 根据题意得：， 展开得：， ∴， ∴ 解得：或， ∴当时，较大的奇数为，即和， 当时，较大的奇数为，即和． 故选：D． 14．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 【答案】A 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴，， ∴这个两位数是27． 故选：A． 15．如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 16．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 题型5营销问题（高频） 17．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 18．暑假期间某文旅公司生产一种文创产品，按照控制成本降价促销的原则，使生产的文创产品能够及时售出．据市场调查：每个文创产品按元销售时，每天可销售个．若销售单价每降低元，则每天可多售出个．已知每个文创产品的成本为元，并要求销售单价不得低于元．问这种文创产品的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？ 【答案】这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元 【详解】解：设这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元，根据题意得 解得，． ∵销售单价不得低于元， ． 答：这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元． 19．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． (2)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【答案】(1) (2) 销售单价应为元. 【详解】（1）解：由题意得，每千克利润为元， 销售单价相比50元上涨了元， 因此月销售量减少千克， 月销售量为千克， 因此总利润； （2）解： 将代入 得 整理得 解得， 当时，月销售量为（千克） 当时，月销售量为（千克） ∵要尽快减少库存，需要更大的月销售量 又∵ ∴ 答：销售单价应为元． 20．某商店为支持第三届“逐梦天姥”越野挑战赛，以每套300元的进价购进一批护膝．已知3月份每套护膝售价为440元时，售出了60套．4月份该商店决定降价支持越野赛，经调查发现，该护膝每降价10元，每月销售量就增加2套． (1)当每套护膝售价定为420元时，能售出多少套？ (2)当每套护膝售价多少元时，4月份售卖护膝可获利6800元？ 【答案】(1)套 (2)每套护膝的售价为400元 【详解】（1）解：每套护膝售价为420元时，售出（套）； （2）解：设每套护膝降价元，则可列方程， 解得（舍去），． ． 答：每套护膝的售价为400元． 题型6动态几何问题（难） 21．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 【答案】A 【详解】解：设经过了秒，的面积等于8，则 ， 解得：，， ∵点Q从点C到点A需要的时间是：（秒）， ∴，不合题意，应舍去， 因此，则当的面积等于8时，经过了1秒. 故答案为：A． 22．如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 23．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 24．已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 【答案】(1)2秒 (2)2秒或3秒 【详解】（1）解：设秒后，的长度等于， 由题意，得：，则：， ∵， ∴，即：， 解得：（舍去）或， ∴P，Q分别从A，B同时出发2秒后，的长度等于； （2）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， 解得：或； 答：P，Q分别从A，B同时出发2秒或3秒后，的面积等于． 题型7行程问题 25．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 26．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 【答案】/ 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 27．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 题型8握手、循环赛问题 28．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 29．在一次由（一款围棋人工智能程序）参与的围棋比赛中，每位选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，无平局，四位同学分别统计了全部选手的得分总数，结果分别是210，212，208，214，经过仔细验算后发现这四位同学计算结果中只有一个数据是正确的，则正确的数据为（    ） A．208 B．210 C．212 D．214 【答案】B 【详解】解：设参赛选手有位（为正整数） ∵每位选手都与其他选手恰好比赛一局 ∴比赛总场次为 ∵每局比赛无论胜负，总分增加分 ∴全部选手的得分总数为 即得分总数必为两个连续正整数的乘积 ∵，且212、208、214均无法表示为两个连续正整数的乘积 ∴正确的数据为210． 故选B． 30．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我市计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【详解】解：设有x个队参赛，每两队之间进行一场比赛，则总比赛场数为 ． 根据题意，总比赛场数为28场， 因此可列方程为 ． 故答案为：． 31．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】(1)6； (2) (3)8 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵月均增长率为，6月份产值为万元， ∴7月份产值为 万元， ∴8月份产值为 万元， ∵预计8月份产值为万元， ∴列方程得 2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后共有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 【答案】D 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D 3．如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（    ） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 【答案】B 【详解】解：， ， 依题意，， ． 的面积是面积的， ， 解得． 答：当s时，的面积是面积的． 故选B． 二、填空题 4．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米． 【答案】20，20 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 或， 舍去， ，， 答：羊圈的边长，各为20米，20米． 故答案为：20，20． 5．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是__________． 【答案】3或/或3 【详解】解：设这两个整数中较小的一个是，则较大的一个是， 根据题意得：， 解得：，． 故答案为：3或 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 7．一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2场比赛）．若要比赛56场，则共有________支队伍参加比赛． 【答案】8 【详解】解：设共有支队伍参加比赛 解得：（舍去） ∴共有8支队伍参加比赛 【点睛】本题考查了一元二次方程循环赛问题，注意双循环表示每支队伍都与除自己外的所有队伍比赛2场 三、解答题 8．某地方出现流感，开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． (1)求每轮传染中，平均一个人传染了多少个人？ (2)如果在第三轮传染开始前没有控制，仍保持相同的传播速度，则经三轮传染后共有__________人患了流感． 【答案】(1)5个人 (2)216 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 解得：或（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：人， ∴经三轮传染后共有216人患了流感． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键；本题的等量关系是两轮传染后共有36人患了流感． 9．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】(1)这三天票房的平均增长率为； (2)扛标旗单价上涨了2元或5元． 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 10．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的应用 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的应用 题型1传播问题 题型2增长率问题（重） 题型3与图形有关的问题 题型4数字问题 题型5营销问题（高频） 题型6动态几何问题（难） 题型7行程问题 题型8握手、循环赛问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的应用 题型1传播问题 1．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 _______台电脑． 4．小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 题型2增长率问题 5．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷．某公司生产的一款扫地机器人年的销售量为万台，到年销售量达到万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 7．黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 8．第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 题型3与图形有关的问题 9．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 11．某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 12．某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 题型4数字问题 13．若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（   ） A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或 14．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 15．如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 16．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 题型5营销问题（高频） 17．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 18．暑假期间某文旅公司生产一种文创产品，按照控制成本降价促销的原则，使生产的文创产品能够及时售出．据市场调查：每个文创产品按元销售时，每天可销售个．若销售单价每降低元，则每天可多售出个．已知每个文创产品的成本为元，并要求销售单价不得低于元．问这种文创产品的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？ 19．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． (2)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 20．某商店为支持第三届“逐梦天姥”越野挑战赛，以每套300元的进价购进一批护膝．已知3月份每套护膝售价为440元时，售出了60套．4月份该商店决定降价支持越野赛，经调查发现，该护膝每降价10元，每月销售量就增加2套． (1)当每套护膝售价定为420元时，能售出多少套？ (2)当每套护膝售价多少元时，4月份售卖护膝可获利6800元？ 题型6动态几何问题（难） 21．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 22．如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 23．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 题型7行程问题 25．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 26．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 27．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 题型8握手、循环赛问题 28．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 29．在一次由（一款围棋人工智能程序）参与的围棋比赛中，每位选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，无平局，四位同学分别统计了全部选手的得分总数，结果分别是210，212，208，214，经过仔细验算后发现这四位同学计算结果中只有一个数据是正确的，则正确的数据为（    ） A．208 B．210 C．212 D．214 30．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我市计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为__________． 31．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后共有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 3．如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（    ） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 二、填空题 4．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米． 5．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是__________． 6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 7．一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2场比赛）．若要比赛56场，则共有________支队伍参加比赛． 三、解答题 8．某地方出现流感，开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． (1)求每轮传染中，平均一个人传染了多少个人？ (2)如果在第三轮传染开始前没有控制，仍保持相同的传播速度，则经三轮传染后共有__________人患了流感． 9．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 10．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $