专题01 一元二次方程相关压轴题分类训练（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建三阶训练体系，通过判别式应用、韦达定理变形等核心方法提炼，系统培养抽象能力与推理意识，实现知识迁移与思维突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3类核心解法|判别式构造不等式、韦达非对称变形、根代入降次|从概念（判别式/韦达）到方法（变形/降次），构建逻辑链条| |题型归纳|5题型（每题型含典例+3变式）|根的判别式参数范围：标准式化→∆构造→验证二次项；韦达定理：整体代换+∆验证；代数操作：逐级降次+整体倒置；新定义：翻译→构造方程→选方法；换元法：重复式换元+范围限定|题型与方法一一对应，从基础应用到复杂变形，层层递进| |压轴挑战|15道综合题|多方法融合（如判别式+韦达+新定义）|综合应用各题型方法，提升模型意识与问题解决能力|

专题01 一元二次方程相关压轴题分类训练 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用根的判别式求参数 题型二、根与系数的关系 题型三、一元二次方程相关代数操作题 题型四、一元二方程根相关新定义运算 题型五、换元法解一元二次方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1：判别式（∆）的用法 · 判断根的存在性及个数（注意二次项系数是否为0）。当题目出现恒成立、值域、最值时，将其转化为关于x的方程，利用∆≥0构造不等式求参数范围。2：韦达定理的“非对称”变形 · 基础对称式直接套用。 ·非对称处理（难点）：利用根的定义降次，利用整体代换，再结合∆求范围。3：根的“代入”降次，遇到高次多项式或复杂分式，优先用此式逐级降次，化为一次式。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用根的判别式求参数 典例1 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 题型模版 1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。 2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。 变式1-1若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 变式1-2已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 变式1-3关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二、根与系数的关系 典例1 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：根与系数关系（韦达定理）的核心本质是“整体代换”——不求单个根，而是利用两根的和与积作为桥梁。它与判别式（Δ）的分工很明确：Δ管“有没有”，韦达管“值是多少”和“符号特性”。 2.方法：逢根不求根，整体代换显神通；求出参数莫得意，判别式里验真身。 变式1-1已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 变式1-2已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 变式1-3已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型三、一元二次方程相关代数操作题 典例1 对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型模版 1.特征：代数操作题，是压轴题里最“狡猾”的一类——它不直接考你解方程，而是给你一个方程的根，让你去求一个复杂到离谱的代数式（高次、分式、根式）的值。 2.方法：逐级降次法，将高次幂逐级变回一次式。整体倒置法，先取倒数。分子分母同除。结合原方程两边除以 x，即可快速求值。换元后务必确定新元的取值范围，这在求最值时是隐含得分点。 变式1-1关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-2关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 变式1-3对于二次三项式（且为常数），，下列说法： ①当时，若，则； ②无论取任何实数，若等式恒成立，则； ③当时，若，，则． 其中说法正确的个数是（   ） A． B． C． D． 题型四、一元二次方程相关新定义运算 典例1 对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 题型模版 1.特征： 模型1：直接定义型，代入时谨防漏加括号，特别是定义中带减法的时候。 模型2：多参数 + 韦达定理，定义中带有参数，先翻译出方程后，用韦达定理求。 接着题目会给出新关系（如“两根互为相反数”），以此建立方程解。模型3：定义域/整数根 新定义可能规定“a, b 为正整数”或 “x 为非零实数”。翻译成方程后，利用韦达定理进行整除分析。 2.方法： 精准“翻译”：严格照抄新定义，把题目里的字母代入定义式。圈出运算顺序，有括号先算括号内的（这是首个丢分点）。构造“标准式”：翻译后必然得到一个关于 x 的代数式。 3. 根据后续问题，决定使用哪一种： 问“根的情况” → 判别式∆。 问“根的值或关系” → 韦达定理。“复杂代数式求值” → 降次与整体代换。 变式1-1定义新运算： 若， 则x的值为__________ 变式1-2定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是____． 变式1-3对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数_______． 题型五、换元法解一元二次方程 典例1 已知实数x满足，则代数式的值为________． 题型模版 1.特征： 重叠嵌套，对称轮换，配对展开后中间项相同。互为倒数，根号枷锁，根号内外有同一个式子。 2.方法：看见重复令为t，范围先定堵漏缺；解出t来莫停笔，回代解x要齐备。 变式1-1若方程的解为，，则方程的解为 __． 变式1-2如果，那么______． 变式1-3已知为实数，若，则________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．且 D． 3．若为方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B．12 C．14 D．15 4．若x1，x2为抛物线y＝2x2﹣5x﹣1与x轴相交的两交点的横坐标，则2x12﹣5x1+3x1x2的值为（　　） A． B． C． D． 5．关于的多项式，，为任意实数，则下列结论中正确的有（    ）个． ①若中不含项，则； ②不论取何值，总有； ③若关于的方程的两个解分别为，，则实数的最小值为； ④不论取何值，关于的方程始终有4个不相同的实数解． A．1 B．2 C．3 D．4 6．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 7．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 9．新定义运算：，例如，则方程的解为______． 10．对于任意实数，，我们定义新运算“”：，例如．则方程的根为_____． 11．解方程： 12．【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 14．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 15．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程相关压轴题分类训练 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用根的判别式求参数 题型二、根与系数的关系 题型三、一元二次方程相关代数操作题 题型四、一元二方程根相关新定义运算 题型五、换元法解一元二次方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1：判别式（∆）的用法 · 判断根的存在性及个数（注意二次项系数是否为0）。当题目出现恒成立、值域、最值时，将其转化为关于x的方程，利用∆≥0构造不等式求参数范围。2：韦达定理的“非对称”变形 · 基础对称式直接套用。 ·非对称处理（难点）：利用根的定义降次，利用整体代换，再结合∆求范围。3：根的“代入”降次，遇到高次多项式或复杂分式，优先用此式逐级降次，化为一次式。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用根的判别式求参数 典例1 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】A 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 题型模版 1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。 2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。 变式1-1若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 变式1-2已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 变式1-3关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 题型二、根与系数的关系 典例1 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 题型模版 1.特征：根与系数关系（韦达定理）的核心本质是“整体代换”——不求单个根，而是利用两根的和与积作为桥梁。它与判别式（Δ）的分工很明确：Δ管“有没有”，韦达管“值是多少”和“符号特性”。 2.方法：逢根不求根，整体代换显神通；求出参数莫得意，判别式里验真身。 变式1-1已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 变式1-2已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 变式1-3已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 题型三、一元二次方程相关代数操作题 典例1 对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 题型模版 1.特征：代数操作题，是压轴题里最“狡猾”的一类——它不直接考你解方程，而是给你一个方程的根，让你去求一个复杂到离谱的代数式（高次、分式、根式）的值。 2.方法：逐级降次法，将高次幂逐级变回一次式。整体倒置法，先取倒数。分子分母同除。结合原方程两边除以 x，即可快速求值。换元后务必确定新元的取值范围，这在求最值时是隐含得分点。 变式1-1关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 变式1-2关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 变式1-3对于二次三项式（且为常数），，下列说法： ①当时，若，则； ②无论取任何实数，若等式恒成立，则； ③当时，若，，则． 其中说法正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， 且， ， 即， 故正确； 恒成立， ， 即， ， ， ， 故错误。 当时， ，， ， 设，则， 即， ， 即， 故正确。 综上，正确的个数是个. 故选：C． 题型四、一元二次方程相关新定义运算 典例1 对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 题型模版 1.特征： 模型1：直接定义型，代入时谨防漏加括号，特别是定义中带减法的时候。 模型2：多参数 + 韦达定理，定义中带有参数，先翻译出方程后，用韦达定理求。 接着题目会给出新关系（如“两根互为相反数”），以此建立方程解。模型3：定义域/整数根 新定义可能规定“a, b 为正整数”或 “x 为非零实数”。翻译成方程后，利用韦达定理进行整除分析。 2.方法： 精准“翻译”：严格照抄新定义，把题目里的字母代入定义式。圈出运算顺序，有括号先算括号内的（这是首个丢分点）。构造“标准式”：翻译后必然得到一个关于 x 的代数式。 3. 根据后续问题，决定使用哪一种： 问“根的情况” → 判别式∆。 问“根的值或关系” → 韦达定理。“复杂代数式求值” → 降次与整体代换。 变式1-1定义新运算： 若， 则x的值为__________ 【答案】或 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法的应用，根据新运算的定义，将代入公式得到方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：由新运算定义，， 根据题意，， 整理得：， 因式分解得：， 解得：或， 故答案为：或． 变式1-2定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是____． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 变式1-3对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数_______． 【答案】4 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：4，（舍去）， ∴， 综上，， 故答案为：4． 题型五、换元法解一元二次方程 典例1 已知实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 题型模版 1.特征： 重叠嵌套，对称轮换，配对展开后中间项相同。互为倒数，根号枷锁，根号内外有同一个式子。 2.方法：看见重复令为t，范围先定堵漏缺；解出t来莫停笔，回代解x要齐备。 变式1-1若方程的解为，，则方程的解为 __． 【答案】， 【详解】解：， ， 关于的方程的解是，， 方程化为或， 解得，． 故答案为：，． 变式1-2如果，那么______． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则．令，则原方程可化为，然后展开利用因式分解法求解即可． 【详解】解：令， 则原方程可化为， 整理得，， 或 解得或m， ∴或（无意义，舍去）， 故答案为：． 变式1-3已知为实数，若，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程、根的判别式等知识点，运用根的判别式验证x的存在性是解此题的关键． 设，则原方程化为，解方程求出a的值，再根据根的判别式判定即可解答． 【详解】解：设，则原方程化为， 解得：或1， 当时，，即， ∴，此方程无解； 当时，，即， ∴，此方程有实数解； 综上，． 故答案为：1． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】讨论：当k=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0时有实数解，此时k≥-且k≠0，然后综合两种情况得到k的取值范围． 【详解】解：当k=0时，方程化为-x-1=0，解得x=-1； 当k≠0时，根据题意得Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0， 解得k≥-且k≠0， 综上所述，k的取值范围为k≥-． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 2．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式列式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且，即且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与根的关系是解题的关键． 3．若为方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，即，则，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：为的实数根， ，即， ， 为方程的两个实数根， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根时，则，． 4．若x1，x2为抛物线y＝2x2﹣5x﹣1与x轴相交的两交点的横坐标，则2x12﹣5x1+3x1x2的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得x1，x2为2x2-5x-1=0的两根，则2x12-5x1=1，再由根与系数的关系得x1x2=，进而求解． 【详解】由题意得x1，x2为2x2-5x-1=0的两根，则2x12-5x1=1， x1x2= 2x12﹣5x1+3x1x2 故选C． 【点睛】本题考查二次函数与方程的关系，解题关键是掌握抛物线与x轴的交点横纵标的意义及一元二次方程根与系数的关系． 5．关于的多项式，，为任意实数，则下列结论中正确的有（    ）个． ①若中不含项，则； ②不论取何值，总有； ③若关于的方程的两个解分别为，，则实数的最小值为； ④不论取何值，关于的方程始终有4个不相同的实数解． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】，中不含项，则，可判断①正确；举反例可判断②错误；由，得，可判断③正确；由得，即或，分别求出△的值，可判断④正确． 【详解】解：， 若中不含项，则， ，故①正确； 当时，，，此时，故②错误； 若关于的方程的两个解分别为，，则， ， 当时，的最小值是，故③正确； 由得， 或， 由得， △， 有两个不相同的实数根， 由得，△， 有两个不同的实数根， 始终有4个不相同的实数解，故④正确， 正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减及一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 6．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于方程可得 ， ∴． 7．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得，，然后把所给代数式通分后代入求解即可． 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则， 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ 故答案为： 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 9．新定义运算：，例如，则方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据新定义运算列方程并解方程是解题的关键． 由新定义得，解方程即可． 【详解】解：由新定义得：， 解得：． 故答案为： ． 10．对于任意实数，，我们定义新运算“”：，例如．则方程的根为_____． 【答案】， 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义运算，将方程转化为一元二次方程，然后通过因式分解法求解． 【详解】由新运算定义，． 令其等于0，得． 因式分解，得． 解得，． 故答案为：，． 11．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 先把原方程变为，设，则，解出方程可得或，即可求解． 【详解】解：原方程变为， 设，则， 解得：或，         由 即， 解得， 由 即，此方程无解； 经检验：是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 12．【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，解得． 所以，原方程的解为． （2）， ， 设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，此方程无实数根． 所以，原方程的解为． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 14．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 15．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $