16.3 角的平分线（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十六章 轴对称和中心对称 16.3 角的平分线（5大题型提分练） 题型一 角平分线性质定理及证明 1．三角形三条角平分线交于一个点，这个点（   ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三角顶点的距离相等 C．可以在三角形的某一边上 D．可以在三角形的外面 2．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 3．如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（    ） A．24 B．27 C．32 D．36 4．已知射线AP和，现有4个等式：①；②；③；④，其中一定能推出射线AP是的平分线的等式有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ． 6．以下四个语句： ①如果线段AB＝BC，则B是线段AC的中点； ②如图，∠ABD也可用∠B表示； ③如图，若∠ABD＝2∠ABC，则射线BC是∠ABD的平分线； ④若∠MON＝56°，∠NOP＝24°，则∠MOP＝80°． 其中结论正确的有 ．（填写序号）． 7．如图，已知AB∥CD，∠ABE，∠CDE的平分线BF，DF相交于点F，∠E=110°，则∠BFD的度数为 . 8．如图，△ABC 的外角平分线 AM 与边 BC 平行， 则∠B ∠C（填“＞”，“=”，或 “＜”）． 9．如图，，是的中点，平分，求证：平分．    10．如图，分别是中的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？ 题型二 角平分线的性质定理 1．如图，在中，，平分交于．若，且，则点到边的距离为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．如图，已知是的角平分线，，垂足为，若，，的面积是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，，，则的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．以上都有可能 4．如图，的外角的平分线与相交于点，若点到的距离为3，则点到的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在中，，平分，交与，过点作于，，，则 ． 6．如图，在中，，平分交于点，若，，则的面积为 ． 7．如图，已知O是的两条角平分线的交点，过点O作于点D，且，若的周长是24，则的面积是 ． 8．如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为 ． 9．如图，在中，为的角平分线，于点E，的面积是28．若，求的长？ 10．如图，中，平分，平分，于点E， 于点F． (1)若，求的度数； (2)若，，求的面积． 题型三 角平分线的判定定理 1．到三角形三边距离相等的点是三角形的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 2．如图，于点B，于点D，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D．1 3．如图，在中，，M是边上一点，且，若点M到的距离为3，则下关于点M的位置描述正确的是（   ） A．点M是的中点 B．点M到点A的距离为5 C．点M是的垂直平分线与的交点 D．点M是的平分线与的交点 4．小红同学在学习了全等三角形相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小红说：“射线就是的平分线”．她这样做的依据是（   ） A．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．角平分线把角分成相等的两部分 5．如图，，，，若，则 ． 6．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 7．如图，​是​内一点，且​到三边​的距离​，若​ ． 8．如图，过点作于点，于点，若，，则的度数是 ．    9．定理证明：三角形的三条角平分线相交于一点． 10．如图所示，，P是的中点，且平分，连接．求证：平分 题型四 角平分线性质的实际应用 1．如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 2．如图，直线，，表示三条公路.现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 3．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 4．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）      A． B． C． D． 5．点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 6．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ．          7．如图，是的角平分线，＝，＝，AB=8，则△ABD的面积是 ； 8．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在三条 的交点处． 9．如图，已知平分．请说明． 10．如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？ 题型五 作角平分线(尺规作图) 1．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，用直尺和圆规作射线，使它平分，则的理由是（    ） A． B． C． D． 3．某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点；再分别以点、为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线AF交边于点G．若，则点G到边的距离为（   ） A．2 B．1 C． D．无法确定 5．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 6．如图，已知，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点P作交于点Q，则的度数是 度． 7．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ． 8．如图，要在河流的南边，公路的左侧区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉处的距离为（指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ． 9．已知，尺规作图作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹），并说明理由． 10．如图，在中，． (1)作的角平分线，过点E作，垂足为D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明．） (2)在（1）的条件下，如果，求的值． 1．如图，∠AOB为角，下列说法：①∠AOP＝∠BOP；②∠AOP＝∠AOB；③∠AOB＝∠AOP+∠BOP；④∠AOP＝∠BOP＝∠AOB．其中能说明射线OP一定是∠AOB的平分线的有（   ） A．①② B．①③④ C．①④ D．只有④ 2．如图，的平分线上一点P 到 的距离为5，，垂足为点E，则（    ） A． B． C． D． 3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 4．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 5．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，平分，．填空：因为平分，所以 ．从而 ．因此 ． 7．如图，的周长是18，、的平分线交于点P，，且，则 ． 8．如图，点在内，于点，于点，且，，则 ． 9．如图，在中，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线交于点D． 若，的面积为3，则的面积为 ． 10．将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    11．如图，已知，用直尺和圆规作的角平分线．      12．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 13．如图，直线ED上有一点O，∠AOC＝∠BOD＝90°，射线OP是∠AOD的平分线， （1）说明射线OP是∠COB的平分线； （2）写出图中与∠COD互为余角的角． 14．如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． (1)若，求的度数； (2)连接，求证：平分． 15．根据图片回答下列问题． (1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． (2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 轴对称和中心对称 16.3 角的平分线（5大题型提分练） 题型一 角平分线性质定理及证明 1．三角形三条角平分线交于一个点，这个点（   ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三角顶点的距离相等 C．可以在三角形的某一边上 D．可以在三角形的外面 【答案】A 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，熟练掌握三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等是解题的关键． 根据三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等，判定即可． 【详解】解：∵三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等， ∴A选项正确，B、C、D选项错误， 故选：A． 2．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是20，30，40， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 3．如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（    ） A．24 B．27 C．32 D．36 【答案】C 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求得S△ABD=S△BDE=96，利用角平分线的性质得到△ACD与△ABD的高相等，进一步求解即可． 【详解】解：∵AD=DE，S△BDE=96， ∴S△ABD=S△BDE=96， 过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴DG=DF， ∴△ACD与△ABD的高相等， 又∵AB=3AC， ∴S△ACD=S△ABD=． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．已知射线AP和，现有4个等式：①；②；③；④，其中一定能推出射线AP是的平分线的等式有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】在外部也可以找到符合①；②；③；④四个等式的射线AP，但这时射线AP不是的平分线，从而得出答案． 【详解】解：①如图，， 但射线AP不是的平分线； ②如图，， 但射线AP不是的平分线； ③如图，， 但射线AP不是的平分线； ④如图，， 但射线AP不是的平分线， 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线．从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线． 5．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ． 【答案】2：3：4 【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案． 【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点． ∵CO、BO、AO分别平分 ∴ ∵，， ∴ 故答案为：2：3：4 【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键． 6．以下四个语句： ①如果线段AB＝BC，则B是线段AC的中点； ②如图，∠ABD也可用∠B表示； ③如图，若∠ABD＝2∠ABC，则射线BC是∠ABD的平分线； ④若∠MON＝56°，∠NOP＝24°，则∠MOP＝80°． 其中结论正确的有 ．（填写序号）． 【答案】③ 【分析】根据中点的定义，角的表示，角平分线的定义，角的和差分别判断． 【详解】解：①如果线段AB＝BC，当A、B、C共线时，B是线段AC的中点，故错误； ②如图，∠ABD不可用∠B表示，容易混淆，故错误； ③如图，若∠ABD＝2∠ABC，则射线BC是∠ABD的平分线，故正确； ④若∠MON＝56°，∠NOP＝24°，则∠MOP＝80°或32°，故错误； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了中点的定义，角的表示，角平分线的定义，角的和差，属于基础知识，要熟练掌握． 7．如图，已知AB∥CD，∠ABE，∠CDE的平分线BF，DF相交于点F，∠E=110°，则∠BFD的度数为 . 【答案】125° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠ABD+∠CDB=180°，进一步可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，由此可求出∠ABE+∠CDE；由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的性质，即可求得∠FBE+∠FDE的度数；接下来根据四边形BEDF的内角和为360度，即可求出∠BFD的度数. 【详解】连接BD， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB=180°， ∴∠ABE+∠E+∠CDE=180°+180°=360°， ∴∠ABE+∠CDE=360°-110°=250°， ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠FBE=∠ABE，∠FDE=∠CDE， ∴∠FBE+∠FDE= (∠ABE+∠CDE)=125°， ∴∠BFD=360°-110°-125°=125°. 【点睛】本题考查角平分线，熟练掌握角平分线的性质添加辅助线是解题关键. 8．如图，△ABC 的外角平分线 AM 与边 BC 平行， 则∠B ∠C（填“＞”，“=”，或 “＜”）． 【答案】＝ 【分析】依据AM∥BC，即可得到∠DAM＝∠B，∠CAM＝∠C，再根据AM平分∠DAC，即可得到∠DAM＝∠CAM，进而得出∠B＝∠C． 【详解】解：如图，∵AM∥BC， ∴∠DAM＝∠B，∠CAM＝∠C， ∵AM平分∠DAC， ∴∠DAM＝∠CAM， ∴∠B＝∠C． 故答案为：＝． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 9．如图，，是的中点，平分，求证：平分．    【答案】见解析 【分析】过点M作于点E，根据角平分线的性质及判定，即可证得． 【详解】证明：如图：过点作，垂足为， 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又， ， ，， 平分． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及判定，熟练掌握和运用角平分线的性质及判定是解决本题的关键． 10．如图，分别是中的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？ 【答案】 【分析】 根据角平分线的定义和邻补角的定义可得，从而得到． 【详解】 解：，理由如下： ∵、分别是中的内角平分线和外角平分线， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，也考查了邻补角的定义以及垂直的定义． 题型二 角平分线的性质定理 1．如图，在中，，平分交于．若，且，则点到边的距离为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．过点D作于点E，根据比例求出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，进而解出此题的答案． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： ，且， ， ，平分， ， 故选：C． 2．如图，已知是的角平分线，，垂足为，若，，的面积是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质． 过点作交的延长线于点，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 平分，于， ， 的面积是， ， ，即， ． 故选：A． 3．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，，，则的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，理解并掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得，即可获得答案． 【详解】解：∵平分，且，， ∴． 故选：A． 4．如图，的外角的平分线与相交于点，若点到的距离为3，则点到的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键．过点作于，于，于，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】解：如图，过点作于，于，于， 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ，， ． 故选：C． 5．在中，，平分，交与，过点作于，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，平分， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，，平分交于点，若，，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【详解】解：作于，如图， 平分，，， ， 的面积． 故答案为5． 7．如图，已知O是的两条角平分线的交点，过点O作于点D，且，若的周长是24，则的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 作，连接，垂足分别为、，可得，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，连接，垂足分别为、， ∵分别平分和， ∴， ∵的周长是24， ， 故答案为：36． 8．如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 利用角平分线的性质定理证明，再根据的面积为，求出，即可求出的面积． 【详解】解：过分别作， ∵是的角平分线， ∴， ∵，，的面积为， ∴，解得：， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 9．如图，在中，为的角平分线，于点E，的面积是28．若，求的长？ 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理， 过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可． 【详解】解：过点D作于点F， ∵平分，， ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ 10．如图，中，平分，平分，于点E， 于点F． (1)若，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了角平分线的定义及性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，，再根据三角形内角和即可得出答案； （2）根据角平分线的性质得出，再利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵，， ， ∴． （2）∵平分，，，， ∴． ∵， ∴． 题型三 角平分线的判定定理 1．到三角形三边距离相等的点是三角形的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，根据角平分线的判定定理即可求解，熟记角平分线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上， ∴三角形三边距离相等的点应是这个三角形三个内角平分线的交点， 故选：． 2．如图，于点B，于点D，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，根据，，可得是的角平分线，从而求解． 【详解】∵，， ∴是的角平分线 ∵ ∴ 故选：C． 3．如图，在中，，M是边上一点，且，若点M到的距离为3，则下关于点M的位置描述正确的是（   ） A．点M是的中点 B．点M到点A的距离为5 C．点M是的垂直平分线与的交点 D．点M是的平分线与的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明是的角平分线，是解答本题的关键．作于E，连接，利用角平分线的判定定理可证明是的角平分线，即可作答． 【详解】解：过点M作于N，连接， ∵，点M到的距离为3， ∴， ∵，， ∴点M在的平分线上， ∴是的平分线， 即点M是的平分线与的交点， 故选项D正确，根据已知条件无法得出其它选项， 故选：D． 4．小红同学在学习了全等三角形相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小红说：“射线就是的平分线”．她这样做的依据是（   ） A．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．角平分线把角分成相等的两部分 【答案】A 【分析】本题考查了作图——基本作图，角平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点作于点，于点．利用角平分线的判定定理解决问题即可． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． 直尺的宽度相等， ， 又，， 平分． 故选：A． 5．如图，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．），解题的关键是根据角平分线的判定得出是的平分线．据此可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴是的平分线， 又∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分； 过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答． 【详解】解：过点E作，如图所示： 三角形的外角和的平分线交于点E， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 7．如图，​是​内一点，且​到三边​的距离​，若​ ． 【答案】​/125度 【分析】本题考查了角平分的判定、三角形内角和定理等知识，掌握在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理得出平分，平分，然后根据三角形内角和定理求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】到三边的距离， 平分，平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，过点作于点，于点，若，，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】根据，，，可得为的角平分线． 【详解】∵，，， ∴为的角平分线． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，牢记角平分线的性质（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）是解题的关键． 9．定理证明：三角形的三条角平分线相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理是解题的关键． 设的平分线和的平分线交于点，过点作于，于，于，根据角平分线的性质可得，，于是可得，因而可证得点在的平分线上，进而可得出结论． 【详解】证明：如图，设的平分线和的平分线交于点， 过点作于，于，于， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 又，， 点在的平分线上， 即的角平分线、、交于一点， 三角形的三条角平分线相交于一点． 10．如图所示，，P是的中点，且平分，连接．求证：平分 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质和判定，过P作于Q，由中点得，结合角平分线的性质得，则，即可判定平分． 【详解】证明：过P作于Q，如图， ∵P是的中点， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 题型四 角平分线性质的实际应用 1．如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 2．如图，直线，，表示三条公路.现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键．由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件;然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个． 【详解】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：D． 3．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处． 故选：C． 4．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线性质，根据题意，两把相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线，的距离相等，进而得是的角平分线，有即可求得答案． 【详解】解：∵两把相同的长方形直尺的宽度一致， ∴点P到射线，的距离相等， ∴是的角平分线， ∵， ∴， 故选：B． 5．点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 【答案】/118度 【分析】根据到三边的距离相等得到点是角平分线的交点，即可得到，再利用三角形内角和进行角度计算即可． 【详解】， ， 点到三边的距离相等， 点是角平分线的交点， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的判定以及角平分线性质的运用；得到点是三角形角平分线的交点是解题关键． 6．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ．          【答案】5 【分析】作于F，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如下图，作于F，   平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， ， 故答案为：5 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 7．如图，是的角平分线，＝，＝，AB=8，则△ABD的面积是 ； 【答案】24 【分析】先作于E，再根据角平分线的性质得到，最后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过D作于E， ∵是的角平分线，，， ∴. ∵， ∴的面积. 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 8．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在三条 的交点处． 【答案】角平分线 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴凉亭的位置应为三条角平分线的交点， 故答案为：角平分线． 9．如图，已知平分．请说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，角平分线的性质，根据角平分线的性质可得出，再由已知条件可得出，即可得出，由平行线的性质可得出． 【详解】解∵平分， ∴（角平分线性质）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）. 10．如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？ 【答案】1m 【分析】先连接角平分线交点与各个定点，然后过交点作各个边的高，根据三角形的面积和周长来求交点到各个边的距离． 【详解】如图，连接IA，IB，IC，作于一点D，于点E， 于点F ∵I为的三条角平分线的交点 ∴IA，IB，IC分别为三个内角的角平分线 ∴ID=IE=IF ∵，㎡ ∴ 即 ∴ ∵m ∴ ∴m ∴ID=IE=IF=1m 即点I到每条边的距离为1m． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，解题的关键是利用三角形的面积联系三角形的周长求得高． 题型五 作角平分线(尺规作图) 1．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．利用可证得，那么． 【详解】解：由作图知：，，， ∴， ∴， 依据是． 故选：B． 2．如图，用直尺和圆规作射线，使它平分，则的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了尺规作图，全等三角形的判定，根据作图知，用证明三角形全等即可，解题的关键是掌握尺规作图，三角形全等的判定方法． 【详解】解：由作法可知，，， 又∵， ∴， 故选：． 3．某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质等知识．根据三角形角平分线的性质判断即可． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴点O是角平分线的交点， 故选：D． 4．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点；再分别以点、为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线AF交边于点G．若，则点G到边的距离为（   ） A．2 B．1 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了作图基本作图．也考查了角平分线的性质．利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：过作交于点H，    由作图可知平分， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质．熟练掌握作角平分线，角平分线的性质是解题的关键． 由作图可知，是的平分线，则到的距离等于的长，根据，求解作答即可． 【详解】解：由作图可知，是的平分线， ∴到的距离等于的长， ∴， 故答案为：2． 6．如图，已知，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点P作交于点Q，则的度数是 度． 【答案】20 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，属于基础题． 观察可得平分，根据角平分线的定义求出的度数，根据平行线的性质求的度数． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 7．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．也考查了角平分线的定义及三角形内角和定理的应用，利用基本作图得到平分，平分，根据三角形内角和得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：由作法得平分，平分， ∴， ， ∵ ， 而， ∴． 故答案为：． 8．如图，要在河流的南边，公路的左侧区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉处的距离为（指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ． 【答案】 的角平分线上，且与的距离为处 角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 工厂的位置应在的角平分线上，且与距离为处； 理由：角平分线上的点到角两边的距离相等， 故答案为：①的角平分线上，且与点的距离为处；②角平分线上的点到角两边的距离相等． 9．已知，尺规作图作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹），并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，直接根据角平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，射线即为所求． 10．如图，在中，． (1)作的角平分线，过点E作，垂足为D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明．） (2)在（1）的条件下，如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线和垂线的尺规作图，角平分线的性质： （1）根据角平分线和垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段为所求． （2）解：∵平分，，， ∴． ∵，， ∴． 1．如图，∠AOB为角，下列说法：①∠AOP＝∠BOP；②∠AOP＝∠AOB；③∠AOB＝∠AOP+∠BOP；④∠AOP＝∠BOP＝∠AOB．其中能说明射线OP一定是∠AOB的平分线的有（   ） A．①② B．①③④ C．①④ D．只有④ 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，判断各选项即可得出答案． 【详解】根据角平分线的定义，结合各选项得： ①如果P点在∠AOB外面，则OP不是∠AOB的角平分线； ②如果P点不在∠AOB夹角内，则OP不是∠AOB的角平分线； ③如果∠AOP≠∠BOP，则OP不是∠AOB的角平分线； ④正确． 故选：D 【点睛】本题考查角平分线的定义，属于基础题，比较容易解答，注意掌握角平分线的定义是解题的关键． 2．如图，的平分线上一点P 到 的距离为5，，垂足为点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】解：∵是的平分线，且， ∴即为角平分线上的点到角的一边距离， ∵的平分线上一点P 到 的距离为5， ∴， 故选：B． 3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【详解】∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点， 故选：D． 4．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，点P到射线的距离是直尺的宽度，点P到射线的距离也是直尺的宽度， ∴点P到射线，的距离相等， ∴点P在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：A． 5．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用基本作图得到由作法得平分，然后根据角平分线的性质求解．本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 【详解】解：由作法得平分， 点到和的距离相等， ， ， 点到的距离为的长，即点到的距离为10， 点到的距离为10． 故选：C． 6．如图，平分，．填空：因为平分，所以 ．从而 ．因此 ． 【答案】 【分析】由AC平分∠DAB，∠1＝∠2，可得出∠CAB＝∠2，由内错角相等可以得出两直线平行． 【详解】解：∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠CAB． 又∵∠1＝∠2， ∴∠CAB＝∠2， ∴ABDC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：∠CAB，∠CAB，DC． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理以及角平分线的定义，解题的关键是找出∠CAB＝∠2．解决该类题型只需牢牢掌握平行线的判定定理即可． 7．如图，的周长是18，、的平分线交于点P，，且，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点P作于点E，作于点F，连接，根据角平分线的性质可得，然后根据割补法求的面积即可． 【详解】解：如图，过点P作于点E，作于点F，连接， ∵的角平分线交于点P，且，， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∴的面积为 ， 故答案为：18． 8．如图，点在内，于点，于点，且，，则 ． 【答案】/55度 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得平分，再根据三角形内角和定理求解． 【详解】∵，，且， ∴ ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线交于点D． 若，的面积为3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据基本作图，得平分，过点D作于点E，于点F，则，利用三角形面积公式计算即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，角的平分线的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， 过点D作于点E，于点F， 则， ∵ ∴， ∵，的面积为3， ∴， 解得， 故答案为：． 10．将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 11．如图，已知，用直尺和圆规作的角平分线．    【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，以点为圆心，任意长度为半径画弧交于，于，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线交于，即为所作． 【详解】解：如图：的角平分线即为所作，    12．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可． 【详解】解：∵为的角平分线，，， ∴， ∴ ， ∵的面积是，，， ∴， 解得． 13．如图，直线ED上有一点O，∠AOC＝∠BOD＝90°，射线OP是∠AOD的平分线， （1）说明射线OP是∠COB的平分线； （2）写出图中与∠COD互为余角的角． 【答案】（1）见解析；根据题意可得∠COD＝∠AOB，根据角平分线的定义及角的和差关系可得∠POB＝∠POC，进而得出射线OP是∠COB的平分线； （2）根据互余的两角之和为90°求解即可． 【详解】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOD﹣∠AOC＝∠AOD﹣90°＝∠AOD﹣∠BOD， ∴∠COD＝∠AOB， ∵射线OP是∠AOD的平分线； ∴∠POA＝∠POD， ∴∠POA﹣∠AOB＝∠POD﹣∠COD， ∴∠POB＝∠POC， ∴射线OP是∠COB的平分线； （2）∵∠COD＝∠AOB，∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOE＝∠BOC， ∵∠COD+∠BOC＝90°， ∴图中与∠COD互为余角的角有∠BOC和∠AOE． 【点睛】本题考查了余角和补角以及角平分线，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°． 14．如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． (1)若，求的度数； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，角平分线的定义和三角形外角的性质： （1）根据角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得，则，据此可得答案； （2）过点作于，于，则由角平分线的性质可得，，则，由角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作于，于，   ，平分，平分， ，， ， 平分． 15．根据图片回答下列问题． (1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． (2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC． 【答案】(1)= (2)见解析 【分析】（1）根据题目挖掘条件证明△ACD≌△ABD即可 （2）在AB边上取点E，使AC=AE，证明△ACD≌△AED，利用全等对应角和∠ABD+∠ACD=180°得到∠DEB=∠B，从而推出结论 【详解】（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90° ∴∠C=90° ∵AD平分∠BAC ∴∠DAC=∠BAD ∵AD=AD ∴△ACD≌△ABD（AAS） ∴BD=CD （2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE ∵AD平分∠BAC ∴∠CAD=∠EAD ∵AD=AD，AC=AE ∴△ACD≌△AED（SAS） ∴DC=DE，∠AED=∠C ∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180° ∴∠DEB=∠B ∴DE=DB ∴DB=DC 【点睛】本题考查全等三角形的证明，以及角平分线常见辅助线；注意第二小题难点在于辅助线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$