精品解析：重庆市璧山中学2021-2022学年八年级上学期半期测试数学（C卷）试题

2021－2022上期八年级数学期中试题C卷 一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 璧 D. 中 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：“在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形”判断即可． 【详解】解：∵“爱”“我”“璧”这三个字，都找不到一条直线，使得沿直线折叠后直线两旁的部分完全重合， ∴它们都不是轴对称图形. ∵“中”能沿竖直中线折叠，折叠后直线两旁的部分能够完全重合， ∴“中”是轴对称图形． 2. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，17 D. 6，8，20 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，判断是否成立即可． 【详解】A选项，1+2=3，不能构成三角形； B选项，3+4>5，能构成三角形； C选项，5+12=17，不能构成三角形； D选项，6+8<20，不能构成三角形； 故选B 【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据两条较短边之和大于最长边，可以快速判断． 3. 如图所示，△ABC 中 AB 边上的高线是（ ） A. 线段 DA B. 线段 CA C. 线段 CD D. 线段 BD 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高线的定义判断即可． 【详解】解：由图可得，△ABC 中 AB 边上的高线是线段CD， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 4. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：， ， 即， 故选：A． 5. 以下说法正确的有（ ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分； ⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据三角形中线、角平分线的定义作出判断；②根据三角形高的性质作出判断；③根据三角形角平分线的性质作出判断；④根据三角形的中线的性质作出判断；⑤直角三角形的高线的性质作出判断． 【详解】解：①三角形的角平分线和中线都是线段．故错误； ②三角形的三条高线所在的直线交于一点，故正确； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，故正确； ④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，故正确； ⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点，故正确． 综上所述，正确的结论有4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题． 6. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1． 【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 7. 如图，在ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC＝70°，则∠BOC＝（ ） A. 120° B. 125° C. 130° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的逆定理求出O是三角形的角平分线的交点，再利用三角形内角和等于180度求解． 【详解】解：∵在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等， ∴O为△ABC的三内角平分线的交点， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠A=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°， ∴∠OBC+∠OCB=55°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形内角和定理的应用，能得出O为△ABC的三内角平分线的交点是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 8. 已知，，则的值为 A. B. 50 C. 500 D. 【答案】C 【解析】 【分析】解答此题，根据同底数幂的乘法的性质的逆用，先整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可． 【详解】解：， ． 故选C． 【点睛】此题主要考查同底数幂的乘法的逆运用和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键． 9. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 10. 满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ） A. ∠A=2∠B=3∠C B. ∠B+∠A=∠C C. 两个内角互余 D. ∠A：∠B：∠C=2：3：5 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理及各角之间的关系，求出三角形最大角的度数，取最大角的度数不为90°的选项即可得出结论． 【详解】解：A、设∠C=2x，则∠B=3x，∠A=6x， ∴2x+3x+6x=180°， ∴x=， ∴最大的角∠A=6x=≈98.18°， ∴该三角形不是直角三角形，选项A符合题意； B、∵∠B+∠A=∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠C=180°， ∴最大的角∠C=90°， ∴该三角形是直角三角形，选项B不符合题意； C、∵两个内角互余，且三个内角的和为180°， ∴最大角=180°-90°=90°， ∴该三角形是直角三角形，选项C不符合题意； D、设∠A=2y，则∠B=3y，∠C=5y， ∴2y+3y+5y=180°， ∴y=18°， ∴最大角∠C=5y=5×18°=90°， ∴该三角形是直角三角形，选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定义、余角以及直角三角形的判定，根据各角之间的关系及三角形内角和定理，求出各选项三角形中最大的角的度数是解题的关键． 11. 如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ） A. B. C. a-b D. b-a 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可． 【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°， ∴∠ABD=36°=∠A， ∴BD=AD， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C， ∴BD=BC， ∵AB=AC=a，BC=b， ∴CD=AC-AD=a-b， 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答． 12. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，据此即可求解； ②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断； ③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形； ④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP． 【详解】解：①如图，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°−∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确； ②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确； ③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°， ∴∠APC＋∠DCP＝150°， ∵∠APO＋∠DCO＝30°， ∴∠OPC＋∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°−（∠OPC＋∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形；故③正确； ④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PB， ∵∠PAE＝180°−∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO＋∠OPE＝60°， ∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选A. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 13. 等腰三角形的两边长分别是4和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 【答案】13或14 【解析】 【分析】分类讨论确定腰长，验证三边能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①若4为腰，则三角形三边长为4，4，5， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； ②若5为腰，则三角形三边长为5，5，4， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为或． 14. 图①是将木条用钉子钉成的四边形和三角形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是_____． 【答案】三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性解答． 【详解】由图示知，四边形变形了，而三角形没有变形，其中所蕴含的数学原理是三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性． 故答案是：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形具有不稳定性，关键抓住图中图形是否变形，从而判断是否具有稳定性． 15. 若正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】任意多边形的外角和都为，正多边形每个外角都相等，根据该性质计算即可得到边数． 【详解】解：这个正多边形的边数为． 16. 若，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】将所求式子利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算，再将已知式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵2x+3y-2=0， ∴2x+3y=2， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了代数式求值，涉及了幂的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用运算法则进行变形． 17. 如图，在平面直角坐标系内，点P（a，b）为△ABC的边AC上一点，将△ABC先向左平移2个单位，再作关于x轴的轴对称图形，得到△A′B′C'，则点P的对应点P'的坐标为_____． 【答案】（a﹣2，﹣b） 【解析】 【分析】根据平移变换，轴对称变换的性质即可解决问题； 【详解】由题意点P（a，b）先向左平移2个单位得到（a﹣2，b），（a﹣2，b）关于x轴的对称点P′（a﹣2，﹣b）， 故答案为：（a﹣2，﹣b）． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、平移变换、轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识． 18. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值． 【详解】解：如图所示： 过点作于点，交于点， 过点作于点， 平分， ， ． 中，，，，，， ， ， ． 即的最小值是4.8， 故答案为：4.8 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使最小时的动点和． 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19. 据璧山信息网10月26日报道，为了打造“一生之城”，解决人民群众入学难的问题，规划在璧山区璧泉街道观音村修建高新区实验学校．如图，A、B、C三点表示三个小区，若实验学校到这三个小区距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接、，作线段、的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求， 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算幂的乘方，再合并同类项即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 已知的展开式中不含和项 （1）求的值 （2）求的值 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据整式的运算法则进行化简，使得项和项的系数为0即可求出答案； （2）先利用完全平方公式的变型得到，然后将m与n代入原式即可求出答案． 【详解】 解：（1）原式= = = 由于展开式中不含项和项， ∴且， ∴解得：，， （2）由（1）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则和完全平方公式的变型． 22. 如图，AC=AE，∠C=∠E，∠1=∠2．求证：△ABC≌△ADE． 【答案】 ∵∠1+∠EAC=∠BAC，∠EAC+∠2=∠DAE，∠1=∠2， ∴∠BAC=∠DAE. ∵∠BAC=∠DAE，AC=AE，∠C=∠E， ∴△ABC≌△ADE. 【解析】 【分析】由题目已知条件可得∠EAC+∠2=∠DAE、∠1+∠EAC=∠BAC、∠1=∠2，利用角的加减关系可得∠BAC=∠DAE；结合AC=AE、∠C=∠E，利用两角及其夹边对应相等的两个三角形全等即可解答本题. 【详解】 23. 已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC． （1）求证：CD＝CE； （2）连接DE，交AB于点F，猜想△BEF的形状，并给予证明． 【答案】 （1）证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠B， 在△ADC和△BCE中 ∴△ADC≌△BCE（SAS）， ∴CD＝CE； （2）解：△BEF为等腰三角形，证明如下： 由（1）知△ADC≌△BCE， ∴CD＝CE，∠ACD＝∠BEC， ∴∠CDE＝∠CED， ∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC， 即∠BFE＝∠BEF， ∴BE＝BF， ∴△BEF是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）先由AD∥BE得出∠A＝∠B，再利用SAS证明△ADC≌△BCE即得结论； （2）由（1）可得CD＝CE，∠ACD＝∠BEC，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠BFE＝∠BEF，进一步即得结论. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定和性质等知识，属于基础题型，难度不大，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的判定和性质是解题的关键. 24. 如图，已知在中，、分别是、边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：． （2）线段与有何关系？试证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2），，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再由同角的余角相等得出，最后利用即可证明； （2）由全等三角形的性质即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵在中，、分别是、边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：，，证明如下： 由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接， （1）求证：． （2）试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）利用可证即可； （2）在上取点F，使，连接，由全等三角形的性质得，，同理可证，由全等三角形的性质得，，由等边三角形的判定得是等边三角形，结合等边三角形的性质，即可求解； 【小问1详解】 证明：与都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中 ， （）， 【小问2详解】 解：； 理由如下： 如图，在上取点F，使，连接， ∵， ，， ， 同理可证：（）， ，， ， 是等边三角形， ， ． 26. 如图，是边长为24的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． （1）若设，则_________， _________；（用含x的式子表示） （2）当时，求的长； （3）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）运动过程中线段的长不发生变化，为 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再结合题意列出代数式即可得出结果； （2）由等边三角形的性质可得，求出，再由直角三角形的性质可得，计算即可得出结果； （3）由等边三角形的性质可得，过点作的平行线交于点，则，，从而可得为等边三角形，即可得出，证明，得出，再由等边三角形的性质可得，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵是边长为24的等边三角形， ∴， 设，则， ∵Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合）， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是边长为24的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得：，， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：运动过程中线段的长不发生变化，为， ∵是边长为24的等边三角形， ∴， 如图，过点作的平行线交于点， ， 则，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，为等边三角形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021－2022上期八年级数学期中试题C卷 一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 璧 D. 中 2. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，17 D. 6，8，20 3. 如图所示，△ABC 中 AB 边上的高线是（ ） A. 线段 DA B. 线段 CA C. 线段 CD D. 线段 BD 4. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 5. 以下说法正确的有（ ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分； ⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 6. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 7. 如图，在ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC＝70°，则∠BOC＝（ ） A. 120° B. 125° C. 130° D. 140° 8. 已知，，则的值为 A. B. 50 C. 500 D. 9. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 10. 满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ） A. ∠A=2∠B=3∠C B. ∠B+∠A=∠C C. 两个内角互余 D. ∠A：∠B：∠C=2：3：5 11. 如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ） A. B. C. a-b D. b-a 12. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 13. 等腰三角形的两边长分别是4和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 14. 图①是将木条用钉子钉成的四边形和三角形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是_____． 15. 若正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数是_________． 16. 若，则___________． 17. 如图，在平面直角坐标系内，点P（a，b）为△ABC的边AC上一点，将△ABC先向左平移2个单位，再作关于x轴的轴对称图形，得到△A′B′C'，则点P的对应点P'的坐标为_____． 18. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19. 据璧山信息网10月26日报道，为了打造“一生之城”，解决人民群众入学难的问题，规划在璧山区璧泉街道观音村修建高新区实验学校．如图，A、B、C三点表示三个小区，若实验学校到这三个小区距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置P．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 计算： （1）； （2）． 21. 已知的展开式中不含和项 （1）求的值 （2）求的值 22. 如图，AC=AE，∠C=∠E，∠1=∠2．求证：△ABC≌△ADE． 23. 已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC． （1）求证：CD＝CE； （2）连接DE，交AB于点F，猜想△BEF的形状，并给予证明． 24. 如图，已知在中，、分别是、边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：． （2）线段与有何关系？试证明你的结论． 25. 如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接， （1）求证：． （2）试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由． 26. 如图，是边长为24的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． （1）若设，则_________， _________；（用含x的式子表示） （2）当时，求的长； （3）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $