精品解析：辽宁省大连经济技术开发区第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

2023～2024学年度上学期高三期中考试 数学试题 命题人：战新颜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 5. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ） A. －1 B. C. 0 D. 6. 已知，分别为等差数列，的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，O是的外心，若的最大值是m，数列中，，，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 10. 设a，bR，则下列结论正确的是（ ） A. 若a＞b＞0，则 B. 若a＜b＜0，则 C. 若a＋b＝2，则≥4 D. 若，则a＞b 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是周期函数 B. 函数在[，]上有4个零点 C. 函数的图象关于(，)对称 D. 函数的最大值为 12. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 13. 已知复数的共轭复数为，若，且，则_________. 14. ，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是_________. 15. 中，，在上，，，则___________． 16. 已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知两个非零向量与不共线， （1）试确定实数，使得与共线； （2）若，，，且，求向量在向量上的投影的数量. 18. 在①csinA＝acosC；②tan＝2＋；③a2＋b2＝c2＋ab这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答. 已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若c＝4，B＝105°， ，求a和S. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期；对称中心. （2）将图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，（），所得图象关于轴对称，求值. 20. 已知正项等比数列的前项和为，满足，. （1）求数列的前项和. （2）在（1）的条件下，若，，求的最小值. 21. 已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求证：； （3）已知，求数列的前项和. 22. 已知函数，其中． （1）若为增函数，求的取值范围； （2）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度上学期高三期中考试 数学试题 命题人：战新颜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为或，所以. 故选：C 2. 已知命题，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定即可. 【详解】因为全称命题的否定形式为：， 所以的否定为：. 故选：D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简，根据指数函数、对数函数的性质借助中间值0和1比较可得． 【详解】， ， ， 所以. 故选：C． 【点睛】方法点睛：比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小 4. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可知中一个大于1，一个小于1，结合，可知，又，故， 故公比，A错误， ，故B错误， 可知，故无最大值，的最大值为，C错误，D正确， 故选：D 5. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ） A. －1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 6. 已知，分别为等差数列，的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质可求解，结合向量共线的性质即可求解. 【详解】由题意可知三点共线，且，故， 由于可得则，其中为非零实数， 故， 故，故，得， 故选：A 7. 已知函数，若且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的性质确定参数间的关系及范围，然后把目标式转化为一元函数，再引入函数，由导数确定其取值范围． 【详解】由题意时，是减函数，且， 时，是减函数，且， 由且得，，，， ，所以， ， 设，， 时，，是增函数，所以，即， 所以． 故选：C． 8. 在中，，，O是的外心，若的最大值是m，数列中，，，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，，由余弦定理得到，由向量数量积的几何意义，得，，进而计算出，再使用构造法求解通项公式 【详解】设，，， 则在中，由正弦定理及，，得， ∵，∴，∴. 在中，由余弦定理及及，， 得. 因为O是的外心， 所以O在线段AC，CB上的射影为相应线段的中点， 由向量数量积的几何意义，得，， . ∵，∴， 所以的最大值为3.即. 由，得. 所以数列是首项，公比为3的等比数列. 所以，即. 故选：A 【点睛】构造法求解数列的通项公式，是经常考查的知识点，要结合递推数列的结构特点，选择合适的方法进行构造，常见的构造类型有和等. 二、选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 【答案】BC 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】根据题意可得：满足条件的有两个，可得， 故选:BC 10. 设a，bR，则下列结论正确的是（ ） A. 若a＞b＞0，则 B. 若a＜b＜0，则 C. 若a＋b＝2，则≥4 D. 若，则a＞b 【答案】AC 【解析】 【分析】 由不等式的性质可得A正确，通过举反例可得BD错误，利用基本不等式可得C正确. 【详解】选项A显然正确； 选项B，a＝﹣2，b＝﹣1代入即可验证，不等式不成立，故B错误； 选项C，，当且仅当a＝b＝1时，取“＝”，故C正确； 选项D，a＝﹣1，b＝满足，不符合a＞b，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是周期函数 B. 函数在[，]上有4个零点 C. 函数的图象关于(，)对称 D. 函数的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由选项的问题逐一计算，A选项，代入周期的公式验证即可；B选项，求导求函数的单调性以及极值和端点值，从而判断函数的零点个数；C选项，代入，计算的值验证；D选项，由B选项可知结果. 【详解】A：由于，所以函数是周期函数，A正确； B：，研究[，]情况，发现在(，)，(，)单调递增，在(，)单调递减，求得，，，，所以函数在[，]上有2个零点，故B错误； C：由于， 所以，所以函数的图象关于(，)对称； D：由B选项的过程可知，的最大值为，D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查含三角函数的复合型函数的周期性，零点个数以及对称性，属于中档题. 易错点睛：（1）含三角函数的复合型函数求导时的解为增区间；的解为减区间；不考虑三角函数本身的增减性. （2）正弦型、余弦型复合函数的单调性要看内外层函数的单调性. 12. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，即可结合对数的运算求解. 【详解】设，则， 当时，均为单调递增函数，且值恒为正，故函数为上的单调递增函数，因此， 故，故函数为上的单调递减函数，故， 即，即， 由可得， ，故，A错误， ，故，B正确， 由于，故，C正确，D错误， 故选：BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 13. 已知复数的共轭复数为，若，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，利用已知可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 解得，又，所以. .故答案为： 14. ，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积以及共线即可求解. 【详解】若，则，解得， 当与共线时，，则， 当时，，此时两向量方向相反， 故当与的夹角为钝角时，且， 故答案为： 15. 中，，在上，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由结合三角形面积公式化简可得出的值. 【详解】如下图所示： 在中，，在上，，，则， 由，即， 即，等式两边同时除以可得， 所以，. 故答案为：. 16. 已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算即可. 【详解】易知，由可得， 即，则有， 设，易知在上单调递增， 故，所以，即， 设，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，则有，解之得． 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知两个非零向量与不共线， （1）试确定实数，使得与共线； （2）若，，，且，求向量在向量上的投影的数量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共线定理即可求解， （2）根据垂直关系可求解，即可根据投影的定义求解. 【小问1详解】 由于与共线，故存在实数，使得， 由于与不共线，故，解得， 【小问2详解】 ， 由可得，故， 所以， 故向量在向量上的投影的数量为 18. 在①csinA＝acosC；②tan＝2＋；③a2＋b2＝c2＋ab这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答. 已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若c＝4，B＝105°， ，求a和S. 【答案】选①：，；选②：，；选③：，. 【解析】 【分析】 选①由csinA＝acosC，利用正弦定理得到，求得角C;选②由tan(C＋)＝2＋，利用两角和的正切公式得到求得角C；选③由a2＋b2＝c2＋ab，利用余弦定理求得角C；然后利用正弦定理求得a，再利用三角形面积公式求解., 【详解】选①∵正弦定理且csinA＝acosC； ∴， ∵在△ABC中，， ∴sinA≠0， ∴， ∴, 选②∵tan(C＋)＝2＋， ∴，即， 则， 选③∵a2＋b2＝c2＋ab， ∴由余弦定理得：， ∵在△ABC中，C(0，)， ∴C＝， ∵在△ABC中，A＋B＋C＝，且B＝105°， ∴A＝， ∵正弦定理且， ∴，则， , , , ∴. 【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 19. 已知函数. （1）求的最小正周期；对称中心. （2）将图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，（），所得图象关于轴对称，求值. 【答案】（1）；， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式以及辅助角公式化简，即可由周期公式求解周期，利用整体法即可求解对称中心， （2）根据函数图象的伸缩平移变换得函数表达式，即可根据三角函数的奇偶性求解. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期. 令,则， 故对称中心， 【小问2详解】 将图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再将向左平移个单位长度，得到函数（）， 由于的图象关于轴对称，故, 则， 由于，故或 20. 已知正项等比数列的前项和为，满足，. （1）求数列的前项和. （2）在（1）的条件下，若，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质可求解公比，即可求解通项，进而利用错位相减法即可求和， （2）将问题转化为求解，利用作差法求解数列的单调性即可求解. 【小问1详解】 由于为正项等比数列，，故，故公比， 故，则， 两式相减得， 所以 【小问2详解】 由已知得由可得，即 设， 当时，；当时， 所以当时，取最大值，即.故的最小值是. 21. 已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求证：； （3）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） ， 故 . （3） 【解析】 【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解， （2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解， （3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 由，，成等差数列，得，① 当时，， ∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，， ∴， 又，∴， ∴是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 综上. 22. 已知函数，其中． （1）若为增函数，求的取值范围； （2）若，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得恒成立，然后根据参变分离构造函数利用导数求函数的最值即得； （2）由题即证，构造函数，利用导数研究函数的性质进而即得. 【小问1详解】 因为，又为增函数， 所以在上恒成立，所以， 设，则，令，解得， 所以，当时，此时单调递增； 当时，此时单调递减， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以要证，即证，即证， 当时，，所以； 当时，令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 综上，． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $