辽宁省2025-2026学年高三上学期期中（11月）考试数学试题

·数学· 参考答案及解析 叁专答亲及解折 2025一2026学年度（上）高三年级期中考试数学 一、选择题 法二：以B为原点，BC所在直 y 1.C【解析】由i这=1+5i,得之=5-i,所以之=5+i. 线为x轴建立平面直角坐标 2.D【解析】由x2-3x-4<0,解得-1<x<4,则 系如图，连接BP,设∠PBC= B={x|-1<x<4},所以A∩B={0,1,2} 3、A【解折】由红3≤1可得2红-5<0，即 a(0≤a≤)，则A1,), x+5 P(2cos a,2sin a),C(2,0), 8≤0，即(z-8)(x+5)≤0且x≠-5，所以 PA.PC=(1-2cos a,3-2sin a).(2-2cos a, -5<x≤8. -2sin a)-6-6cosa-2/3sin a-6-4/3sin ( 4.A【解析】由题意得，AB=(4-k,-1),BC=(6, 3).若A,B,C三点共线，则AB=λBC,即 a),以下同法一. 1 61，解得k=6.又f)=2+2kx+30的最8 &c【解标】由nAB-如A科二食 sin A 小值为-6，则2-2k2+30=-6,解得k-6或k= 2 esin AcosA=一m月，即sA 1 cos B cos B 一6.所以p是q的充分不必要条件. sin2A=-sinB,即 5.C【解析】由题意知f(-x)=一f(x),f(x十2)= cos 2Asin B+sin 2Acos B=0,asin (2A+B)=0, f(-x十2)，所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),则 由题意得2A+B=A+元-C∈(0,2π)，所以2A+ f(x+8)=-f(x十4)=f(x),所以f(x)的最小正 B=元π，2A=x-B,则sin2A=sinB,即sin2A一 周期为T=8,f(2025)=f(1)=-f(-1)=1. sin B=0. 6.C【解析】法一：设等差数列的公差为d,由题意得 二、选择题 a11x5-m. 9.AC【解析】若a⊥b,则m+2(m十1)=0，解得m= 特日所以Sa 2(a1+3d)+a1+7d=45, 一3，A正确；若a/b,则m(m十1)=2，解得m= _2 11×2+11X10×3=187. -2或m=1,B错误；若|a+b|=2√5，由题得a+ 2 b=(m+1,m+3),所以1a+b|= 法二4由5，=7a十a）_7X2a4=77得a4=1,由 2 2 √(m+1)2十(m十3)2=2√5，解得m=-5或m= 2a,+aa=4,得a:+a,-34,所以Sn-1(a+a 1,C正确；若a与b的夹角为钝角，则a·b<0,且 2 187. a,6≠，解得m<-号且m≠-2，D错误。 7.B【解析】法一：连接BP,设∠PBC=a,则0≤a≤10.BD【解析】在am+m=amam中，令m=1,则有 Pi.P心=(Bi-B驴)(B心-B)=Bi. am+1=2am,则数列{an}是首项为2，公比为2的等 BC-BP.BC-BA.BP+BP2=2-4cos a 比数列，则a,=2,S.21-g）=21一2，由此， 1-2 m(g-。）+4=6-4(owe+we+复mo) A错误，B正确；aj+1十aj+2十十aj+10=S;+10 S,=2+1-2+1,所以j=6,C错误；a1a2…a:= 6-43sin(3+a.因为0≤a≤3，所以3≤a+ 2,由1D=15得=5，D正确。 2 吾号gsm(后+o)a,-w原-4sm(后+ 11.AB【解析】f(x)+x2是奇函数，则f(-x)+ x2=一f(x)-x2①，f(x)-2x是偶函数，则 a)≤-6，则6-43≤6-43sim(号+e)≤0，故 f(-x)十2x=f(x)-2x②.联立①②解得f(x)= PA.PC的取值范围为[6-4V3,0]. x2+2x.由g(x)={ f(x),x∈[0,2]， 可 2g(x-2),x∈(2，+∞)， 。1。 11月高三期中考试 知当x∈[2k,2k+2],k∈N时，x-2k∈[0,2]，此 法二：由f(x)f)=1可得f'x)fx)- 时g(x)=2f(x-2k)=2[-(x-2k)2+2(x- x 2k)]=2(x-2k)[2-(x-2k)]=2(x-2k)[2(k+ 2即(f2y-上，即f=1n+c(c为帝 1)一x],g(x)的图象如图，由图易知A正确； x 数)，所以f(x)=xlnx十Cx,又因为f(1)=C=0, 所以f(x)=xlnx,f(x)≥ax-1可变为xlnx≥ a-1,a≤nx十，若fx)≥ar-1,则a≤ (hx+士）令g(x)=nx+2,则g'(x) 012345678910x -1=当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单 当x=1时，k=0,g(1)=1;当x=3时，k=1,g(3)= 2;当x=5时，k=2,g(5)=22；…;当x=2n十1 调递减；当x≥1时，g'(x)≥0，g(x)单调递增，则 时，k=n,g(n)=2",所以g(1)+g（3)十…+ 当x=1时g(x)取最小值1，所以a≤1，故a的取 g(2m+1)=1+2+22+…+2"=1-2+1 值范围是(-∞，1]. 1-2 2+1 四、解答题 1,n∈N*,B正确；由图可知，g(5)=4,C错误；对于 15.解：设每个季度新能源汽车出口量的增长率为q, D,h(x)-g(x)一m(x一4)有三个零点等价于方程 由题意，该车企从2025年第一季度起，每季度的出 g(x)=m(x-4)有三个根，等价于函数g(x)图象 口量成等比数列，公比为1十q且1十q>0. 与直线y=m(x-4)有三个交点，若m=一1，则 设此等比数列为{an}. 3分 y=一x十4，由图可知，两图象只有两个交点，D 错误. (1)由题意a1=5,a=11.25,1+g)》-a-1.25_ a15 三、填空题 2.25,1+q=1.5,q=0.5. 7分 12.一1【解析】由题意得，2a-b=(3,3),a十b= 故每个季度新能源汽车出口量的增长率为50%. (2+k,4+5k),由(2a-b)⊥(a+kb)得6+3k+ 8分 12+15k=0,解得=-1. (2)2026年该车企新能源汽车出口量为a;十a6+ 13.30【解析】如图，连接BC,由题 a7十a8= 5×1.5(1-1.52≈205.66（万辆）， 1-1.5 意，AC=6√2，AB=6√2，∠CAB= 故预计2026年该车企新能源汽车出口量将达到 60°，故△ABC为等边三角形， 205.66万辆. 13分 BC=6√2，∠ACB=60°，从而 ∠DCB=180°-60°-75°=45°.在 l6.解：由题得f(x)=sin xcos x--√3sinx十msin（x十 △BCD中，CD=14,BD2=BC2+CD2-2BC·CD· )sm(e-）+9 cas∠DCB=(62yr+14-2X62X14×号 =in o+1-2nz)-msn(管+z）· 100,则BD=10,所以乙船的航速为30海里/小时. 14.（-∞，1]【解析】法一：由f(x)≥ax-1,x∈(0， cos(+z) +),可得a2-令g)-f+ x x x 2 sin 2 cos 2a-m 2 cos 2. 5分 则g)-'a》@-是-[r) x2 (1)当m=0时，f(x)= 2 sin 2 2 cos 2x= ]-当0<<1时， sin(2x+5）. 7分 g'(x)<0,g(x)单调递减；当x≥1时，g'(x)≥0， g(x)单调递增，则当x=1时g(x)取得最小值，即 由2kx+晋<2x+智<2x+受E刀， g(x)min=g(1)=f(1)十1=1，所以a≤1，故a的 取值范围是(-∞，1]. 得长x十多≤x<kr+ i2k∈z), 8分 ·2 ·数学· 参考答案及解析 则f(x)的单调递减区间为 7π7 (∈ a+2c-4sina+4sin（ Z),值域为[-1,1]. 9分 2 =4sin a+4(sin 3 cos a-cos 3sina） 2 10分 2sin acos a (2)由题得sin2a=2 sin acos a= sin2a+cos'a 1 =4sin&+4(3 cos a士2sim&】 11分 2tan a 4 1+tana5’ 11分 =4sin a+23 cos a+2sin a cos 2a-cos'a-sin'a-cos a sin'a1-tan'a =6sina+23cos&=45sin(a+若）， 12分 sin'a+cos2a 1+tan2a 13分 因为0a<所以晋<a+日<爱 13分 由fa)=6-33a1 10 得 sin 2a+3 2 2 cos 2a- 2cos 2a= m 故当a十音-受，即a=名时a十2c取得最大值，此 时△ABD为等边三角形. 14分 33V3 510’ 所以AD=BD=CD,D是△ABC的外心. 即2_33+3m=333 所以△ABC为直角三角形. 15分 51010=5-10，解得m= 2 3 18.解：1当n=1时0，=5，=7-（分》广=子1分 故实数m的值为 2 15分 当m≥2时a=S.-S1=-(分)1-号十 17.解：(1)由向量m=(2sinA-sinC,sinC),n= 2分 (-,a+),m/sinA-sin C (合)广=()， sin C 亦成立， 3分 a2+b2-c2 当=1时a,=(分) a2+c2-b2’ 1分 即2sinA-sinC 所以{Q}是首项为4，公比为2的等比数列，通项 2abcos C 之 bcos C sin C 2accos B ccos B 公式为a-(})》 4分 sin Bcos C sin Ccos B' 3分 设等差数列{b.}的公差为d,则有 又sinC≠0，所以2 sin Acos B-sin Ccos B= b1+2d=6, b1=2, 解得 6分 sin Bcos C. 4分 7b1+21d=56,d=2, 所以2 sin Acos B=sin(B+C)=sin(π-A)= (或者T7=7b4=56,b4=8,d=b4一b3=2,b1=6- 2×2=2) sinA,又sinA≠0，所以cosB=2: 5分 所以等差数列{b.)的通项公式为bn=2n, 7分 又因为O<B<π，所以B= (2)设数列{anbn}的前n项和为Rm, 3· 6分 则R,=2×(2)}°+4×(2)+6×(2）广+…+ (2)如图，设∠DAB=a,在 a 2mx(2) √3 2 △ABD中， sin a sin 3 -+2x(2)'+3x(2)”+…+n×(合)广①， 8分 8分 sin (a) 2R.=(号)厂+2×（号）》°+3x(号)++n× 所以a=4sna=2sin(经-。 9分 (2)+®， 9分 ·3 11月高三期中考试 ①-②得2R.=2+()+(2)’++(2)广 +∞)上单调递减. 4分 nx(经) (2)当a=1时，f(x)=elnx一x,由(1)知，f(x)在 10分 (0,e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减，且e是 [1-(2) f(x)的唯一零点，则xo=e. 5分 1-分 -nx(》 当a>0且a≠1时，由1)知z1∈(g,十∞).6分 =1-(1+2)×(2)”, 11分 ①令ga)=g,则g'a)=c(a-D 7分 a 所以R,=2-a+2)×(分)” 所以当a∈(0,1)时，g'(a)<0,g(a)在(0,1)上单 12分 调递减； 由e,di十a6:+…十a6.≥行+28.-2得2 当a∈(1，十∞)时，g'(a)>0,g(a)在(1，+∞)上 单调递增， 8分 +2)×(分)》”≥+2[3-（号）]-2。 质议ga)>g0)=e,放2>e a >e(*), 即3- a+Dx(合)≥3， 所以x1>xo 9分 只需[3-a+10×(分)门≥3入即可，14分 <, ②由(1)知，x<e 10分 因为x1,x2是f(x)的两个零点，所以elnx1一 设f(a)=3-(n+1)×(分)”，则f(n+1) ax1+1-a=0,elnx2-ax2+1-a=0,11分 fm)=3-(m+2)×(2)-3+(n+1× 两式相减得e(lnx1一lnx2)-a(x1-x2)=0, 12分 (号)”=n×(2)*'>0, 能理得女，-日 由此可知f(n)为N'上的增函数，则f(n)的最小 令t=1,则>1且x1=x2, 值为f(1)=2, 15分 所以2，t-1)-e, 即2≥A≤6， 16分 a'ip, at-1 13分 所以λ的取值范围是(-∞，6]. 17分 19.解：(1)由题知函数∫(x)的定义域为(0，十∞)，由 tn+8h-8.a* t-1’ e 14分 f (x)=e"In z-ax+1-a f'(x)= x 一a三 ea-ax 设A=1n4-2,则)=} 2分 x 2[t+1-(t-1)]_1-、4=t-1)2 当a≤0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，十∞)上单 (t+1)2 i-1+1)2-+1)>0, 调递增； 所以h(t)在(1，+∞)上单调递增，所以h(t)> 当>0时，由e一a>0得0<x<号此时fc)> h(1)=0, 15分 即1nt二2t-D≥0，整理得>2，一 0,f(x)单调递增；由e-ax<0得x> 。,此时 t-1 f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以x十x2>2 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增； 由(*)可知，x,十，>20>2e, a 当a>0时x)在(0，)上单润递增，在（后， 证毕. 17分 ●4绝密★启用前 2025一2026学年度（上）高三年级期中考试 数学试卷 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是 符合题目要求的。 1.已知i这=1+5i,则之= A.5-i B.-5-i C.5+i D.-5+i 2.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|x2-3x-4<0},则A∩B= A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0} C.{-2,-1,0,1} D.{0,1,2} 3。不等式≤1的解架为 A.(-5,8] B.[-5,8] C.[8,+∞) (-5,引 4.设k∈R,命题：向量OA=(k,6),OB=(4,5),OC=(10,8),且A,B,C三点共线，命题g:函数 f(x)=x2十2kx十30的最小值为一6，则p是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x+2)为偶函数，若f(一1)=一1，则 f(2025)= A.-3 B.-1 C.1 D.3 6.已知等差数列{am}的前n项和为Sn,S,=77,2a4十a8=45,则S11= A.32 B.34 C.187 D.374 高三·数学第1页（共4页） 7.莱洛三角形最早在十九世纪，由机械学家、数学家莱洛发现.要想得到莱洛三角形，首先需要画一 个等边三角形，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，三角形的边长为半径画圆弧，由这三段圆 弧组成的曲边三角形就是一个莱洛三角形，如图为一个莱洛三角形，已知AB= 2,P为弧AC上的动点，则PA·PC的取值范围是 A.[6-4√3,6+4√3] B.[6-43,0] C.[0,6+4√3] D.[0,12] 8.若△ABC的内角A,B满足，1 1 1 tan A tan B-sin2A,则 A.sin 2A-cos B=0 B.sin 2A+cos B=0 C.sin 2A-sin B=0 D.sin 2A+sin B=0 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(m,2),b=(1,m+1),则 A.若aLb,则m=-名 3 B.若ab,则m=一2 C.若a+b|=2√5，则m=-5或m=1 D。若a与b的夹角为钝角，则m<号 l0.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,对任意正整数m,n,都有am+m=aman.若a1a2…a:= 25,aj+1十aj+2十…十aj+10=2”-2,则 A.{an}为等差数列 B.{Sn十2}为等比数列 C.j=7 D.i=5 11.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)+x2是奇函数，f(x)一2x是偶函数，函数g(x)= f(x),x∈[0,2]， 2g(x-2),x∈(2，+6∞)，则 A.g(x)在x=2k+1(k∈N)处取得极大值 B.g(1)+g(3)+…+g(2n+1)=2m+1-1,n∈N C.若g(x)≥8，则x的最小值为5 D.若h(x)=g(x)-m(x-4)有三个零点，则实数m=一1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,4),b=(1,5),若(2a-b)⊥(a+kb),则实数= 13.如图，已知甲船以每小时18√2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方D 向匀速直线航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船北偏西60°方向的B 处，此时两船相距6√2海里.20分钟后，甲船位于C处，乙船位于甲船北偏 B 西75°方向的D处，此时两船相距14海里.由此可知，乙船的航速为 海里/小时 乙船 甲船 14.已知定义在0，十o∞上的函数f(x)满足f1=0,'(x)-fx）-1(f'(x)是f(x)的导函 数)，若f(x)≥ax-1,则a的取值范围是 高三·数学第2页（共4页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)2025年中国新能源汽车出口呈爆发式增长，成为出口增长核心引擎.某车企2025年第 一季度新能源汽车出口量为5万辆，受海外市场认可度提升推动，此后每个季度出口量的增长 率均相同，已知2025年第三季度该车企新能源汽车出口量达到11.25万辆. (1)求每个季度新能源汽车出口量的增长率； (2)若保持此增长率不变，预计2026年该车企新能源汽车出口量将达到多少万辆（结果保留两 位小数)？ 16、（15分)E知两数fx)=s血xosx-月snz+msin(+)sn(e-)+(m∈R. (1)当m=0时，求f(x)的单调递减区间和值域； ②)若ana=2,fa).685,求实数m的值 17.(15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sinA-sinC,sinC), n=(a2+b2-c2,a2+c2-b2),且m∥n. (1)求角B的大小； (2)设BC的中点为D,AD=√3，当a十2c取得最大值时，判断△ABC的形状. 高三·数学第3页（共4页） 18、1分已知数列a,的前0项和S.}-(分》，等差数列6，的前n项和为工，且6，=6， T7=56. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)对任意n∈N”,都有a1b1十a2b2十十anbn≥3入十2Sm一2，求实数入的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=e1nx-ax+1-a(a∈R). (1)判断f(x)的单调性； (2)当a=1时，f(x)的零点为x0,当a>0且a≠1时，若f(x)有两个零点x1,x2(x1>x2). ①试比较x0,x1的大小； ②求证：x1十xz>2e. 高三·数学第4页（共4页）