第5章 三角函数概念清单速记表（知识清单）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学三角函数知识清单系统梳理了第5章核心内容，涵盖任意角、弧度制、三角函数定义与性质、恒等变换及应用等知识范畴，搭建了从概念理解到公式应用再到实际建模的递进式学习支架。 清单按章节分类呈现概念、定义及相关概念，如“终边相同的角”关联集合与周期性，诱导公式按对称关系分类标注奇偶性等属性，体现知识体系的完整性与条理性。设计“相关概念”专栏和“应用提示”如扇形公式结合弧度制，培养数学思维与应用意识，学生可高效梳理知识，教师能据此优化教学逻辑，提升复习针对性。

第5章 三角函数清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 5.1.1 任意角 任意角 一条射线绕其端点旋转形成的图形叫做角；按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；没有做任何旋转的角叫做零角。 正角、负角、零角、旋转方向 相反角 把射线绕端点按不同方向旋转相同量所成的两个角互为相反角；角 .. 的相反角记为 ，且 。 相反角、角的减法 象限角 使角的顶点与原点重合、始边与 轴非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；终边在坐标轴上的角不属于任何象限。 坐标系、始边、终边 终边相同的角 所有与角 .. 终边相同的角，连同角 在内，可构成集合 。 周角、集合表示、周期性 5.1.2 弧度制 角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制； 的角等于周角的 。 度、周角 弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角，单位符号为 rad；半径为 的圆叫做单位圆。 弧度、单位圆、半径 弧度数公式 在半径为 的圆中，弧长为 .. 的弧所对的圆心角为 rad，则 ； 的正负由终边旋转方向决定。 弧长、半径、圆心角 角度与弧度的换算 rad， rad； rad，。 、换算公式 扇形公式 半径为 、圆心角为 （弧度）、弧长为 的扇形，有 ..，面积 。 弧长、扇形面积、弧度制 5.2.1 三角函数的概念 三角函数的定义 设 是任意角，它的终边与单位圆交于点 ，则 ，，（）。 单位圆、正弦、余弦、正切 三角函数记法 正弦函数 ，；余弦函数 ，；正切函数 ，。 定义域、正弦函数、余弦函数、正切函数 三角函数值的一般求法 设角 终边上任意一点 （不与原点重合）的坐标为 ，，则 ，，（）。 、坐标、比值 三角函数值的符号 正弦值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；余弦值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；正切值在第一、三象限为正，第二、四象限为负。 象限、符号规律 诱导公式一 ，，（）。 终边相同的角、周期性 5.2.2 同角三角函数的基本关系 平方关系 。 同角、平方和 商数关系 （，）。 同角、正切、商 5.3 诱导公式 诱导公式二 ，，。 关于原点对称、周期 诱导公式三 ，，。 关于 轴对称、奇偶性 诱导公式四 ，，..。 关于 轴对称 诱导公式五 ，。 互余角、正弦与余弦互换 诱导公式六 ，。 变换、符号 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 正弦曲线 正弦函数 ， 的图象叫做正弦曲线，是一条波浪起伏的连续光滑曲线。 、周期性 五点法作图 在 上，正弦函数图象的关键五点为 、、、、。 关键点、简图 余弦曲线 余弦函数 ， 的图象叫做余弦曲线；可由 的图象向左平移 个单位长度得到。 、平移、诱导公式 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 周期函数 设函数 的定义域为 ，若存在非零常数 ，使得对每一个 .. 都有 ，且 ，则 叫做周期函数， 叫做周期。 周期、最小正周期 正弦、余弦函数的周期性 正弦函数和余弦函数都是周期函数，（ 且 ）都是周期，最小正周期是 。 、最小正周期 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数 是奇函数，满足 ；余弦函数 是偶函数，满足 。 奇函数、偶函数、对称性 正弦函数的单调性 在 （）上单调递增，在 （）上单调递减。 单调区间、最大值、最小值 余弦函数的单调性 在 （）上单调递增，在 （）上单调递减。 单调区间、最大值、最小值 正弦、余弦函数的最值 当 （）时取最大值 ，当 时取最小值 ； 当 时取最大值 ，当 时取最小值 。 最大值、最小值、值域 5.4.3 正切函数的性质与图象 正切函数的周期性 由 知，正切函数是周期函数，周期是 。 、周期 正切函数的奇偶性 由 知，正切函数是奇函数。 奇函数、对称性 正切函数的单调性与值域 正切函数 在每一个区间 （）上单调递增，值域为 ，无最值。 单调递增、渐近线、值域 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角差的余弦公式 ，简记 。 差角公式、余弦 两角和的余弦公式 ，简记 。 和角公式、余弦 两角和与差的正弦公式 ；，分别简记 、。 和角公式、差角公式、正弦 两角和与差的正切公式 ；，分别简记 、。 和角公式、差角公式、正切 二倍角公式 ；；。 、、 5.5.2 简单的三角恒等变换 半角公式 ，，（符号由 所在象限决定）。 降幂、半角、符号 积化和差公式 ；；；..。 和差化积、三角恒等变换 辅助角公式 ，其中 ， 由 $a,b$ 的符号确定象限。 、最值、周期 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 匀速圆周运动模型 做匀速圆周运动的质点，其纵坐标随时间 的变化可表示为 ；距离水面的高度 。 、、、 5.6.2 函数 的图象 参数 的影响 的图象可由 的图象向左（）或向右（）平移 个单位长度得到。 相位、平移变换 参数 的影响 的图象可由 的图象横坐标缩短（）或伸长（）到原来的 倍得到；周期 。 、周期、伸缩变换 参数 的影响 的图象可由 的图象纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的 倍得到；值域为 ，最大值为 ，最小值为 。 、振幅、最值 5.7 三角函数的应用 简谐运动 物体在某一中心位置附近循环往复的运动，可用 （，）表示； 为振幅， 为周期， 为频率， 为相位， 为初相。 振幅、周期、频率、相位、初相 三角函数模型 现实生活中大量周期变化现象（如温度变化、潮汐、交流电等）可用 等三角函数模型近似描述。 拟合、周期现象、预测 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $