精品解析：上海市奉贤中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

奉贤中学2025-2026学年第一学期高一年级数学月考 2025.12 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，且，则______. 2. 不等式的解集为__． 3. 方程的实数解的个数为__________. 4. 已知函数，关于的不等式的解集为__. 5. 不等式的解集为________． 6. 已知函数满足，且，则__________. 7. 设在区间上的奇函数，对任意，都有，，______． 8. 已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为________. 9. 定义一种新运算：，若，则函数的值域为_______ 10. 已知满足，，都有，则实数的取值范围为______． 11. 已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为______. 12. 已知函数在区间是增函数，且，若，则的最大值为_________. 二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13. 下列图形中，可以表示函数的是（ ） A. B. C. D. 14. ：是2的倍数，：是6的倍数，则是的（ ）条件． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分不必要条件 15. 已知，有，则实数的值有（ ）个 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 16. 已知函数，有下列两个结论： ①的值域为； ②对任意的正有理数a，存在奇数个零点 则下列判断正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 三、解答题（本大题共5题，共14＋14＋14＋18＋18＝78分，解答要有论证过程与运算步骤） 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数 （1）讨论的奇偶性，并说明理由； （2）若是在的严格增函数，求的取值范围． 19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中自驾时，自驾群体中的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）在什么范围时，自驾群体的人均通勤时间多于公交群体的人均通勤时间？ （2）若该地上班族共人，求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性． 20. 已知函数． （1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若不等式的解集为D，若，求m的取值范围． 21. 已知函数． （1）作出的图像并写出的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）． （2）解不等式． （3）若满足，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奉贤中学2025-2026学年第一学期高一年级数学月考 2025.12 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，且，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据子集的性质进行求解即可. 【详解】①当时，，舍去, ②，由上可知，舍去， 综上所述：， 故答案为： 2. 不等式的解集为__． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式转化为，化简即可得出答案． 【详解】原不等式转化为，解得：， 所以不等式的解集为 故答案为：． 3. 方程的实数解的个数为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】画出两个函数和的图象，观察可得． 【详解】作出函数和的图象，如图，它们有两个交点， 所以方程的两个实数解． 故答案为：2. 【点睛】本题考查函数的零点个数问题，解题方法是转化为函数图象交点个数． 4. 已知函数，关于的不等式的解集为__. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出函数的单调性和奇偶性，进而将题给不等式转化为新的简单不等式，解之即可求得原不等式的解集. 【详解】由题意知函数为R上奇函数，且为严格增函数， , , 解之得. 故答案为： 5. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】设函数，先求出函数的定义域，进而根据，将不等式转化为.判断函数的单调性，即可列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设函数， 则应有，解得，所以，定义域为. 又， 所以，由，可得. 因为以及均在上单调递增， 所以，在上单调递增， 所以，. 综上所述，. 所以，不等式的解集为. 故答案为：. 6. 已知函数满足，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】用替换,再解方程组可得答案. 【详解】由①， 用替换，得②， ①×2－②，得，得. 故答案为：. 7. 设在区间上的奇函数，对任意，都有，，______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的周期，再根据周期性和奇函数的性质求值. 【详解】对，都有， 可知函数是周期函数，且周期为4，， 且函数是定义在上的奇函数，， 则，则. 故答案为： 8. 已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及单调性，求出参数，再借助单调性解不等式即得. 【详解】幂函数在上单调递减，则，解得， 不等式化为，显然函数在R上单调递增， 因此，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 9. 定义一种新运算：，若，则函数的值域为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义列方程求出，然后由二次函数性质可得. 【详解】由题知，解得， 则， 所以，函数的值域为. 故答案为： 10. 已知满足，，都有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，都有， 所以在上为增函数， 当时，，易知函数在上为增函数； 当时，则，解得， 综上，，则a的取值范围为， 故答案为：． 11. 已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件做出函数的图象，利用图象得出的范围关系，结合不等式的性质及对数函数的性质即可求解. 【详解】如图所示， 要使，则. 因为,,, 所以,即，于是有， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 12. 已知函数在区间是增函数，且，若，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】通过，和两种情况讨论，结合裂项放缩即可求解. 【详解】由题意可知 若； 若， 等号成立当且仅当 若，则，矛盾 若，则 等号成立当且仅当，， 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 通过，讨论和求解. 二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13. 下列图形中，可以表示函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义即可得解. 【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足： 其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 14. ：是2的倍数，：是6的倍数，则是的（ ）条件． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】若是6的倍数则一定是2的倍数，即； 若是2的倍数但不一定是6的倍数，比如，即由不能推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 15. 已知，有，则实数的值有（ ）个 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断为偶函数，则可得，再分析得时，，从而得解. 【详解】因为的定义域为， 又， 所以可知为偶函数，若， 可得或， 解之可得或，则的值有4个， 当时，，若此时， 化简求交集可得，此时恒成立，故的值有无数个， 综上，的值有无数个. 故选：D 16. 已知函数，有下列两个结论： ①的值域为； ②对任意的正有理数a，存在奇数个零点 则下列判断正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 【答案】D 【解析】 【分析】根据值域中不含负无理数可判断①；根据为有理数或为无理数，解出可判断②. 【详解】对于①，因为，显然的值域中不含负无理数， 故的值域不为，故错误； 对于②，的零点，即为有理数或为无理数， 对于为有理数，必有解， 对于为无理数，必有解或无解， 故零点有三个或一个，故正确； 故选：D 三、解答题（本大题共5题，共14＋14＋14＋18＋18＝78分，解答要有论证过程与运算步骤） 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出集合，再根据集合的运算求解即可； （2）由，则，则，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：， 时，解得， 由，得 ， 即，解得， 所以， 【小问2详解】 ，， ，， ，解得， 所以实数的取值范围为． 18. 已知函数 （1）讨论的奇偶性，并说明理由； （2）若是在的严格增函数，求的取值范围． 【答案】（1）当时，非奇非偶函数；当时，偶函数；当时，奇函数；理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分、、、且四种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解； （2）设且，然后由为上的增函数，则成立求解． 【小问1详解】 函数的定义域为，关于原点对称， 当时,，，且， 所以既不是奇函数也不是偶函数； 当时，，，所以是偶函数； 当时，，，所以是奇函数； 当且时，，且， 所以既不是奇函数也不是偶函数； 因此,当时，既不是奇函数也不是偶函数； 当时，是偶函数；当时，是奇函数； 【小问2详解】 设且， ， 因为在上是增函数,且,所以， 又因为在上是严格增函数,所以， 即,所以,即， 因为,所以,则， 所以,所以， 因此,的取值范围是． 19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中自驾时，自驾群体中的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）在什么范围时，自驾群体的人均通勤时间多于公交群体的人均通勤时间？ （2）若该地上班族共人，求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性． 【答案】（1） （2），在上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，求解的解集； （2）分区间计算平均时间可得函数的表达式，根据一次函数及二次函数性质结合端点处函数值可得函数单调性. 【小问1详解】 当时，自驾群体中的人均通勤时间为30分钟，小于公交群体的人均通勤时间，不满足条件， 当时，，整理为， 解得：或， 综上可知，； 【小问2详解】 当时，， 当时， ， 综上可知，， 当，单调递减， 当，的对称轴为， 当，单调递减，当，单调递增， 且函数在处连续， 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增. 20. 已知函数． （1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若不等式的解集为D，若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）当，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）由，因式分解得，再从分类讨论即可； （3）由不等式的解集为，且，可得对任意的，不等式恒成立，分离参数得恒成立，在分离常数结合基本不等式求出的最大值即可. 【小问1详解】 当时，即，则由 ，得，不合题意， 当，即时，由不等式的解集为得 ，解得， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 因为，所以，即， 当，即时，解得，所以不等式的解集为， 当，即时，， 因为，所以不等式的解集为， 当，即时，， 因为，所以，所以， 所以不等式的解集为， 综上，当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 因为不等式的解集为，且， 所以对任意的，不等式恒成立， 即， 因为， 所以恒成立， 令，则，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最大值，最大值为， 所以的取值范围为. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设 ①在上恒成立，则； ②在上恒成立，则； ③在上恒成立，则； ④在上恒成立，则. 21. 已知函数． （1）作出的图像并写出的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）． （2）解不等式． （3）若满足，且，求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）去绝对值，根据二次函数的单调性即可求解， （2）根据函数的单调性即可求解， （3）对的范围分类讨论，构造函数，利用作差法判断函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由， 当时，，函数在上单调递增，且， 当时，，函数在上单调递增，且， 当时，，函数在上单调递减， ∴在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由，得， 当时，，，则由不等式，可得， 结合在上单调递增，可得：，则，解得； 综上，； 【小问3详解】 证明：由题意（1）及（2）可知， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 若满足，则， 由图象知： ①若，则， ②若，要证明，则要证， 注意到，且在上递减，则可证明， ∵，则可证明， 构造函数，则， 对任意的 即在上单调递减， 时，，即， 从而得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $