专题03 乘法数量关系（解决问题专项讲义）数学苏教版四年级上册（新教材）

该小学数学讲义围绕乘法数量关系构建知识体系，按“乘除法意义及关系-运用乘除法解决问题-经济问题-行程问题”题型分层，通过框架图呈现核心三量关系（如经济问题单价、数量、总价）和解题逻辑，清晰展示重难点及内在联系。 讲义亮点在于“基础逻辑+进阶技巧”分层设计，如错中求解类问题（典例1）引导逆向推导培养推理意识，满减经济问题（专项训练6）通过单份单价对比培养模型意识。专项训练覆盖不同场景，基础学生掌握速算技巧，优秀学生提升逆向思维，助力教师实施精准分层教学。

专题03 乘法数量关系（解决问题专项讲义） 题型01 乘、除法的意义和各部分间的关系解决问题 题型02 运用乘除法解决问题 题型03 解决经济问题 题型04 解决基础行程问题 题型01 乘、除法的意义和各部分间的关系解决问题 一、运用乘、除法的意义和各部分间的关系解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意匹配乘除法的核心意义，先依托运算各部分的固定对应关系锁定已知量和未知量的位置，再代入对应关系式完成推导，最终算出目标未知量。比如已知4组物品每组有6个，先依托乘法意义算出总数量24；已知总数量24平均分成4组，依托除法意义算出每组6个。 2、‌特殊速算技巧‌ 当算式中乘数、除数符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀口算结果，不用分步笔算。比如已知乘法算式中积是36、一个乘数是4，直接用四九三十六的口诀，口算得出另一个乘数是9。 3、‌结果预判规律‌ 乘法运算的最终结果一定大于等于非1的乘数，除法运算中商一定小于等于非1的被除数，解题前先预判结果的大致范围，避免出现“用积乘乘数求未知乘数”这类违背运算关系的低级错误。 二、运用乘、除法的意义和各部分间的关系解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求几个相同加数的和、求倍数总量”的场景直接用乘法列式，遇到“平均分、求份数/单份量”的场景直接用除法列式，先锁定核心的乘除法意义匹配模块，再代入对应关系式，不用反复调整解题思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“看错运算数字得到错误结果”的错中求解类问题，可先依托乘除法各部分的不变量反推原式中的未知量，再代入正确算式算出结果。比如小明做除法题时把除数3错看成8，得到错误商6，可先通过“8×6”反推出正确的被除数是48，再算出正确商16，比反向试数效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知乘除混合运算的最终结果，可反向从结果倒推每一步的未知量，适配各类缺条件的还原题型。比如已知“一个数乘4再除以3得到8”，可直接反向用“8×3÷4”快速算出原数是6，无需列方程试算。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到物品分组、周期规律类的实际题目时，无需复杂列式，直接依托除法的意义和“被除数=商×除数+余数”的关系，就能快速确定分配方案的边界条件。比如把50个苹果每7个装一袋，直接用50÷7得到商7余1，就能快速确定需要8个袋子，不用逐个累加验证。 【典例1】王小虎在计算除法时，把除数37错写成了73，这样得到的商是11，余数是11，正确的商应该是多少？ 【答案】22 【分析】根据被除数＝除数×商，求出正确的被除数。再用正确的被除数除以正确的除数，求出正确的商。 【解答】73×11＋11 ＝803＋11 ＝814 814÷37＝22 答：正确的商应该是22。 【点睛】本题考查整数除法中各部分之间的关系，常利用这个关系进行有余数除法的验算。 【专项训练1】两数相除商是8，余数是3，被除数、除数、商和余数的和是194，被除数和除数分别是多少？ 【答案】被除数是163，除数是20。 【分析】根据题意可知，被除数÷除数＝8……3，被除数＋除数＋商＋余数＝194，其中商等于8，余数等于3，所以被除数＋除数＝183，被除数＝除数×8＋3，则除数＝（183－3）÷（1＋8），在用183减去除数，即可求出被除数。 【解答】（183－3）÷（1＋8） ＝180÷9 ＝20 183－20 ＝163 答：被除数是163，除数是20。 【点精】解决本题的关键是找出表示被除数和除数之间的关系的两个不同的算式：被除数＋除数＝183，被除数＝除数×8＋3。 【专项训练2】笑笑计算一道乘法算式时，把其中一个乘数21看成了12，结果得出的积比正确的积少1125，正确的积是多少？ 【答案】2625 【分析】根据题意可知，把一个因数21看成12，另一个因数不变，则得到的积比正确的积少了21－12个另一个因数；则另一个因数是1125÷（21－12）；用求得的另一个因数乘21，即可求出正确的积。 【解答】1125÷（21－12） ＝1125÷9 ＝125 125×21＝2625 【点睛】此题是有关乘法的灵活运用，关键是明白，另一个因数是对的，出错的因数有什么变化积就有什么变化，找到关系即可解决。 【专项训练3】小明在计算一道除法算术题时，把被除数567写成了519，这样商比原来少了2，而余数正好相同。请你算出这道除法算术题的除数和余数。 【答案】除数为24，余数为15。 【分析】由题意可得，因为商比原来少2，但余数恰好相同，用567与519的差除以2即得除数，再用正确的被除数除以除数求出正确的商即可解答。 【解答】（567－519）÷2 ＝48÷2 ＝24 567÷24＝23…15； 答：除数为24，余数为15。 【点睛】解答此题应明确：商比原来少2，但余数恰好相同，即错写的数比原来少的数正好是除数的2倍，是解答此题的关键。 【专项训练4】悠悠在计算除法时，把除数64写成了46，所得的商是7，余数是13。正确的商应该是多少？余数是多少？ 【答案】5；15 【分析】根据除数×商＋余数＝被除数，求出正确的被除数。再用正确的被除数除以正确的除数解答。 【解答】46×7＋13 ＝322＋13 ＝335 335÷64＝5……15 答：正确的商应该是5，余数是15。 【点睛】本题考查除法各部分之间的关系：除数×商＋余数＝被除数，这个关系也常用于有余数除法的验算。 【专项训练5】小马在计算一道有余数的除法算式时，把被除数573错看成了537，结果得到的商比原来小4，但余数恰巧相等。那么余数是多少？ 【答案】6 【分析】小马把被除数573错看成537，被除数减少了573－537＝36。因为余数相等，且商比原来小4，那么这减少的36就是被除数减少导致商减少4所影响的部分，所以除数是36÷4＝9。根据573÷9＝63……6即可得出余数是6。 【解答】（573－537）÷4 ＝36÷4 ＝9 573÷9＝63……6 答：余数是6。 【专项训练6】在一道没有余数的除法算式里，被除数、除数、商三个数的和是689，已知商是14，请你算一算被除数、除数分别是多少？ 【答案】被除数是630，除数是45 【分析】被除数＝除数×商，其中商是14，则被除数＝14×除数。被除数＋除数＋商＝689，则14×除数＋除数＋14＝689，除数＝（689－14）÷（14＋1）。用除数乘14，即可求出被除数。 【解答】除数：（689－14）÷（14＋1） ＝675÷15 ＝45 被除数：45×14＝630 答：被除数是630，除数是45。 题型02 运用乘除法解决问题 一、运用乘除法解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意匹配乘除法的核心意义，先算出乘法部分对应的“几个相同加数的和”或除法部分对应的“平均分结果”，再结合场景要求完成后续运算，最终得到目标总量或单份数量。 2、‌特殊速算技巧‌ 当算式中的乘数、除数符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀口算核心结果，不用分步笔算。 3、‌结果预判规律‌ 纯乘法运算的最终结果一定大于等于非1的乘数，纯除法运算的最终结果一定小于等于非1的被除数，解题前先预判结果的大致范围，避免出现运算意义混淆、乘除关系颠倒的低级错误。 二、运用乘除法解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求几个几的总数量、求倍数对应总量”的场景直接用乘法列式，遇到“平均分、求份数、求单份量”的场景直接用除法列式，先锁定核心的乘除法意义匹配模块，再匹配对应的场景条件，不用反复调整算式结构。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到归一归总类的复杂问题，比如先求单份效率再算总工作量，可先算出单一量的对应数值，再直接用乘法乘总份数快速得到结果，比分步累加零散部分更快。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知乘除混合运算的最终结果，可反向依托乘除法的互逆关系从结果倒推未知量，适配各类缺条件的还原题型。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到周期规律类的实际题目时，无需逐个枚举排列，直接依托除法的余数结果快速定位目标位置。 【典例2】淮安游乐园观光自行车可载4人，且需3人同时脚踩才能行驶。彤彤家租了一辆四人轮流踩，一共行600米，平均每人踩多少米？ 【答案】450米 【分析】根据题意，3人同时脚踩才能行驶，一共行600米，则4人一共踩了（600×3）米，用踩的总米数除以人数即可求出平均每人踩多少米。 【解答】600×3÷4 ＝1800÷4 ＝450（米） 答：平均每人踩450米。 【专项训练1】中秋节是我国传统节日，吃月饼和赏月是不可或缺的习俗。月饼象征着团圆，且美味多样。节日期间，妈妈买3元一块的月饼，买了12块，如果用这些钱买4元一块的无糖月饼，可以买多少块？ 【答案】9块 【分析】首先计算出买12块月饼的总钱数，用一块月饼的价钱×买的块数，计算出花的钱数，然后再除以一块无糖月饼的价钱即可。 【解答】12×3÷4 ＝36÷4 ＝9（块） 答：可以买9块。 【专项训练2】六一儿童节，王老师为小朋友购买演出用的服装，买3件T恤和5件短裤的钱同样多。每件短裤45元，每件T恤多少元？ 【答案】75元 【分析】短裤的总价格＝一件短裤的价格×件数，据此计算出短裤的总钱数，也就是3件T恤的价格，用求出的总钱数除以3，就是每件T恤的价格。 【解答】5×45÷3 ＝225÷3 ＝75（元） 答：每件T恤75元。 【专项训练3】一艘船从甲港运货去乙港，每时航行42千米，16时后到达。返航用了24时才从乙港回到甲港。问返航的速度是多少？ 【答案】28千米/小时 【分析】根据路程＝速度×时间，先用42×16求出甲乙两港的距离，再除以24即为返航的速度，据此解答即可。 【解答】42×16÷24 ＝672÷24 ＝28（千米/小时） 答：返航的速度是28千米/小时。 【专项训练4】某学校校庆活动，准备在每间教室放盆花。如果每间教室放4盆，可以放36间教室。如果每间教室放6盆，可以放几间教室？ 【答案】24间 【分析】根据题意，先求出一共有多少盆花，再除以6，即是可以放多少间教室，据此解答。 【解答】4×36÷6 ＝144÷6 ＝24（间） 答：可以放24间教室。 【点睛】根据已知条件，先求出一共有多少盆花是解答本题的关键。 【专项训练5】果园里有20行桃树，每行棵树相等。如果再栽同样的6行，就比原来增加了150棵。果园里原来有桃树多少棵？ 【答案】500棵 【分析】因为每行的棵树相等，再栽同样的6行后，桃树比原来增加了150棵，所以据此可以求出每行有多少棵桃树，再用每行的棵数×原来的行数就可以求出原来有多少棵桃树。 【解答】根据分析可得： 150÷6×20 ＝25×20 ＝500（棵） 答：果园里原来有桃树500棵。 【点睛】本题的关键是要先求出每行有多少棵桃树。 【专项训练6】实验小学2000名师生开展“低碳生活，从我做起”活动，全校师生进行回收废纸活动，回收10千克废纸，可生产8千克再生纸，如果每人回收2千克废纸，那么全校师生回收的废纸可生产多少千克再生纸？ 【答案】3200千克 【分析】先用2000×2求出全校师生回收的废纸总重量，再用废纸总重量÷10，求出废纸总重量里有多少个10千克，最后再乘8，就是全校师生回收的废纸可以生产的再生纸重量。据此列式解答。 【解答】根据分析可得： 2000×2÷10×8 ＝4000÷10×8 ＝400×8 ＝3200（千克） 答：那么全校师生回收的废纸可生产3200千克再生纸。 【点睛】本题的关键是先求出废纸总重量里有多少个10千克。 题型03 解决经济问题 一、解决经济问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际经济问题时先根据题意锁定“单价、数量、总价”的核心三量关系，先算出乘法部分对应的“几个相同单价的商品总价”，再用这个结果加/减剩余的独立金额，最终得到总消费金额或剩余金额。比如先算3件单价8元的文具的总花费，再加上额外的5元快递费，就能得出全部支出的总金额。 2、‌特殊速算技巧‌ 当商品单价和购买数量符合表内乘法规则时，可直接依托乘法口诀口算商品总价，再口算末尾的金额加减运算，不用分步笔算。比如买7支单价5元的笔，再付2元包装费，直接用五七三十五的口诀得出35，再加2快速得到总花费37元。 3、‌结果预判规律‌ 含额外加价的经济问题最终总支出一定大于商品本身的总价，含优惠减免的经济问题最终实付金额一定小于商品原本的总价，解题前先预判结果的大致范围，避免出现三量关系混淆、用单价除以数量算总价的低级错误。 二、解决经济问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“多件商品总价加额外服务费/运费”的场景直接用乘加列式，遇到“多件商品总价减优惠减免金额”的场景直接用乘减列式，先锁定核心的“单价×数量”乘法模块，再匹配对应的加减条件，不用反复调整算式结构。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到满减类的促销经济问题，比如满50减10的活动，可先把选购的所有商品按分组凑单的方式，先凑出满足满减条件的完整金额，再减去对应的减免额度，比逐个商品累加再算优惠更快。比如选购了单价9元的笔记本共6本，直接用9×6得到总价54元，再减去10元满减额，快速得出实付44元。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知总消费金额和商品单价，可反向依托乘除法的互逆关系反推能购买的最大商品数量，适配各类带剩余金额的采购题型。比如带50元买单价7元的笔记本，可直接用50÷7得到商7余1，快速算出最多能买7本，剩余1元。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到对比不同套餐性价比的经济问题时，无需复杂计算，直接算出每个套餐的单份商品单价，再对比单价大小就能快速选出最划算的方案，比逐个算总花费的效率更高。比如A套餐3个汉堡24元，B套餐4个汉堡28元，直接算出单份单价分别为8元和7元，就能快速确定B套餐更划算。 【典例3】研学团12名儿童准备体验“脑波赛车”和“VR太空行走”两个项目，“脑波赛车”每人26元，“VR太空行走”每人24元。一共要多少元？ 【答案】600元 【分析】先算出1名儿童体验两个项目的总花费，再乘总人数，即可求出一共要多少元。 【解答】（26＋24）×12 ＝50×12 ＝600（元） 答：一共要600元。 【专项训练1】校园读书节，采购一些书签作为奖品，每枚书签3元，购进36盒书签，每盒20枚。采购这批书签一共需要多少钱？ 【答案】2160元 【分析】根据题意，先用36×20求出书签的总枚数，再根据总价＝数量×单价，用每枚书签的单价乘总枚数即可。 【解答】（枚） （元） 答：采购这批书签一共需要2160元。 【专项训练2】团结村在甲、乙、丙三个区域安装光伏板，甲区域安装了125块光伏板，乙区域安装的光伏板数量是甲区域的3倍，丙区域再安装97块光伏板就和乙区域安装的光伏板数量一样多了。丙区域安装了多少块光伏板？ 【答案】278块 【分析】先根据甲区域的安装数量与乙、甲的倍数关系求出乙区域的安装数量，再结合丙区域比乙区域少97块的数量关系，求出丙区域的安装数量。 【解答】 （块） 答：丙区域安装了块光伏板。 【专项训练3】学校买来8个足球和若干个篮球，一共付了1422元。已知足球的价格是114元/个，比篮球价格贵29元。学校买来了多少个篮球？ 【答案】6个 【分析】由题意可得，一共的钱数－买8个足球花的钱数＝买篮球花的钱数；8个足球花的钱数＝足球单价×8；篮球单价为（114－29）元，根据数量＝总价÷单价，代入求解即可。 【解答】（1422－114×8）÷（114－29） ＝（1422－912）÷85 ＝510÷85 ＝6（个） 答：学校买来了6个篮球。 【专项训练4】明明一家来靖安旅游，买了些靖安特产回家，4袋烫片和6盒杨梅饼，一共用去360元，已知一盒杨梅饼50元，则一袋烫片多少元？ 【答案】15元 【分析】利用单价×数量＝总价，先算出6盒杨梅饼的总价钱，用总花费减去杨梅饼的总价钱得到4袋烫片的总价钱，再根据总价÷数量＝单价，用4袋烫片的总价格除以烫片的袋数，即可求出每袋烫片的价格。据此解答。 【解答】（360－50×6）÷4 ＝（360－300）÷4 ＝60÷4 ＝15（元） 答：一袋烫片15元。 【专项训练5】超市里卖牛奶，价格信息如图。幼儿园的李阿姨带了500元去超市买牛奶，最多能买多少瓶牛奶？ 【答案】276瓶 【分析】首先计算出整箱牛奶一瓶的钱数，也就是36÷20＝1（元）……16（元），1……16＜2，说明整箱买更便宜，买到的更多，所以用500÷36商是几就是几箱，余数再购买一瓶2元的，最后将购买的数量加一起即为所求。 【解答】36÷20＝1（元）……16（元） 1……16＜2； 500÷36＝13（箱）……32（元） 32÷2＝16（瓶） 20×13＋16 ＝260＋16 ＝276（瓶） 答：最多能买276瓶牛奶。 【专项训练6】四年级（1）班的43位同学计划为假期共读活动团购图书。两本图书的单本售价分别为：37元和25元，每人每种书各买1本。购书小程序里，这两本书都可以参加“每满100减50”的促销活动。如果参加这个满减活动，全班一起购书一共可以节约多少钱？ 【答案】1300元 【分析】先用37加25求出一名同学需要花多少钱，再乘43求出全班一共需要花多少钱，然后除以100求出一共花的钱数里面有多少个整百，即一共可以减多少个50元，最后乘50即可解答此题。 【解答】（37＋25）×43÷100 ＝62×43÷100 ＝2666÷100 ＝26（个）……66（元） 26×50＝1300（元） 答：全班一起购书一共可以节约1300元钱。 题型04 解决基础行程问题 一、解决基础行程问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际行程问题时先根据题意锁定“速度、时间、路程”的核心三量关系，先算出乘法部分对应的“几个相同单位时间行驶的总路程”，再用这个结果加/减剩余的独立路程，最终得到全程总长度。比如先算3小时每小时行驶60千米的总路程，再加上剩余多出的10千米路段，就能得出全程的总长度。 2、‌特殊速算技巧‌ 当速度和行驶时间符合表内乘法规则时，可直接依托乘法口诀口算核心路程结果，再口算末尾的路程加减运算，不用分步笔算。比如4小时每小时行驶7千米，再加上额外3千米的小路，直接用四七二十八的口诀得出28，再加3快速得到总路程31千米。 3、‌结果预判规律‌ 含额外路段的行程问题最终总路程一定大于匀速行驶部分的路程，含中途停留少走的行程问题最终实际行驶路程一定小于按满速满时间算出的路程，解题前先预判结果的大致范围，避免出现三量关系混淆、用速度除以时间算路程的低级错误。 二、解决基础行程问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“匀速行驶一段路程后再加剩余路段”的场景直接用乘加列式，遇到“按满速满时间算总路程后减去未行驶的空缺路段”的场景直接用乘减列式，先锁定核心的“速度×时间”乘法模块，再匹配对应的加减条件，不用反复调整算式结构。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到不完整的路线类行程问题，比如绕路后少走了一段距离，可先把不完整的行驶路线补成完整的匀速行驶路线算出总路程，再减去空缺未走的路段长度，比如按5千米/时的速度走3小时的路线缺2千米没走，直接用5×3-2快速得出实际走的路程13千米，比拆分零散路段相加更快。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知总路程和行驶速度，可反向依托乘除法的互逆关系反推行驶所需的总时间，适配各类带剩余路程的行程题型。比如总路程50千米，每小时行驶7千米，可直接用50÷7得到商7余1，快速算出至少需要8小时才能走完全程。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到对比不同出行方案快慢的行程问题时，无需复杂计算，直接算出每个方案的总耗时，再对比时间长短就能快速选出更省时的方案，比逐个算总路程的效率更高。比如A方案3小时走24千米，B方案4小时走28千米，直接算出单小时速度分别为8千米和7千米，就能快速确定A方案速度更快。 【典例4】甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了3小时，剩下的路程比已行的少60千米。这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】90千米 【分析】已知总路程和剩下路程与已行路程的差，用总路程加差得到已行路程的倍，先求出已行路程，再除以行驶时间即可算出平均速度。 【解答】 ＝ 540÷2÷3 ＝270÷3 ＝ 90（千米/小时） 答：这辆汽车平均每小时行驶千米。 【专项训练1】龟兔第一次赛跑后，兔子输了但不服气，它们约定进行第二次赛跑。这次是从山上往山下跑，乌龟滚下去的速度是600米/分，兔子前2分钟用500米/分的速度奔跑，一看落后了，加快了速度，用了3分钟跑完了剩下的2000米。它们这次谁先到达终点？ 【答案】同时到达终点 【分析】根据兔子前2分钟的奔跑速度和时间算出已跑路程，加上剩余路程得到赛跑总路程，再分别计算乌龟和兔子跑完全程的总时间，比较时间判断谁先到。 【解答】总路程：500×2＋2000 ＝1000＋2000 ＝3000（米） 乌龟3000÷600＝5（分钟）；兔子2＋3＝5（分钟），相等 答：这次它们同时到达终点。 【专项训练2】一列火车长500米，以每分钟900米的速度通过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道用了3分钟。这条隧道长多少米？ 【答案】2200米 【分析】火车从车头进入隧道到车尾离开隧道，行驶的总路程等于隧道长度与火车自身长度的和。用速度乘行驶时间得到总路程，再减去火车长度，就能求出隧道的长度。 【解答】 （米） 答；这条隧道长2200米。 【专项训练3】诺诺一家驾驶新能源汽车从杭州开往永嘉，爸爸不小心错过了永嘉出口，只能开到黄田出口再掉头回永嘉出口下高速，全程共用4小时。这辆新能源汽车的平均速度是多少？ 【答案】87千米/时 【分析】根据题意，用永嘉出口到黄田出口的路程乘2，先求出永嘉出口到黄田出口往返的路程，然后加上杭州入口到永嘉出口的路程，求出总路程，再根据速度＝路程÷时间，用总路程除以共用的时间，即可求出这辆新能源汽车的平均速度是多少。 【解答】（320＋14×2）÷4 ＝（320＋28）÷4 ＝348÷4 ＝87（千米/时） 答：这辆新能源汽车的平均速度是87千米/时。 【专项训练4】一个由25人组成的旅行团从A地去B地某景区旅游。 （1）A地到B地的公路长395千米，旅行团乘坐一辆长途客车早上6：30从A地出发开往B地。平均每小时行驶79千米，这辆长途客车大约什么时间能到达B地？ （2）景区中演艺剧场的票价如下，这个旅行团买贵宾票比买嘉宾票要多花多少钱？ 演艺剧场票价 贵宾票：460元/张 嘉宾票：380元/张 【答案】（1）11时30分 （2）2000元 【分析】（1）根据时间＝路程÷速度，先计算出这辆长途客车到达B地行驶多长时间，再用行驶时间加上出发时间即可得到答案。 （2）先计算出一张贵宾票比一张嘉宾票贵多少钱，再乘上25，即可得出答案。 【解答】（1）（时） 6时30分＋5时＝11时30分 答：这辆长途客车大约11时30分能到达B地。 （2） （元） 答：这个旅行团买贵宾票比买嘉宾票要多花2000元。 【专项训练5】文化节的物资需要从仓库运往学校，仓库距离学校5000米，运输车先以800米/分的速度行驶了4分钟，发现时间紧迫，剩下的路程加速行驶，只用了2分钟就跑完了。 （1）前4分钟行驶了多少米？ （2）加速后，运输车平均每分钟行驶多少米？ 【答案】（1）3200米 （2）900米 【分析】求前4分钟行驶的路程，可根据速度×时间＝路程计算； 先求出剩下的路程，再根据路程÷时间＝速度求加速后运输车每分钟行驶的路程。 【解答】（1）800×4＝3200（米） 答：前4分钟行驶了3200米。 （2）5000－3200＝1800（米） 1800÷2＝900（米/分） 答：加速后，运输车平均每分钟行驶900米。 【专项训练6】下面是东东家、轩轩家和图书馆的路线图。东东每分钟步行约60米，轩轩每分钟步行约68米。 （1）周六早上东东从家里出发步行去轩轩家玩，他已经走了600米，还要几分钟才能到达轩轩家？ （2）东东和轩轩约好了周日一起去图书馆看书，按照他们的步行速度，如果要同时到达图书馆，东东得比轩轩提前几分钟从家里出发？ 【答案】（1）6分钟 （2）6分钟 【分析】（1）东东家到轩轩家总路程是960米，已走600米，用减法得出剩余路程，东东步行速度是每分钟60米，根据时间＝路程÷速度，计算出还需时间。 （2）东东到图书馆的路程是780米，速度60米/分钟，根据“时间＝路程÷速度”计算出所需时间；轩轩到图书馆的路程是476米，速度68米/分钟，同理得出所需时间。最后用减法计算出东东比轩轩提前出发的时间。 【解答】（1）（960－600）÷60 ＝360÷60 ＝6（分钟） 答：还要6分钟才能到达轩轩家。 （2）780÷60－476÷68 ＝13－7 ＝6（分钟） 答：东东得比轩轩提前6分钟从家里出发。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 乘法数量关系（解决问题专项讲义） 题型01 乘、除法的意义和各部分间的关系解决问题 题型02 运用乘除法解决问题 题型03 解决经济问题 题型04 解决基础行程问题 题型01 乘、除法的意义和各部分间的关系解决问题 一、运用乘、除法的意义和各部分间的关系解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意匹配乘除法的核心意义，先依托运算各部分的固定对应关系锁定已知量和未知量的位置，再代入对应关系式完成推导，最终算出目标未知量。比如已知4组物品每组有6个，先依托乘法意义算出总数量24；已知总数量24平均分成4组，依托除法意义算出每组6个。 2、‌特殊速算技巧‌ 当算式中乘数、除数符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀口算结果，不用分步笔算。比如已知乘法算式中积是36、一个乘数是4，直接用四九三十六的口诀，口算得出另一个乘数是9。 3、‌结果预判规律‌ 乘法运算的最终结果一定大于等于非1的乘数，除法运算中商一定小于等于非1的被除数，解题前先预判结果的大致范围，避免出现“用积乘乘数求未知乘数”这类违背运算关系的低级错误。 二、运用乘、除法的意义和各部分间的关系解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求几个相同加数的和、求倍数总量”的场景直接用乘法列式，遇到“平均分、求份数/单份量”的场景直接用除法列式，先锁定核心的乘除法意义匹配模块，再代入对应关系式，不用反复调整解题思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“看错运算数字得到错误结果”的错中求解类问题，可先依托乘除法各部分的不变量反推原式中的未知量，再代入正确算式算出结果。比如小明做除法题时把除数3错看成8，得到错误商6，可先通过“8×6”反推出正确的被除数是48，再算出正确商16，比反向试数效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知乘除混合运算的最终结果，可反向从结果倒推每一步的未知量，适配各类缺条件的还原题型。比如已知“一个数乘4再除以3得到8”，可直接反向用“8×3÷4”快速算出原数是6，无需列方程试算。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到物品分组、周期规律类的实际题目时，无需复杂列式，直接依托除法的意义和“被除数=商×除数+余数”的关系，就能快速确定分配方案的边界条件。比如把50个苹果每7个装一袋，直接用50÷7得到商7余1，就能快速确定需要8个袋子，不用逐个累加验证。 【典例1】王小虎在计算除法时，把除数37错写成了73，这样得到的商是11，余数是11，正确的商应该是多少？ 【专项训练1】两数相除商是8，余数是3，被除数、除数、商和余数的和是194，被除数和除数分别是多少？ 【专项训练2】笑笑计算一道乘法算式时，把其中一个乘数21看成了12，结果得出的积比正确的积少1125，正确的积是多少？ 【专项训练3】小明在计算一道除法算术题时，把被除数567写成了519，这样商比原来少了2，而余数正好相同。请你算出这道除法算术题的除数和余数。 【专项训练4】悠悠在计算除法时，把除数64写成了46，所得的商是7，余数是13。正确的商应该是多少？余数是多少？ 【专项训练5】小马在计算一道有余数的除法算式时，把被除数573错看成了537，结果得到的商比原来小4，但余数恰巧相等。那么余数是多少？ 【专项训练6】在一道没有余数的除法算式里，被除数、除数、商三个数的和是689，已知商是14，请你算一算被除数、除数分别是多少？ 题型02 运用乘除法解决问题 一、运用乘除法解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意匹配乘除法的核心意义，先算出乘法部分对应的“几个相同加数的和”或除法部分对应的“平均分结果”，再结合场景要求完成后续运算，最终得到目标总量或单份数量。 2、‌特殊速算技巧‌ 当算式中的乘数、除数符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀口算核心结果，不用分步笔算。 3、‌结果预判规律‌ 纯乘法运算的最终结果一定大于等于非1的乘数，纯除法运算的最终结果一定小于等于非1的被除数，解题前先预判结果的大致范围，避免出现运算意义混淆、乘除关系颠倒的低级错误。 二、运用乘除法解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求几个几的总数量、求倍数对应总量”的场景直接用乘法列式，遇到“平均分、求份数、求单份量”的场景直接用除法列式，先锁定核心的乘除法意义匹配模块，再匹配对应的场景条件，不用反复调整算式结构。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到归一归总类的复杂问题，比如先求单份效率再算总工作量，可先算出单一量的对应数值，再直接用乘法乘总份数快速得到结果，比分步累加零散部分更快。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知乘除混合运算的最终结果，可反向依托乘除法的互逆关系从结果倒推未知量，适配各类缺条件的还原题型。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到周期规律类的实际题目时，无需逐个枚举排列，直接依托除法的余数结果快速定位目标位置。 【典例2】淮安游乐园观光自行车可载4人，且需3人同时脚踩才能行驶。彤彤家租了一辆四人轮流踩，一共行600米，平均每人踩多少米？ 【专项训练1】中秋节是我国传统节日，吃月饼和赏月是不可或缺的习俗。月饼象征着团圆，且美味多样。节日期间，妈妈买3元一块的月饼，买了12块，如果用这些钱买4元一块的无糖月饼，可以买多少块？ 【专项训练2】六一儿童节，王老师为小朋友购买演出用的服装，买3件T恤和5件短裤的钱同样多。每件短裤45元，每件T恤多少元？ 【专项训练3】一艘船从甲港运货去乙港，每时航行42千米，16时后到达。返航用了24时才从乙港回到甲港。问返航的速度是多少？ 【专项训练4】某学校校庆活动，准备在每间教室放盆花。如果每间教室放4盆，可以放36间教室。如果每间教室放6盆，可以放几间教室？ 【专项训练5】果园里有20行桃树，每行棵树相等。如果再栽同样的6行，就比原来增加了150棵。果园里原来有桃树多少棵？ 【专项训练6】实验小学2000名师生开展“低碳生活，从我做起”活动，全校师生进行回收废纸活动，回收10千克废纸，可生产8千克再生纸，如果每人回收2千克废纸，那么全校师生回收的废纸可生产多少千克再生纸？ 题型03 解决经济问题 一、解决经济问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际经济问题时先根据题意锁定“单价、数量、总价”的核心三量关系，先算出乘法部分对应的“几个相同单价的商品总价”，再用这个结果加/减剩余的独立金额，最终得到总消费金额或剩余金额。比如先算3件单价8元的文具的总花费，再加上额外的5元快递费，就能得出全部支出的总金额。 2、‌特殊速算技巧‌ 当商品单价和购买数量符合表内乘法规则时，可直接依托乘法口诀口算商品总价，再口算末尾的金额加减运算，不用分步笔算。比如买7支单价5元的笔，再付2元包装费，直接用五七三十五的口诀得出35，再加2快速得到总花费37元。 3、‌结果预判规律‌ 含额外加价的经济问题最终总支出一定大于商品本身的总价，含优惠减免的经济问题最终实付金额一定小于商品原本的总价，解题前先预判结果的大致范围，避免出现三量关系混淆、用单价除以数量算总价的低级错误。 二、解决经济问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“多件商品总价加额外服务费/运费”的场景直接用乘加列式，遇到“多件商品总价减优惠减免金额”的场景直接用乘减列式，先锁定核心的“单价×数量”乘法模块，再匹配对应的加减条件，不用反复调整算式结构。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到满减类的促销经济问题，比如满50减10的活动，可先把选购的所有商品按分组凑单的方式，先凑出满足满减条件的完整金额，再减去对应的减免额度，比逐个商品累加再算优惠更快。比如选购了单价9元的笔记本共6本，直接用9×6得到总价54元，再减去10元满减额，快速得出实付44元。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知总消费金额和商品单价，可反向依托乘除法的互逆关系反推能购买的最大商品数量，适配各类带剩余金额的采购题型。比如带50元买单价7元的笔记本，可直接用50÷7得到商7余1，快速算出最多能买7本，剩余1元。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到对比不同套餐性价比的经济问题时，无需复杂计算，直接算出每个套餐的单份商品单价，再对比单价大小就能快速选出最划算的方案，比逐个算总花费的效率更高。比如A套餐3个汉堡24元，B套餐4个汉堡28元，直接算出单份单价分别为8元和7元，就能快速确定B套餐更划算。 【典例3】研学团12名儿童准备体验“脑波赛车”和“VR太空行走”两个项目，“脑波赛车”每人26元，“VR太空行走”每人24元。一共要多少元？ 【专项训练1】校园读书节，采购一些书签作为奖品，每枚书签3元，购进36盒书签，每盒20枚。采购这批书签一共需要多少钱？ 【专项训练2】团结村在甲、乙、丙三个区域安装光伏板，甲区域安装了125块光伏板，乙区域安装的光伏板数量是甲区域的3倍，丙区域再安装97块光伏板就和乙区域安装的光伏板数量一样多了。丙区域安装了多少块光伏板？ 【专项训练3】学校买来8个足球和若干个篮球，一共付了1422元。已知足球的价格是114元/个，比篮球价格贵29元。学校买来了多少个篮球？ 【专项训练4】明明一家来靖安旅游，买了些靖安特产回家，4袋烫片和6盒杨梅饼，一共用去360元，已知一盒杨梅饼50元，则一袋烫片多少元？ 【专项训练5】超市里卖牛奶，价格信息如图。幼儿园的李阿姨带了500元去超市买牛奶，最多能买多少瓶牛奶？ 【专项训练6】四年级（1）班的43位同学计划为假期共读活动团购图书。两本图书的单本售价分别为：37元和25元，每人每种书各买1本。购书小程序里，这两本书都可以参加“每满100减50”的促销活动。如果参加这个满减活动，全班一起购书一共可以节约多少钱？ 题型04 解决基础行程问题 一、解决基础行程问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际行程问题时先根据题意锁定“速度、时间、路程”的核心三量关系，先算出乘法部分对应的“几个相同单位时间行驶的总路程”，再用这个结果加/减剩余的独立路程，最终得到全程总长度。比如先算3小时每小时行驶60千米的总路程，再加上剩余多出的10千米路段，就能得出全程的总长度。 2、‌特殊速算技巧‌ 当速度和行驶时间符合表内乘法规则时，可直接依托乘法口诀口算核心路程结果，再口算末尾的路程加减运算，不用分步笔算。比如4小时每小时行驶7千米，再加上额外3千米的小路，直接用四七二十八的口诀得出28，再加3快速得到总路程31千米。 3、‌结果预判规律‌ 含额外路段的行程问题最终总路程一定大于匀速行驶部分的路程，含中途停留少走的行程问题最终实际行驶路程一定小于按满速满时间算出的路程，解题前先预判结果的大致范围，避免出现三量关系混淆、用速度除以时间算路程的低级错误。 二、解决基础行程问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“匀速行驶一段路程后再加剩余路段”的场景直接用乘加列式，遇到“按满速满时间算总路程后减去未行驶的空缺路段”的场景直接用乘减列式，先锁定核心的“速度×时间”乘法模块，再匹配对应的加减条件，不用反复调整算式结构。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到不完整的路线类行程问题，比如绕路后少走了一段距离，可先把不完整的行驶路线补成完整的匀速行驶路线算出总路程，再减去空缺未走的路段长度，比如按5千米/时的速度走3小时的路线缺2千米没走，直接用5×3-2快速得出实际走的路程13千米，比拆分零散路段相加更快。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知总路程和行驶速度，可反向依托乘除法的互逆关系反推行驶所需的总时间，适配各类带剩余路程的行程题型。比如总路程50千米，每小时行驶7千米，可直接用50÷7得到商7余1，快速算出至少需要8小时才能走完全程。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到对比不同出行方案快慢的行程问题时，无需复杂计算，直接算出每个方案的总耗时，再对比时间长短就能快速选出更省时的方案，比逐个算总路程的效率更高。比如A方案3小时走24千米，B方案4小时走28千米，直接算出单小时速度分别为8千米和7千米，就能快速确定A方案速度更快。 【典例4】甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了3小时，剩下的路程比已行的少60千米。这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 【专项训练1】龟兔第一次赛跑后，兔子输了但不服气，它们约定进行第二次赛跑。这次是从山上往山下跑，乌龟滚下去的速度是600米/分，兔子前2分钟用500米/分的速度奔跑，一看落后了，加快了速度，用了3分钟跑完了剩下的2000米。它们这次谁先到达终点？ 【专项训练2】一列火车长500米，以每分钟900米的速度通过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道用了3分钟。这条隧道长多少米？ 【专项训练3】诺诺一家驾驶新能源汽车从杭州开往永嘉，爸爸不小心错过了永嘉出口，只能开到黄田出口再掉头回永嘉出口下高速，全程共用4小时。这辆新能源汽车的平均速度是多少？ 【专项训练4】一个由25人组成的旅行团从A地去B地某景区旅游。 （1）A地到B地的公路长395千米，旅行团乘坐一辆长途客车早上6：30从A地出发开往B地。平均每小时行驶79千米，这辆长途客车大约什么时间能到达B地？ （2）景区中演艺剧场的票价如下，这个旅行团买贵宾票比买嘉宾票要多花多少钱？ 演艺剧场票价 贵宾票：460元/张 嘉宾票：380元/张 【专项训练5】文化节的物资需要从仓库运往学校，仓库距离学校5000米，运输车先以800米/分的速度行驶了4分钟，发现时间紧迫，剩下的路程加速行驶，只用了2分钟就跑完了。 （1）前4分钟行驶了多少米？ （2）加速后，运输车平均每分钟行驶多少米？ 【专项训练6】下面是东东家、轩轩家和图书馆的路线图。东东每分钟步行约60米，轩轩每分钟步行约68米。 （1）周六早上东东从家里出发步行去轩轩家玩，他已经走了600米，还要几分钟才能到达轩轩家？ （2）东东和轩轩约好了周日一起去图书馆看书，按照他们的步行速度，如果要同时到达图书馆，东东得比轩轩提前几分钟从家里出发？ 学科网（北京）股份有限公司 $