专题03 多边形的面积（解决问题专项讲义）数学苏教版五年级上册（新教材）

该小学数学单元复习讲义通过题型分类构建多边形面积知识体系，涵盖多边形、不规则图形、组合图形及公顷平方千米四大题型，以基础解题逻辑与进阶技巧形成知识框架，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，每个题型配典例与专项训练，如不规则图形用“满格+半格折算”估算面积，培养几何直观与运算能力。方法指导注重速算与逆向推导，帮助不同学生掌握技巧，支持教师实施精准复习教学。

专题03 多边形的面积（解决问题专项讲义） 题型01 多边形的面积解决问题 题型02 不规则图形的面积解决问题 题型03 含多边形的组合图形的面积解决问题 题型04 公顷和平方千米有关的实际问题 题型01 多边形的面积解决问题 一、运用多边形的面积解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意识别目标多边形的类型，先算出对应图形公式里的核心基准量，再代入标准面积公式完成运算，最终得到图形的总面积。比如计算平行四边形菜地的面积，先找到对应的一组底和垂直高，再用“底×高”算出整块菜地的总面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当多边形的底和高都是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托表内乘法口算核心乘积，再快速完成后续运算，不用分步笔算。比如底是6米、高是4米的三角形，直接口算6×4÷2，快速得出面积12平方米。 3、‌结果预判规律‌ 等底等高的三角形面积一定是平行四边形的一半，组合图形的总面积一定小于所有拆分小图形的面积之和，解题前先预判结果的大致范围，避免出现底高不匹配、漏除以2的低级错误。 二、运用多边形的面积解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求规则多边形面积”的场景直接匹配对应图形的标准公式列式，遇到“求组合图形面积”的场景直接用分割或补全法拆分成熟悉的基础多边形，先锁定核心的基础图形面积计算模块，再合并或扣除多余部分的面积，不用反复调整拆分思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到不规则的多边形面积估算问题，比如数方格求叶片类图形的面积，可先把满格的部分全部计数，再把不满一格的部分按半格折算，直接用“满格数 + 不满格数÷2”快速算出估算面积，比逐块拼接计算效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知多边形的面积和其中一个边的长度，可直接反向代入公式反推对应的高，适配各类缺条件的图形题。比如已知梯形的面积是45平方米，上底和下底分别是4米和6米，可直接用“高 = 面积×2÷(上底+下底)”快速算出梯形的高是9米。 【典例1】张叔叔有一块菜地（如下图）。如果种韭菜的面积是12平方米，那么种西红柿的面积是多少平方米？ 【答案】36平方米 【分析】看图可知，种韭菜的地是三角形，种西红柿的地是平行四边形，平行四边形和三角形等高，根据三角形的高＝面积×2÷底，平行四边形面积＝底×高，列式解答即可。 【解答】12×2÷4＝6（米） 6×6＝36（平方米） 答：种西红柿的面积是36平方米。 【专项训练1】一个平行四边形的花圃，它的底为80m，高为25m。如果平均每平方米产鲜花50支，这个花圃一共可以产鲜花多少支？ 【答案】100000支 【分析】根据平行四边形面积公式（面积＝底×高），先求出花圃的面积；再用花圃面积乘每平方米产鲜花的数量，即可得到总产花量。 【解答】花圃的面积：（平方米） 总产花量：（支） 答：这个花圃一共可以产鲜花100000支。 【专项训练2】东山村积极进行新农村建设，不断改善村民生活环境。现要把一块底50米，高48米的三角形空地地面铺设塑胶材料，改造成健身场所。铺设每平方米塑胶材料需要12元，铺设这个健身场所一共需要多少元？ 【答案】14400元 【分析】先根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2求出三角形空地的面积，再用面积乘每平方米塑胶材料的价格求总费用，据此解答。 【解答】50×48÷2×12 ＝2400÷2×12 ＝1200×12 ＝14400（元） 答：铺设这个健身场所一共需要14400元。 【专项训练3】一块平行四边形麦田，底是250米，高是200米，如果每公顷收获小麦6吨，那么这块麦田一共能收获小麦多少吨？ 【答案】30吨 【分析】平行四边形的面积＝底×高，据此代入数据计算求出这块麦田的面积，并换算成以公顷为单位的数。再根据乘法的意义，用每公顷收获小麦的吨数乘麦田的面积，即可求出这块麦田一共能收获小麦多少吨。 【解答】250×200＝50000（平方米） 50000平方米＝5公顷 6×5＝30（吨） 答：这块麦田一共能收获小麦30吨。 【专项训练4】张大爷准备用100米的篱笆围一块菜地，一面靠墙，三面用篱笆围起来。现在有两种围法可以选择，哪种围法面积大，大多少？ 【答案】第二种；103 平方米 【分析】第一种：靠墙的一边不需要篱笆，已知梯形的高是米，上底＋下底 ＝ （米）。第二种：已知梯形的高是米，上底＋下底 ＝ （米）。根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高算出面积进行比较大小即可。 【解答】 （平方米） （平方米） （平方米） 答：第二种围法面积大，大平方米。 【专项训练5】如图（单位：厘米），同一直线上的直角梯形和长方形相距10厘米，直角梯形的上底是2厘米，下底是4厘米，长方形的长是20厘米，宽6厘米。现在直角梯形按每秒2厘米的速度匀速向右平移。梯形与长方形首次重叠面积达到18平方厘米时，梯形已经平移了多少秒？ 【答案】7秒 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据求出梯形面积是18平方厘米。梯形的高与长方形的宽都是6厘米，所以梯形与长方形首次重叠面积达到18平方厘米的时候，就是梯形6厘米的腰（高）平移到与长方形左边的宽重合时。那么梯形平移的距离是4厘米与10厘米的和，平移速度是每秒2厘米，根据“时间＝距离÷速度”即可以求出梯形需要平移的时间，据此解答。 【解答】（2＋4）×6÷2 ＝6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 梯形与长方形首次重叠面积达到18平方厘米时，是梯形6厘米的腰（高）与长方形左边的宽重合的时候。 （4＋10）÷2 ＝14÷2 ＝7（秒） 答：梯形已经平移了7秒。 题型02 不规则图形的面积解决问题 一、运用不规则图形的面积解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先依托苏教版教材的“估算转化思路”，先把不规则图形放到方格图中锚定边界，先统计出图形覆盖的满格总数量，再统计不满一格的零散格子数量，按规则折算后合并两部分结果，最终得到不规则图形的近似总面积。比如估算池塘的水面面积，先数出完全在水面内的满格数，再把部分覆盖的格子按半格折算，相加后得到池塘的大致面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当方格图的单格面积是整数值时，可直接口算满格部分的总面积，再口算不满格部分的折算面积，快速合并得到结果，不用逐格累加计算。比如单格面积是1平方米，数出满格22个、不满格16个，直接口算22+16÷2，快速得到估算面积30平方米。 3、‌结果预判规律‌ 不规则图形的实际面积一定大于满格数对应的总面积，同时一定小于“满格数+不满格数”对应的总面积，解题前先预判结果的取值区间，避免出现把不满格直接按整格计数、结果偏差过大的低级错误。 二、运用不规则图形的面积解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“轮廓近似规则图形”的不规则图形场景，直接用“以直代曲”的思路把它近似转化为已学的平行四边形、梯形等规则多边形，先锁定核心的近似规则图形面积计算模块，再代入对应公式算出近似面积，不用逐格反复计数。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到大面积不规则区域的估算问题，比如估算整片林地的占地面积，可先选取若干个有代表性的小方格算出平均单格代表的实际面积，再统计整个区域对应的等效方格总数，直接用“平均单格实际面积×等效总格子数”快速算出总面积，比逐块拼接测量的效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知不规则图形的估算总面积和方格图的总格数，可反向反推单格对应的实际面积，适配各类缺条件的实际测量题型。比如已知某片树叶的估算面积是28平方厘米，方格图中统计得到等效总格子数为7，可直接用“28÷7”快速算出单格的面积为4平方厘米。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到无法直接放入方格图的大型不规则场地测量时，无需全覆盖铺方格，直接在场地周边选取几个关键点位拉绳，把外围近似围合成规则多边形算出总面积，再扣除外围超出实际场地的边角部分面积，就能快速得到场地的近似面积，大幅降低实地测量的工作量。 【典例2】估计图中树叶的面积。（每个小方格的面积表示1cm2） 【答案】10平方厘米 【分析】估计不规则图形（树叶）面积常用数方格法，规则是：满格按1格算，不满格按半格算。   【解答】观察图形：先数满格：大概有6个满格；再数不满格有8格，（格），总面积大约（平方厘米） 答：图中树叶的面积大约是10平方厘米。 【专项训练1】乐乐在写字时，不小心碰倒了墨水，墨水洒在了方格纸上，大约有多少平方厘米不能写字？（每个小方格的面积表示1cm2） 【答案】126平方厘米 【分析】本题考查的知识点是图形面积的估算，本题采用的是转化的方法，即把不规则图形转化成常见图形长方形，然后再进行面积估算即可解答。 【解答】如图，把这个墨水痕迹看作近似的长方形，长21cm，宽6cm； 面积： 答：大约有平方厘米。 【专项训练2】小宇和小恒在争论谁家的鱼塘大一些。你认为谁家的鱼塘大？理由是什么？（下图每个小方格的面积是1m2） 【答案】小恒家的鱼塘大，因为它所占的格子更多。 【分析】不规则图形面积可通过数方格的方法（不满一格按半格算 ）估算面积，再进行大小比较即可。 【解答】小宇家鱼塘：满格24格，半格26格：（格），即总面积约为：。 小恒家鱼塘：满格31格，半格24格：（格），即总面积约为：。 37＜43。 答：小恒家的鱼塘大，因为它所占的格子更多，估算面积更大。 【专项训练3】一个近似梯形的菜地（如图），每格占1平方米，这块菜地如果全部种白菜，每平方米约种6棵白菜，共约能种多少棵白菜？ 【答案】432棵 【分析】每格占1平方米，则小方格的边长为1米，把这块菜地看作一个梯形，梯形的上底是7米，下底是11米，高是8米，利用“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出这块菜地的面积，一共种白菜的数量＝这块地的面积×每平方米种白菜的数量，据此解答。 【解答】 （7＋11）×8÷2×6 ＝18×8÷2×6 ＝144÷2×6 ＝72×6 ＝432（棵） 答：共约能种432棵白菜。 【点睛】掌握梯形的面积计算公式是解答题目的关键。 【专项训练4】市政公司准备给中百商场门口的广场（如下图）铺地砖，每个小方格的面积表示1平方米。该广场的面积大约是多少？如果铺1平方米大约要4块地砖，每块地砖18元，那么大约需要多少元？    【答案】80平方米；5760元（答案均不唯一） 【分析】每个小方格的面积表示1平方米，则边长是1米。如下图所示，可以把广场看作一个长方形，长是10米，宽8米，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求出该广场的面积大约是多少。铺1平方米大约要4块地砖，根据乘法的意义，用广场的面积乘4求出一共需要多少块地砖，再乘每块地砖的单价，即可求出大约需要多少元。    【解答】10×8＝80（平方米） 4×80×18 ＝320×18 ＝5760（元） 答：该广场的面积大约是80平方米，大约需要5760元。 【点睛】本题考查了不规则图形的面积测算和整数连乘的应用。把不规则图形看成近似于规则的图形估算面积是解题的关键。 【专项训练5】下面三幅图中大正方形的边长均为12cm。先计算每个大正方形中一个小方格的面积，再估计出枫叶的面积，最后判断哪幅图中的枫叶的面积更接近实际面积。 【答案】图③中的枫叶的面积更接近实际面积 【分析】根据题意，大正方形的边长是12厘米，根据正方形的面积公式，可以求出大正方形的面积； 图①大正方形平均9个小方格，用大正方形的面积除以9，即可求出每个小方格的面积； 图②大正方形平均36个小方格，用大正方形的面积除以36，即可求出每个小方格的面积； 图③大正方形平均144个小方格，用大正方形的面积除以144，即可求出每个小方格的面积； 接着分别数出枫叶在三幅图中大约占有的格数，再计算出枫叶的面积并判断 【解答】 图①小方格：，枫叶大约占3格加半格，面积约为。 图②小方格：，枫叶大约占10格，面积约为。 图③小方格：，枫叶大约占35格，面积约为。 答：图③中的枫叶的面积更接近实际面积。 题型03 含多边形的组合图形的面积解决问题 一、运用含多边形的组合图形的面积解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先依托教材的“分割转化思路”，先把组合图形拆分成已学过的基础多边形（长方形、平行四边形、三角形、梯形等），分别算出每个基础多边形的面积，再把所有部分的面积相加，最终得到组合图形的总面积。比如计算房屋户型图的总面积，先拆分出客厅、卧室等不同的基础多边形区域，分别算面积后累加得到总建筑面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当拆分出的基础多边形的底和高都是整数值时，可直接依托对应图形的面积公式口算结果，再快速合并所有部分的面积，不用分步笔算。 3、‌结果预判规律‌ 组合图形的总面积一定小于外围最大外接多边形的面积，同时一定大于内部最小内接多边形的面积，解题前先预判结果的大致范围，避免出现重复计算重叠区域、漏算部分区域的低级错误。 二、运用含多边形的组合图形的面积解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求拼接型组合图形面积”的场景直接用分割法拆分基础多边形后累加面积，遇到“求挖空型组合图形面积”的场景直接用补全法用外围大图形面积减去空缺部分的面积，先锁定核心的基础多边形面积计算模块，再匹配对应的加/减规则，不用反复调整拆分思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带阴影的组合图形面积计算问题，可先识别出阴影部分对应的等积替换关系，把分散的阴影部分拼接成一个完整的规则多边形，直接用单条公式算出总面积，比逐个拆分零散阴影部分相加更快。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知组合图形的总面积和其中几个基础多边形的面积，可直接反向用总面积减去已知部分的面积，快速算出剩余未知部分的面积，适配各类缺条件的图形题。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到实际生活中的组合图形用料计算问题时，无需严格按几何图形的理论面积计算，先把图形按最省料的方式拆分适配标准板材的尺寸，算出实际需要的板材总面积，避免出现理论面积达标但实际无法下料的错误。比如用标准尺寸的板材制作多边形组合广告牌，先拆分出适配板材尺寸的基础图形，再统计实际需要的板材总面积。 【典例3】千垛研学基地的周大伯，把一块梯形垛田分为两部分，分别种植黄菊花和红菊花（如图）。种植的两种菊花面积相差90平方米，种植黄菊花的面积是多少平方米？（先在图中画一画，再解答） 【答案】；144平方米 【分析】在梯形上底左边的端点向下底画一条虚线，把图形分成黄菊花、红菊花两块三角形，能清楚看到两个三角形的高都等于梯形的高，它们的底分别是24米和9米，画出虚线就能直观看出两块地相差的面积。 两个三角形高度相同，先拿24减9求出两个底相差15米，已知面积相差90平方米，用90乘2再除以15求出梯形的高，最后用黄菊花三角形的底24乘求出的高再除以2，求出黄菊花的面积。 【解答】底的差：24－9＝15（米） 梯形的高：90×2÷15 ＝180÷15 ＝12（米） 黄菊花面积：24×12÷2 ＝288÷2 ＝144（平方米） 答：种植黄菊花的面积是144平方米。 【专项训练1】某果园的形状如图2所示，每棵果树占地5平方米，这个果园可以种果树多少棵？ 【答案】93棵 【分析】观察可知，果园的面积可以看作梯形与三角形的面积和。先根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2、三角形面积＝底×高÷2，求出果园面积；再用果园面积除以每棵果树的占地面积，求出果园可以栽的果树的数量。 【解答】（15＋18）×20÷2 ＝33×20÷2 ＝660÷2 ＝330（平方米） 15×18÷2 ＝270÷2 ＝135（平方米） 330＋135＝465（平方米） 465÷5＝93（棵） 答：这个果园可以种果树93棵。 【专项训练2】为了烘托节日的气氛，某商场的工作人员共用了1280个彩色气球装饰了一面墙（如下图，单位：米）。平均每平方米的墙上用了20个彩色气球，这面墙上的另一条直角边长多少米？ 【答案】8米 【分析】气球总数÷平均每平方米气球数量＝墙面面积，平行四边形面积＝底×与底对应的高，墙面面积－平行四边形面积＝三角形面积，直角三角形直角边是一组底和高，三角形高=三角形面积×2÷底，代入数值求解。 【解答】墙面面积：1280÷20＝64（平方米） 平行四边形面积：4×10＝40（平方米） 三角形面积：64－40＝24（平方米） 三角形高（一条直角边边长）： 24×2÷6 ＝48÷6 ＝8（米） 答：这面墙上的另一条直角边长8米 【专项训练3】坪山区正在持续深化“农文旅＋”融合的发展模式，打造田园都市的坪山范式。如图，有一块蔬菜地，中间有一条宽度相同的小路（单位：米），这块蔬菜地的面积是多少平方米？ 【答案】33平方米 【分析】由图可知，这块蔬菜地的面积＝梯形的面积－平行四边形的面积，“”“”把图中的数据代入公式求出这块蔬菜地的面积，据此解答。 【解答】（5＋8）×6÷2－1×6 ＝13×6÷2－1×6 ＝78÷2－6 ＝39－6 ＝33（平方米） 答：这块蔬菜地的面积是33平方米。 【专项训练4】新年快到了，幸福新村举行迎新年联欢会。在长方形舞台的周围摆放美丽的鲜花（如图涂色部分），鲜花区的占地面积是多少平方米？ 【答案】20平方米 【分析】解答这道题需熟知：长方形的面积＝长×宽；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。据图，先用米求出梯形的下底，结合上底8米，高6米，利用公式求出梯形的面积。再根据图中长方形的长8米，宽5米，求出长方形面积。涂色部分的面积可以用梯形面积减去长方形面积计算。 【解答】根据分析： 梯形的面积： （米） （平方米） 长方形面积： （平方米） 鲜花区的面积： （平方米） 答：鲜花区的占地面积是20平方米。 【专项训练5】一块如图所示的草坪。 （1）这块草坪的面积是多少？ （2）如果铺1平方米草坪需要40元，铺完这块草坪需要多少元？ 【答案】（1）70平方米；（2）2800元 【分析】（1）根据题意可知，这个草坪的面积相当于一个底为（12－8）米、高为（10－5）米的三角形面积加上一个长为12米、宽为5米的长方形面积，根据三角形的面积＝底×高÷2和长方形的面积＝长×宽，用（12－8）×（10－5）÷2＋12×5即可求出这个草坪的面积； （2）根据单价×数量＝总价，用草坪的面积乘40元，即可求出铺完这块草坪需要的总价。 【解答】（1）（12－8）×（10－5）÷2＋12×5 ＝4×5÷2＋12×5 ＝10＋60 ＝70（平方米） 答：这块草坪的面积是70平方米。 （2）70×40＝2800（元） 答：铺完这块草坪需要2800元。 题型04 公顷和平方千米有关的实际问题 一、运用公顷和平方千米有关的实际问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意确定目标区域的面积量级，先依托面积单位的进率规则完成单位换算，再代入对应场景的运算逻辑算出最终结果。比如计算大型农场的总面积，先把以平方米为单位的测量值，按1公顷=10000平方米的进率转换为公顷，再完成后续的面积统计。 2、‌特殊速算技巧‌ 当待转换的数值是整万、整百万的整数时，可直接通过移动小数点位置完成口算换算，不用分步笔算。比如把30000平方米转换为公顷，直接去掉末尾4个0，快速得到3公顷；把5平方千米转换为公顷，直接在数值后添2个0，快速得到500公顷。 3、‌结果预判规律‌ 同一片区域用平方千米作单位的数值，一定远小于用公顷、平方米作单位的数值，解题前先预判结果的量级范围，避免出现进率混淆、单位换算后数值偏差过大的低级错误。 二、运用公顷和平方千米有关的实际问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“中小型场地面积统计”的场景直接选用公顷作为适配单位，遇到“城市、国家等超大区域面积统计”的场景直接选用平方千米作为适配单位，先锁定核心的单位匹配模块，再代入对应进率完成换算，不用反复调整单位选择。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到大面积土地的产量、承载量计算问题，可先把总面积统一换算为以“公顷”为单位的数值，再直接用单公顷的对应指标相乘，快速得到总指标结果，比用平方米运算的效率高很多。比如已知每公顷小麦产量是6吨，2平方千米的麦田，先把2平方千米换算为200公顷，直接用200×6快速得到总产量1200吨。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知某区域的总面积和单平方千米的承载指标，可反向反推该区域能容纳的总数量，适配各类缺条件的规划类题型。比如已知某自然保护区总面积是5000公顷，每平方千米最多可容纳20只保护动物，先把5000公顷换算为50平方千米，直接用50×20快速算出保护区最多可容纳1000只保护动物。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到国土空间、城市规划类的实际题目时，无需纠结局部小区域的零散面积，直接把整片区域按平方千米为单位做整体估算，再扣除明确标注的非目标区域面积，就能快速得到目标区域的近似面积，大幅降低复杂地形的测量计算工作量。 【典例4】张伯伯家的茶园是一个长方形，张伯伯为扩大茶园规模，把茶园的宽增加了50米，变成了正方形茶园，这时面积增加了1公顷。该茶园原来的面积是多少公顷？ 【答案】3公顷 【分析】先把1公顷化成10000平方米，再根据增加的面积和增加的宽，长＝增加的面积÷增加的宽，求出这个长方形茶园的长，即10000÷50＝200（米）。根据“它的宽增加50米后，就变成了正方形”可知，原来茶园的长比宽长50米，所以原来茶园的宽是200－50＝150（米）。最后，用长方形的面积＝长×宽，再把面积单位平方米化成公顷即可解答。 【解答】根据分析可知： 1公顷＝10000平方米 原茶园的长：10000÷50＝200（米） 原茶园的宽：200－50＝150（米） 原面积：200×150＝30000（平方米） 30000平方米里面有3个10000平方米，也就是3个1公顷，是3公顷。 答：该茶园原来的面积是3公顷。 【专项训练1】一个长方形森林公园的长是6千米，宽是4千米，它的面积是多少平方千米？合多少公顷？ 【答案】24平方千米；2400公顷 【分析】长方形面积＝长×宽，据此代入数字即可计算出它的面积是多少平方千米；根据1平方千米＝100公顷，据此换算成公顷为单位即可。 【解答】6×4＝24（平方千米） 24平方千米＝2400公顷 答：它的面积是24平方千米，合2400公顷。 【专项训练2】一片长方形的树林，长为500米，宽为400米，如果每公顷可以种树20000棵，那么这片树林一共可以种多少棵树？ 【答案】400000棵 【分析】长方形的面积＝长×宽。据此用500×400计算出长方形树林的面，。然后再根据1公顷等于10000平方米进行单位换算，将换算后的公顷数乘20000即可解题。计算时可将数看成几个百或者几个十。 【解答】500×400＝200000（平方米） 200000平方米＝20公顷 20×20000＝400000（棵） 答：那么这片树林一共可以种400000棵树。 【专项训练3】一块三角形的地，底是500米，高是360米，这块地的面积是多少公顷？如果用拖拉机每天耕3公顷，这块地几天才能耕完？ 【答案】9公顷；3天 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2求出这块地的面积，然后根据1公顷＝10000平方米，转换单位，除以每天拖拉机耕的面积即可。 【解答】500×360÷2 ＝180000÷2 ＝90000（平方米） 90000÷10000＝9（公顷） 9÷3＝3（天） 答：这块地的面积是9公顷，3天才能耕完。 【专项训练4】有一块近似梯形的土地，上底约80米，下底约170米，高约160米。如果每8平方米栽一棵苹果树苗，一共可以栽多少棵树苗？预计每公顷可收苹果15吨，这块地能收苹果多少吨？ 【答案】2500棵；30吨 【分析】根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，先用梯形面积公式算出土地面积，然后用面积÷每棵苹果树苗的占地面积可以求出树苗的数量；根据1公顷＝10000平方米，把面积化为以公顷为单位，用每公顷收的苹果质量×公顷数可求一共收的苹果质量。 【解答】（80＋170）×160÷2 ＝250×160÷2 ＝40000÷2 ＝20000（平方米） 20000÷8＝2500（棵）     20000平方米＝2公顷 2×15＝30（吨） 答：一共可以栽2500棵树苗，这块地能收苹果30吨。 【专项训练5】梧桐树高大挺拔，冠形优美，对二氧化硫、氯气等有毒气体有较强的对抗性，是公园、绿地、社区、校园及庭院绿化的良好树种，具有较高的观赏价值。一架直升飞机在一片梯形梧桐树林（如下图）的上空喷洒药水。这片梧桐树林的面积是多少公顷？ 【答案】9公顷 【分析】由图可知，梯形的上底是400米，下底是500米，高是200米，根据“”求出这片梧桐树林的面积，再根据“1公顷＝10000平方米”把单位转化为“公顷”，据此解答。 【解答】（400＋500）×200÷2 ＝900×200÷2 ＝180000÷2 ＝90000（平方米） 90000平方米＝9公顷 答：这片梧桐树林的面积是9公顷。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 多边形的面积（解决问题专项讲义） 题型01 多边形的面积解决问题 题型02 不规则图形的面积解决问题 题型03 含多边形的组合图形的面积解决问题 题型04 公顷和平方千米有关的实际问题 题型01 多边形的面积解决问题 一、运用多边形的面积解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意识别目标多边形的类型，先算出对应图形公式里的核心基准量，再代入标准面积公式完成运算，最终得到图形的总面积。比如计算平行四边形菜地的面积，先找到对应的一组底和垂直高，再用“底×高”算出整块菜地的总面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当多边形的底和高都是整厘米、整米的整数数值时，可直接依托表内乘法口算核心乘积，再快速完成后续运算，不用分步笔算。比如底是6米、高是4米的三角形，直接口算6×4÷2，快速得出面积12平方米。 3、‌结果预判规律‌ 等底等高的三角形面积一定是平行四边形的一半，组合图形的总面积一定小于所有拆分小图形的面积之和，解题前先预判结果的大致范围，避免出现底高不匹配、漏除以2的低级错误。 二、运用多边形的面积解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求规则多边形面积”的场景直接匹配对应图形的标准公式列式，遇到“求组合图形面积”的场景直接用分割或补全法拆分成熟悉的基础多边形，先锁定核心的基础图形面积计算模块，再合并或扣除多余部分的面积，不用反复调整拆分思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到不规则的多边形面积估算问题，比如数方格求叶片类图形的面积，可先把满格的部分全部计数，再把不满一格的部分按半格折算，直接用“满格数 + 不满格数÷2”快速算出估算面积，比逐块拼接计算效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知多边形的面积和其中一个边的长度，可直接反向代入公式反推对应的高，适配各类缺条件的图形题。比如已知梯形的面积是45平方米，上底和下底分别是4米和6米，可直接用“高 = 面积×2÷(上底+下底)”快速算出梯形的高是9米。 【典例1】张叔叔有一块菜地（如下图）。如果种韭菜的面积是12平方米，那么种西红柿的面积是多少平方米？ 【专项训练1】一个平行四边形的花圃，它的底为80m，高为25m。如果平均每平方米产鲜花50支，这个花圃一共可以产鲜花多少支？ 【专项训练2】东山村积极进行新农村建设，不断改善村民生活环境。现要把一块底50米，高48米的三角形空地地面铺设塑胶材料，改造成健身场所。铺设每平方米塑胶材料需要12元，铺设这个健身场所一共需要多少元？ 【专项训练3】一块平行四边形麦田，底是250米，高是200米，如果每公顷收获小麦6吨，那么这块麦田一共能收获小麦多少吨？ 【专项训练4】张大爷准备用100米的篱笆围一块菜地，一面靠墙，三面用篱笆围起来。现在有两种围法可以选择，哪种围法面积大，大多少？ 【专项训练5】如图（单位：厘米），同一直线上的直角梯形和长方形相距10厘米，直角梯形的上底是2厘米，下底是4厘米，长方形的长是20厘米，宽6厘米。现在直角梯形按每秒2厘米的速度匀速向右平移。梯形与长方形首次重叠面积达到18平方厘米时，梯形已经平移了多少秒？ 题型02 不规则图形的面积解决问题 一、运用不规则图形的面积解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先依托苏教版教材的“估算转化思路”，先把不规则图形放到方格图中锚定边界，先统计出图形覆盖的满格总数量，再统计不满一格的零散格子数量，按规则折算后合并两部分结果，最终得到不规则图形的近似总面积。比如估算池塘的水面面积，先数出完全在水面内的满格数，再把部分覆盖的格子按半格折算，相加后得到池塘的大致面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当方格图的单格面积是整数值时，可直接口算满格部分的总面积，再口算不满格部分的折算面积，快速合并得到结果，不用逐格累加计算。比如单格面积是1平方米，数出满格22个、不满格16个，直接口算22+16÷2，快速得到估算面积30平方米。 3、‌结果预判规律‌ 不规则图形的实际面积一定大于满格数对应的总面积，同时一定小于“满格数+不满格数”对应的总面积，解题前先预判结果的取值区间，避免出现把不满格直接按整格计数、结果偏差过大的低级错误。 二、运用不规则图形的面积解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“轮廓近似规则图形”的不规则图形场景，直接用“以直代曲”的思路把它近似转化为已学的平行四边形、梯形等规则多边形，先锁定核心的近似规则图形面积计算模块，再代入对应公式算出近似面积，不用逐格反复计数。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到大面积不规则区域的估算问题，比如估算整片林地的占地面积，可先选取若干个有代表性的小方格算出平均单格代表的实际面积，再统计整个区域对应的等效方格总数，直接用“平均单格实际面积×等效总格子数”快速算出总面积，比逐块拼接测量的效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知不规则图形的估算总面积和方格图的总格数，可反向反推单格对应的实际面积，适配各类缺条件的实际测量题型。比如已知某片树叶的估算面积是28平方厘米，方格图中统计得到等效总格子数为7，可直接用“28÷7”快速算出单格的面积为4平方厘米。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到无法直接放入方格图的大型不规则场地测量时，无需全覆盖铺方格，直接在场地周边选取几个关键点位拉绳，把外围近似围合成规则多边形算出总面积，再扣除外围超出实际场地的边角部分面积，就能快速得到场地的近似面积，大幅降低实地测量的工作量。 【典例2】估计图中树叶的面积。（每个小方格的面积表示1cm2） 【专项训练1】乐乐在写字时，不小心碰倒了墨水，墨水洒在了方格纸上，大约有多少平方厘米不能写字？（每个小方格的面积表示1cm2） 【专项训练2】小宇和小恒在争论谁家的鱼塘大一些。你认为谁家的鱼塘大？理由是什么？（下图每个小方格的面积是1m2） 【专项训练3】一个近似梯形的菜地（如图），每格占1平方米，这块菜地如果全部种白菜，每平方米约种6棵白菜，共约能种多少棵白菜？ 【专项训练4】市政公司准备给中百商场门口的广场（如下图）铺地砖，每个小方格的面积表示1平方米。该广场的面积大约是多少？如果铺1平方米大约要4块地砖，每块地砖18元，那么大约需要多少元？    【专项训练5】下面三幅图中大正方形的边长均为12cm。先计算每个大正方形中一个小方格的面积，再估计出枫叶的面积，最后判断哪幅图中的枫叶的面积更接近实际面积。 题型03 含多边形的组合图形的面积解决问题 一、运用含多边形的组合图形的面积解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先依托教材的“分割转化思路”，先把组合图形拆分成已学过的基础多边形（长方形、平行四边形、三角形、梯形等），分别算出每个基础多边形的面积，再把所有部分的面积相加，最终得到组合图形的总面积。比如计算房屋户型图的总面积，先拆分出客厅、卧室等不同的基础多边形区域，分别算面积后累加得到总建筑面积。 2、‌特殊速算技巧‌ 当拆分出的基础多边形的底和高都是整数值时，可直接依托对应图形的面积公式口算结果，再快速合并所有部分的面积，不用分步笔算。 3、‌结果预判规律‌ 组合图形的总面积一定小于外围最大外接多边形的面积，同时一定大于内部最小内接多边形的面积，解题前先预判结果的大致范围，避免出现重复计算重叠区域、漏算部分区域的低级错误。 二、运用含多边形的组合图形的面积解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求拼接型组合图形面积”的场景直接用分割法拆分基础多边形后累加面积，遇到“求挖空型组合图形面积”的场景直接用补全法用外围大图形面积减去空缺部分的面积，先锁定核心的基础多边形面积计算模块，再匹配对应的加/减规则，不用反复调整拆分思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带阴影的组合图形面积计算问题，可先识别出阴影部分对应的等积替换关系，把分散的阴影部分拼接成一个完整的规则多边形，直接用单条公式算出总面积，比逐个拆分零散阴影部分相加更快。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知组合图形的总面积和其中几个基础多边形的面积，可直接反向用总面积减去已知部分的面积，快速算出剩余未知部分的面积，适配各类缺条件的图形题。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到实际生活中的组合图形用料计算问题时，无需严格按几何图形的理论面积计算，先把图形按最省料的方式拆分适配标准板材的尺寸，算出实际需要的板材总面积，避免出现理论面积达标但实际无法下料的错误。比如用标准尺寸的板材制作多边形组合广告牌，先拆分出适配板材尺寸的基础图形，再统计实际需要的板材总面积。 【典例3】千垛研学基地的周大伯，把一块梯形垛田分为两部分，分别种植黄菊花和红菊花（如图）。种植的两种菊花面积相差90平方米，种植黄菊花的面积是多少平方米？（先在图中画一画，再解答） 【专项训练1】某果园的形状如图2所示，每棵果树占地5平方米，这个果园可以种果树多少棵？ 【专项训练2】为了烘托节日的气氛，某商场的工作人员共用了1280个彩色气球装饰了一面墙（如下图，单位：米）。平均每平方米的墙上用了20个彩色气球，这面墙上的另一条直角边长多少米？ 【专项训练3】坪山区正在持续深化“农文旅＋”融合的发展模式，打造田园都市的坪山范式。如图，有一块蔬菜地，中间有一条宽度相同的小路（单位：米），这块蔬菜地的面积是多少平方米？ 【专项训练4】新年快到了，幸福新村举行迎新年联欢会。在长方形舞台的周围摆放美丽的鲜花（如图涂色部分），鲜花区的占地面积是多少平方米？ 【专项训练5】一块如图所示的草坪。 （1）这块草坪的面积是多少？ （2）如果铺1平方米草坪需要40元，铺完这块草坪需要多少元？ 题型04 公顷和平方千米有关的实际问题 一、运用公顷和平方千米有关的实际问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意确定目标区域的面积量级，先依托面积单位的进率规则完成单位换算，再代入对应场景的运算逻辑算出最终结果。比如计算大型农场的总面积，先把以平方米为单位的测量值，按1公顷=10000平方米的进率转换为公顷，再完成后续的面积统计。 2、‌特殊速算技巧‌ 当待转换的数值是整万、整百万的整数时，可直接通过移动小数点位置完成口算换算，不用分步笔算。比如把30000平方米转换为公顷，直接去掉末尾4个0，快速得到3公顷；把5平方千米转换为公顷，直接在数值后添2个0，快速得到500公顷。 3、‌结果预判规律‌ 同一片区域用平方千米作单位的数值，一定远小于用公顷、平方米作单位的数值，解题前先预判结果的量级范围，避免出现进率混淆、单位换算后数值偏差过大的低级错误。 二、运用公顷和平方千米有关的实际问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“中小型场地面积统计”的场景直接选用公顷作为适配单位，遇到“城市、国家等超大区域面积统计”的场景直接选用平方千米作为适配单位，先锁定核心的单位匹配模块，再代入对应进率完成换算，不用反复调整单位选择。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到大面积土地的产量、承载量计算问题，可先把总面积统一换算为以“公顷”为单位的数值，再直接用单公顷的对应指标相乘，快速得到总指标结果，比用平方米运算的效率高很多。比如已知每公顷小麦产量是6吨，2平方千米的麦田，先把2平方千米换算为200公顷，直接用200×6快速得到总产量1200吨。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知某区域的总面积和单平方千米的承载指标，可反向反推该区域能容纳的总数量，适配各类缺条件的规划类题型。比如已知某自然保护区总面积是5000公顷，每平方千米最多可容纳20只保护动物，先把5000公顷换算为50平方千米，直接用50×20快速算出保护区最多可容纳1000只保护动物。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到国土空间、城市规划类的实际题目时，无需纠结局部小区域的零散面积，直接把整片区域按平方千米为单位做整体估算，再扣除明确标注的非目标区域面积，就能快速得到目标区域的近似面积，大幅降低复杂地形的测量计算工作量。 【典例4】张伯伯家的茶园是一个长方形，张伯伯为扩大茶园规模，把茶园的宽增加了50米，变成了正方形茶园，这时面积增加了1公顷。该茶园原来的面积是多少公顷？ 【专项训练1】一个长方形森林公园的长是6千米，宽是4千米，它的面积是多少平方千米？合多少公顷？ 【专项训练2】一片长方形的树林，长为500米，宽为400米，如果每公顷可以种树20000棵，那么这片树林一共可以种多少棵树？ 【专项训练3】一块三角形的地，底是500米，高是360米，这块地的面积是多少公顷？如果用拖拉机每天耕3公顷，这块地几天才能耕完？ 【专项训练4】有一块近似梯形的土地，上底约80米，下底约170米，高约160米。如果每8平方米栽一棵苹果树苗，一共可以栽多少棵树苗？预计每公顷可收苹果15吨，这块地能收苹果多少吨？ 【专项训练5】梧桐树高大挺拔，冠形优美，对二氧化硫、氯气等有毒气体有较强的对抗性，是公园、绿地、社区、校园及庭院绿化的良好树种，具有较高的观赏价值。一架直升飞机在一片梯形梧桐树林（如下图）的上空喷洒药水。这片梧桐树林的面积是多少公顷？ 学科网（北京）股份有限公司 $