专题01 图形的运动及图案的还原（解决问题专项讲义）数学苏教版五年级上册（新教材）

该小学数学专题讲义围绕图形运动（平移、旋转、轴对称）及图案还原，通过“基础逻辑-特殊技巧-规律应用”的框架图梳理知识脉络，明确各题型关键要点（如平移的对应点、旋转的三要素），构建空间观念培养的系统路径。 讲义亮点在于分层训练与创新方法指导，如“单顶点锚定法”简化综合变换作图，题型04的多步变换题（先轴对称再平移旋转）培养推理意识。专项训练从基础作图到综合应用层层递进，助力不同学生提升空间观念，为教师精准教学提供系统支持。

专题01 图形的运动及图案的还原（解决问题专项讲义） 题型01 作平移后的图形 题型02 作旋转后的图形 题型03 补全轴对称图形 题型04 平移、旋转和轴对称的综合应用 题型05 图案的还原 题型01 作平移后的图形 一、基础作图逻辑 在方格图中作平移后的图形，需先确定原图形的各个关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个角点等），把这些点按照指定的平移方向和距离进行移动，最后将移动后的点顺次连接起来，就得到平移后的图形。平移前后图形的形状和大小都不改变，只是位置发生变化。 二、特殊情况处理技巧 在一些复杂图形平移时，可将图形拆分成多个简单部分，对每个部分的关键点分别进行平移操作。例如组合图形，可把它的各个组成部分的关键点依次平移，再连接成完整图形。 三、图形平移规律应用 ‌判断平移方向和距离‌：已知平移前后的两个图形，先确定哪个是平移前的图形，哪个是平移后的图形，从而确定平移的方向；确定平移的距离时，可以找到两个图形的对应点，数一数两个对应点之间的方格数，即为平移的距离。 【典例1】画出将平行四边形向下平移四格后的图形。 【答案】见详解 【分析】物体平移的方法是点对点平移，然后将所有点依次连接起来；依此画出平移后的图形即可。 【解答】 【点睛】此题考查的是作平移后的图形，应熟练掌握。 【专项训练1】请分别画出向右平移7格和向下平移5格后得到的图形。 【答案】见详解 【分析】根据平移的特点，把三角形的三个顶点分别向右平移7个格，依次连接，再把原三角形3个顶点向下平移5个格，依次连接，即可得到平移后的图形。 【解答】 【点睛】此题考查了利用图形的平移进行图形变换的方法，关键是找准平移后的对应点的位置，注意平移的方向和距离。 【专项训练2】把图A向右平移11格，再向下平移1格，得到图A'；把图B向左平移6格，再向上平移4格，得到图B'。 【答案】见详解 【分析】把图A的各个顶点，分别向右平移11格，再向下平移1格，依次连接即可得到图A'；把图B的各个顶点，分别向左平移6格，再向上平移4格，依次连接各个顶点，即可得到图B'。 【解答】作图如下： 【点睛】此题主要考查了图形的平移，找准关键点，看准方向，数清格数是解题关键。 【专项训练3】把三角形向右平移4格，再向上平移3格。 【答案】图见详解 【分析】把三角形的各顶点分别向右平移4格，再向上平移3格，然后顺次把各个顶点连接起来即可。 【解答】作图如下： 【点睛】本题主要考查学生画平移后图形的方法的掌握和灵活运用。 【专项训练4】按要求画一画。 （1）画出小鱼先向下平移3格，再向右平移3格后的图形。 （2）画出小船先向左平移7格，再向上平移2格后的图形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据平移的特征，把小鱼图形的各个顶点先分别向下平移3格，再向右平移3格，依次连接，即可得平移后的图形； （2）把小船图形的各个顶点先分别向左平移7个，再向上平移2格，依次连接，即可得到平移后的图形。 【解答】如下图： 【点睛】本题考查做平移后的图形，我们画平移图形时，要注意平移的方向和距离要准确，平移后图形的形状和大小不发生变化。 【专项训练5】在方格纸上画出平移后的图形。 （1）将图A向右平移6格后，再向下平移3格。 （2）将图B向上平移4格后，再向左平移6格。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据平移的特征，把图形A的各个顶点分别向右平移6格，再向下平移3格，依次连接，即可得到平移后的图形。 （2）根据平移的特征，把图形B的各个顶点分别向上平移4格，再向左平移6个，依次连接，即可得到平移后的图形。 【解答】（1）如图： （2）如图： 题型02 作旋转后的图形 一、基础作图逻辑 明确旋转三要素：确定旋转中心（图形围绕哪个点旋转）、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度（如90°、180°等）。 选取关键点：一般选取图形的顶点等关键位置的点作为参考点。 旋转关键点：将每个关键点绕旋转中心按照指定的方向和角度进行旋转。具体做法是通过画直角等方式确定关键点旋转后的位置（例如旋转90°时，利用方格纸的直角边辅助确定方向和距离等）。 连接关键点：把旋转后得到的关键点依次连接起来，形成旋转后的图形。 二、特殊作图技巧 单线定位法：对于一些较复杂图形的旋转，可以先找一条对称轴的线（不一定是真正的对称轴，只是辅助线），先将这条线绕旋转中心旋转指定角度，再根据这条线的位置去完善整个图形的旋转。例如在一个不规则图形中，选取一条较为明显的边作为这条辅助线，先旋转这条边，再根据图形的形状特征去确定其他部分的位置。 方格纸辅助法：如果是在方格纸上作图，利用方格纸的方格和直角，能更方便地确定旋转的方向和距离。比如旋转90°时，在方格纸上可以很直观地看出关键点移动的方向和格数。 三、图形旋转的性质规律应用 图形旋转后，其形状、大小都不会发生变化，变化的只是位置和方向。在作图前可以利用这一性质对最终图形的大致样子有一个预判，比如图形的边长长度不会改变等。 对应线段的长度相等，对应角的度数相等。在连接旋转后的关键点形成图形时，可以通过检查对应线段和对应角是否符合这一性质，来检验所作图形是否正确。例如一个三角形旋转后，其三条边的长度在旋转前后应该是一样的。 【典例2】如图，画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形。 【答案】 【分析】绕点A逆时针旋转90°，即以A为顶点（A点不动），将AB、AC两条边绕A点逆时针旋转90°，最后根据旋转后两条边的位置，连接第三条边即可。 【解答】根据分析， AB绕点A逆时针旋转90°后得到，AC绕点A逆时针旋转90°后得到，最后连接即可。 图略 【专项训练1】按要求画一画。 （1）画出小旗绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （2）画出小旗绕点O逆时针旋转90°后的图形。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据旋转的特征，小旗绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形； （2）根据旋转的特征，小旗绕点O逆时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 【解答】略 【专项训练2】分别画出四边形ABCD绕点C按顺时针方向和逆时针方向旋转90°后得到的图形。 【答案】 【分析】分别找出点A、B、D绕点C顺时针旋转90°后的对应的点的位置，然后顺次连接即可；分别找出点A、B、D绕点C逆时针方向旋转90°后的对应的点的位置，然后顺次连接即可。 【解答】图略 【专项训练3】画出小旗向右平移5格后的图形，以小旗原图O点顺时针旋转90°后的图形。 【答案】见详解 【分析】根据平移的特征，将小旗的各顶点分别向右平移5格，依次连接即可得到平移后的图形。 根据旋转的特征，将小旗原图绕点O顺时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 【解答】如图： 【专项训练4】把图①绕点O逆时针旋转90°，得到图②；把图①绕点O顺时针旋转90°，得到图③，画出图②和图③。 【答案】 【分析】作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点，找出关键点的对应点；按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点，顺次连接，作出新图形。 【解答】画图略。 【专项训练5】请画出三角形A绕点O顺时针旋转90°后得到的图形B。 【答案】 【分析】根据旋转的特征，将三角形A绕点O顺时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形B。 【解答】略 题型03 补全轴对称图形 一、理解轴对称图形概念 轴对称图形是指沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就是它的对称轴。在解决实际问题补全轴对称图形时，要明确图形的对称轴位置，这是关键前提，比如有的图形对称轴是水平方向，有的是垂直方向，还有的是斜向的。 二、补全轴对称图形步骤 ‌找关键点‌：仔细观察已有的图形部分，确定其中的关键点，这些关键点通常是图形的顶点、线段的端点等。例如，对于三角形形状的部分，其三个顶点就是关键点；如果是长方形，那四个顶点以及长和宽的中点等都可作为关键点。 ‌确定对称点‌：根据轴对称图形的特征，过每个关键点作对称轴的垂线，并测量关键点到对称轴的距离。在对称轴的另一侧，按照相同的距离确定出各关键点的对称点。比如，若一个关键点到对称轴的水平距离是3个方格长度，就在对称轴另一侧水平距离3个方格长度的位置确定其对称点。若关键点在对称轴上，那么它的对称点就是它自身。 ‌连接对称点‌：将确定好的所有对称点，按照原图形的连接顺序依次连接起来，即可得到完整的轴对称图形。例如，原图形中是依次连接三个顶点形成三角形，那么在补全时也按照同样的顺序连接对称点形成对应的三角形。 【典例3】以虚线为对称轴，画出图形的另一半。 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的性质，对称点到对称轴的距离相等，对称轴是对称点的连线的垂直平分线，在对称轴的另一边画出图形的几个顶点，再依次连线即可。 【解答】由分析可知：如下图所示： 【点睛】本题考查了作轴对称图形，该知识需要熟练掌握并且灵活运用，尤其需要能结合知识准确画图。 【专项训练1】以虚线为对称轴，画出下面图形的轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左边图形的关键对称点，依次连接即可得到轴对称图形。 【解答】 【点睛】本题考查作轴对称图形，需要熟练掌握。 【专项训练2】以虚线为对称轴，画出轴对称图形的另一半。 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图形的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点即可画出轴对称图形的另一半。 【解答】如下图： 【点睛】掌握作轴对称图形的作图方法是解题的关键。 【专项训练3】画出下图中图形的另一半轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的每个点关于这条直线对称的点后依次连结各特征点。据此作图。 【解答】 【点睛】掌握轴对称图形的特点是解答本题的关键。 【专项训练4】以虚线为对称轴，画出下图的轴对称图形。          【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左图的关键对称点，依次连结即可。 【解答】以虚线为对称轴，画出下图的轴对称图形（图中红色部分）： 【点睛】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连结各对称点即可。 【专项训练5】用三种不同的方法，再补上一个小方格涂上阴影，使图形成为轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，直线叫做对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线对称。据此补充小方格的位置。 【解答】由分析可作图： 题型04 平移、旋转和轴对称的综合应用 一、基础操作逻辑 在方格纸中完成平移、旋转和轴对称的综合任务时，遵循“先定点、后变换、再连线”的统一流程：先锁定图形的所有关键顶点，按照题目指定的顺序依次完成每一项图形运动操作，每一步都只对关键点进行对应变换，最后将变换后的所有点按原图形的连接顺序顺次相连，全程保证图形的形状、大小不发生任何改变。 二、特殊速作技巧 ‌单顶点锚定法‌：处理多步连续变换时，只需先选定1个核心顶点完成全部指定操作，再依据“图形全等”的特征，直接参照原图形的边长、角度关系，快速补出其余顶点的位置，无需逐个点重复执行所有变换步骤。 ‌辅助线简化法‌：进行90°这类特殊角度的旋转时，可先选取图形的一条关键边作为辅助线，先将这条边完成旋转操作，再以这条边为参照，快速定位整个旋转后图形的剩余部分，大幅降低作图难度。 三、变换规律预判 平移操作全程不改变图形的形状、大小和自身朝向，仅改变整体位置，操作前可预判变换后图形的方向和原图形完全一致，避免出现旋转类的错误。 旋转操作仅改变图形的朝向和位置，图形的边长、内角大小完全不变，操作前可预判旋转后图形的整体轮廓不会发生变形，辅助检验作图结果。 轴对称变换后，图形与原图形沿对称轴完全重合，对应点的连线必然垂直于对称轴，操作前可预判对称点的位置关系，提前排查明显的位置偏差。 【典例4】 （1）画出图形A关于虚线l的轴对称图形B。 （2）把图形B先向右平移10格，再向下平移5格得到图形C，画出图形C。 （3）画出图形A绕点O逆时针旋转90°后的图形D。 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）首先确定图形A的各个顶点，因为轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等，所以过每个顶点作对称轴的垂线并延长相同长度得到对应点，依次连接对应点得到图形B。 （2）先确定图形B的各个顶点，因为平移时图形上所有点的移动方向和距离都相同，所以将每个顶点先向右平移10格、再向下平移5格得到对应点，依次连接对应点得到图形C。 （3）先确定图形A的各个顶点，因为绕点旋转时旋转中心O的位置不变，其余点绕O按逆时针旋转90°的规律确定对应位置，所以依次确定各顶点旋转后的对应点，再顺次连接得到图形D。 【解答】（1）作图略 （2）作图略 （3）作图略 【专项训练1】把图①绕点O顺时针旋转90°，得到图②；把图①向右平移8格，得到图③。 【答案】 【分析】根据旋转的特征，把图①绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 把图①的各顶点向右平移8格，然后顺次把各个顶点连接起来即可。 【解答】略 【专项训练2】按要求画图。 （1）以直线MN为对称轴，画出图形①的轴对称图形②。 （2）将图形①绕点O逆时针旋转90°，得到图形③；再将图形③向右平移8格得到图形④。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）先标出图形①的所有顶点；数出每个顶点到对称轴MN的距离，在MN的另一侧，找到和原顶点到MN距离相等的对称点；按照图形①的顶点顺序，依次连接所有对称点，就得到轴对称图形②； （2）固定旋转中心点O不动，把图形①的所有顶点都绕O点逆时针旋转（和钟表指针转动方向相反）90°，各顶点旋转后与O点的距离不变，得到旋转后的顶点，依次连接顶点就得到图形③；把图形③的所有顶点都向右移动，每个顶点都向右数8格确定新位置，描点后按原形状依次连接，就得到图形④。 【解答】（1）根据分析，如图： （2）根据分析，如图： 【专项训练3】实践操作，按要求完成下面各题。 （1）画出将图形A向右平移8格得到图形B。 （2）画出图形A绕点O顺时针旋转90°得到图形C。 （3）以虚线a为对称轴，画出图形A的轴对称图形D。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）平移（图形B）：把图形A的每个顶点都向右数8格，描点后按原形状连线。 （2）旋转（图形C）：以O为中心，把图形A的各边顺时针转90°，描点后按原形状连线。 （3）轴对称（图形D）：找出图形A各顶点关于虚线a的对称点，再按原形状连线。 【解答】（1）如图： （2）如图： （3）如图： 【专项训练4】先根据对称轴补全下面这个轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移10格后的图形。 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，先在对称轴的另一边找出原有图形关键点的对称点，再依次连线即可补全轴对称图形。 平移，是指在同一平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程。平移只改变位置，不改变图形的形状和大小。决定平移后图形位置的要素：一是平移方向（上、下、左、右），二是平移的距离。将轴对称图形的顶点分别向右平移10格，再将所得的点依次连线，即可得到平移后的轴对称图形，据此作图。 【解答】补全的轴对称图形及平移后的轴对称图形如下图所示： 【专项训练5】 “实践操作”画一画。 （1）画出三角形绕点按顺时针方向旋转后的图形。 （2）画出三角形向左平移4格后的图形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。 （2）平移是指在平面内将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的运动叫做图形的平移运动。在平移的过程中，只是位置发生变化，图形的大小和形状不发生变化。 【解答】（1）（2）如图所示： 题型05 图案的还原 一、图案还原核心要点 ‌基础变换逻辑‌：图案还原本质是图形变换的逆过程，运用轴对称、平移、旋转等几何变换手段，将经过分割、打乱或变形的图案恢复为原始完整图案。 ‌特殊还原技巧‌：对于一些具有明显特征的图案，若左右或上下两部分完全重合但方向相反，可优先考虑轴对称变换；若图形仅位置发生移动，形状、大小、方向均未改变，可判断为平移变换；若图形绕某一点转动，形状大小不变但方向改变，则是旋转变换。 ‌变换规律‌：轴对称变换要确定对称轴位置和对应点；平移变换要明确方向和距离；旋转变换要找准旋转中心、旋转方向和旋转角度。在还原时，要根据这些变换的特征和要素进行逆向操作。 ‌简便还原适配‌：在复杂图案还原中，可综合运用多种变换。例如，先通过平移将部分图案移动到大致位置，再利用旋转使其方向契合，最后借助轴对称完善整体图案。 二、图案还原一般步骤 ‌观察与分析‌： 整体感知：先观察最终想要还原的目标图案是什么形状、具有什么特征（如正方形、长方形、特定花纹等）。 局部识别：分析手中持有的“碎片”或“当前状态”的特征，比如边缘形状、特殊标记、颜色区块等。 寻找参照：找出图形中的特殊标记、颜色区块或几何特征线作为参照，帮助确定变换方式和位置关系。 ‌尝试还原‌：根据观察分析的结果，选择合适的变换方式进行尝试。比如，若发现“碎片”边缘有镜像关系，尝试以某条直线为对称轴进行翻折；若“碎片”位置与目标位置有明显的格数差异，尝试平移；若“碎片”方向与目标方向不一致，尝试旋转。 ‌验证调整‌：每进行一步变换后，都要与目标图案进行对比验证，看是否符合预期。如果不符合，及时调整变换的方式、参数（如平移的距离、旋转的角度等），直到图案还原成功。 【典例5】如图，图形A（    ）得到图形B。 A．先绕点顺时针旋转，再向上平移5格，最后向右平移4格 B．先绕点逆时针旋转，再向上平移5格，最后向右平移4格 C．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格，最后向右平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格，最后向右平移5格 【答案】D 【分析】物体或图形沿着直线移动，移动过程中，形状不变、大小不变、自身方向不变，只改变位置，这种运动就是平移。物体或图形绕着一个固定点（中心）做圆周转动，这种运动叫作旋转。先观察图形A到图形B的旋转方向与角度，再确定平移的方向和格数，从而选出正确选项。 【解答】观察图形A和图形B的方向关系，图形A绕点O逆时针旋转后，能与图形B旋转后的方向一致，因此可以绕点O逆时针旋转。然后向下平移4格，此时图形位置与图形B的位置在一条水平线上；再向右平移5格，最终与图形B重合。 【专项训练1】观察下图，回答问题。 图①是经过怎样的运动分别变成图②、图③和图④的？ 【答案】见详解 【分析】物体或图形平移后，它们的形状、大小都不改变，只是位置发生了变化。确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。 决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。据此判断。 【解答】图①变成图②，将图形M向下平移2格； 图①变成图③：将图形M先向右平移2格，再绕点B按顺时针方向旋转90°，最后向下平移1格；（答案不唯一） 图①变成图④：将图形M 先向右平移2格，再绕点A 按逆时针方向旋转90°，最后向下平移1格。（答案不唯一） 【专项训练2】   图A是小博用零花钱给妹妹买的一套拼图其中的一张，现在把打乱的图A拼成图B，请你利用平移或旋转的知识说明操作过程。 【答案】见详解 【分析】观察四张小图可以发现，图①是小猴身体下方右侧，应在大图的左下角；图②是小猴身体下方左侧，应在大图的右下角；图③是小猴脸部右侧，应在大图的左上角；图④是小猴脸部左侧，应在大图的右上角；通过平移和旋转运动，把左图还原成右图。 旋转是指在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。 平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的运动叫做图形的平移。 【解答】图①向下平移一格到右图的左下角处； 图②先向下平移一格，绕自己的中心顺时针旋转90°，到右图的右下角处； 图③先向上平移一格，绕自己的中心逆时针旋转90°，到右图的左上角处； 图④向上平移一格到右图的右上角处； 这样左图还原成右图。 【专项训练3】方格图中，卡片是怎样运动到的位置的？请用数学语言把它的运动过程写出来。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】观察卡片可知此图形状，大小没变，只是位置发生了变化，由旋转和平移的性质可知，此图是通过旋转、平移得到；据此解答。 【解答】答：首先将卡片绕A点顺时针旋转90°，再向右平移1个格子，再向下平移6个格子，就运动到了最后卡片的位置。（答案不唯一） 【点睛】解答此题的关键是掌握旋转、平移的性质并熟悉图形特征。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 图形的运动及图案的还原（解决问题专项讲义） 题型01 作平移后的图形 题型02 作旋转后的图形 题型03 补全轴对称图形 题型04 平移、旋转和轴对称的综合应用 题型05 图案的还原 题型01 作平移后的图形 一、基础作图逻辑 在方格图中作平移后的图形，需先确定原图形的各个关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个角点等），把这些点按照指定的平移方向和距离进行移动，最后将移动后的点顺次连接起来，就得到平移后的图形。平移前后图形的形状和大小都不改变，只是位置发生变化。 二、特殊情况处理技巧 在一些复杂图形平移时，可将图形拆分成多个简单部分，对每个部分的关键点分别进行平移操作。例如组合图形，可把它的各个组成部分的关键点依次平移，再连接成完整图形。 三、图形平移规律应用 ‌判断平移方向和距离‌：已知平移前后的两个图形，先确定哪个是平移前的图形，哪个是平移后的图形，从而确定平移的方向；确定平移的距离时，可以找到两个图形的对应点，数一数两个对应点之间的方格数，即为平移的距离。 【典例1】画出将平行四边形向下平移四格后的图形。 【专项训练1】请分别画出向右平移7格和向下平移5格后得到的图形。 【专项训练2】把图A向右平移11格，再向下平移1格，得到图A'；把图B向左平移6格，再向上平移4格，得到图B'。 【专项训练3】把三角形向右平移4格，再向上平移3格。 【专项训练4】按要求画一画。 （1）画出小鱼先向下平移3格，再向右平移3格后的图形。 （2）画出小船先向左平移7格，再向上平移2格后的图形。 【专项训练5】在方格纸上画出平移后的图形。 （1）将图A向右平移6格后，再向下平移3格。 （2）将图B向上平移4格后，再向左平移6格。 题型02 作旋转后的图形 一、基础作图逻辑 明确旋转三要素：确定旋转中心（图形围绕哪个点旋转）、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度（如90°、180°等）。 选取关键点：一般选取图形的顶点等关键位置的点作为参考点。 旋转关键点：将每个关键点绕旋转中心按照指定的方向和角度进行旋转。具体做法是通过画直角等方式确定关键点旋转后的位置（例如旋转90°时，利用方格纸的直角边辅助确定方向和距离等）。 连接关键点：把旋转后得到的关键点依次连接起来，形成旋转后的图形。 二、特殊作图技巧 单线定位法：对于一些较复杂图形的旋转，可以先找一条对称轴的线（不一定是真正的对称轴，只是辅助线），先将这条线绕旋转中心旋转指定角度，再根据这条线的位置去完善整个图形的旋转。例如在一个不规则图形中，选取一条较为明显的边作为这条辅助线，先旋转这条边，再根据图形的形状特征去确定其他部分的位置。 方格纸辅助法：如果是在方格纸上作图，利用方格纸的方格和直角，能更方便地确定旋转的方向和距离。比如旋转90°时，在方格纸上可以很直观地看出关键点移动的方向和格数。 三、图形旋转的性质规律应用 图形旋转后，其形状、大小都不会发生变化，变化的只是位置和方向。在作图前可以利用这一性质对最终图形的大致样子有一个预判，比如图形的边长长度不会改变等。 对应线段的长度相等，对应角的度数相等。在连接旋转后的关键点形成图形时，可以通过检查对应线段和对应角是否符合这一性质，来检验所作图形是否正确。例如一个三角形旋转后，其三条边的长度在旋转前后应该是一样的。 【典例2】如图，画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形。 【专项训练1】按要求画一画。 （1）画出小旗绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （2）画出小旗绕点O逆时针旋转90°后的图形。 【专项训练2】分别画出四边形ABCD绕点C按顺时针方向和逆时针方向旋转90°后得到的图形。 【专项训练3】画出小旗向右平移5格后的图形，以小旗原图O点顺时针旋转90°后的图形。 【专项训练4】把图①绕点O逆时针旋转90°，得到图②；把图①绕点O顺时针旋转90°，得到图③，画出图②和图③。 【专项训练5】请画出三角形A绕点O顺时针旋转90°后得到的图形B。 题型03 补全轴对称图形 一、理解轴对称图形概念 轴对称图形是指沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就是它的对称轴。在解决实际问题补全轴对称图形时，要明确图形的对称轴位置，这是关键前提，比如有的图形对称轴是水平方向，有的是垂直方向，还有的是斜向的。 二、补全轴对称图形步骤 ‌找关键点‌：仔细观察已有的图形部分，确定其中的关键点，这些关键点通常是图形的顶点、线段的端点等。例如，对于三角形形状的部分，其三个顶点就是关键点；如果是长方形，那四个顶点以及长和宽的中点等都可作为关键点。 ‌确定对称点‌：根据轴对称图形的特征，过每个关键点作对称轴的垂线，并测量关键点到对称轴的距离。在对称轴的另一侧，按照相同的距离确定出各关键点的对称点。比如，若一个关键点到对称轴的水平距离是3个方格长度，就在对称轴另一侧水平距离3个方格长度的位置确定其对称点。若关键点在对称轴上，那么它的对称点就是它自身。 ‌连接对称点‌：将确定好的所有对称点，按照原图形的连接顺序依次连接起来，即可得到完整的轴对称图形。例如，原图形中是依次连接三个顶点形成三角形，那么在补全时也按照同样的顺序连接对称点形成对应的三角形。 【典例3】以虚线为对称轴，画出图形的另一半。 【专项训练1】以虚线为对称轴，画出下面图形的轴对称图形。 【专项训练2】以虚线为对称轴，画出轴对称图形的另一半。 【专项训练3】画出下图中图形的另一半轴对称图形。 【专项训练4】以虚线为对称轴，画出下图的轴对称图形。          【专项训练5】用三种不同的方法，再补上一个小方格涂上阴影，使图形成为轴对称图形。 题型04 平移、旋转和轴对称的综合应用 一、基础操作逻辑 在方格纸中完成平移、旋转和轴对称的综合任务时，遵循“先定点、后变换、再连线”的统一流程：先锁定图形的所有关键顶点，按照题目指定的顺序依次完成每一项图形运动操作，每一步都只对关键点进行对应变换，最后将变换后的所有点按原图形的连接顺序顺次相连，全程保证图形的形状、大小不发生任何改变。 二、特殊速作技巧 ‌单顶点锚定法‌：处理多步连续变换时，只需先选定1个核心顶点完成全部指定操作，再依据“图形全等”的特征，直接参照原图形的边长、角度关系，快速补出其余顶点的位置，无需逐个点重复执行所有变换步骤。 ‌辅助线简化法‌：进行90°这类特殊角度的旋转时，可先选取图形的一条关键边作为辅助线，先将这条边完成旋转操作，再以这条边为参照，快速定位整个旋转后图形的剩余部分，大幅降低作图难度。 三、变换规律预判 平移操作全程不改变图形的形状、大小和自身朝向，仅改变整体位置，操作前可预判变换后图形的方向和原图形完全一致，避免出现旋转类的错误。 旋转操作仅改变图形的朝向和位置，图形的边长、内角大小完全不变，操作前可预判旋转后图形的整体轮廓不会发生变形，辅助检验作图结果。 轴对称变换后，图形与原图形沿对称轴完全重合，对应点的连线必然垂直于对称轴，操作前可预判对称点的位置关系，提前排查明显的位置偏差。 【典例4】 （1）画出图形A关于虚线l的轴对称图形B。 （2）把图形B先向右平移10格，再向下平移5格得到图形C，画出图形C。 （3）画出图形A绕点O逆时针旋转90°后的图形D。 【专项训练1】把图①绕点O顺时针旋转90°，得到图②；把图①向右平移8格，得到图③。 【专项训练2】按要求画图。 （1）以直线MN为对称轴，画出图形①的轴对称图形②。 （2）将图形①绕点O逆时针旋转90°，得到图形③；再将图形③向右平移8格得到图形④。 【专项训练3】实践操作，按要求完成下面各题。 （1）画出将图形A向右平移8格得到图形B。 （2）画出图形A绕点O顺时针旋转90°得到图形C。 （3）以虚线a为对称轴，画出图形A的轴对称图形D。 【专项训练4】先根据对称轴补全下面这个轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移10格后的图形。 【专项训练5】 “实践操作”画一画。 （1）画出三角形绕点按顺时针方向旋转后的图形。 （2）画出三角形向左平移4格后的图形。 题型05 图案的还原 一、图案还原核心要点 ‌基础变换逻辑‌：图案还原本质是图形变换的逆过程，运用轴对称、平移、旋转等几何变换手段，将经过分割、打乱或变形的图案恢复为原始完整图案。 ‌特殊还原技巧‌：对于一些具有明显特征的图案，若左右或上下两部分完全重合但方向相反，可优先考虑轴对称变换；若图形仅位置发生移动，形状、大小、方向均未改变，可判断为平移变换；若图形绕某一点转动，形状大小不变但方向改变，则是旋转变换。 ‌变换规律‌：轴对称变换要确定对称轴位置和对应点；平移变换要明确方向和距离；旋转变换要找准旋转中心、旋转方向和旋转角度。在还原时，要根据这些变换的特征和要素进行逆向操作。 ‌简便还原适配‌：在复杂图案还原中，可综合运用多种变换。例如，先通过平移将部分图案移动到大致位置，再利用旋转使其方向契合，最后借助轴对称完善整体图案。 二、图案还原一般步骤 ‌观察与分析‌： 整体感知：先观察最终想要还原的目标图案是什么形状、具有什么特征（如正方形、长方形、特定花纹等）。 局部识别：分析手中持有的“碎片”或“当前状态”的特征，比如边缘形状、特殊标记、颜色区块等。 寻找参照：找出图形中的特殊标记、颜色区块或几何特征线作为参照，帮助确定变换方式和位置关系。 ‌尝试还原‌：根据观察分析的结果，选择合适的变换方式进行尝试。比如，若发现“碎片”边缘有镜像关系，尝试以某条直线为对称轴进行翻折；若“碎片”位置与目标位置有明显的格数差异，尝试平移；若“碎片”方向与目标方向不一致，尝试旋转。 ‌验证调整‌：每进行一步变换后，都要与目标图案进行对比验证，看是否符合预期。如果不符合，及时调整变换的方式、参数（如平移的距离、旋转的角度等），直到图案还原成功。 【典例5】如图，图形A（    ）得到图形B。 A．先绕点顺时针旋转，再向上平移5格，最后向右平移4格 B．先绕点逆时针旋转，再向上平移5格，最后向右平移4格 C．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格，最后向右平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格，最后向右平移5格 【专项训练1】观察下图，回答问题。 图①是经过怎样的运动分别变成图②、图③和图④的？ 【专项训练2】   图A是小博用零花钱给妹妹买的一套拼图其中的一张，现在把打乱的图A拼成图B，请你利用平移或旋转的知识说明操作过程。 【专项训练3】方格图中，卡片是怎样运动到的位置的？请用数学语言把它的运动过程写出来。 学科网（北京）股份有限公司 $