2.2.2 有理数的乘法运算（第二课时） 同步练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，覆盖有理数乘法运算律、符号法则及实际应用。特色：分层设计清晰，基础巩固与能力提升衔接紧密，通过情境化问题培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |过基础|运算律认知、符号法则、简单应用|选择填空为主，如运算律识别题，强化概念理解与基本运算| |过能力|运算律综合应用、符号推理、实际问题|含方案比较等解答题，如商场促销计算，提升推理与问题解决能力|

2.2.2 有理数的乘法运算（第二课时）学习目标、知识点总结与练习题设计（含详情解析） （建议作答时间：45分钟） 第一部分 学习目标与知识点总结 学习目标 1. 掌握有理数乘法运算律（交换律、结合律、分配律），能运用运算律简化计算； 2. 掌握多个有理数相乘的符号法则，能快速判断积的符号； 3. 能灵活运用乘法运算律解决实际问题和简便运算。 知识点一：有理数乘法运算律 乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 口诀： 交换律，换位置；结合律，改顺序；分配律，拆括号，逐项乘，再求和。 知识点二：多个有理数相乘的符号法则 几个不为  的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： · 负因数的个数为奇数时，积为负； · 负因数的个数为偶数时，积为正。 几个数相乘，如果其中有因数为 ，那么积为 。 口诀： 负因数为奇负，负因数为偶正；有零相乘积为零。 知识点三：乘法运算律的简便应用 常见简算技巧： 1. 凑整法： 将乘积为整数（如 ，，）的数先结合； 2. 约分法： 分数与整数相乘时先约分再计算； 3. 分配律逆用： ，提取公因数； 4. 符号优先： 先确定积的符号，再计算绝对值。 第二部分 练习题巩固（过基础） 知识点一：有理数乘法运算律的认知与运用 1. [2025·广东广州·越秀区期末]（选择题） 下列等式运用了乘法结合律的是（ ） A.  B.  C.  D.  2. [2025·四川成都·锦江区期中]（选择题） 计算  的简便方法是（ ） A. 先算 （交换律），再计算 B. 先算 ，再确定符号 C. 先约分 ，再确定符号为正 D. 以上都可以 3. [2026·湖北武汉·江汉区月考]（选择题） 下列计算中，运用乘法分配律的是（ ） A.  B.  C.  D.  4. [2025·江苏南京·秦淮区期末]（填空题） 在括号内填入适当的数，使等式成立： ，这里运用了乘法 ________ 律。 5. [2026·浙江杭州·滨江区期中]（填空题） 将  变形为  时，运用的运算律是 ________。 6. [2025·山东济南·历城区期末]（解答题） 用简便方法计算下列各题，并注明每一步运用的运算律： （1） （2） 知识点二：多个有理数相乘的符号法则 7. [2026·陕西西安·新城区期中]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  8. [2025·湖南长沙·雨花区期末]（选择题）  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  9. [2026·福建福州·晋安区模拟]（选择题） 若 ，且 ，，则  的符号为（ ） A. 正  B. 负  C. 无法确定  D. 可能为正也可能为负 10. [2025·安徽合肥·瑶海区期中]（填空题） 计算：。 11. [2026·辽宁沈阳·皇姑区期末]（填空题） 若 ，其中有  个负数，则 、、、 中正数有 ________ 个。 12. [2025·江西南昌·青山湖区期末]（解答题） 计算下列各题： （1）； （2）； （3） 知识点三：乘法运算律的实际应用 13. [2026·广东深圳·罗湖区期末]（选择题） 某商场某商品原价  元，先提价 ，再打  折出售，实际售价为（ ） A.  元  B.  元  C.  元  D.  元 14. [2025·河南郑州·管城区期中]（选择题） 某长方形操场长  m，宽  m，扩建后长增加 ，宽增加 ，则扩建后面积比原来增加（ ） A.   B.   C.   D.  15. [2026·山东青岛·胶州市期末]（选择题） 某工厂计划生产  个零件，实际每天多生产 ， 天共多生产零件（ ） A.  个  B.  个  C.  个  D.  个 16. [2025·吉林长春·二道区期末]（填空题） 一箱苹果重  kg，每千克售价  元，买  箱共需 ________ 元。 17. [2026·贵州贵阳·云岩区期中]（填空题） 已知 ，，，则 。 18. [2025·广西南宁·西乡塘区期末]（解答题） 某快递公司收费标准如下：首重  kg 收费  元，续重每  kg 收费  元（不足  kg 按  kg 计算）。小明寄了一个  kg 的包裹，小李寄了一个  kg 的包裹。 （1）小明和小李各需付运费多少元？ （2）若公司推出优惠活动：总运费打  折，则小明和小李各需付运费多少元？ （3）若两人合寄一个包裹（总重量为  kg），运费是多少元？比两人分别寄节省多少元？（用乘法运算律说明） 第三部分 过能力（ 选 +  填 +  解答） 1. [2025·北京·西城区期末]（选择题） 下列各式中，运用乘法分配律进行简便计算最合理的是（ ） A.   B.  C.   D.  2. [2026·上海·浦东新区期中]（选择题） 计算  的简便方法是（ ） A. 从左到右依次计算   B. 先算 ，再算  C. 先算 ，再算  D. B 和 C 均可 3. [2025·天津·和平区期末]（选择题） 若 ，则（ ） A.   B. 、、 中至少有一个为  C. 、、 全为   D.  且  且  4. [2026·重庆·沙坪坝区期末]（选择题） 在计算  时，下列变形正确的是（ ） A.  B.  C.  D. 以上都正确 5. [2025·江苏苏州·工业园区期中]（选择题） 若 ，，，且 ，则  的最小值为（ ） A.   B.   C.   D.  6. [2026·广东佛山·南海区期末]（选择题） 某商品原价  元，先涨价 ，再打  折，最终售价为（ ） A.  元  B.  元  C.  元  D.  元 7. [2025·浙江宁波·海曙区模拟]（选择题） 下列说法中，错误的是（ ） A. 三个负数相乘，积为负数 B. 两个负数相乘，积为正数 C. 负因数的个数为偶数时，积为正数 D. 几个不为  的数相乘，负因数的个数为奇数时，积为正数 8. [2026·四川成都·高新区期中]（选择题） 若 、、 为有理数，且 ，，则 、、 中负数的个数是（ ） A.  个  B.  个  C.  个  D.  个 9. [2025·湖北武汉·武昌区期末]（填空题） 计算：。 10. [2026·湖南长沙·开福区期中]（填空题） 在算式  中，可以先约分再相乘，结果为 ________。 11. [2025·福建厦门·思明区期末]（填空题） 若 、 互为相反数，、 互为倒数，则 。 12. [2026·山东济南·槐荫区期中]（填空题） 计算：（用乘法分配律简算）。 13. [2025·陕西西安·雁塔区期末]（填空题） 已知 ，，，则 ，，二者是否相等？________（填"是"或"否"），这里运用了乘法 ________ 律。 14. [2026·广东广州·天河区期末]（解答题） 某水果店运进一批水果，进价为每千克  元，售价为每千克  元。 （1）若卖出  kg，盈利多少元？（盈利 = 售价 - 进价） （2）若卖出  kg，请用含  的式子表示盈利金额； （3）若卖出  kg 后，剩余  kg 因变质按进价一半出售，则总盈亏情况如何？ 15. [2025·江苏南京·建邺区期末]（解答题） 阅读材料：乘法分配律  可以逆用，即 。 〖运用〗用简便方法计算下列各题，并注明逆用分配律的过程： （1）； （2）； （3）。 16. [2026·浙江杭州·上城区期末]（解答题） 某商场进行促销活动，有两种优惠方案： 方案一：购物满  元打  折； 方案二：购物满  元减  元。 （1）若购买原价  元的商品，两种方案各需付款多少元？ （2）若购买原价  元（）的商品，请用含  的式子表示两种方案的实际付款金额； （3）当原价为多少元时，两种方案付款金额相同？ 参考答案（含详细分析解析） 一、过基础 知识点一：有理数乘法运算律的认知与运用 1.【答案】 B 【考点】乘法运算律的识别 【分析】加法有交换律和结合律，乘法同样有交换律和结合律。乘法交换律是交换因数的位置，乘法结合律是改变运算顺序，乘法分配律是 。 【解析】A：，交换了  和  的位置，是乘法交换律； B：，改变了括号的位置（运算顺序），是乘法结合律； C：，是乘法分配律； D：，是  的乘法性质。 故选 B。 【方法点睛】识别运算律的关键：① 交换律：看因数的位置是否改变；② 结合律：看括号的位置（运算顺序）是否改变；③ 分配律：看是否有  的形式展开为 。 2.【答案】 D 【考点】乘法运算律的灵活选择 【分析】简便计算的标准是：计算步骤少、不容易出错。对于分数与整数相乘，有多种简算路径。 【解析】A 先交换位置再用交换律，正确；B 先确定符号（负负得正），再计算 ，正确；C 先约分再计算，同样正确。三种方法都对，选 D。 【方法点睛】 的核心是：① 符号为 ；② 约分 。简算路径不唯一，关键是结果正确、过程简便。 3.【答案】 C 【考点】乘法分配律的识别 【分析】乘法分配律的特征是：一个数乘以两个数的和（或差），展开为分别相乘再相加（或相减）。 【解析】A 是乘法交换律；B 是乘法结合律；C 是 ，是乘法分配律；D 是  的乘法性质。故选 C。 【方法点睛】分配律的关键词是"拆"：把括号里的加（减）法拆成多个乘法再相加（减）。 4.【答案】 ；交换 【考点】乘法交换律的直接运用 【解析】，交换了两个因数的位置，运用了乘法交换律。 5.【答案】 乘法结合律 【考点】乘法结合律的识别 【解析】 变形为 ，改变了括号的位置（先算  和  相乘），是乘法结合律。 6.【答案及解析】 （1） （乘法交换律、结合律，将  和  结合） （同号相乘得正，） 。 （2） （乘法交换律、结合律） （同号得正） （约分： 和  约， 和  约） 。 【方法点睛】多个数相乘，先通过交换律将易约分或易凑整的数放在一起，再利用结合律先算。关键步骤是"符号先行、绝对值后算、能约则约"。 知识点二：多个有理数相乘的符号法则 7.【答案】 B 【考点】多个有理数相乘的符号法则 【分析】三个数相乘，负因数的个数决定积的符号。 和  两个负数，负因数个数为偶数，积为正。 【解析】。故选 B。 【方法点睛】遇到多个数相乘，先数负因数的个数：偶数个负因数为正，奇数个负因数为负。确定符号后再计算绝对值的乘积。 8.【答案】 C 【考点】含有因数  的乘法 【解析】几个数相乘，只要有一个因数为 ，积就为 。。故选 C。 【方法点睛】多个数相乘时，先观察是否有  因数。若有 ，直接写 ，无需计算其他因数。 9.【答案】 A 【考点】符号法则与逆向推理 【分析】，说明三个因数的乘积为正。 为正， 为负。正数乘负数得负数，所以 。要使最终积为正， 必须为负（负数乘负数得正）。 【解析】，。因 ，所以 。故选 B。 【方法点睛】符号推理的方法：先把已知符号的数相乘，判断中间结果，再根据最终符号推出未知数的符号。 10.【答案】  【解析】负因数有  个（奇数个），积为负。，所以结果为 。 11.【答案】  【解析】共有  个因数，其中  个为负数，则正数有  个。 12.【答案及解析】 （1） （交换律、结合律， 和  凑整） 。 （2） 负因数有  个（、、），奇数个，积为负。 绝对值：，结果为 。 （3）（含有  因数，直接得 ）。 知识点三：乘法运算律的实际应用 13.【答案】 B 【考点】百分数应用中的乘法运算 【分析】先提价 ： 元；再打  折： 元。 【解析】（元）。故选 B。 【方法点睛】连续变化问题（提价后再打折）：，可先算 ，再用乘法结合律简化计算。 14.【答案】 C 【考点】面积变化中的乘法运算 【分析】原面积 。扩建后长 ，宽 。 扩建后面积 。 增加了 。故选 C。 【方法点睛】面积变化类问题：新面积 = 原面积 × 长变化率 × 宽变化率。，即增加了 。 15.【答案】D 16.【答案】  【解析】（元）。或先算每箱价格  元， 箱  元。 17.【答案】  【解析】。 18.【答案及解析】 （1）小明： kg 按  kg 计费， 元； 小李： kg 按  kg 计费， 元。 （2）小明打  折： 元； 小李打  折： 元。 （3）合寄： kg 按  kg 计费， 元。 分别寄： 元。 节省： 元。 用运算律说明：，合寄为 。关键在于合寄少算了  个首重。 答：（1）小明  元，小李  元；（2）小明  元，小李  元；（3）合寄  元，节省  元。 二、过能力 1.【答案】 C 【考点】乘法分配律的适用场景识别 【分析】乘法分配律主要用于  或  的形式，适用于括号内为和差运算的情况。 【解析】A 是乘法交换律；B 可以拆成 ，也用了分配律；C 是 ，运用逆用分配律最为典型；D 是乘法结合律。选 C。 【方法点睛】判断何时用分配律：当有相同因数出现时（如 ），优先考虑逆用分配律；当接近整十整百时，考虑正用分配律（如 ）。 2.【答案】 D 【考点】乘法交换律和结合律的灵活运用 【解析】：B 先算  得 ，再乘  得 ；C 先算  得 ，再乘  得 。两种方法都对。选 D。 【方法点睛】三个数相乘，通过交换律将任意两个数先结合都可以，关键是优先选择乘积为整数的组合。 3.【答案】 B 【考点】 的乘法性质 【解析】，只要 、、 中至少有一个为  即可。不一定全为 。故选 B。 4.【答案】 D 5.【答案】 B 【考点】绝对值与符号法则的综合运用 【解析】，，。 ，说明负因数个数为偶数（ 个或  个）。 要让  最小，应取较多负数，即取  个负数   个正数。 取 ，，（两个负数，积为正），和为 ； 取 ，，，和为 ； 取 ，，，和为 。 最小值为 。故选 B。 【方法点睛】绝对值问题 + 符号条件的综合题，核心是：① 列出所有可能；② 用符号条件筛选；③ 在符合条件的组合中求最值。 6.【答案】 A 【考点】连续变化中的乘法分配律 【解析】。故选 A。 【方法点睛】，相当于先提价  再打  折，相当于原价的 ，比原价低 。 7.【答案】 D 【考点】符号法则的准确表述 【解析】A 正确：三个负数相乘，负因数个数为 （奇数），积为负；B 正确：两个负数相乘，负因数个数为 （偶数），积为正；C 正确：负因数为偶数个，积为正；D 错误：负因数的个数为奇数时，积应为负数，不是正数。故选 D。 【方法点睛】符号法则口诀："负负得正，负负负得负"——偶数个负号得正，奇数个负号得负。 8.【答案】 C 【考点】符号推理 【解析】，说明三个数不可能全为正或全为负（否则和不可能是 ）。，说明积为正，负因数个数为偶数（ 个或  个）。若负因数个数为 ，则全为正，，不符合；所以负因数个数为 ，即有  个负数。故选 C。 【方法点睛】同时满足"和为 ""积为正"两个条件：积为正要求偶数个负数；和为  不可能全为正或全为负，所以只能是有  个负数、 个正数。 9.【答案】  【解析】 负因数有  个（、、），奇数个，积为负。 绝对值：。 结果为 。 【方法点睛】凑整法：，。多个数相乘时，主动寻找能凑整的配对。 10.【答案】  【解析】 负因数有  个（偶数），积为正。 先约分：。 【方法点睛】分数连乘：先确定符号，再将所有分子连乘、所有分母连乘，最后约分。 11.【答案】  【解析】、 互为相反数 ； 、 互为倒数 ； 。 12.【答案】  【解析】。 【方法点睛】提取公因数：，当两项中有相同因数时，逆用分配律使计算简便。 13.【答案】 ；；是；结合 【解析】； ； 二者相等，运用了乘法结合律。 14.【答案及解析】 （1）每 kg 盈利  元， 元； （2）盈利金额  元； （3）卖出  kg 收入： 元； 剩余  kg 按进价一半出售：进价的一半为  元/kg，收入  元； 总收入  元； 总成本  元； 盈利  元。 答：（1）盈利  元；（2） 元；（3）总共盈利  元。 【方法点睛】分配律在应用题中的体现：总收入 ，总成本 ，盈利  元。 15.【答案及解析】 （1） （逆用乘法分配律，提取公因数 ） 。 （2） （将  拆分为 ） （乘法分配律） 。 （3） （逆用乘法分配律） 。 【方法点睛】逆用分配律的关键：找到公因数。公因数可能是正数、负数或分数，提取后将括号内的数相加减。 16.【答案及解析】 （1）方案一： 元； 方案二： 元。 （2）方案一： 元；方案二： 元。 （3）令 ， ，，。 当原价为  元时，两种方案付款金额相同。 答：（1）方案一  元，方案二  元；（2）方案一  元，方案二  元；（3）原价为  元时，两种方案付款金额相同。 【方法点睛】方案比较问题：先用代数式表示两种方案的实际付款，再令二者相等列方程求解。注意验证  是否符合题意中的条件（）。 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $