第四单元 分数的应用-思维拓展【导图知识卡片+知识梳理+11个考点讲练+10个奥数拓展+真题难度分层演练 共62题】-2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统梳理分数应用知识体系，将基础运算、增加减少问题、多场景应用等模块按“概念-方法-应用”逻辑组织，用框架图呈现分数混合运算顺序、单位“1”确定等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，考点讲练覆盖连续求分率等11个高频考点，奥数拓展通过倒推法等培养推理意识，真题演练分基础与能力层，助力不同学生提升运算能力与模型意识，为教师精准教学提供系统支持。

2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 第四单元分数的应用『举一反三知识讲练」』（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+11个考点讲练+10个奥数拓展+真题难度分层演练共62题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络. 2 知识梳理温故知新。 3 知识点一分数的应用（一)：基础运算与简单关系.... .3 1.分数混合运算的顺序与法则. 2.分数乘法运算律的运用· 3.“求一个数的几分之几是多少”的模型（连续求分率).，4 知识点二分数的应用（二)：增加与减少的问题.………4 1.核心概念：“增加/减少了”Vs“是原来的” 2解决“比一个数多/少几分之几”的问题..... 3.体积变化的实际应用.…5 第1页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 知识点三分数的应用（多场景问题)… 1.经济利润问题.......... 2.比较问题（谁比谁多/少)..… 6 3.资源分布与统计问题.… ……5 4.行程与长度问题....… ....5 考点讲练真题汇总………… 6 高频考点一分数的连乘运算… 高频考点二连续求一个数的几分之几是多少的问题.. 高频考点三分数的连除运算..… .7 高频考点四分数的乘、除法的混合运算.· …7 高频考点五求比一个数多/少几分之几的数是多少 高频考点六已知总量及一部分分率，求另一部分量.8 高频考点七整数乘法运算定律推广到分数乘法…9 高频考点八分数除法相关的简便计算.......9 高频考点九已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数..........10 高频考点十已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量.. 10 高频考点十一运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题.....11 难点突破奥数拓展 11 奥数拓展一分数的连乘运算… 11 奥数拓展二连续求一个数的几分之几是多少的问题.. 。。。。。。 12 奥数拓展三分数的乘、除法的混合运算...· 12 奥数拓展四求比一个数多/少几分之几的数是多少. 13 奥数拓展五已知总量及一部分分率，求另一部分量. 13 奥数拓展六整数乘法运算定律推广到分数乘法..........14 奥数拓展七分数除法相关的简便计算………… 14 奥数拓展八已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数……… 15 奥数拓展九已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量.….......15 奥数拓展十运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题.…16 优选真题实战演练............ …….17 【基础通关】 ，2，，，，，，，，，,，，，17 第2页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【能力提升】 ..19 导图指引梳理脉络 (一、分数的应用（一） 北师大版数学六年级上册第四单元 三、分数的应用（多场景问题） 1,航模小组与气象小组、摄影小组人数关系 《分数的应用》单元复习思维导图 三分数应用问题 航模小组——一之 12人的是4人 服装店以每套0元的价格购进 显装资配的缆货壳分死 ，后求以每套10元的零售价】 气象小组人是00000000000 航模小组的人数是气象小组由 ·气比笑笑重几分之几？ ·笑笑的体重是多少千克 的 影小字 12 航模小级的人数是摄影小组的子 2计算与问题解决 ◆先说出运算顺序，再计算 2.分数混合运算 大解端展于我国国家一级保护动物。2021年我国野生大黎端的数量约1800只 12×x是=(12×)*是 12x(仔*4) 先求航模小组的人数是 大约子分布在四川省内，分布在四川省外的野生大袋猫数量大约是多少 气象小组的几分之儿 =4×寻=3（人） 12x■3（人） 3.长度、路程问 3.分数乘法远算律的运用 野能全程12km,其中环山路段占海昂段占名，其余的是公路路段 分数泥合运算的顺序与整数 速试着做做 混合运算的赁序一样。 (1)环山路段比海滨路段长多少千米？ 2+号+景=音+0×号=（骨+》 分数的应用 (2)如果明年寄跑全积延长吾，将是多少千米？ 4.分数混合运算的顺序 注意鹅1除以一个不为零的数，等于聚这个数的调数。一戴完后可以再检查一海 四、整理与复习 1.知识框架图 2.欧擦与生活问题 +兰+ 分数的应用 我看到一别清息：第七大人香 查，全国人口比幕六次人口普查增 计 538%,538%是什么数7和分数有 美系吗？ 二、分数的应用（二） 活有形序司算得 夫环同题实际操按墙果 3:解决问暖簧酵 1。“结成冰后的体积与原来水的体积”的关系 2,解决问题 母位保合送量分台法运草律与整数运排贵数 有5m的水 6学 金腿新 水的体职 45m 五、巩固与应用（典型题） 的体积 冰的体服 50m 50m 1.看围列式计算 3。体期气问题 (2)排缘 结成冰后的体积 水的体积比冰的 36个 ”的冰化成水后，体积大减少T 革果■ 增加了5cm 依少5cm 香预已 足球L 4.人数与分数 3.体积变化的应用 位球个 (2)有45名学生.其中的学生参加检适动会的各项比 (1)18血的水结成冰后，体积增加，冰的体积是多少立方分米 2.分数计算 其的学生队。)有多少名员 (2)冰的体积比原来水的体积约增加了几分之几？ 5.应用题蜂合 2号+写)2*（是+） 号×6×司 一件共500字，气已经染入了这份脑件的号 还多少字没录入？ 知识梳理温故知新 w■✉iw✉ 知识点一分数的应用（一）：基础运算与简单关系 本部分主要复习分数的混合运算规则，以及基础的分数乘法应用题模型，是后续复杂应用题的基石。 1.分数混合运算的顺序与法则 运算顺序： 分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序完全一致。 先算乘除，后算加减。-有括号的先算括号里面的。 同级运算从左往右依次计算。 第3页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 计算技巧：连乘/连除/乘除混合：可以一次性约分后再计算，简化过程。 例如：12×1×3 二×二，可以先约分再乘。 34 除法转化：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。这是进行分数除法运算的关键步骤。验算：做 完后可以通过逆运算或估算进行检查，确保结果准确。 2.分数乘法运算律的运用 适用性：整数乘法的交换律、结合律、分配律对于分数乘法同样适用。 简便计算示例：上×《 5.5 可以利用分配律展开计算。3÷二×可以转化为乘法后，利用结 7 814 8107 合律或交换律进行简算。 3.“求一个数的几分之几是多少”的模型（连续求分率） 图示理解：通过线段图理解三个量之间的关系（如航模小组、气象小组、摄影小组的人数关系）。 解题思路： 分步法：先求中间量（如航模小组人数是气象小组的几分之几），再求最终量。 综合法：直接列连乘算式，如12××3，表示12人的是4人，4人又是摄影小组的子 34 知识点二分数的应用（二)：增加与减少的问题 这一部分重点解决“比一个数多（或少）几分之几”的实际问题，是本单元的难点。 1.核心概念：“增加/减少了”vs“是原来的” 情境案例：水结成冰体积变化（水45cm→冰50cm)。 关键区分：增加了多少：指差值(50-45=5cm3)。 增加了几分之几：指差值占单位“1”的比例(5/45=1/9)。 是原来的几分之几：指现量占原量的比例(50/45=10/9)。 2.解决“比一个数多/少几分之几”的问题 第4页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 1 方法一（先求差值）：原量+原量×分率=现量。例如：45+45×二=50。 9 y 方法二（先求总分率）：原量×(1+分率)=现量。例如：45×(1+二)=50。 9 逆向思维（已知现量求原量)：如果已知冰的体积求水的体积，则用除法或方程：现量÷(1+分率)= 原量。 3.体积变化的实际应用 题目类型：己知水的体积求结冰后的体积（乘法)，或已知增加的体积求原体积（除法/方程）。 易错点：找准单位“1”。水结成冰，单位“1”是水；冰化成水，单位“1”是冰。 知识点三分数的应用（多场景问题） 将分数运算应用到生活实际的不同领域中，考查知识的迁移能力。 1.经济利润问题 进价与售价：涉及“提高了百分之几”或“几分之几”。 公式：（售价-进价）÷进价=提高的分率。 2.比较问题（谁比谁多/少) 典型题型：“淘气比笑笑重几分之几？” 解法：（淘气体重-笑笑体重）÷笑笑体重。注意除数（单位“1”）是“比”字后面的量。 3.资源分布与统计问题 例题：大熊猫数量分布。 解法：总量×对应分率=部分量；或者总量×(1-某部分分率)=另一部分量。 4.行程与长度问题 多段路程：全程被分为几部分（如环山路、海滨路、公路），各占不同分率。 解题策略： 求具体长度：总长×对应分率。 求差值：总长×（分率A-分率B)。 求剩余：总长X(1-分率A-分率B)。 第5页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 考点讲练真题汇总 高频考点一分数的连乘运算 【典例精讲】(25-26六年级上·河南洛阳·期中)计算下面各题。 (1)×18× (2)××号 (2)9÷2÷8 (4)8× 【变式训练】(25-26六年级上·青海果洛·期中)实验小学为了提高学生的环保意识，开展了环保节活 动。小辰做了一张环保宣传手抄报，手抄报的面积是360平方厘米，她用手抄报面积的？介绍“节约资源” 12 的重要性，“减少污染”所占的面积是“节约资源”所占的面积的 ,“减少污染”所占的面积是多少？ 高频考点二连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)随着科技的发展，铁路列车从普通列车、快速列车逐 步发展为高速列车（如“和谐号”“复兴号”）。下面是部分列车运行速度的信息： ①普通列车的运行速度是120千米/时： ②普通列车的运行速度是“和谐号”的 ③“复兴号”的运行速度是快速列车的好 ④快速列车的运行速度是普通列车的。 (1)若要求“复兴号”的运行速度，应选择的信息是（ )。（填序号) 第6页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 (2)请根据所选信息，求出“复兴号”的运行速度。 【变式训练】(26-27六年级上·全国·单元测试)在育才小学举办的树叶创意画活动中，四年级一共制 作了24幅作品，五年级的作品数量是四年级的六年级的作品数量是五年级的？。六年级制作了多少幅作 品？算式24×5×先求的是( )年级的作品数量：算式24×（侣×）先求的是( )年级的作品 6 51 数量是( )年级的几分之几。 高频考点三分数的连除运算 【典例精讲】(24-25六年级下·陕西渭南·期末)某校开展“回收资源巧利用，绿色环保我先行”活动， 五年级学生回收了120个易拉罐，是六年级学生回收易拉罐数量的，六年级学生回收易拉罐的数量占全校 学生回收易拉罐总数量的，则该校一共回收了( )个易拉罐。 A.192 B.216 C.448 D.504 【变式训练】(25-26六年级上·河南洛阳·期中)用递等式计算。 0.4x×4 高频考点四分数的乘、除法的混合运算 【典例精讲】(25-26六年级上·福建厦门·期中)爸爸每天到操场慢跑4圈，现在已经跑了半圈，大约 用了3分钟。照这个速度，爸爸每天慢跑要用多长时间？下面列式错误的是( )。 A.4×(3÷3)B.3÷(÷4) C.(3÷)×4 D.3×(4÷ 【变式训练】(25-26五年级下·广西贵港·期末)一台拖拉机小时耕地公顷，这台拖拉机小时耕地多 少公顷？正确的列式是（ )。 c.8* D.* 第7页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点五求比一个数多少几分之几的数是多少 【典例精讲】(25-26六年级上·湖北孝感·期中)纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周 年阅兵式上，共有19个装备方队、15个徒步方队，一一一，空中梯队一共有多少个？列式为15×(1-引， 横线上应该补充的条件是( A.空中梯队的个数是徒步方队的 B.空中梯队的个数比徒步方队多号 C.空中梯队的个数比装备方队少号 D.空中梯队的个数比徒步方队少号 【变式训练】(25-26六年级下·浙江金华·期末)超市里青菜、萝卜、茄子三种蔬菜单价关系如下图， 下面表述错误的是( )。 青菜： 萝卜： 茄子： 0.4元 A.萝卜的单价比青菜的单价多对 B.(茄子的单价一0.4元)×2=青菜的单价 C.萝卜的单价×+0.4元=茄子的单价D.青菜的单价×=萝卜的单价 高频考点六已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲】(2026·重庆·小升初真题)从4000减去它的2再减去剩下的再减去剩下的好…最后 减去剩下的0最后剩( ）。 【变式训练】(25-26六年级上·浙江杭州·期末)选择一个条件，并列式解答。 仓库有粮食14吨， ,还剩多少吨？ A.第一次运走了吨，第二次运走了剩下的。 B.第一次运走了，第二次运走了剩下的。 (1)我选的条件( ）。 (2)我的解答。 第8页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点七整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)观察下面的计算过程，你发现了什么？ 36×号=(65+0×号 号-13+完-1 1335×35+1X13 35 10×100-8 8 8 8 D7x1o11=。1×101一 107×1=8-101=70 规律点睛：在计算整数与分数相乘时，如果整数与分数的分母相差1，可以先把整数拆成“分母十1”或“分 母一1”的形式，再运用乘法( )律进行简算。 小试牛刀：根据上述方法，计算下列各题。 25×2 号×18 37×号 贵×49 【变式训练】(24-25六年级下·湖北黄石·期末)脱式计算。（能简算的要简算） 152 11 2÷4÷5 5.37-1.47-2.53 89×8 号÷9+×9 高频考点八分数除法相关的简便计算 【典例精讲】(2025六年级上·江苏南京·专题练习)递等式计算。（能简算的要简算） 号×26+号元 品÷[兮)×6 3-*瓷品 (层+号-品)×40 第9页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(24-25六年级上·天津滨海新区·期末)计算下面各题，能简算的要简算。 (后-)×18 +×72 5 是÷7+×号 67×品 4(3--) 高频考点九已知比一个数多少几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】(24-25六年级下·河南平顶山·期末)池塘里有鸭75只， 、 。鹅有多少只？ 如果求鹅的只数的算式是75÷(1+)，那么横线上应补充的条件是（ A.鸭比鹅多号 B.鸭比鹅少号 C.鹅比鸭多 D.鹅比鸭少号 【变式训练】(25-26六年级上·湖北孝感·期中)下面算式中，符合线段图的是( )。 ?人 象棋社团： 围棋社团： 240人 A.240×(1-)B.240×(1+) c.240÷(1-)D.240-(1+到 高频考点十已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典例精讲】(25-26六年级下·安徽合肥·期末)妈妈参加“大美庐江快乐毅行”，已经走了总路程的 少1.5千米，还剩下7.8千米路程。这次“快乐毅行”的总路程是多少千米？（提示：可先画出线段图再 解答) 第10页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级下·福建泉州·期末)甲乙两人在一座大桥上散步，他们同时从桥的同一端 出发。当甲走到大桥两端的中点时，乙距离甲还有50米。两人按原速度继续前行，当甲走完全长时，乙走 了全长的好。这座桥长多少米？（可先画出草图，再解决问题） 高频考点十一运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典例精讲】(2025·安徽合肥·小升初真题)王师傅加工一批零件，前3天正好加工了这批零件的60%， 第4天加工了150个，这时，还有总数的没有加工。这批零件共有多少个？ 【变式训练】(25-26六年级上·江西赣州·期末)国庆那天，明明一家为了重温革命记忆来到了兵工厂 兴国官田兵工厂。他们想要从枪炮科步行到弹药科，走了全程的后，发现距离两地中点还有120米，枪炮 科到弹药科共有多少米？（请用你喜欢的方式把你的思考过程表示出来） 难点突破奥数拓展 奥数拓展一分数的连乘运算 【典例精讲】(2026·四川绵阳·小升初真题)一盒饼干，第一天吃了它的，第二天吃了剩下的经，第三 天吃了剩下的好第2025天吃了剩下的06最后剩下10块，这盒饼干共有( )块。 A.1000 B.2026 C.10000 D.20260 第11页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】在括号里填上“>”“<”或“=”。 晋××12( ×号× ×× )层x×写 ×× )×× 奥数拓展二连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】人体血液在主动脉中的流动速度约为20厘米/秒，在静脉中的流动速度约为主动脉中的经，在 毛细血管中的流动速度大约只有静脉中的6。血液在毛细血管中每秒约流动( )厘米。 【变式训练】为庆祝建党一百周年，实验小学举办了个人红歌演唱比赛。获奖（一等奖、二等奖和三等奖） 的一共有27人，其中获得一等奖的人数是获奖总人数的，获得二等奖的人数是获得二、三等奖总人数的 获得三等奖的有多少人？ 奥数拓展三分数的乘、除法的混合运算 【典例精讲】计算下面各题，能简算的要简算。 (x写×)÷（层×号×） +器+邵+器品 【变式训练】用递等式计算。（能简算的要简算） ×号+号× (后-+)×24 91 器÷（告+品×瑞） 品÷[侣-)× 第12页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 奥数拓展四求比一个数多少几分之几的数是多少 【典例精讲】(25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)德强学校运动会开幕式上，六年级组建了一 个正方形队列参加入场式，队列每排有24人，共24排。请根据以上信息回答下列问题： (1)队列中男生人数占总人数的经男生有多少人？ (2)在所有队员中，参加过市级运动会的队员占片，其中女生占参加过市级运动会队员的。参加过市级运 动会的女生有多少人？ (3)在(1)的条件下，队列行进中需调整队形，所以将队伍分为鲜花队、彩旗队、鼓号队，每个学生都 参加且每个学生只能参与一个队伍，参加鲜花队的人数占总人数的好其中参加鲜花队的女生占子：参加鼓号 队的女生比参加鲜花队的男生少。参加彩旗队的男生是参加彩旗队的女生16倍，则参加鼓号队的男生有多 少人？ 【变式训练】(24-25六年级上·重庆永川·期末)快入冬时，白兔和灰兔都储存了一些萝卜，灰兔先把 自家萝卜的送给白兔。白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔。这时两只兔子 的萝卜一样多，原来灰兔的萝卜数是白兔的( )。 A青 B.青 c.9 奥数拓展五已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲】(23-24六年级上·江苏宿迁·期中)六(1)班有48位同学，踊跃订少儿读物，有的同学 订《小学生数学报》，的同学订《小学生英语报》，两种报纸都订的至少( )人，两种报纸都不订 的最多( )人。 【变式训练】(24-25六年级下·甘肃庆阳·阶段检测)甲、乙、丙三人共加工了480个零件，已知甲加 工的个数是其他两个人加工总数的好，乙加工的个数是其他两人加工总数的好，丙加工了多少个零件？ 第13页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展六整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】(25-26六年级上·全国·单元复习)计算下面各题，能简算的要简算。 8x17+8 (层+)×3.6 0×99 (+用×x品 【变式训练】(2025·山东·小升初模拟)聪明屋。 g6+6++19g (1+2×(1+×(1+母…×(1+3)×(1+0) 奥数拓展七分数除法相关的简便计算 【典例精讲】计算题，能简便计算的用简便方法计算。 ()1-片名日0立品 (2)992÷日 (3)(培×1.7+6×1.7)÷8 (4)1号+2g十33十4信十…+10g9 第14页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】分数除法的简便计算一一巧妙约分。 180+543×374 543×375-363 2008÷20082008 2009 奥数拓展八已知比一个数多少几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】(25-26六年级上·北京顺义·期末)上个月娱乐消费支出1080元。 交通消费支出多少元？如果用1080÷(1-)这个算式解决该问题，那么横线上应该补充的信息是 A.比娱乐消费支出少号 B.娱乐消费支出比交通消费支出多子 C.比娱乐消费支出多 D.娱乐消费支出比交通消费支出少 【变式训练】(25-26六年级上·辽宁朝阳·期中)从下列信息中分别选两条，提出一个用分数乘法解决 的问题和一个用分数除法解决的问题，并解答。 ①五年级有400名学生。 ②六年级有300名学生。 ③六年级的人数比五年级少是 ④五年级的人数比六年级多衫。 奥数拓展九已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典例精讲】(23-24六年级下·重庆开州·期末)幼儿园老师把一袋糖分给甲、乙、丙三个小朋友，先 把总数的多6粒给甲，再把剩下的多9粒给乙，最后剩下的都给了丙，结果三人得到的糖一样多，这袋糖 共有多少粒？ 第15页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】.(23-24六年级下·四川·课后作业)小丽做一份练习题，第一时做完了全部的，第二时 做完了余下的2，第三时做完了余下的，这时余下24道题没有做，则这份练习题共有多少道？ 奥数拓展十运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典例精讲】小明最近迷上了一本童话故事书，第一天读了这本书的还多30页，第二天读了余下的少10 页，第三天读了再余下的，然后他惊喜地发现，还剩40页这本书就能被他读完了，求小明读的这本故事书 一共多少页？ 【变式训川练】(23-24六年级下·吉林四平·期末)中国古代《九章算术》中有一道数学名题“持米过关”： 今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？意思是有一 个人背了一袋大米过三关，在外关时用全部米的纳税，经过中关时用所剩米的纳税，经过内关时再用所剩 米的纳税，最后还剩5斗米。请问：这个人原来带了多少斗米？先画图表示数量关系，再解决问题。(“斗” 是中国古代的容量单位) 第16页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(2026六年级上·全国·专题练习)在三角形ABC中，∠A是∠C的5，∠B比∠C小，则三角形ABC是一 个( )。 A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 2.(26-27六年级上·全国·课后作业)下列选项中，当a=( )时，运用乘法分配律计算a×(任) 最简便。 A.2 B.3 C.6 D.9 3.(26-27六年级上·全国·单元测试)六(1)班的图书角有48本文艺书、科技书的数量是文艺书的好， 故事书的数量是科技书的。根据以上信息，壮壮列式为48×（任×）， 他是先求( ),再求 ( ):成成列式为48××子，他是先求( ),再求( )。 4.(2026六年级上·全国·专题练习)近年来，新能源汽车越来越受人们的欢迎。A小区去年拥有新能源 汽车的家庭有160户，今年比去年多。则今年拥有新能源汽车的家庭有( )户：B小区今年拥有新能 源汽车的家庭有72户，今年比去年多。则去年拥有新能源汽车的家庭有( )户。 5.(24-25六年级下·河南驻马店·期末)45米减少后，再增加它的。结果还是45米。( )(判 断对错) 6.(26-27六年级上·全国·课后作业)灵活运用分子交换法、拆数变形法或构造公因数法，计算下列各 题。 号×9+4×12+×6 72×7-48×3+24× 23 23 23 第17页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 7.（26-27六年级上·全国·课后作业)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 意思是：一根一尺长的木棍，第一天截取它长度的一半，以后每天都截取前一天剩下长度的一半，这样永 远也截取不完。照这样计算，前五天一共截取了这根木棍的几分之几？ 8.(2026六年级上·全国·专题练习)火药是我国古代四大发明之一，配制火药的原料是硝石、硫黄和木 炭。2.8千克某种火药中有是硝石，木炭的质量是硝石的。木炭的质量是多少千克？ 9.(26-27六年级上·全国·课后作业)某快递站上周配送了4800个包裹，本周配送的包裹数量比上周多 。该快递站本周配送了多少个包裹？ 10.（26-27六年级上·全国·课后作业)体育课上，同学们正在进行趣味投篮练习。某次投篮时，一个投 偏的篮球从米高的篮筐上沿意外掉落。若这个篮球每次落地后反弹的高度都是上一次下落高度的，则它第 三次反弹时的高度是多少米？ 第18页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【能力提升】 1,(26-27六年级上·全国·单元测试)一根长2025m的绳子，第一天剪去它的，第二天剪去剩下的， 第三天剪去剩下的2…则第2025天剪去( ）m。 A.1 B.2026 c D.2024 2025 2.(25-26六年级上·浙江台州·期末)有甲乙两根绳子，甲剪去绳长的号，乙剪去号米，两根绳子都还剩 下0.6米。那么原来甲乙两根绳子的长短比较是( )。 A.相等 B.甲长 C.乙长 D.无法确定 3.(25-26六年级上·山东滨州·期末)王叔叔和李叔叔合开了一家公司，王叔叔投资280万元， 李叔叔投资多少万元？如果设李叔叔投资x万元，列式为(1-)x=280,那么横线上应该填的条件是 ( )。 A.李叔叔比王叔叔投资少 B。比李叔叔的投资多君 C.比李叔叔的投资少马 6 4.（25-26六年级上·重庆渝中·期末)甲、乙、丙三人共有180张邮票。甲先把自己邮票的给乙，然后 乙把自己现有邮票的给丙，最后丙把自己现有邮票的给甲，经过这三轮传递后，三人的邮票张数恰好相等。 原来甲有( )张邮票。 5.(24-25六年级下·四川资阳·期末)一套精装《红楼梦》原价若干元，如果每套降价8元出售，销量 就增加好收入增加，一套精装《红楼梦》原价()元。 6.(2025·吉林长春·小升初真题)计算。 ①17号×37-174×1.9+17号×82 ②92+993+999+9999+1×4 4 ③2+22+23+…+29 +7+7+ ④1 第19页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 7.(25-26六年级上·浙江温州·期末)某景区2025年“五一”期间接待了一个旅游团。其中，成年游客 人数是儿童游客人数的，后来又有5名儿童游客加入，此时成年游客与儿童游客的人数比变为3：4。这个 旅游团最初有多少名成年游客？ 8。(25-26六年级上·浙江台州·期末)一辆汽车从甲地开往乙地，第一个小时行了全程的始，第二个小时 比第一个小时少行12千米，这时汽车距乙地552千米。甲、乙两地相距多少千米？请试着画画线段图再解 答。 9.(25-26六年级上·河南驻马店·期末)一个工厂有三个车间，已知第一车间有36人，并且人数最多。 以下三个关于车间人数的信息只有一个是准确的。 ①第一车间人数占三个车间总人数的30%。 ②第一车间人数比总人数的少6人。 ③第一车间、第二车间、第三车间人数比是4：2：3。 (1)以上三个信息中，准确的信息是()。 (2)根据这个信息算一算，这个工厂三个车间共有多少人？ 第20页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 10.(24-25六年级上·山东德州·期末)学校组织四、五、六三个年级的全体学生参加北海公园徒步研学 活动，其中五年级有240人。关于这三个年级的人数还有以下信息，请选择合适的信息解答问题。 ①五年级的人数占三个年级总人数的。 ②四、五两个年级人数的比是5：6。 ③六年级人数比四年级人数多号。 ④六年级人数比三个年级总人数的少8人。 求六年级人数，我选择的信息是」 。(填序号) 我这样解答： 第21页共21页nullnull2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第四单元 分数的应用『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+11个考点讲练+10个奥数拓展+真题难度分层演练 共62题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 分数的应用（一）：基础运算与简单关系 3 1. 分数混合运算的顺序与法则 3 2. 分数乘法运算律的运用 4 3. “求一个数的几分之几是多少”的模型（连续求分率） 4 知识点二 分数的应用（二）：增加与减少的问题 4 1. 核心概念：“增加/减少了” vs “是原来的” 4 2. 解决“比一个数多/少几分之几”的问题 4 3. 体积变化的实际应用 5 知识点三 分数的应用（多场景问题） 5 1. 经济利润问题 5 2. 比较问题（谁比谁多/少） 5 3. 资源分布与统计问题 5 4. 行程与长度问题 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 分数的连乘运算 6 高频考点二 连续求一个数的几分之几是多少的问题 6 高频考点三 分数的连除运算 7 高频考点四 分数的乘、除法的混合运算 7 高频考点五 求比一个数多/少几分之几的数是多少 8 高频考点六 已知总量及一部分分率，求另一部分量 8 高频考点七 整数乘法运算定律推广到分数乘法 9 高频考点八 分数除法相关的简便计算 9 高频考点九 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 10 高频考点十 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 10 高频考点十一 运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 11 难点突破 奥数拓展 11 奥数拓展一 分数的连乘运算 11 奥数拓展二 连续求一个数的几分之几是多少的问题 12 奥数拓展三 分数的乘、除法的混合运算 12 奥数拓展四 求比一个数多/少几分之几的数是多少 13 奥数拓展五 已知总量及一部分分率，求另一部分量 13 奥数拓展六 整数乘法运算定律推广到分数乘法 14 奥数拓展七 分数除法相关的简便计算 14 奥数拓展八 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 15 奥数拓展九 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 15 奥数拓展十 运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 16 优选真题 实战演练 17 【基础通关】 17 【能力提升】 19 知识点一 分数的应用（一）：基础运算与简单关系 本部分主要复习分数的混合运算规则，以及基础的分数乘法应用题模型，是后续复杂应用题的基石。 1. 分数混合运算的顺序与法则 运算顺序： 分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序完全一致。 先算乘除，后算加减。 - 有括号的先算括号里面的。 同级运算从左往右依次计算。 计算技巧： 连乘/连除/乘除混合： 可以一次性约分后再计算，简化过程。 例如：12 × ×，可以先约分再乘。 除法转化： 除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。这是进行分数除法运算的关键步骤。 验算： 做完后可以通过逆运算或估算进行检查，确保结果准确。 2. 分数乘法运算律的运用 适用性： 整数乘法的交换律、结合律、分配律对于分数乘法同样适用。 简便计算示例： -×（ +) 可以利用分配律展开计算。 -÷×可以转化为乘法后，利用结合律或交换律进行简算。 3. “求一个数的几分之几是多少”的模型（连续求分率） 图示理解： 通过线段图理解三个量之间的关系（如航模小组、气象小组、摄影小组的人数关系）。 解题思路： 分步法： 先求中间量（如航模小组人数是气象小组的几分之几），再求最终量。 综合法： 直接列连乘算式，如 12 ××，表示 12 人的是 4 人，4 人又是摄影小组的。 知识点二 分数的应用（二）：增加与减少的问题 这一部分重点解决“比一个数多（或少）几分之几”的实际问题，是本单元的难点。 1. 核心概念：“增加/减少了” vs “是原来的” 情境案例： 水结成冰体积变化（水 45cm³ → 冰 50cm³）。 关键区分： 增加了多少： 指差值（50 - 45 = 5cm³）。 增加了几分之几： 指差值占单位“1”的比例（5/45 = 1/9）。 是原来的几分之几： 指现量占原量的比例（50/45 = 10/9）。 2. 解决“比一个数多/少几分之几”的问题 方法一（先求差值）： 原量 + 原量 × 分率 = 现量。例如：45 + 45 ×= 50。 方法二（先求总分率）： 原量 × (1 + 分率) = 现量。例如：45 × (1 + ) = 50。 逆向思维（已知现量求原量）： 如果已知冰的体积求水的体积，则用除法或方程：现量 ÷ (1 + 分率) = 原量。 3. 体积变化的实际应用 题目类型： 已知水的体积求结冰后的体积（乘法），或已知增加的体积求原体积（除法/方程）。 易错点： 找准单位“1”。水结成冰，单位“1”是水；冰化成水，单位“1”是冰。 知识点三 分数的应用（多场景问题） 将分数运算应用到生活实际的不同领域中，考查知识的迁移能力。 1. 经济利润问题 进价与售价： 涉及“提高了百分之几”或“几分之几”。 公式： (售价 - 进价) ÷ 进价 = 提高的分率。 2. 比较问题（谁比谁多/少） 典型题型： “淘气比笑笑重几分之几？” 解法： (淘气体重 - 笑笑体重) ÷ 笑笑体重。注意除数（单位“1”）是“比”字后面的量。 3. 资源分布与统计问题 例题： 大熊猫数量分布。 解法： 总量 × 对应分率 = 部分量；或者 总量 × (1 - 某部分分率) = 另一部分量。 4. 行程与长度问题 多段路程： 全程被分为几部分（如环山路、海滨路、公路），各占不同分率。 解题策略： 求具体长度：总长 × 对应分率。 求差值：总长 × (分率A - 分率B)。 求剩余：总长 × (1 - 分率A - 分率B)。 高频考点一 分数的连乘运算 【典例精讲】（25-26六年级上·河南洛阳·期中）计算下面各题。 （1）              （2）             （2）              （4） 【变式训练】（25-26六年级上·青海果洛·期中）实验小学为了提高学生的环保意识，开展了环保节活动。小辰做了一张环保宣传手抄报，手抄报的面积是360平方厘米，她用手抄报面积的介绍“节约资源”的重要性，“减少污染”所占的面积是“节约资源”所占的面积的，“减少污染”所占的面积是多少？ 高频考点二 连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）随着科技的发展，铁路列车从普通列车、快速列车逐步发展为高速列车（如“和谐号”“复兴号”）。下面是部分列车运行速度的信息： ①普通列车的运行速度是120千米/时； ②普通列车的运行速度是“和谐号”的； ③“复兴号”的运行速度是快速列车的； ④快速列车的运行速度是普通列车的。 (1)若要求“复兴号”的运行速度，应选择的信息是( )。（填序号） (2)请根据所选信息，求出“复兴号”的运行速度。 【变式训练】（26-27六年级上·全国·单元测试）在育才小学举办的树叶创意画活动中，四年级一共制作了24幅作品，五年级的作品数量是四年级的，六年级的作品数量是五年级的。六年级制作了多少幅作品？算式先求的是( )年级的作品数量；算式先求的是( )年级的作品数量是( )年级的几分之几。 高频考点三 分数的连除运算 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）某校开展“回收资源巧利用，绿色环保我先行”活动，五年级学生回收了120个易拉罐，是六年级学生回收易拉罐数量的，六年级学生回收易拉罐的数量占全校学生回收易拉罐总数量的，则该校一共回收了（    ）个易拉罐。 A．192 B．216 C．448 D．504 【变式训练】（25-26六年级上·河南洛阳·期中）用递等式计算。 0.4                 高频考点四 分数的乘、除法的混合运算 【典例精讲】（25-26六年级上·福建厦门·期中）爸爸每天到操场慢跑4圈，现在已经跑了半圈，大约用了3分钟。照这个速度，爸爸每天慢跑要用多长时间？下面列式错误的是（    ）。 A．4×（÷3） B．3÷（÷4） C．（3÷）×4 D．3×（4÷） 【变式训练】（25-26五年级下·广西贵港·期末）一台拖拉机小时耕地公顷，这台拖拉机小时耕地多少公顷？正确的列式是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点五 求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典例精讲】（25-26六年级上·湖北孝感·期中）纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，共有19个装备方队、15个徒步方队，______，空中梯队一共有多少个？列式为，横线上应该补充的条件是（    ）。 A．空中梯队的个数是徒步方队的 B．空中梯队的个数比徒步方队多 C．空中梯队的个数比装备方队少 D．空中梯队的个数比徒步方队少 【变式训练】（25-26六年级下·浙江金华·期末）超市里青菜、萝卜、茄子三种蔬菜单价关系如下图，下面表述错误的是（    ）。 A．萝卜的单价比青菜的单价多 B．（茄子的单价－0.4元）×2＝青菜的单价 C．萝卜的单价元＝茄子的单价 D．青菜的单价萝卜的单价 高频考点六 已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）从4000减去它的，再减去剩下的，再减去剩下的……最后减去剩下的，最后剩( )。 【变式训练】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）选择一个条件，并列式解答。 仓库有粮食14吨，__________________，还剩多少吨？ A．第一次运走了吨，第二次运走了剩下的。     B．第一次运走了，第二次运走了剩下的。 (1)我选的条件( )。 (2)我的解答。 高频考点七 整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）观察下面的计算过程，你发现了什么？ 规律点睛：在计算整数与分数相乘时，如果整数与分数的分母相差1，可以先把整数拆成“分母＋1”或“分母－1”的形式，再运用乘法（    ）律进行简算。 小试牛刀：根据上述方法，计算下列各题。              【变式训练】（24-25六年级下·湖北黄石·期末）脱式计算。（能简算的要简算）              高频考点八 分数除法相关的简便计算 【典例精讲】（2025六年级上·江苏南京·专题练习）递等式计算。（能简算的要简算）                          【变式训练】（24-25六年级上·天津滨海新区·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                                                          高频考点九 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】（24-25六年级下·河南平顶山·期末）池塘里有鸭75只，_______________。鹅有多少只？如果求鹅的只数的算式是，那么横线上应补充的条件是（    ）。 A．鸭比鹅多 B．鸭比鹅少 C．鹅比鸭多 D．鹅比鸭少 【变式训练】（25-26六年级上·湖北孝感·期中）下面算式中，符合线段图的是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点十 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典例精讲】（25-26六年级下·安徽合肥·期末）妈妈参加“大美庐江快乐毅行”，已经走了总路程的少1.5千米，还剩下7.8千米路程。这次“快乐毅行”的总路程是多少千米？（提示：可先画出线段图再解答） 【变式训练】（25-26六年级下·福建泉州·期末）甲乙两人在一座大桥上散步，他们同时从桥的同一端出发。当甲走到大桥两端的中点时，乙距离甲还有50米。两人按原速度继续前行，当甲走完全长时，乙走了全长的。这座桥长多少米？（可先画出草图，再解决问题） 高频考点十一 运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典例精讲】（2025·安徽合肥·小升初真题）王师傅加工一批零件，前3天正好加工了这批零件的60%，第4天加工了150个，这时，还有总数的没有加工。这批零件共有多少个？ 【变式训练】（25-26六年级上·江西赣州·期末）国庆那天，明明一家为了重温革命记忆来到了兵工厂兴国官田兵工厂。他们想要从枪炮科步行到弹药科，走了全程的后，发现距离两地中点还有120米，枪炮科到弹药科共有多少米？（请用你喜欢的方式把你的思考过程表示出来） 奥数拓展一 分数的连乘运算 【典例精讲】（2026·四川绵阳·小升初真题）一盒饼干，第一天吃了它的，第二天吃了剩下的，第三天吃了剩下的…第2025天吃了剩下的，最后剩下10块，这盒饼干共有（    ）块。 A．1000 B．2026 C．10000 D．20260 【变式训练】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( ) ( )          ( ) 奥数拓展二 连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】人体血液在主动脉中的流动速度约为20厘米/秒，在静脉中的流动速度约为主动脉中的，在毛细血管中的流动速度大约只有静脉中的。血液在毛细血管中每秒约流动( )厘米。 【变式训练】为庆祝建党一百周年，实验小学举办了个人红歌演唱比赛。获奖（一等奖、二等奖和三等奖）的一共有27人，其中获得一等奖的人数是获奖总人数的，获得二等奖的人数是获得二、三等奖总人数的，获得三等奖的有多少人？ 奥数拓展三 分数的乘、除法的混合运算 【典例精讲】计算下面各题，能简算的要简算。       【变式训练】用递等式计算。（能简算的要简算）                   奥数拓展四 求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典例精讲】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）德强学校运动会开幕式上，六年级组建了一个正方形队列参加入场式，队列每排有24人，共24排。请根据以上信息回答下列问题： （1）队列中男生人数占总人数的，男生有多少人？ （2）在所有队员中，参加过市级运动会的队员占，其中女生占参加过市级运动会队员的。参加过市级运动会的女生有多少人？ （3）在（1）的条件下，队列行进中需调整队形，所以将队伍分为鲜花队、彩旗队、鼓号队，每个学生都参加且每个学生只能参与一个队伍，参加鲜花队的人数占总人数的，其中参加鲜花队的女生占，参加鼓号队的女生比参加鲜花队的男生少，参加彩旗队的男生是参加彩旗队的女生16倍，则参加鼓号队的男生有多少人？ 【变式训练】（24-25六年级上·重庆永川·期末）快入冬时，白兔和灰兔都储存了一些萝卜，灰兔先把自家萝卜的送给白兔。白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔。这时两只兔子的萝卜一样多，原来灰兔的萝卜数是白兔的（    ）。 A． B． C． D． 奥数拓展五 已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏宿迁·期中）六（1）班有48位同学，踊跃订少儿读物，有的同学订《小学生数学报》，的同学订《小学生英语报》，两种报纸都订的至少( )人，两种报纸都不订的最多( )人。 【变式训练】（24-25六年级下·甘肃庆阳·阶段检测）甲、乙、丙三人共加工了480个零件，已知甲加工的个数是其他两个人加工总数的，乙加工的个数是其他两人加工总数的，丙加工了多少个零件？ 奥数拓展六 整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·单元复习）计算下面各题，能简算的要简算。              【变式训练】（2025·山东·小升初模拟）聪明屋。 ＋＋…＋       （1＋）×（1＋）×（1＋）×…×（1＋）×（1＋） 奥数拓展七 分数除法相关的简便计算 【典例精讲】计算题，能简便计算的用简便方法计算。 （1）1－－－－－－ （2） （3） （×1.7＋×1.7）÷ （4）＋＋＋＋…＋ 【变式训练】分数除法的简便计算——巧妙约分。              奥数拓展八 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】（25-26六年级上·北京顺义·期末）上个月娱乐消费支出1080元。_____________________。交通消费支出多少元？如果用这个算式解决该问题，那么横线上应该补充的信息是（    ）。 A．比娱乐消费支出少 B．娱乐消费支出比交通消费支出多 C．比娱乐消费支出多 D．娱乐消费支出比交通消费支出少 【变式训练】（25-26六年级上·辽宁朝阳·期中）从下列信息中分别选两条，提出一个用分数乘法解决的问题和一个用分数除法解决的问题，并解答。 ①五年级有400名学生。 ②六年级有300名学生。 ③六年级的人数比五年级少。 ④五年级的人数比六年级多。 奥数拓展九 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典例精讲】（23-24六年级下·重庆开州·期末）幼儿园老师把一袋糖分给甲、乙、丙三个小朋友，先把总数的多6粒给甲，再把剩下的多9粒给乙，最后剩下的都给了丙，结果三人得到的糖一样多，这袋糖共有多少粒？ 【变式训练】．（23-24六年级下·四川·课后作业）小丽做一份练习题，第一时做完了全部的，第二时做完了余下的，第三时做完了余下的，这时余下24道题没有做，则这份练习题共有多少道？ 奥数拓展十 运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典例精讲】小明最近迷上了一本童话故事书，第一天读了这本书的还多30页，第二天读了余下的少10页，第三天读了再余下的，然后他惊喜地发现，还剩40页这本书就能被他读完了，求小明读的这本故事书一共多少页？ 【变式训练】（23-24六年级下·吉林四平·期末）中国古代《九章算术》中有一道数学名题“持米过关”：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？意思是有一个人背了一袋大米过三关，在外关时用全部米的纳税，经过中关时用所剩米的纳税，经过内关时再用所剩米的纳税，最后还剩5斗米。请问：这个人原来带了多少斗米？先画图表示数量关系，再解决问题。（“斗”是中国古代的容量单位） 【基础通关】 1．（2026六年级上·全国·专题练习）在三角形中，是的，比小，则三角形是一个（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．（26-27六年级上·全国·课后作业）下列选项中，当（    ）时，运用乘法分配律计算最简便。 A．2 B．3 C．6 D．9 3．（26-27六年级上·全国·单元测试）六（1）班的图书角有48本文艺书、科技书的数量是文艺书的，故事书的数量是科技书的。根据以上信息，壮壮列式为，他是先求( )，再求( )；成成列式为，他是先求( )，再求( )。 4．（2026六年级上·全国·专题练习）近年来，新能源汽车越来越受人们的欢迎。A小区去年拥有新能源汽车的家庭有160户，今年比去年多，则今年拥有新能源汽车的家庭有( )户；B小区今年拥有新能源汽车的家庭有72户，今年比去年多，则去年拥有新能源汽车的家庭有( )户。 5．（24-25六年级下·河南驻马店·期末）45米减少后，再增加它的，结果还是45米。( )（判断对错） 6．（26-27六年级上·全国·课后作业）灵活运用分子交换法、拆数变形法或构造公因数法，计算下列各题。          7．（26-27六年级上·全国·课后作业）《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一根一尺长的木棍，第一天截取它长度的一半，以后每天都截取前一天剩下长度的一半，这样永远也截取不完。照这样计算，前五天一共截取了这根木棍的几分之几？ 8．（2026六年级上·全国·专题练习）火药是我国古代四大发明之一，配制火药的原料是硝石、硫黄和木炭。2.8千克某种火药中有是硝石，木炭的质量是硝石的。木炭的质量是多少千克？ 9．（26-27六年级上·全国·课后作业）某快递站上周配送了4800个包裹，本周配送的包裹数量比上周多。该快递站本周配送了多少个包裹？ 10．（26-27六年级上·全国·课后作业）体育课上，同学们正在进行趣味投篮练习。某次投篮时，一个投偏的篮球从米高的篮筐上沿意外掉落。若这个篮球每次落地后反弹的高度都是上一次下落高度的，则它第三次反弹时的高度是多少米？ 【能力提升】 1．（26-27六年级上·全国·单元测试）一根长2025m的绳子，第一天剪去它的，第二天剪去剩下的，第三天剪去剩下的…则第2025天剪去（    ）m。 A．1 B． C． D． 2．（25-26六年级上·浙江台州·期末）有甲乙两根绳子，甲剪去绳长的，乙剪去米，两根绳子都还剩下0.6米。那么原来甲乙两根绳子的长短比较是（    ）。 A．相等 B．甲长 C．乙长 D．无法确定 3．（25-26六年级上·山东滨州·期末）王叔叔和李叔叔合开了一家公司，王叔叔投资280万元，______，李叔叔投资多少万元？如果设李叔叔投资x万元，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）。 A．李叔叔比王叔叔投资少 B．比李叔叔的投资多 C．比李叔叔的投资少 4．（25-26六年级上·重庆渝中·期末）甲、乙、丙三人共有180张邮票。甲先把自己邮票的给乙，然后乙把自己现有邮票的给丙，最后丙把自己现有邮票的给甲，经过这三轮传递后，三人的邮票张数恰好相等。原来甲有( )张邮票。 5．（24-25六年级下·四川资阳·期末）一套精装《红楼梦》原价若干元，如果每套降价8元出售，销量就增加，收入增加，一套精装《红楼梦》原价( )元。 6．（2025·吉林长春·小升初真题）计算。 ①           ② ③                  ④ 7．（25-26六年级上·浙江温州·期末）某景区2025年“五一”期间接待了一个旅游团。其中，成年游客人数是儿童游客人数的，后来又有5名儿童游客加入，此时成年游客与儿童游客的人数比变为3∶4。这个旅游团最初有多少名成年游客？ 8．（25-26六年级上·浙江台州·期末）一辆汽车从甲地开往乙地，第一个小时行了全程的，第二个小时比第一个小时少行12千米，这时汽车距乙地552千米。甲、乙两地相距多少千米？请试着画画线段图再解答。 9．（25-26六年级上·河南驻马店·期末）一个工厂有三个车间，已知第一车间有36人，并且人数最多。以下三个关于车间人数的信息只有一个是准确的。 ①第一车间人数占三个车间总人数的。 ②第一车间人数比总人数的少6人。 ③第一车间、第二车间、第三车间人数比是。 (1)以上三个信息中，准确的信息是( )。 (2)根据这个信息算一算，这个工厂三个车间共有多少人？ 10．（24-25六年级上·山东德州·期末）学校组织四、五、六三个年级的全体学生参加北海公园徒步研学活动，其中五年级有240人。关于这三个年级的人数还有以下信息，请选择合适的信息解答问题。 ①五年级的人数占三个年级总人数的。 ②四、五两个年级人数的比是5∶6。 ③六年级人数比四年级人数多。 ④六年级人数比三个年级总人数的少8人。 求六年级人数，我选择的信息是_________。（填序号） 我这样解答： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第四单元 分数的应用『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+11个考点讲练+10个奥数拓展+真题难度分层演练 共62题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 分数的应用（一）：基础运算与简单关系 3 1. 分数混合运算的顺序与法则 3 2. 分数乘法运算律的运用 4 3. “求一个数的几分之几是多少”的模型（连续求分率） 4 知识点二 分数的应用（二）：增加与减少的问题 4 1. 核心概念：“增加/减少了” vs “是原来的” 4 2. 解决“比一个数多/少几分之几”的问题 4 3. 体积变化的实际应用 5 知识点三 分数的应用（多场景问题） 5 1. 经济利润问题 5 2. 比较问题（谁比谁多/少） 5 3. 资源分布与统计问题 5 4. 行程与长度问题 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 分数的连乘运算 6 高频考点二 连续求一个数的几分之几是多少的问题 7 高频考点三 分数的连除运算 8 高频考点四 分数的乘、除法的混合运算 10 高频考点五 求比一个数多/少几分之几的数是多少 11 高频考点六 已知总量及一部分分率，求另一部分量 12 高频考点七 整数乘法运算定律推广到分数乘法 13 高频考点八 分数除法相关的简便计算 16 高频考点九 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 19 高频考点十 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 20 高频考点十一 运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 21 难点突破 奥数拓展 23 奥数拓展一 分数的连乘运算 23 奥数拓展二 连续求一个数的几分之几是多少的问题 24 奥数拓展三 分数的乘、除法的混合运算 25 奥数拓展四 求比一个数多/少几分之几的数是多少 27 奥数拓展五 已知总量及一部分分率，求另一部分量 30 奥数拓展六 整数乘法运算定律推广到分数乘法 32 奥数拓展七 分数除法相关的简便计算 34 奥数拓展八 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 37 奥数拓展九 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 39 奥数拓展十 运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 40 优选真题 实战演练 43 【基础通关】 43 【能力提升】 48 知识点一 分数的应用（一）：基础运算与简单关系 本部分主要复习分数的混合运算规则，以及基础的分数乘法应用题模型，是后续复杂应用题的基石。 1. 分数混合运算的顺序与法则 运算顺序： 分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序完全一致。 先算乘除，后算加减。 - 有括号的先算括号里面的。 同级运算从左往右依次计算。 计算技巧： 连乘/连除/乘除混合： 可以一次性约分后再计算，简化过程。 例如：12 × ×，可以先约分再乘。 除法转化： 除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。这是进行分数除法运算的关键步骤。 验算： 做完后可以通过逆运算或估算进行检查，确保结果准确。 2. 分数乘法运算律的运用 适用性： 整数乘法的交换律、结合律、分配律对于分数乘法同样适用。 简便计算示例： -×（ +) 可以利用分配律展开计算。 -÷×可以转化为乘法后，利用结合律或交换律进行简算。 3. “求一个数的几分之几是多少”的模型（连续求分率） 图示理解： 通过线段图理解三个量之间的关系（如航模小组、气象小组、摄影小组的人数关系）。 解题思路： 分步法： 先求中间量（如航模小组人数是气象小组的几分之几），再求最终量。 综合法： 直接列连乘算式，如 12 ××，表示 12 人的是 4 人，4 人又是摄影小组的。 知识点二 分数的应用（二）：增加与减少的问题 这一部分重点解决“比一个数多（或少）几分之几”的实际问题，是本单元的难点。 1. 核心概念：“增加/减少了” vs “是原来的” 情境案例： 水结成冰体积变化（水 45cm³ → 冰 50cm³）。 关键区分： 增加了多少： 指差值（50 - 45 = 5cm³）。 增加了几分之几： 指差值占单位“1”的比例（5/45 = 1/9）。 是原来的几分之几： 指现量占原量的比例（50/45 = 10/9）。 2. 解决“比一个数多/少几分之几”的问题 方法一（先求差值）： 原量 + 原量 × 分率 = 现量。例如：45 + 45 ×= 50。 方法二（先求总分率）： 原量 × (1 + 分率) = 现量。例如：45 × (1 + ) = 50。 逆向思维（已知现量求原量）： 如果已知冰的体积求水的体积，则用除法或方程：现量 ÷ (1 + 分率) = 原量。 3. 体积变化的实际应用 题目类型： 已知水的体积求结冰后的体积（乘法），或已知增加的体积求原体积（除法/方程）。 易错点： 找准单位“1”。水结成冰，单位“1”是水；冰化成水，单位“1”是冰。 知识点三 分数的应用（多场景问题） 将分数运算应用到生活实际的不同领域中，考查知识的迁移能力。 1. 经济利润问题 进价与售价： 涉及“提高了百分之几”或“几分之几”。 公式： (售价 - 进价) ÷ 进价 = 提高的分率。 2. 比较问题（谁比谁多/少） 典型题型： “淘气比笑笑重几分之几？” 解法： (淘气体重 - 笑笑体重) ÷ 笑笑体重。注意除数（单位“1”）是“比”字后面的量。 3. 资源分布与统计问题 例题： 大熊猫数量分布。 解法： 总量 × 对应分率 = 部分量；或者 总量 × (1 - 某部分分率) = 另一部分量。 4. 行程与长度问题 多段路程： 全程被分为几部分（如环山路、海滨路、公路），各占不同分率。 解题策略： 求具体长度：总长 × 对应分率。 求差值：总长 × (分率A - 分率B)。 求剩余：总长 × (1 - 分率A - 分率B)。 高频考点一 分数的连乘运算 【典例精讲】（25-26六年级上·河南洛阳·期中）计算下面各题。 （1）              （2）              （3）             （4） 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）2 【思路引导】（1）从左往右依次进行约分计算即可； （2）运用乘法结合律a×（b×c）＝（a×b）×c进行简便计算即可； （3）（4）除法计算时，根据“除以一个非零数等于乘这个数的倒数”将除法转换成乘法计算；再根据乘法交换律a×b＝b×a进行简便计算。 【规范解答】（1） ＝8× ＝4 （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝2 【变式训练】（25-26六年级上·青海果洛·期中）实验小学为了提高学生的环保意识，开展了环保节活动。小辰做了一张环保宣传手抄报，手抄报的面积是360平方厘米，她用手抄报面积的介绍“节约资源”的重要性，“减少污染”所占的面积是“节约资源”所占的面积的，“减少污染”所占的面积是多少？ 【答案】126平方厘米 【思路引导】先把手抄报的面积看作单位“1”，“节约资源”所占的面积占手抄报面积的，单位“1”已知，用手抄报的面积乘，求出“节约资源”所占的面积； 已知“减少污染”所占的面积是“节约资源”的，把“节约资源”所占的面积看作单位“1”，单位“1”已知，用“节约资源”所占的面积乘，求出“减少污染”所占的面积。 【规范解答】360×× ＝210× ＝126（平方厘米） 答：“减少污染”所占的面积是126平方厘米。 高频考点二 连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）随着科技的发展，铁路列车从普通列车、快速列车逐步发展为高速列车（如“和谐号”“复兴号”）。下面是部分列车运行速度的信息： ①普通列车的运行速度是120千米/时； ②普通列车的运行速度是“和谐号”的； ③“复兴号”的运行速度是快速列车的； ④快速列车的运行速度是普通列车的。 (1)若要求“复兴号”的运行速度，应选择的信息是( )。（填序号） (2)请根据所选信息，求出“复兴号”的运行速度。 【答案】(1)①③④ (2)350千米/时 【思路引导】（1）要求“复兴号”的运行速度，根据数学信息可知，“复兴号”的运行速度与快速列车有关，而快速列车的速度与普通列车有关，据此找出相关的数学信息即可。 （2）先用普通列车速度×普通列车速度的，求出快速列车的运行速度，再用快速列车的速度×快速列车速度的，即可求出“复兴号”的运行速度。 【规范解答】（1）若要求“复兴号”的运行速度，应选择的信息是（①③④）。 （2）120×× ＝150× ＝350（千米/时） 答：“复兴号”的运行速度是350千米/时。 【变式训练】（26-27六年级上·全国·单元测试）在育才小学举办的树叶创意画活动中，四年级一共制作了24幅作品，五年级的作品数量是四年级的，六年级的作品数量是五年级的。六年级制作了多少幅作品？算式先求的是( )年级的作品数量；算式先求的是( )年级的作品数量是( )年级的几分之几。 【答案】 五 六 四 【思路引导】，根据运算顺序应先算24×，24表示四年级制作的数量，表示五年级的作品数量是四年级的；，根据运算顺序先算（×），即×表示六年级的作品数量是四年级的的。 【规范解答】算式先求的是五年级的作品数量。 算式先求的是六年级的作品数量是四年级的几分之几。 高频考点三 分数的连除运算 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）某校开展“回收资源巧利用，绿色环保我先行”活动，五年级学生回收了120个易拉罐，是六年级学生回收易拉罐数量的，六年级学生回收易拉罐的数量占全校学生回收易拉罐总数量的，则该校一共回收了（    ）个易拉罐。 A．192 B．216 C．448 D．504 【答案】C 【思路引导】先将六年级回收易拉罐的数量看作单位“1”，五年级回收的120个对应六年级的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，据此求出六年级回收的数量；再将全校回收总数量看作单位“1”，六年级回收数量对应全校的，用除法求出全校总数量。 【规范解答】 ＝ ＝448（个） 所以，该校一共回收了448个易拉罐。 【变式训练】（25-26六年级上·河南洛阳·期中）用递等式计算。 0.4                 【答案】；； 【思路引导】将0.4化为分数，分数连乘，先约分再计算； 除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，将分数连除转化为分数连乘，先约分再计算； 除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，将分数乘、除混合运算转化为分数连乘，先约分再计算。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 高频考点四 分数的乘、除法的混合运算 【典例精讲】（25-26六年级上·福建厦门·期中）爸爸每天到操场慢跑4圈，现在已经跑了半圈，大约用了3分钟。照这个速度，爸爸每天慢跑要用多长时间？下面列式错误的是（    ）。 A．4×（÷3） B．3÷（÷4） C．（3÷）×4 D．3×（4÷） 【答案】A 【思路引导】跑半圈大约用了3分钟，则跑一圈用了（3÷）分钟，然后再乘4，据此计算后再逐一计算各选项的结果，对比即可找出错误列式。 【规范解答】 ＝3×2×4 ＝24（分钟） A．（分钟），结果错误。 B．（分钟），结果正确。 C．（分钟），结果正确。 D．（分钟），结果正确。 【变式训练】（25-26五年级下·广西贵港·期末）一台拖拉机小时耕地公顷，这台拖拉机小时耕地多少公顷？正确的列式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题意，需先求出拖拉机每小时耕地的公顷数（工作效率），再用工作效率乘新的工作时间，即可求出新的工作总量。 【规范解答】根据数量关系：工作效率 工作总量 工作时间。已知拖拉机小时耕地公顷，则每小时耕地的公顷数为： 再根据数量关系：工作总量 工作效率 工作时间。要求小时耕地多少公顷，列式为 对比选项，该算式与选项 B 一致。 高频考点五 求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典例精讲】（25-26六年级上·湖北孝感·期中）纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，共有19个装备方队、15个徒步方队，______，空中梯队一共有多少个？列式为，横线上应该补充的条件是（    ）。 A．空中梯队的个数是徒步方队的 B．空中梯队的个数比徒步方队多 C．空中梯队的个数比装备方队少 D．空中梯队的个数比徒步方队少 【答案】D 【思路引导】先判断算式中单位“1”的量，再结合的含义匹配对应的补充条件。 【规范解答】算式的第一个乘数是15，对应徒步方队的数量，说明把徒步方队的数量看作单位“1”；表示空中梯队的数量是徒步方队的，即空中梯队的个数比徒步方队少。 【变式训练】（25-26六年级下·浙江金华·期末）超市里青菜、萝卜、茄子三种蔬菜单价关系如下图，下面表述错误的是（    ）。 A．萝卜的单价比青菜的单价多 B．（茄子的单价－0.4元）×2＝青菜的单价 C．萝卜的单价元＝茄子的单价 D．青菜的单价萝卜的单价 【答案】A 【思路引导】我们设图中每1小段的价格为元，根据线段图可得三种蔬菜单价为：青菜：元，萝卜：元，茄子：元，依次判断各选项。 【规范解答】A．萝卜单价比青菜多，原题干说法错误，符合题意； B．元，等于青菜单价，原题干说法正确，不符合题意； C．元，等于茄子单价，原题干说法正确，不符合题意； D．青菜元，等于萝卜单价，原题干说法正确，不符合题意。 高频考点六 已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）从4000减去它的，再减去剩下的，再减去剩下的……最后减去剩下的，最后剩( )。 【答案】40 【思路引导】由题意可知，4000减去它的，把4000看作单位“1”，剩下的是它的（1－），计算一个数的几分之几用乘法，则剩下的为4000×（1－），把剩下的结果看作单位“1”再减去它的，剩下对应单位“1”的（），即4000×（1－）×（1－），依此类推，把前面求得的积看作单位“1”，依据分数乘法意义即可解答． 【规范解答】4000×（1－）×（1－）×（1－）××（1－） ＝4000× ＝4000× ＝40 【变式训练】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）选择一个条件，并列式解答。 仓库有粮食14吨，__________________，还剩多少吨？ A．第一次运走了吨，第二次运走了剩下的。     B．第一次运走了，第二次运走了剩下的。 (1)我选的条件( )。 (2)我的解答。 【答案】(1)B (2)吨 【思路引导】选择条件A ：第一次运走的是具体吨数，先用总吨数减去第一次运走的吨数，求出剩下的吨数；再把剩下的吨数看作单位“1”，第二次运走它的，剩下的就是（1－），根据“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”，用剩下的吨数乘对应分率，即可解答。 选择条件B：把总吨数看作单位“1”，第一次运走的是总量的，剩下的就是（1－），根据“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”，先用总吨数乘（1－）求出剩下的吨数。再把剩下的吨数看作单位“1”，第二次运走它的（1－），剩下的就是（1－），同样用剩下的吨数乘对应分率，即可解答。 【规范解答】（1）我选的条件A，或我选择条件B。 （2）（1）选择条件A： 14－＝－＝（吨） ×（1－） ＝× ＝（吨） 答：还剩吨。 （2）选择条件B： 14×（1－） ＝14× ＝2（吨） 2×（1－） ＝2× ＝（吨） 答：还剩吨。 高频考点七 整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）观察下面的计算过程，你发现了什么？ 规律点睛：在计算整数与分数相乘时，如果整数与分数的分母相差1，可以先把整数拆成“分母＋1”或“分母－1”的形式，再运用乘法（    ）律进行简算。 小试牛刀：根据上述方法，计算下列各题。              【答案】分配 ；；； 【思路引导】观察题干中的计算示例，当整数与分数相乘且整数和分数的分母相差1时，可将整数拆为“分母＋1”或“分母－1”的形式，再运用乘法分配律简算。 【规范解答】规律点睛：在计算整数与分数相乘时，如果整数与分数的分母相差1，可以先把整数拆成“分母＋1”或“分母－1”的形式，再运用乘法分配律进行简算。 【变式训练】（24-25六年级下·湖北黄石·期末）脱式计算。（能简算的要简算）              【答案】；；； 【思路引导】（1）分数连除，依据分数除法法则，将除法转化为乘倒数，再约分计算； （2）连减运算，利用减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）进行简算； （3）整数乘分数，将整数89写成（90－1），利用乘法分配律进行简算； （4）先将除法转化为乘法，提取公因数，利用乘法分配律进行简算。 【规范解答】 高频考点八 分数除法相关的简便计算 【典例精讲】（2025六年级上·江苏南京·专题练习）递等式计算。（能简算的要简算）                          【答案】26； 2；19 【思路引导】，将除法改写成乘法，逆用乘法分配律，先算，再与26相乘； ，先算减法，再算乘法，最后算除法； ，先算除法，再根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算； ，根据乘法分配律，小括号里的数分别与40相乘，再相加减。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 【变式训练】（24-25六年级上·天津滨海新区·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                                                          【答案】1；7； ；； ； 【思路引导】（1）按从左到右的顺序计算； （2）运用乘法分配律简算； （3）把除以一个数变成乘这个数的倒数，然后先算两边的乘法再算中间的加法，能约分的要先约分再计算； （4）先把除以一个数变成乘这个数的倒数，再运用乘法分配律的逆运算简算； （5）先把“67”用“68－1”替换，再运用乘法分配律简算； （6）先算括号里的减法，括号里的减法可以运用减法的运算性质简算，再算括号外面的除法，括号外面除以一个数等于乘这个数的倒数。 【规范解答】（1） ＝1 （2） ＝10－3 ＝7 （3） （4） （5） （6） ＝÷[3－（）] ＝ ＝ ＝ ＝ 高频考点九 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】（24-25六年级下·河南平顶山·期末）池塘里有鸭75只，_______________。鹅有多少只？如果求鹅的只数的算式是，那么横线上应补充的条件是（    ）。 A．鸭比鹅多 B．鸭比鹅少 C．鹅比鸭多 D．鹅比鸭少 【答案】A 【思路引导】算式为除法，说明单位“1”是鹅的数量，说明鸭的数量是鹅的，即鸭比鹅多。 【规范解答】A．把鹅看作单位“1”，鸭的数量是鹅的，鹅的数量为，符合题意。 B．把鹅看作单位“1”，鸭的数量是鹅的，鹅的数量为，不符合题意。 C．把鸭看作单位“1”，鹅的数量是鸭的，鹅的数量为，不符合题意。 D．把鸭看作单位“1”，鹅的数量是鸭的，鹅的数量为，不符合题意。 【变式训练】（25-26六年级上·湖北孝感·期中）下面算式中，符合线段图的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由线段图可知：象棋社团是单位“1”，围棋社团240人，围棋社团比象棋社团少，求象棋社团的人数，围棋对应的分率是（1－），根据“单位“1”＝对应部分量÷对应分率”，求出象棋社团的人数。 【规范解答】由分析可知，象棋社团的人数＝。 高频考点十 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典例精讲】（25-26六年级下·安徽合肥·期末）妈妈参加“大美庐江快乐毅行”，已经走了总路程的少1.5千米，还剩下7.8千米路程。这次“快乐毅行”的总路程是多少千米？（提示：可先画出线段图再解答） 【答案】；16.8千米 【思路引导】把总路程看作单位“1”，已走路程比总路程的少1.5千米，则剩下的路程比总路程的（）多1.5千米。用剩下的路程减去1.5千米，得到对应总路程（）的长度，再用除法求出总路程。用一条线段表示总路程，这条线段的上减去表示1.5千米的一小段，表示已经走了的路程，剩下部分表示没走的7.8千米。 【规范解答】图略 ＝ ＝16.8（千米） 答：这次“快乐毅行”的总路程是16.8千米。 【变式训练】（25-26六年级下·福建泉州·期末）甲乙两人在一座大桥上散步，他们同时从桥的同一端出发。当甲走到大桥两端的中点时，乙距离甲还有50米。两人按原速度继续前行，当甲走完全长时，乙走了全长的。这座桥长多少米？（可先画出草图，再解决问题） 【答案】 400 米 【思路引导】首先将大桥的全长看作单位“1”，根据“当甲走完全长时，乙走了全长的”，可知在相同时间内，乙走的路程是甲的；当甲走到大桥中点时，甲走了全长的，此时乙走的路程是全长的的；题目中给出此时乙距离甲50米，即甲走的路程与乙的路程之差为50米；找出50米对应的分率，利用量 对应的分率 单位“1”的量即可求出桥长。 【规范解答】 由题意可知，在相同时间内，乙走的路程是甲的。 当甲走到大桥中点时，甲走了全长的。 此时乙走了全长的： 此时甲乙路程差占全长的： 这座桥的全长： （米） 答：这座桥长 400 米。 高频考点十一 运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典例精讲】（2025·安徽合肥·小升初真题）王师傅加工一批零件，前3天正好加工了这批零件的60%，第4天加工了150个，这时，还有总数的没有加工。这批零件共有多少个？ 【答案】750个 【思路引导】把这批零件的总数看作单位“1”，先用减法计算出第4天加工的零件数量占总数的几分之几，再根据对应量÷对应分率＝单位“1”，即可求解。 【规范解答】150÷（1－60%－） ＝150÷（1－－） ＝150÷ ＝150×5 ＝750（个） 答：这批零件共有750个。 【变式训练】（25-26六年级上·江西赣州·期末）国庆那天，明明一家为了重温革命记忆来到了兵工厂兴国官田兵工厂。他们想要从枪炮科步行到弹药科，走了全程的后，发现距离两地中点还有120米，枪炮科到弹药科共有多少米？（请用你喜欢的方式把你的思考过程表示出来） 【答案】720米；思考过程见下图 【思路引导】把枪炮科到弹药科的全程看作单位“1”。全程的中点即全程的。明明一家走了全程的，距离中点的距离占全程的－＝。已知这部分距离为120米，即全程的是120米，要求全程长度，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，用除法计算 【规范解答】见下图 120÷（－） ＝120÷（－） ＝120÷ ＝120×6 ＝720（米） 答：枪炮科到弹药科共有720米。 【考点剖析】关键点是找准单位“1”，计算出已知距离所对应的全程的分率，再用除法求出全程。 奥数拓展一 分数的连乘运算 【典例精讲】（2026·四川绵阳·小升初真题）一盒饼干，第一天吃了它的，第二天吃了剩下的，第三天吃了剩下的…第2025天吃了剩下的，最后剩下10块，这盒饼干共有（    ）块。 A．1000 B．2026 C．10000 D．20260 【答案】D 【思路引导】把一盒饼干的块数看作单位“1”。第一天吃了它的，则还剩1－＝。第二天吃了剩下的，说明还剩它的×（1－）。第三天吃了剩下的，说明还剩它的×（1－）×（1－）……，由此可知第2025天吃完剩：×（1－）×（1－）……×（1－）。根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数。用除法。用10除以×（1－）×（1－）……×（1－）。即可求出这盒饼干共有多少块。 【规范解答】×（1－）×（1－）……×（1－） ＝××…… ＝×…… ＝ 10÷＝10×2026＝20260（块） 所以，这盒饼干共有20260块。 【变式训练】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( ) ( )          ( ) 【答案】 ＞ ＝ ＜ ＜ 【思路引导】（1）（3）根据乘法交换律a×b＝b×a，改写算式后再比较大小； （2）（4）分别计算出两个算式的结果，再根据分数大小的比较方法比较大小。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小；分子、分母都不相同时，化成同分母或同分子的分数进行比较。 【规范解答】（1） 因为，所以； （2） 所以； （3） 因为，所以； （4） ，所以。 【考点剖析】本题考查分数乘法算式比较大小的方法，掌握分数乘法的计算法则以及乘法运算定律的运用是解题的关键。 奥数拓展二 连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】人体血液在主动脉中的流动速度约为20厘米/秒，在静脉中的流动速度约为主动脉中的，在毛细血管中的流动速度大约只有静脉中的。血液在毛细血管中每秒约流动( )厘米。 【答案】/0.05 【思路引导】将主动脉中的流速看作单位“1”，主动脉中的流速×静脉中的流速对应分率＝静脉中的流速；再将静脉中的流速看作单位“1”，静脉中的流速×毛细血管中的流速对应分率＝毛细血管中的流速。 【规范解答】20×× ＝8× ＝（厘米） 血液在毛细血管中每秒约流动厘米。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，理解分数乘法的意义。 【变式训练】为庆祝建党一百周年，实验小学举办了个人红歌演唱比赛。获奖（一等奖、二等奖和三等奖）的一共有27人，其中获得一等奖的人数是获奖总人数的，获得二等奖的人数是获得二、三等奖总人数的，获得三等奖的有多少人？ 【答案】15人 【思路引导】先把获奖总人数看作单位“1”，获得一等奖的人数是获奖总人数的，那么获得二、三等奖的总人数是获奖总人数的（1－），单位“1”已知，用乘法求出获得二等奖和三等奖的总人数； 再把获得二、三等奖总人数看作单位“1”，获得二等奖的人数是获得二、三等奖总人数的，那么获得三等奖的人数是获得二、三等奖总人数的（1－），单位“1”已知，用乘法求出获得三等奖的人数。 【规范解答】 （人） 答：获得三等奖的有15人。 【考点剖析】本题考查分数乘法的应用，区分两个单位“1”的不同，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 奥数拓展三 分数的乘、除法的混合运算 【典例精讲】计算下面各题，能简算的要简算。       【答案】；1 【思路引导】先把（××）÷（××）变成为（）÷（）根据除法的性质原式变为×，再约分即可算出；＋＋＋，、、都不是最简分数，把它们化简成最简分数，＝×＝，＝×＝，＝×＝，再把、、、加起来，即可算出。 【规范解答】（××）÷（××） ＝÷ ＝× ＝ ＝ ＋＋＋ ＝＋×＋×＋× ＝＋＋＋ ＝ ＝1 【变式训练】用递等式计算。（能简算的要简算）                   【答案】；21；； ；； 【思路引导】； 这两题可以用乘法分配率进行简便计算。   ；两道题算式是分数乘除法，约分化简后按运算顺序进行计算。 ；带有括号，先进行括号中数量运算，再算除法。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝9－8＋20 ＝21 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 奥数拓展四 求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典例精讲】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）德强学校运动会开幕式上，六年级组建了一个正方形队列参加入场式，队列每排有24人，共24排。请根据以上信息回答下列问题： （1）队列中男生人数占总人数的，男生有多少人？ （2）在所有队员中，参加过市级运动会的队员占，其中女生占参加过市级运动会队员的。参加过市级运动会的女生有多少人？ （3）在（1）的条件下，队列行进中需调整队形，所以将队伍分为鲜花队、彩旗队、鼓号队，每个学生都参加且每个学生只能参与一个队伍，参加鲜花队的人数占总人数的，其中参加鲜花队的女生占，参加鼓号队的女生比参加鲜花队的男生少，参加彩旗队的男生是参加彩旗队的女生16倍，则参加鼓号队的男生有多少人？ 【答案】（1）432人 （2）64人 （3）132人 【思路引导】（1）队列每排24人，共24排，总人数为24×24＝576人。男生占总人数的，根据“求一个数的几分之几，用乘法”，则男生人数为576×＝432人。 （2）参加过市级运动会的队员是总人数的，总人数是576人，即参加过市级运动会的队员有576×＝96人。其中女生占，即女生是96的。所以女生人数为96×＝64人。 （3）总人数是576人，男生人数是432人，所以女生总人数是：576－432＝144人。参加鲜花队的人数是总人数的，即576×＝144人，其中女生占鲜花队人数的，所以参加鲜花队的女生是：144×＝36人，所以参加鲜花队的男生为：144－36＝108人。参加鼓号队的女生比鲜花队男生少，把鲜花队男生看作单位“1”，即参加鼓号队的女生是108×（1－）＝96人。则参加彩旗队和鼓号队的总人数为：576－144＝432人。参加彩旗队的女生为：女生总人数减去鲜花队、鼓号队女生，即144－36－96＝12人。参加彩旗队的男生是女生的16倍，即12×16＝192人，所以彩旗队总人数为：12＋192＝204人。鼓号队总人数为：432－204＝228人，所以鼓号队男生为：228－96＝132人。 【规范解答】（1）（人） （人） 答：男生有432人。 （2）576×× ＝96× ＝64（人） 答：参加过市级运动会的女生有64人。 （3）576－432＝144（人） 576×＝144（人） 144－144× ＝144－36 ＝108（人） 把鲜花队男生看作单位“1”。 108×（1－） ＝108× ＝96（人） 576－144＝432（人） 144－36－96＝12（人） 12×16＝192（人） 12＋192＝204（人） 432－204－96＝132（人） 答：参加鼓号队的男生有132人。 【考点剖析】解答本题的关键是先确定队列总人数，再以总人数为基础，结合各部分量的比例或数量关系逐步计算出未知量。 【变式训练】（24-25六年级上·重庆永川·期末）快入冬时，白兔和灰兔都储存了一些萝卜，灰兔先把自家萝卜的送给白兔。白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔。这时两只兔子的萝卜一样多，原来灰兔的萝卜数是白兔的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设灰兔有x棵萝卜，白兔有y棵萝卜。灰兔先把自家萝卜的送给白兔，灰兔给白兔x棵萝卜；灰兔还剩（1－）x棵萝卜；白兔有（y＋x）棵萝卜；白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔，白兔给灰兔（y＋x）×棵萝卜，还剩（1－）×（y＋x）棵萝卜，灰兔有（1－）x＋（y＋x）×棵萝卜；这时两只兔子的萝卜一样多，即（1－）x＋（y＋x）×＝（1－）×（y＋x），据此化简，求出x除以y的值，即可解答。 【规范解答】设灰兔有x棵萝卜，白兔有y棵萝卜。 （1－）x＋（y＋x）×＝（1－）×（y＋x） x＋y＋x＝y＋x x＋x－x＝y－y x＝y x÷y＝÷ x÷y＝× x÷y＝ 快入冬时，白兔和灰兔都储存了一些萝卜，灰兔先把自家萝卜的送给白兔。白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔。这时两只兔子的萝卜一样多，原来灰兔的萝卜数是白兔的。 故答案为：B 【考点剖析】解答本题的关键求出灰兔是设出灰兔和白兔各有多少棵萝卜，再利用灰兔和白兔最后有萝卜数相等，进行解答。 奥数拓展五 已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏宿迁·期中）六（1）班有48位同学，踊跃订少儿读物，有的同学订《小学生数学报》，的同学订《小学生英语报》，两种报纸都订的至少( )人，两种报纸都不订的最多( )人。 【答案】 20 12 【思路引导】将总人数看作单位“1”，订《小学生数学报》的对应分率＋订《小学生英语报》的对应分率超过单位“1”，超过单位“1”的部分是至少两种都订的对应分率，总人数×至少两种都订的对应分率＝至少两种都订的人数； 如果订《小学生英语报》的全都订《小学生数学报》，则两种报纸都不订的人数最多，两种都不订的是总人数的（1－），总人数×两种都不订的对应分率＝两种都不订的人数，据此列式计算。 【规范解答】48×（＋－1） ＝48×（＋－1） ＝48× ＝20（人） 48×（1－） ＝48× ＝12（人） 两种报纸都订的至少20人，两种报纸都不订的最多12人。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，理解并掌握集合问题的解题方法，想清楚至少两种都订的对应分率和两种报纸都不订的人数最多的情况。 【变式训练】（24-25六年级下·甘肃庆阳·阶段检测）甲、乙、丙三人共加工了480个零件，已知甲加工的个数是其他两个人加工总数的，乙加工的个数是其他两人加工总数的，丙加工了多少个零件？ 【答案】 150个 【思路引导】首先，将“乙、丙两人的加工总数”看作单位“1”，因为甲加工的个数是其他两个人加工总数的，所以三人加工总数的分率为1＋，甲加工的个数占三人加工总数的；然后，将“甲、丙两人的加工总数” 看作单位“1”，因为乙加工的个数是其他两人加工总数的，所以三人加工总数的分率为1＋，乙加工的个数占三人加工总数的。最后，将“三人加工总数”看作单位“1”，求出丙占总数的分率后，用三人加工的总数乘丙的分率即可求解。 【规范解答】甲加工的个数占总数的分率： 乙加工的个数占总数的分率： 丙加工的个数占总数的分率： 丙加工的个数：（个） 答：丙加工了150个零件。 【考点剖析】本题考查了分数乘法的应用，解题的关键在于理解分率与单位“1”之间的关系，通过明确不同的单位“1”，分别求出甲、乙、丙的分率。 奥数拓展六 整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·单元复习）计算下面各题，能简算的要简算。              【答案】15；3.9；； 【思路引导】利用乘法分配律进行简算 利用乘法分配律进行简算 将99拆成（98＋1），利用乘法分配律进行简算； 利用乘法分配律先把括号拆开再进行简算 【规范解答】 ＝ 【变式训练】（2025·山东·小升初模拟）聪明屋。 ＋＋…＋       （1＋）×（1＋）×（1＋）×…×（1＋）×（1＋） 【答案】； 【思路引导】（1）可以根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c，将算式中每个数都提出，将其转化为×（1＋2＋…＋1997），将和为1998的两个数看作一组，计算出括号里一共有多少组就有多少个1998，再算括号外的乘法。 （2）观察可知，前一个括号里的数加起来的分子，是后一个括号里的数加起来的分母，所以约分抵消后，只剩下第一个括号里算出来的分母，以及最后一个括号里算出来的分子， 【规范解答】＋＋…＋ ＝×（1＋2＋…＋1997） ＝×[（1＋1997）×1997÷2] ＝× ＝ （1＋）×（1＋）×（1＋）×…×（1＋）×（1＋） ＝×××…×× ＝×××…× ＝ 【考点剖析】第一个算式解答此题的关键是找到各个分数之间的共同点，找到符合哪种运算律再简便计算； 第二个算式计算出每个算式的结果，发现前后两个分数可以进行约分是关键。 奥数拓展七 分数除法相关的简便计算 【典例精讲】计算题，能简便计算的用简便方法计算。 （1）1－－－－－－ （2） （3）（×1.7＋×1.7）÷ （4）＋＋＋＋…＋ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【思路引导】（1）1－－－－－－，根据减法性质，原式化为：1－（＋＋＋＋＋），再把化为1－；化为：－；把化为：－；化为－；把化为－；把化为－，原式化为：1－（1－＋－＋－＋－＋－＋－），再进行计算； （2）÷，把化为1000－，除法换算成乘法，原式化为：（1000－）×8，再根据乘法分配律，原式化为：1000×8－×8，再进行计算； （3）（×1.7＋×1.7）÷，先把括号里的算式根据乘法分配律化为：（＋）×1.7，原式化为：[（＋）×1.7]÷，再把除法换算成乘法，原式化为：[（＋）×1.7]×，再进行计算； （4）＋＋＋＋…＋，把化为1＋；化为2＋；化为3＋；化为4＋；…；化为10＋；再根据加法交换律和结合律，原式化为：（1＋2＋3＋4＋…＋10）＋（＋＋＋＋…＋），把（1＋2＋3＋4＋…＋10）化为（1＋10）×10÷2；再把算式（＋＋＋＋…＋）×2×，根据乘法分配律化为：（＋＋＋＋…＋）×；再把化为1－；化为：－；化为－；化为－；…化为－；最后算式化为：（1＋10）×10÷2＋（1－＋ －＋－＋－＋…＋－）×，再进行计算。 【规范解答】（1）1－－－－－－ ＝1－（＋＋＋＋＋） ＝1－（1－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝1－（1－） ＝1－1＋ ＝ （2）÷ ＝（1000－）×8 ＝1000×8－×8 ＝8000－ ＝ （3）（×1.7＋×1.7）÷ ＝[（＋）×1.7]÷ ＝[（＋）×1.7]× ＝[1×1.7]× ＝1.7× ＝ （4）＋＋＋＋…＋ ＝（1＋2＋3＋4＋…＋10）＋（＋＋＋＋…＋）×2× ＝（1＋10）×10÷2＋（＋＋＋＋…＋）× ＝（1＋10）×10÷2＋（1－＋ －＋－＋－＋…＋－）× ＝11×10÷2＋（1－）× ＝110÷2＋× ＝55＋ ＝ 【变式训练】分数除法的简便计算——巧妙约分。              【答案】1； 【思路引导】，先把分母的375拆分为374＋1，然后根据乘法分配律，将算式变为，然后计算543×1，再加上括号，将算式变为，然后计算出括号里面的减法，最后约分即可。 ，先根据带分数化假分数的方法，将算式变为，然后将除法化为乘法，算式变为，也就是，根据乘法分配律，将算式变为，再计算出括号里面的加法；然后根据整数乘分数的方法进行计算即可。 【规范解答】 奥数拓展八 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】（25-26六年级上·北京顺义·期末）上个月娱乐消费支出1080元。_____________________。交通消费支出多少元？如果用这个算式解决该问题，那么横线上应该补充的信息是（    ）。 A．比娱乐消费支出少 B．娱乐消费支出比交通消费支出多 C．比娱乐消费支出多 D．娱乐消费支出比交通消费支出少 【答案】D 【思路引导】先看算式，它表示已知一个数（娱乐消费1080元）是另一个数（交通消费）的，求另一个数。这里的单位“1”是交通消费支出。说明娱乐消费支出比交通消费支出少。 【规范解答】A．这里的单位“1”是娱乐消费支出，交通消费应为：，与题目算式不符，排除。 B．单位“1”是交通消费支出，娱乐消费是交通的1＋​，交通消费应为：1080÷（1＋​），与题目算式不符，排除。 C．单位“1”是娱乐消费支出，交通消费应为：1080×（1＋​），与题目算式不符，排除。 D．单位“1”是交通消费支出，娱乐消费是交通的1−​​，所以交通消费为：1080÷（1−），与题目算式完全一致，符合条件。 故答案为：D 【考点剖析】重点考查分数应用题中单位“1”的判断以及“已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数”知识点的运用。 【变式训练】（25-26六年级上·辽宁朝阳·期中）从下列信息中分别选两条，提出一个用分数乘法解决的问题和一个用分数除法解决的问题，并解答。 ①五年级有400名学生。 ②六年级有300名学生。 ③六年级的人数比五年级少。 ④五年级的人数比六年级多。 【答案】（1）选信息①和③，提出问题：六年级有多少名学生？ （人） （2）选信息②和③，提出问题：五年级有多少名学生？ （人） 【思路引导】（1）分数乘法问题：选信息①和③，提出问题：六年级有多少名学生？ 此时，单位“1”是五年级人数（已知，400名），六年级比五年级少，对应分率是，单位已知，用乘法可求出对应分率的量，即列式为算出六年级的学生人数。 （2）分数除法问题：选信息②和③，提出问题：五年级有多少名学生？ 此时，单位“1”是五年级人数（未知），六年级有300名学生，六年级的人数比五年级少，对应分率是，求五年级人数，单位“1” 未知，用除法，用对应的量除以对应分率，列式为：，算出五年级的学生人数。 【规范解答】根据分析： （1）选信息①和③，提出问题：六年级有多少名学生？ ＝300（人） 答：六年级有300名学生。 （2）选信息②和③，提出问题：五年级有多少名学生？ ＝400（人） 答：五年级有400名学生。 【考点剖析】本题核心是理解分数乘除法的应用场景：当单位“1”的量已知时，求其几分之几是多少用分数乘法；当单位“1”的量未知，但已知该量的几分之几是多少时，求单位“1”的量用分数除法。解题关键是准确判断单位“1”的状态，并找到对应分率与已知量的关系。 奥数拓展九 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典例精讲】（23-24六年级下·重庆开州·期末）幼儿园老师把一袋糖分给甲、乙、丙三个小朋友，先把总数的多6粒给甲，再把剩下的多9粒给乙，最后剩下的都给了丙，结果三人得到的糖一样多，这袋糖共有多少粒？ 【答案】45粒 【思路引导】根据三人分得的糖的颗数一样多可知，每人分得的糖的颗数占这袋糖总颗数的，由于甲分得的糖的颗数比这袋糖总颗数的多6颗，所以6颗糖占这袋糖总颗数的（－），用6÷（－），即可求出这袋糖的总颗数。 【规范解答】6÷（－） ＝6÷（－） ＝6÷ ＝6× ＝45（粒） 答：这袋糖共有45粒。 【考点剖析】解答本题的关键明确3人分到糖的粒数一样多，即每人分得的糖的颗数占这袋糖总颗数的。 【变式训练】．（23-24六年级下·四川·课后作业）小丽做一份练习题，第一时做完了全部的，第二时做完了余下的，第三时做完了余下的，这时余下24道题没有做，则这份练习题共有多少道？ 【答案】60道 【思路引导】把题目总数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，第一时做完后剩余（1－），第二时做完后剩余（1－）×（1－），第三时做完后剩余（1－）×（1－）×（1－），对应的是24道，已知一个数的几分之几是多少，求这个用除法计算，据此求出题目的总量。 【规范解答】24÷[（1－）×（1－）×（1－）] ＝24÷[] ＝24÷ ＝24× ＝60（道） 答：这份练习题共有60道。 【考点剖析】解答此题的关键是要找准每次乘法计算的单位“1”，找出24所对应的分率。 奥数拓展十 运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典例精讲】小明最近迷上了一本童话故事书，第一天读了这本书的还多30页，第二天读了余下的少10页，第三天读了再余下的，然后他惊喜地发现，还剩40页这本书就能被他读完了，求小明读的这本故事书一共多少页？ 【答案】180页 【思路引导】解答此题需要用倒推法，先把第二天余下的页数看作单位“1”，第三天读了第二天余下页数的，剩下页数占第二天余下页数的（1－），还剩40页没有读，则第二天余下的页数＝剩下的页数÷（1－），计算可知，第二天余下了50页；再把第一天余下的页数看作单位“1”，第二天读了第一天余下的少10页，则第二天余下的页数减去10页刚好占第一天余下页数的（1－），第一天余下的页数＝（第二天余下的页数－10页）÷（1－），计算可知，第一天余下了60页；最后把这本书的总页数看作单位“1”，第一天读了这本书的还多30页，则第一天余下的页数再加上30页刚好占总页数的（1－），这本书的总页数＝（第一天余下的页数＋30页）÷（1－），据此解答。 【规范解答】 第二天余下的页数： 40÷（1－） ＝40÷ ＝40× ＝50（页） 第一天余下的页数： （50－10）÷（1－） ＝40÷ ＝40× ＝60（页） 这本书的总页数： （60＋30）÷（1－） ＝90÷ ＝90×2 ＝180（页） 答：小明读的这本故事书一共180页。 【考点剖析】本题主要考查利用倒推法解决分数问题，准确找出单位“1”，用线段图分析题中页数对应的分率是解答题目的关键。 【变式训练】（23-24六年级下·吉林四平·期末）中国古代《九章算术》中有一道数学名题“持米过关”：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？意思是有一个人背了一袋大米过三关，在外关时用全部米的纳税，经过中关时用所剩米的纳税，经过内关时再用所剩米的纳税，最后还剩5斗米。请问：这个人原来带了多少斗米？先画图表示数量关系，再解决问题。（“斗”是中国古代的容量单位） 【答案】斗 【思路引导】本题用倒推法从后向前推算，先把经过内关时米的总数量看作单位“1”，纳税所缴的米占总数量的，则剩下的米占总数量的（1－），剩下5斗米，经过内关时米的总数量＝剩下米的数量÷（1－），再把经过中关时米的总数量看作单位“1”，纳税所缴的米占总数量的，则剩下的米占总数量的（1－），经过中关时米的总数量＝经过内关时米的总数量÷（1－），最后把经过外关时米的总数量看作单位“1”，纳税所缴的米占总数量的，则剩下的米占总数量的（1－），经过外关时米的总数量＝经过中关时米的总数量÷（1－），据此解答。 【规范解答】 5÷（1－）÷（1－）÷（1－） ＝5÷÷÷ ＝5××× ＝（斗） 答：这个人原来带了斗米。 【考点剖析】本题主要考查分数除法的应用，明确每次纳税的米都是把上次剩余的米看作单位“1”是解答题目的关键。 【基础通关】 1．（2026六年级上·全国·专题练习）在三角形中，是的，比小，则三角形是一个（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【思路引导】把的度数看作单位“1”，先求出、对应的分率，结合三角形内角和为求出最大角的度数，即可判断三角形类型。 【规范解答】 的度数：（度） 有一个角是度，属于直角三角形。 2．（26-27六年级上·全国·课后作业）下列选项中，当（    ）时，运用乘法分配律计算最简便。 A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【思路引导】用乘法分配律把算式拆成，如果是2和3的公倍数，两次乘法都能得到整数，计算最简便。 【规范解答】A．，，结果是分数，计算麻烦； B．，，结果是分数，计算麻烦； C．，，，，全部是整数计算，最简便； D．，，结果是分数，计算麻烦。 3．（26-27六年级上·全国·单元测试）六（1）班的图书角有48本文艺书、科技书的数量是文艺书的，故事书的数量是科技书的。根据以上信息，壮壮列式为，他是先求( )，再求( )；成成列式为，他是先求( )，再求( )。 【答案】 故事书是文艺书的几分之几 故事书有多少本 科技书有多少本 故事书有多少本 【思路引导】根据题意，科技书是文艺书的，故事书是科技书的。壮壮的算式中有括号，根据四则运算顺序，先算括号里面的分数乘法，即求故事书占文艺书的分率；再算括号外面的乘法，求故事书的本数。成成的算式没有括号，按照从左往右的顺序计算，先算求出科技书的本数，再乘求出故事书的本数。 【规范解答】壮壮列式为，他是先求故事书是文艺书的几分之几，再求故事书有多少本；成成列式为，他是先求科技书有多少本，再求故事书有多少本。 4．（2026六年级上·全国·专题练习）近年来，新能源汽车越来越受人们的欢迎。A小区去年拥有新能源汽车的家庭有160户，今年比去年多，则今年拥有新能源汽车的家庭有( )户；B小区今年拥有新能源汽车的家庭有72户，今年比去年多，则去年拥有新能源汽车的家庭有( )户。 【答案】 180 64 【思路引导】A小区中，去年户数是单位“1”，今年比去年多，今年就是去年的1＋，用去年数量乘这个分率得到今年户数； B小区中，去年户数是单位“1”，今年对应分率是1＋，已知今年数量，用除法求出单位“1”（去年户数）。 【规范解答】A小区今年拥有新能源的户数： 160×（1＋） ＝160× ＝180（户） B小区去年拥有新能源的户数： 72÷（1＋） ＝72÷ ＝72× ＝64（户） 5．（24-25六年级下·河南驻马店·期末）45米减少后，再增加它的，结果还是45米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】先把45米看作单位“1”，用45乘（1－）求出减少后的长度，再把减少后的长度看作单位“1”，用减少后的长度乘（1＋），求出增加后的长度，最后把算出的结果和45米比较大小。 【规范解答】45×（1－）×（1＋） ＝45×× ＝40× ＝（米） ≠45，原题说法错误。 故答案为：× 6．（26-27六年级上·全国·课后作业）灵活运用分子交换法、拆数变形法或构造公因数法，计算下列各题。          【答案】6；或 【思路引导】（1）转化为分数是7，另一个乘数是6，乘积的分子是18，可以写成，整数和分母约分，同时除以2得到，再利用乘法分配律计算。 （2）72、48、24的最大公因数是24，算式转化为分数分母都是23，另一个乘数是24，，，再利用乘法分配律计算。 【规范解答】 7．（26-27六年级上·全国·课后作业）《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一根一尺长的木棍，第一天截取它长度的一半，以后每天都截取前一天剩下长度的一半，这样永远也截取不完。照这样计算，前五天一共截取了这根木棍的几分之几？ 【答案】 【思路引导】把这根木棍的全长看作单位“1”，第一天截取了它的一半，还剩下全长的；第二天截取了剩下长度的一半，那么第二天剩下的占第一天剩下的，根据分数乘法的意义，即第二天剩下全长的；第三天截取了剩下长度的一半，那么第三天剩下的占第二天剩下的，根据分数乘法的意义，即第三天剩下全长的……，由此可知，第五天剩下的占全长的。 【规范解答】1－ ＝1－ ＝1－ ＝1－ ＝1－ ＝ 答：前五天一共截取了这根木棍的。 8．（2026六年级上·全国·专题练习）火药是我国古代四大发明之一，配制火药的原料是硝石、硫黄和木炭。2.8千克某种火药中有是硝石，木炭的质量是硝石的。木炭的质量是多少千克？ 【答案】 0.42千克 【思路引导】先把火药总质量看作单位“1”，用总质量乘求出硝石的质量；再把硝石质量看作单位“1”，用硝石质量乘求出木炭的质量。 【规范解答】 （千克） 答：木炭的质量是0.42千克。 9．（26-27六年级上·全国·课后作业）某快递站上周配送了4800个包裹，本周配送的包裹数量比上周多。该快递站本周配送了多少个包裹？ 【答案】5400个 【思路引导】把上周配送的包裹数量看作单位“1”，单位“1”的量已知，本周比上周多，所以本周对应的分率是（1＋），用上周数量乘本周的分率，即可求出本周包裹数。 【规范解答】4800×（1＋） ＝4800× ＝5400（个） 答：该快递站本周配送了5400个包裹。 10．（26-27六年级上·全国·课后作业）体育课上，同学们正在进行趣味投篮练习。某次投篮时，一个投偏的篮球从米高的篮筐上沿意外掉落。若这个篮球每次落地后反弹的高度都是上一次下落高度的，则它第三次反弹时的高度是多少米？ 【答案】米 【思路引导】每次反弹高度是上一次下落高度（单位“1”）的，第三次反弹的高度＝第三次下落高度（第二次反弹高度）×，第二次反弹高度＝第二次下落高度（第一次反弹高度）×，第一次反弹的高度＝初始下落高度×，用初始下落高度连续乘3次即得第三次反弹时的高度。 【规范解答】 （米） 答：它第三次反弹时的高度是米。 【能力提升】 1．（26-27六年级上·全国·单元测试）一根长2025m的绳子，第一天剪去它的，第二天剪去剩下的，第三天剪去剩下的…则第2025天剪去（    ）m。 A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】把每次剪完剩下的绳子看作单位“1”，第一天剪去总长的，剩下总长的（1－）；第二天剪去余下的，再乘（1－）；照这样的规律，剪完第2024天后，经过连乘约分，即可求出此时绳子剩下的长度，第2025天剪去这时剩余部分的，即可求出剪去的长度。 【规范解答】剪完第2024天剩下： 2025×（1－）×（1－）×……×（1－） ＝2025×××……× ＝1（m） 第2025天剪去：1×＝（m） 2．（25-26六年级上·浙江台州·期末）有甲乙两根绳子，甲剪去绳长的，乙剪去米，两根绳子都还剩下0.6米。那么原来甲乙两根绳子的长短比较是（    ）。 A．相等 B．甲长 C．乙长 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】算出两根绳子原来的长度，再比较。把甲根绳子的长度看作单位“1”。用对应量除以对应分率等于单位“1”的量算出原来的长度。乙根绳子的长度＝剪去的长度＋剩下的长度。 【规范解答】甲：0.6÷（1－） ＝0.6÷ ＝0.6× ＝1（米） 乙：＋0.6＝1（米） 1＝1 甲乙两根绳子的长度相等。 3．（25-26六年级上·山东滨州·期末）王叔叔和李叔叔合开了一家公司，王叔叔投资280万元，______，李叔叔投资多少万元？如果设李叔叔投资x万元，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）。 A．李叔叔比王叔叔投资少 B．比李叔叔的投资多 C．比李叔叔的投资少 【答案】C 【思路引导】如果设李叔叔投资x万元，列式为，可得等量关系：李叔叔的投资金额×＝王叔叔的投资金额，根据等量关系，逐步判断即可。 【规范解答】A．李叔叔比王叔叔投资少，将王叔叔投资金额看作单位“1”，李叔叔的投资金额相当于王叔叔的，用王叔叔的投资金额×＝李叔叔的投资金额，该选项不符合题意。 B．比李叔叔的投资多，将李叔叔投资金额看作单位“1”，王叔叔的投资金额相当于李叔叔的，用李叔叔的投资金额×＝王叔叔的投资金额，该选项不符合题意。 C．比李叔叔的投资少，将李叔叔投资金额看作单位“1”，王叔叔的投资金额相当于李叔叔的，用李叔叔的投资金额×＝王叔叔的投资金额，该选项符合题意。 故答案为：C 4．（25-26六年级上·重庆渝中·期末）甲、乙、丙三人共有180张邮票。甲先把自己邮票的给乙，然后乙把自己现有邮票的给丙，最后丙把自己现有邮票的给甲，经过这三轮传递后，三人的邮票张数恰好相等。原来甲有( )张邮票。 【答案】64 【思路引导】运用逆推思想，因为三人邮票张数相等时的总数量不变，所以先求出相等时每人的邮票数量，再根据 “已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数，用除法计算”即用这个数÷（1－几分之几），求出每人给之前原邮票数量，接着根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”，用这个数×几分之几，求出给别人的邮票数量，再结合减法运算，逆推求得每个人的邮票数量变化情况。 【规范解答】三人邮票张数相等时，每人的邮票数为：180÷3＝60（张） （1）丙给甲邮票之前丙的邮票数量： 60÷（1－） ＝60÷ ＝60× ＝72（张） 丙给甲的邮票数量为：72×＝12（张） 丙给甲邮票之后甲有60张邮票，那么丙给甲邮票之前甲的邮票数量为：60－12＝48（张） （2）乙给丙邮票之前乙的邮票数量： 60÷（1－） ＝60÷ ＝60× ＝75（张） 乙给丙的邮票数量为：75×＝15（张） 乙给丙邮票之后丙有72张邮票，那么乙给丙邮票之前丙的邮票数量为：72－15＝57（张） （3）甲给乙邮票之前甲的邮票数量：此时甲有48张邮票 48÷（1－） ＝48÷ ＝48× ＝64（张） 因此，甲原来有64张邮票。 【考点剖析】本题通过逆推法逐步还原每一步传递前的邮票数量，关键在于准确处理每一步的分数分配及剩余量。最终确定甲原有64张邮票。 5．（24-25六年级下·四川资阳·期末）一套精装《红楼梦》原价若干元，如果每套降价8元出售，销量就增加，收入增加，一套精装《红楼梦》原价( )元。 【答案】200 【思路引导】根据题意（一套精装《红楼梦》原价－8元）×精装《红楼梦》销量×（1＋）＝一套精装《红楼梦》原价×精装《红楼梦》销量×（1＋），等量关系两边同时除以一套精装《红楼梦》销量，整理可得，（一套精装《红楼梦》原价－8元）×（1＋）＝一套精装《红楼梦》原价×（1＋），设一套精装《红楼梦》原价x元，据此列方程解答。 【规范解答】解：设一套精装《红楼梦》原价x元。 （x－8）×（1＋）＝（1＋）x （x－8）×＝x x－8×＝x x－10＝x x－10－x＋10＝x－x＋10 x＝10 x÷＝10÷ x＝10×20 x＝200 6．（2025·吉林长春·小升初真题）计算。 ①           ② ③                       ④ 【答案】①1740；②11110； ③1022；④ 【思路引导】①将化成小数，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算进行简便计算； ②将转化成，根据加法交换律a＋b＝b＋a和加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）将、、和分别与一个相加即可凑整简便； ③利用换元法，设＝，则＝，用即可求得； ④＝，而＝，所以＝，所以＝；同理可知＝，＝，＝；再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算进行简便计算； 据此计算。 【规范解答】① ＝17.4×37－17.4×19＋17.4×82 ＝17.4×（37－19＋82） ＝17.4×100 ＝1740 ② ＝ ＝ ＝ ＝10＋100＋1000＋10000 ＝11110 ③设＝ 则＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1024－2 ＝1022 即＝1022 所以＝1022 ④ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点剖析】本题关键在于找出数与数之间的规律。 7．（25-26六年级上·浙江温州·期末）某景区2025年“五一”期间接待了一个旅游团。其中，成年游客人数是儿童游客人数的，后来又有5名儿童游客加入，此时成年游客与儿童游客的人数比变为3∶4。这个旅游团最初有多少名成年游客？ 【答案】60名 【思路引导】根据题意，“成年游客人数是儿童游客人数的”，可知儿童游客人数是成年游客人数的；根据后来成年游客与儿童游客的人数比变为3∶4，可知此时儿童游客人数是成年游客人数的。儿童游客人数增加了5名，这5名对应的分率差即为前后儿童游客人数占成年游客人数分率的差，利用除法即可求出单位“1”的量，即成年游客人数。 【规范解答】原来儿童游客人数是成年游客人数的： 后来儿童游客人数是成年游客人数的： ＝ ＝5×12 （名） 答：这个旅游团最初有60名成年游客。 8．（25-26六年级上·浙江台州·期末）一辆汽车从甲地开往乙地，第一个小时行了全程的，第二个小时比第一个小时少行12千米，这时汽车距乙地552千米。甲、乙两地相距多少千米？请试着画画线段图再解答。 【答案】；720千米 【思路引导】将全程看作单位“1”，画一条线段表示全程，标记出全程的，12千米和552千米，全程×第一个小时对应分率＝第一个小时行的距离，第一个小时行的距离－12千米＝第二个小时行的距离，设甲、乙两地相距x千米，根据全程－第一个小时行的距离－第二个小时行的距离＝552千米，列出方程解答即可。 【规范解答】画图略； 解：设甲、乙两地相距x千米。 x－x－（x－12）＝552 x－x＋12＝552 x＋12＝552 x＋12－12＝552－12 x＝540 x÷＝540÷ x＝540× x＝720 答：甲、乙两地相距720千米。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 9．（25-26六年级上·河南驻马店·期末）一个工厂有三个车间，已知第一车间有36人，并且人数最多。以下三个关于车间人数的信息只有一个是准确的。 ①第一车间人数占三个车间总人数的。 ②第一车间人数比总人数的少6人。 ③第一车间、第二车间、第三车间人数比是。 (1)以上三个信息中，准确的信息是( )。 (2)根据这个信息算一算，这个工厂三个车间共有多少人？ 【答案】(1)③ (2)81人 【思路引导】（1）第一车间人数最多，第一车间人数占总人数的比值最大或者按比分配时份数最多。据此判断三个信息； （2）把总人数看作单位“1”，部分量÷部分量占比＝单位“1”。 【规范解答】（1）①如果第一车间占总人数的30%，则二、三车间共占1－30%＝70%，而70%分成两份，无论怎么分，总有一个车间的占比大于30%，不符合题意，信息错误； ②“第一车间人数比总人数的少6人”即第一车间人数加上6人后占总人数的，所以总人数有： （36＋6）÷ ＝42÷ ＝210（人） 210－36＝174（人） 174人分成2份，无论怎么分，都会有一个车间多于36人，所以信息错误； ③：按比分配 每一份人数相同，第一车间占4份，第二车间占2份，第三车间3份，符合第一车间人数最多的信息，信息正确。 （2）36÷ ＝36÷ ＝36× ＝81（人） 答：这个工厂三个车间共有81人。 10．（24-25六年级上·山东德州·期末）学校组织四、五、六三个年级的全体学生参加北海公园徒步研学活动，其中五年级有240人。关于这三个年级的人数还有以下信息，请选择合适的信息解答问题。 ①五年级的人数占三个年级总人数的。 ②四、五两个年级人数的比是5∶6。 ③六年级人数比四年级人数多。 ④六年级人数比三个年级总人数的少8人。 求六年级人数，我选择的信息是_________。（填序号） 我这样解答： 【答案】②③；280人 【思路引导】已知五年级有240人，信息②给出了四、五年级人数的比，可以求出四年级人数；信息③给出了六年级与四年级的人数关系（六年级人数比四年级多），因此结合信息②和③，可以求出六年级人数。 根据五年级人数和四、五年级人数的比5∶6，可以把四年级人数看作5份，五年级人数看作6份，用总数÷总份数＝1份量，先求一份是多少人，再求5份是多少人，就是四年级人数。 六年级人数比四年级多，是把四年级人数看作单位“1”，六年级人数是四年级人数的（1＋），用四年级人数乘（1＋），就是六年级人数。 【规范解答】我选择的信息是②③ 四年级：240÷6×5 ＝40×5 ＝200（人） 六年级：200×（1＋） ＝200× ＝280（人） 答：六年级有280人。 【考点剖析】先通过四、五年级的人数比求出四年级人数，再利用“求比一个数多几分之几的数是多少”，求六年级人数。此类思路可迁移到“先通过比求中间量，再通过分数关系求最终量”的复合题中。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $