第五单元 比的认识-思维拓展【导图知识卡片+知识梳理+7个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共46题】-2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建“比的认识”单元知识体系，以“比的意义-化简-比例认识-综合应用”为逻辑脉络，用框架图呈现比与分数、除法的关联，表格对比化简比与求比值的区别，清晰展现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层设计，7个高频考点讲练结合名校易错题，如“铁丝长度比1∶4围圆面积比”培养几何直观，6个奥数拓展如“分时电价问题”提升模型意识，20题真题分基础与能力层。知识梳理含解题技巧，助力学生自主复习，教师可精准实施分层教学。

2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 比的认识『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+7个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共46题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 生活中的比（比的意义） 3 知识点二 比的化简 3 知识点三 比例的认识 4 知识点四 整理与复习（综合应用） 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 比的意义 5 高频考点二 比的读法、写法及各部分的名称 6 高频考点三 求比值 7 高频考点四 比与分数、除法的关系 8 高频考点五 比的基本性质 9 高频考点六 比的化简 10 高频考点七 比例的意义 11 难点突破 奥数拓展 12 奥数拓展一 比的读法、写法及各部分的名称 12 奥数拓展二 求比值 14 奥数拓展三 比与分数、除法的关系 15 奥数拓展四 比的基本性质 17 奥数拓展五 比的化简 18 奥数拓展六 比例的意义 20 优选真题 实战演练 22 【基础通关】 22 【能力提升】 29 知识点一 生活中的比（比的意义） 1. 比的产生与定义 定义：两个数相除，又叫做这两个数的比。 表示方法：长和宽的倍数关系可以写为长和宽的比。例如，长6宽4，写作 6:4，读作 6比4。 2. 比的各部分名称 前项：比号前面的数（如 6:4 中的 6）。 比号：中间的冒号（:）。 后项：比号后面的数（如 6:4 中的 4）。 比值：比的前项除以后项所得的商。计算方法：6 : 4 = 6 ÷ 4 = = 1.5。 注意：比值通常用分数、小数或整数表示。 3. 比在生活中的广泛应用 同类量的比 溶液配比：甘蔗汁和水的体积比是 1:2，表示1份甘蔗汁配2份水。 物体尺寸：树高和影长的比是 6:3，表示树高是影长的2倍。 身体数据：头围与腰围的比、腿长与身高的比等。 不同类量的比（产生新量） 速度：路程与时间的比。例如，马拉松选手跑42km用3小时，速度即为路程与时间的比（42:3 = 14 km/h）。 单价：总价与数量的比。例如，苹果总价9元，数量2kg，单价即为总价与数量的比（9:2 = 4.5 元/kg）。 工作效率：工作总量与工作时间的比（如打字速度）。 知识点二 比的化简 1. 比的性质 核心规律：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。（商不变性质/分数基本性质的推广） 目的：将比化成最简单的整数比（即前项和后项互质）。 2. 化简比的方法 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公因数。 > 例：24 : 42 = (24÷6) : (42÷6) = 4 : 7 分数比：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，转化为整数比，再化简。 > 例：: = (× 20) : (× 20) = 8 : 5 小数比：前项和后项同时扩大相同的倍数（10倍、100倍等），转化为整数比，再化简。 例：0.7 : 0.8 = (0.7 × 10) : (0.8 × 10) = 7 : 8 3. 化简比与求比值的区别 化简比：结果是一个比（如 4:7），前后项通常是互质的整数。 求比值：结果是一个数（如 4/7 或 0.57…），可以是分数、小数或整数。 知识点三 比例的认识 1. 比例的定义 概念：表示两个比相等的式子叫做比例。 判断依据：看两个比的比值是否相等。 > 例：12:6 = 2，8:4 = 2，因为比值相等，所以 12:6 = 8:4 是一个比例。也可以写成分数形式：12/6 = 8/4。 2. 比例的各部分名称 内项：组成比例的四个数中，靠近中间的两个数（如 12:6=8:4 中的 6 和 8）。 外项：组成比例的四个数中，两端的两个数（如 12:6=8:4 中的 12 和 4）。 3. 比例的基本性质 规律：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 > 验证：12 × 4 = 48，6 × 8 = 48。 应用：可以用来判断两个比能否组成比例，或者解比例。 4. 寻找生活中的比例 速度一定：路程和时间的比能组成比例（因为比值都是速度）。 单价一定：总价和数量的比能组成比例（因为比值都是单价）。 图形缩放：图形放大或缩小时，对应边长的比能组成比例（形状不变）。 知识点四 整理与复习（综合应用） 1. 黄金分割比 定义：把一条线段分成两部分，如果较短的一段与较长的一段的比等于较长的一段与整条线段的比，这个比值约为 0.618。 应用：广泛应用于建筑（如帕特农神庙）、绘画、人体美学（肚脐高度与身高的比接近0.618最美观）等领域。 2. 解决实际问题 按比分配：在“蜂蜜水”调配问题中隐含了此逻辑（只要蜂蜜和水的体积比相等，甜度就一样）。 地图比例尺：地图上标注的 1:8000000 也是一种比，表示图上距离与实际距离的比。 数据分析：通过计算不同条件下的比（如不同温度下鲫鱼呼吸次数与时间的比），分析变量之间的关系。 3. 易错点提示 单位统一：求比或化简比时，如果单位不同，必须先统一单位（如 1小时:20分钟，需化为 60:20）。 顺序不能颠倒：A与B的比是 A:B，B与A的比是 B:A，含义完全不同。 后项不为0：比的后项相当于除法中的除数，不能为0。 高频考点一 比的意义 【典例精讲】（25-26六年级上·湖北孝感·期中）如图中两个平行四边形重叠部分的面积相当于甲的，相当于乙的，甲、乙两个平行四边形未重叠部分的面积比是( )。 【答案】8∶3 【思路引导】重叠部分是公共量，把重叠面积当作中间参照量，可设重叠部分面积为具体值，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，分别求出甲、乙的总面积，再根据“未重叠面积＝图形总面积－重叠面积”，分别求出甲、乙未重叠部分的面积，最后求出甲、乙两个平行四边形未重叠部分的面积比。 【规范解答】设重叠部分面积为1； 1÷＝1×9＝9 1÷＝1×4＝4 9－1＝8 4－1＝3 所以，甲、乙两个平行四边形未重叠部分的面积比是8∶3。 【变式训练】（24-25六年级下·河北邢台·期末）两根铁丝的长度之比是1∶4，工人师傅把它们围成两个圆，则所围成小圆与大圆的面积比是（    ）。 A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 【答案】D 【思路引导】铁丝长度就是对应圆的周长，圆的周长比等于半径比，圆的面积比等于半径的平方比，据此计算即可。 【规范解答】两个圆的周长比等于铁丝长度比，即。由圆的周长公式，可得两个圆的半径比。由圆的面积公式，可得两个圆的面积比： 所以小圆与大圆的面积比是1∶16。 高频考点二 比的读法、写法及各部分的名称 【典例精讲】2022年卡塔尔世界杯足球比赛中，阿根廷球队以2∶0战胜了墨西哥球队，所以比的后项可以是0。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】两个数相除又叫做两个数的比。在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比一般分为两种情况：一种是同类数量的比，表示一个数是另一个数的几倍或几分之几；另一种是两个不同类的量的比。据此解答。 【规范解答】比的后项相当于除法中的除数，而除数不能为0，比的后项也不能为0。但在足球、排球等体育比赛中，比分的后项可以是0，因为这个比是体现双方得分的多少。 故答案为：× 【变式训练】12∶( )＝( )÷24＝0.25＝( )%。 【答案】 48 6 25 【思路引导】（1）根据比的前项12除以比值0.25，求出比的后项。 （2）根据商0.25乘除数24，求出被除数。 （3）把小数0.25化成百分数，只要把0.25的小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 【规范解答】12÷0.25＝12÷＝12×4＝48 0.25×24＝6 0.25＝25% 所以12∶48＝6÷24＝0.25＝25%。 【考点剖析】明确比的前项、后项、比值的关系，被除数、除数、商的关系，是解决此题的关键。 高频考点三 求比值 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）求比值。 7∶84       0.7∶0.02        ∶ 0.31∶9.3     4.9∶1.4         0.125∶0.125 【答案】；35；； ；3.5；1 【思路引导】用前项除以后项，求出比值，除以一个数等于乘这个数的倒数，将分数除法转化为分数乘法进行计算，比值结果化为最简分数。 【规范解答】7∶84＝7÷84＝＝；                                                    0.7∶0.02＝0.7÷0.02＝35； ∶＝÷＝＝； 0.31∶9.3＝0.31÷9.3＝；                                                             4.9∶1.4＝4.9÷1.4＝3.5； 0.125∶0.125＝0.125÷0.125＝1。 【变式训练】（26-27六年级上·全国·课后作业）某工厂制作一种零件，第一次8个小时加工了640个零件，第二次6.5个小时加工了520个零件。 (1)写出第一次制作的零件总数与第二次制作的零件总数的比，并求出比值。 (2)写出第一次所用时间和第二次所用时间的比，并求出比值。 (3)写出第一次制作零件总数和所用时间的比，并求出比值。 (4)写出第二次制作零件总数和所用时间的比，并求出比值。 【答案】(1)640∶520； (2)8∶6.5； (3)640∶8；80 (4)520∶6.5；80 【思路引导】明确题目要求的比的前项和后项分别对应的数值，按顺序写出比。 用比的前项除以后项，计算得到的商即为比值，再根据分数的基本性质，化为最简形式。 【规范解答】（1）640∶520；640∶520＝640÷520＝； （2）8∶6.5；8∶6.5＝8÷6.5＝； （3）640∶8；640∶8＝640÷8＝80； （4）520∶6.5；520∶6.5＝520÷6.5＝80。 高频考点四 比与分数、除法的关系 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏宿迁·期末）9÷　 　 ＝0.75＝　 　 ∶36＝＝　 　 折。 【答案】12；27；16；七五 【思路引导】先把0.75化成分数并化简是，再根据分数与除法的关系＝3÷4，再根据商不变的规律将被除数和除数都乘3，就是9÷12；根据比与分数的关系＝3∶4，再根据比的性质将比的前项、后项都乘9，就是27∶36；根据分数的基本性质，的分子、分母都乘4就是；把0.75的小数点向右移动两位添上百分号就是75%，根据折扣的意义75%就是七五折。 【规范解答】9÷12＝0.75＝27∶36＝＝七五折 【变式训练】（24-25六年级下·江西赣州·期末）48÷（    ）＝0.75＝（    ）∶36＝＝（    ）折＝（    ）（填百分数）。 【答案】64；27；12；七五；75% 【思路引导】①运用，即可以求解第一个空的值。 ②将比转化为除法，，，运用，即可求得第二空的值。 ③将分数，转化成除法：，根据，运用，即可求得第三个空的值。 ④⑤几折就是百分之几十，打几几折就是百分之几十几；小数化成百分数：把小数的小数点向右移动两位，再在所得数末尾添上百分号%。 【规范解答】 0.75＝75%＝七五折 折（填百分数） 高频考点五 比的基本性质 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期末）如果给9∶5的前项加上18，要使比值不变，可以给后项（    ）。 A．加上18 B．加上5 C．乘2 D．乘3 【答案】D 【思路引导】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。先计算前项变化后扩大到原来的几倍，后项做相同变化即可。 【规范解答】9＋18＝27 27÷9＝3 要使比值不变，后项也应扩大到原来的3倍，即乘3。 【变式训练】（2025·江西吉安·小升初模拟）m3∶800dm3的最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 5∶8 /0.625 【思路引导】先根据1m3＝1000dm3统一单位，再根据比的基本性质将比化简为最简整数比，最后用比的前项除以后项求出比值。 【规范解答】m3＝500dm3 m3∶800dm3＝500∶800＝5∶8 5÷8＝ 高频考点六 比的化简 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）化简下面的比并求比值。 40∶120        0.5∶0.25                 【答案】1∶3，；2∶1，2；1∶3，；1∶3， 【思路引导】根据比的基本性质：比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数，0除外，比值不变，将比化成最简整数比；用比的前项除以比的后项，所得的商即为比值。 【规范解答】 比值： 比值： 比值： 比值： 【变式训练】（26-27六年级上·全国·课后作业）甲、乙两地相距360千米，A车从甲地到乙地用了6小时，B车从乙地到甲地用了9小时，A车与B车的速度比是多少？ 【答案】3∶2 【思路引导】A、B两车行驶路程相等，根据“速度＝路程÷时间”，分别求出A、B两车的速度，再求A车与B车的速度比，最后化简比。 【规范解答】360÷6＝60（千米/时） 360÷9＝40（千米/时） 60∶40＝（60÷20）∶（40÷20）＝3∶2 答：A车与B车的速度比是3∶2。 高频考点七 比例的意义 【典例精讲】24-25六年级下·浙江金华·期末）下面两个比，能组成比例的是（    ）。 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【思路引导】两个比能组成比例，那么两个比的比值相等，分别算出每个选项中两组比的比值，比值相等就可以组成比例。 【规范解答】A．，，，不能组成比例。 B． ，不能组成比例。 C． ，不能组成比例。 D． ，可以组成比例。 【变式训练】（25-26六年级下·辽宁鞍山·期末）下面的比，能和∶3组成比例的是（    ）。 A． B． C．1∶15 D．3∶5 【答案】C 【思路引导】判断两个比能否组成比例，只需看两个比的比值是否相等，先求出题干中比的比值，再计算各选项比的比值即可。 【规范解答】 A．，15≠； B．，≠； C．，与题干比值相等； D． 所以能和∶3组成比例的是C选项。 奥数拓展一 比的读法、写法及各部分的名称 【典例精讲】（2025·吉林长春·小升初真题）为了解决用电矛盾，决定在某小区试点实施居民分时电价，具体通知如下： （1）时段划分：居民分时电价分为高峰时段和低谷时段。高峰时段指每日早8时至晚9时，低谷时段指每日晚9时至次日早8时。 （2）电价标准：高峰时段电价0.55元/千瓦时；低谷时段电价0.30元/千瓦时。 （3）本次更换电能表的费用由供电部门承担。 我们知道居民用电原标准为0.52元/千瓦时。当某居民家在高峰时段的用电量与低谷时段的用电量的比是( )∶( )时，执行原电价标准和实施分时电价标准的费用一样多。 【答案】 22 3 【思路引导】假设某居民月用电量是100千瓦时，则按照原标准的费用就是0.52×100，设该居民高峰时段用电x千瓦时，则低谷时段用电就是100－x千瓦时。根据两种电价费用相等列出方程，求解得出高峰和低谷时段用电量，进而求出两者的比。 【规范解答】解：设该居民高峰时段用电x千瓦时，则低谷时段用电就是（100－x）千瓦时， 0.55x＋0.3（100－x）＝0.52×100 0.55x＋30－0.3x＝52 0.25x＋30＝52 0.25x＋30－30＝52－30 0.25x＝22 0.25x÷0.25＝22÷0.25 x＝88 100－88＝12（千瓦时） 所以要使执行原电价标准和实施分时电价标准的费用一样多，则高峰时段与低谷时段的用电量的比是：88∶12＝22∶3。 【变式训练】如图是长方形中，点是的中点，阴影部分三角形EFC的高是长方形宽的，阴影部分与空白部分的面积比是（    ）。 A．1∶11 B．1∶10 C．1∶9 D．1∶12 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，E是DC的中点，则EC＝DC；阴影部分三角形EFC的高是长方形宽的，即三角形EFC的高＝BC；根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，三角形EFC的面积＝DC×BC÷2，即三角形EFC的面积＝×DC×BC，长方形面积＝DC×BC；所以三角形EFC的面积＝×长方形的面积；空白面积＝长方形面积－×长方形面积，据此求出空白面积，再根据比的意义，进行解答。 【规范解答】根据分析可知，阴影部分三角形EFC的面积＝DC×BC÷2 阴影部分三角形EFC的面积＝×DC×BC 阴影部分三角形EFC的面积＝×长方形面积 空白部分面积＝长方形面积－阴影部分面积 空白部分面积＝长方形面积－×长方形面积＝×长方形面积 阴影部分面积∶空白部分面积＝（×长方形面积）∶（×长方形面积） ＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝1∶11 如图是长方形中，点是的中点，阴影部分三角形EFC的高是长方形宽的，阴影部分与空白部分的面积比是1∶11。 故答案为：A 【考点剖析】熟练掌握三角形面积公式、长方形面积公式以及比的意义是解答本题的关键。 奥数拓展二 求比值 【典例精讲】（2026·重庆渝北·小升初模拟）已知，求______。 【答案】 【思路引导】假设＝k，则＝k，用含k的式子分别表示a、b、c，再代入所求代数式，化简计算。 【规范解答】假设＝k，则＝k， 所以a＝4k，b＝5k，c＝6k。 ＝ ＝ ＝ 【变式训练】（25-26六年级上·江苏扬州·期末）下面说法错误的是（    ）。 A．树叶的长与宽的比值越大，树叶就越狭长。 B．建造一幢教学大楼，计划投资90万元，实际节省了，这句话中的是把“实际投资”看作单位“1”。 C．把错当成进行计算，算出的结果与正确结果相差4。 D．学校生物小组用两种不同的大豆种子做发芽试验，第一种大豆种子的发芽率是92%，第二种大豆种子的发芽率是97%，第二种大豆种子发芽的粒数不一定比第一种多。 【答案】B 【思路引导】A．比的前项除以后项所得的商叫做比值。 B．把计划投资看作单位“1”。 节省了计划投资的。 C．根据乘法分配律，把的括号打开，并和比较。 D．发芽粒数＝种子总粒数×发芽率。 【规范解答】A．树叶长与宽的比值＝长÷宽，比值越大，说明长相对宽越大，树叶就越狭长，该说法正确。 B．“实际节省了”，是指节省了计划投资的，单位“1”应该是计划投资，不是实际投资，该说法错误。 C．计算对比： 正确结果： 错误结果： ，相差 ，该说法正确。 D．发芽粒数＝种子总粒数×发芽率，题目中没有给出两种种子的总粒数，所以即使发芽率更高，第二种发芽的粒数也不一定比第一种多，该说法正确。 奥数拓展三 比与分数、除法的关系 【典例精讲】（25-26六年级下·山东济南·期末）为丰富班级图书角，学校开展“书香校园”图书采购活动，某书店接到一批课外书的供货任务，第一天配送的图书册数与总册数的比是1∶5，第二天配送了660册课外书，两天配送的册数比未配送的册数少。这批课外书的采购任务一共是多少册？ 【答案】2700册 【思路引导】已知两天配送的册数比未配送的册数少，将未配送的册数看作5份，则两天配送的册数比未配送的册数少1份，即两天配送的册数占5－1＝4份，总册数为（5＋4）份，那么两天配送的册数占总册数的。已知第一天配送的册数占总册数的，那么第二天配送的册数占总册数的。 将总册数看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义，用第二天配送的册数除以，求出总册数。 【规范解答】 （册） 答：这批课外书的采购任务一共是2700册。 【变式训练】（25-26六年级上·福建三明·期末）实验小学六（1）班男生人数与女生人数的比是5∶6，后来又转来1名男生，这时男生人数是女生人数的，这个班现在有学生（    ）人。 A．21 B．24 C．35 D．45 【答案】D 【思路引导】男生人数与女生人数的比是5∶6说明原来男生人数是女生的，转来1名男生后，男生人数变成女生的。这1名男生对应的就是女生人数的－，把女生人数看作单位“1”，再利用“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用1除以它对应的分率求出女生人数，再用女生人数乘计算出现在的男生人数，最后将女生人数和男生人数相加即可得到全班总人数。 【规范解答】1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷ ＝1×24 ＝24（人） 24×＝21（人） 24＋21＝45（人） 【考点剖析】关键点是抓住女生人数不变，把它作为标准量，通过男生人数的变化量求出标准量，再计算总人数。 奥数拓展四 比的基本性质 【典例精讲】（25-26六年级上·山东济南·期末）小林、小刚和小明相约去书城购书。小林所花钱数与小刚所花钱数的比是2∶3，小刚所花钱数的等于小明所花钱数的，而小明比小林多花了64元。他们购书一共花了多少钱？ 【答案】232元 【思路引导】根据“小刚花钱数的等于小明花钱数的”，根据比例的基本性质：在一个比例里，两个外项的积等于两个内项的积，将分数等式转化为小刚与小明的花钱数之比；结合已知的小林与小刚的比2∶3，通过比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，把小刚的份数统一为9份，得到小林、小刚、小明的连比；再由“小明比小林多花64元”，算出两人的份数差，用多花的钱数除以分数差求出每份代表的钱数；最后，算出总份数，用总份数乘每份金额，得到三人购书的总花费。 【规范解答】由小刚花钱数的等于小明花钱数的，即小刚×＝小明×，可得，小刚∶小明＝∶＝（​×21）∶（​×21）＝9∶14 小林∶小刚＝2∶3＝（2×3）∶（3×3）＝6∶9 所以，小林∶小刚∶小明＝6∶9∶14 14－6＝8（份） 64÷8＝8（元） 6＋9＋14＝29（份） 29×8＝232（元） 答：他们购书一共花了232元。 【变式训练】（25-26六年级上·山西朔州·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．0.3＝30%，所以0.3t＝30%t B．用4个圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。 C．圆的半径扩大到原来的4倍，周长和面积也扩大到原来的4倍。 D．如果把5∶7的前项加上35，要使比值不变，后项应加上49。 【答案】D 【思路引导】A．百分数表示一个数是另一个数的百分之几，不能表示具体的量，不能带单位。 B．4个圆心角为90°的扇形，只有当它们的半径相等时才能拼成一个圆。 C．利用假设法，根据圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝πr2，算出圆原来的周长和现在的周长以及它们的关系，算出圆原来的面积和现在面积以及它们的关系。 D．比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 【规范解答】A．百分数不能表示具体的量，不能带单位。该选项错误。 B．4个圆心角为90°的扇形，当它们的半径不相等时不能拼成一个圆。该选项错误。 C．设原来圆的半径是1，圆的半径扩大到原来的4倍后是4，那么原来的周长是C＝2×π×1＝2π，现在的周长是C＝2×π×4＝8π，8π÷2π＝4，现在的周长扩大到原来的4倍。 原来的面积是S＝π×12＝π×1＝π，现在的面积是S＝π×42＝π×16＝16π，16π÷π＝16，现在的面积扩大到原来的16倍。原题说法错误。 D．（35＋5）÷5＝40÷5＝8，7×8＝56，56－7＝49，要使比值不变，后项应加上49。该选项正确。 奥数拓展五 比的化简 【典例精讲】（25-26六年级下·安徽蚌埠·期末）如图，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积是( )，阴影部分与长方形旋转后得到的立体图形的体积之比是( )。 【答案】 78.5 1∶3 【思路引导】长方形绕左侧轴旋转一周，得到的是圆柱，圆柱的底面半径r＝5cm，高h＝3cm；阴影部分是直角三角形，一条直角边在旋转轴上，绕轴旋转一周得到圆锥，圆锥和上述圆柱等底等高。根据圆柱体积​＝；圆锥体积＝分别计算出圆柱与圆锥的体积，进而根据比的基本性质，求出阴影部分与长方形旋转后得到的立体图形的体积之比。 【规范解答】圆柱的体积（将长方形绕轴旋转一周后得到的立体图形的体积）： 3.14××3 ＝3.14×25×3 ＝78.5×3 ＝235.5（） 圆锥的体积（阴影部分旋转后得到的立体图形的体积）： ×3.14××3 ＝×3.14×25×3 ＝（×3）×（3.14×25） ＝1×78.5 ＝78.5（） 阴影部分与长方形旋转后得到的立体图形的体积之比： 78.5∶235.5 ＝（78.5÷78.5）∶（235.5÷78.5） ＝1∶3 将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积是78.5，阴影部分与长方形旋转后得到的立体图形的体积之比是1∶3。 【变式训练】（24-25六年级下·湖北黄石·期末）甲乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是4∶3，他们第一次相遇后，甲的速度提高10%，乙的速度降低20%，这样当甲到B地时，乙离A地还有52千米，那么AB两地的距离是多少千米？ 【答案】154千米 【思路引导】把AB两地之间的路程看作单位“1”，甲乙的速度比是4∶3，相遇时甲乙所行的路程的比也是4∶3，那么乙的速度就是甲的，相遇时的甲所行的路程是全程的，相遇以后甲的速度是1×（1＋10%），乙的速度是×（1－20%），所以相遇后甲乙所行的路程的比就是它们速度的比，甲速∶乙速＝［4×（1＋10%）］∶［3×（1－20%）］＝11∶6；同样在相同时间内，速度比等于路程比，乙行路程是甲行路程的，当甲到达B地时，甲行了全程的，乙行了全程的×＝，52千米就相当于全程的（－），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出全程是多少千米。 【规范解答】根据分析： 相遇时甲行了全程的＝，乙行了全程的1－＝； 提速后，甲速∶乙速 ＝［4×（1＋10%）］∶［3×（1－20%）］ ＝［4×1.1］∶［3×0.8］ ＝4.4∶2.4 ＝（4.4÷0.4）∶（2.4÷0.4） ＝11∶6 乙行路程是甲行路程的 则A、B两地相距： 52÷（－×） ＝52÷（－） ＝52÷（－） ＝52÷ ＝52× ＝154（千米） 答：AB两地相距154千米。 奥数拓展六 比例的意义 【典例精讲】下面各图中相对应的两个量能组成比例的有（    ）。 （1）平行四边形                  （2）运输       （3）阅读                             （4）糖水        A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例。 【规范解答】A．平行四边形的底与高的比： 6∶4＝6÷4＝ 3∶2＝3÷2＝ 比值相等，可以组成比例6∶4＝3∶2； B．每天运输总量与运输次数的比： 20∶4＝20÷4＝5 15∶3＝15÷3＝5 比值相等，可以组成比例20∶4＝15∶3； C．小君每天看的页数与小好每天看的页数比，小好看的天数与小君看的天数比： 30∶25＝30÷25＝ 18∶15＝18÷15＝ 比值相等，可以组成比例30∶25＝18∶15； D．糖与水的比： 1∶6＝1÷6＝ 10∶60＝10÷60＝ 比值相等，可以组成比例1∶6＝10∶60。 综上所述，相对应的两个量能组成比例的有①②③④。 故答案为：D 【考点剖析】掌握比例的意义及比值的求法是解题的关键。 【变式训练】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比例被公认为是最美的美感，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比，这个人的身材比较好看。如图中点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC。 （1）根据上面的线段写出一个比例：（    ）∶（    ）＝（    ）∶（    ）。 （2）一个参加空姐选拔活动的选手，其肚脐以上部分长65厘米，以下部分长100厘米。为了显得更好看一些（精确到1厘米），她应该穿多少厘米高的鞋子？ 【答案】（1）AC；AB；BC；AC； （2）5厘米 【思路引导】（1）由题意可知，点C是线段AB的黄金分割点，较长的线段∶整条线段＝较短的线段∶较长的线段； （2）当选手肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比时，肚脐以上的高度∶肚脐以下的高度＝0.618，则肚脐以下的高度＝肚脐以上的高度÷0.618，最后减去这个选手肚脐以下部分的长度就是鞋子的高度，据此解答。 【规范解答】（1）分析可知，根据线段写出的比例为：AC∶AB＝BC∶AC。（答案不唯一） （2）65÷0.618≈105（厘米） 105－100＝5（厘米） 答：她应该穿5厘米高的鞋子。 【考点剖析】本题主要考查解决与比相关的问题的能力，理解黄金比例的意义是解答题目的关键。 【基础通关】 1．（25-26六年级上·山东青岛·期中）农历九月九日是我国的重阳节，也叫登高节。亮亮和强强重阳节相约爬山，从山脚到山顶亮亮爬了20分钟，强强用了16分钟，亮亮和强强的速度比是（    ）。 A．20∶16 B．5∶4 C．4∶5 【答案】C 【思路引导】两人所走的路程相等。依据公式“速度＝路程÷时间”，设路程为单位“1”，那么可分别表示出亮亮和强强的速度。写出两人速度的比后，根据比的基本性质化简为最简整数比，再对应选项判断。 【规范解答】将从山脚到山顶的路程看作单位“1”，亮亮的速度是：1÷20＝，强强的速度是：1÷16＝ 亮亮和强强的速度比为： ​ 2．（24-25六年级下·河南驻马店·期末）下面说法中，正确的有（    ）个。 ①如果要反映病人的体温变化，最好做成折线统计图。 ②完成一项任务，甲单独做10小时完工，乙单独做15小时完工，则甲、乙两人的工作效率比是3∶2。 ③求正方体、长方体、圆柱体的体积都可以用底面积乘高。 ④生产的90个零件中，有10个是废品，则合格率是90%。 ⑤若（a、b、c均不为0），那么a、b、c最大的数是c。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】①根据折线统计图特点：折线统计图不仅能看出数量多少，还能清晰反映数量增减变化趋势，据此判断； ②把任务总量看作单位 “1”，根据工作效率工作总量工作时间，据此判断； ③根据正方体、长方体、圆柱体体积公式进行判断； ④根据合格率合格数量总数量，据此判断； ⑤根据两个非0的因数相乘，乘积相等时，一个因数越小，另一个因数越大，据此判断。 【规范解答】根据分析可知： ①病人体温需要观察随时间的升降变化，选用折线统计图，说法正确； ②把任务总量看作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲、乙工作效率比为，说法正确； ③正方体体积边长边长边长底面积高；长方体体积长宽高底面积高；圆柱体体积底面积高； 综上分析，正方体、长方体、圆柱体体积都可按“底面积乘高”计算，说法正确。 ④合格零件数：（个），合格率：，说法错误。 ⑤（a、b、c均不为0），，，乘积相等时，一个因数越小，另一个因数越大，，所以，即最大数是a，说法错误。 综上，正确的说法有3个。 3．（24-25六年级下·河南郑州·期末）3月14日不仅是圆周率π的纪念日，更是国际数学日，六年级（1）班要设计一枚会徽，要求外框是正方形，内部是圆形。已知正方形的边长与圆的直径比为4∶3，正方形与圆的周长比是（    ）。 A．4∶3 B．16∶9 C．16∶3π 【答案】C 【思路引导】已知正方形的边长与圆的直径比为4∶3，设正方形边长为4，圆的直径为3。 根据正方形的周长公式C＝4a，圆的周长公式C＝2πr，分别求出正方形、圆的周长，再根据比的意义得出正方形与圆的周长比。 【规范解答】设正方形边长为4，圆的直径为3。 正方形周长：4×4＝16 圆的周长：π×3＝3π 正方形与圆的周长比是16∶3π。 4．（24-25六年级下·河南新乡·期末）30kg∶0.3t的比值是( )，5分∶0.5时的最简整数比是( )。 【答案】 /0.1 1∶6 【思路引导】1t＝1000kg，把t换算为kg，用前项除以后项即可求出比值； 1时＝60分，把时换算为分，再根据比的基本性质将其化简为最简整数比。 【规范解答】30kg∶0.3t ＝30kg∶300kg ＝30∶300 ＝30÷300 ＝ ＝ 5分∶0.5时 ＝5分∶30分 ＝5∶30 ＝（5÷5）∶（30÷5） ＝1∶6 5．（24-25六年级下·河南周口·期末）消毒液有一定的刺激性和腐蚀性，在使用时需要严格按照比例加水稀释。如表是某种品牌的消毒液与水的配比表。 通用名称：消毒液 用法用量： 1.餐饮器具：消毒液和水的稀释比为1∶150，泡15分钟； 2.地面、桌面消毒：消毒液和水的稀释比为1∶200，喷雾消毒，消毒后打开门窗彻底通风。 食堂用0.02千克的消毒液配制3千克的水对餐具进行消毒，是否符合标准？我的判断是_______（填“符合”或“不符合”）；我的理由是：____________________。 【答案】 符合 0.02∶3＝1∶150，符合餐饮器具中消毒液和水的配比。 【思路引导】观察配比表可知：餐饮器具需要消毒液和水的稀释比为1∶150，计算这个食堂0.02千克的消毒液配制3千克的水对餐具进行消毒，所以消毒液和水的比是0.02∶3，根据比的基本性质，化简比，判断是否符合1∶150的要求。 【规范解答】0.02∶3 ＝（0.02÷0.02）∶（3÷0.02） ＝1∶150 我的判断是符合标准；我的理由是：0.02∶3＝1∶150，符合餐饮器具中消毒液和水的配比。 6．（26-27六年级上·全国·课后作业）比值是的比只有3∶4。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】比的前项和后项同时乘同一个不为0的数，比值不变，因此比值为的比有无数个，不只有。 【规范解答】根据比的基本性质：， ，，同理可得无数个比值为的比。 故答案为：× 7．（24-25六年级下·陕西安康·期末）比的前项扩大到原来的2倍，后项缩小到原来的，比值不变。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】比的后项不变，前项扩大到原来的几倍，比值就扩大到原来的几倍；比的前项不变，后项缩小到原来的几分之一，比值反而扩大到原来的几倍，因此题干说法错误。 【规范解答】前项扩大到原来的2倍，比值先扩大到原来的2倍；后项缩小到原来的，比值再扩大到原来的4倍。 所以比值扩大到原来的8倍，不是不变。 故答案为：× 8．（26-27六年级上·全国·课后作业）化简比并求比值。 ∶0.24            ∶2            3.6∶ 0.6公顷∶300平方米        2.5吨∶1500千克            小时∶20分 【答案】30∶1，30；3∶16，；2∶1，2； 20∶1，20；5∶3，；1∶2， 【思路引导】根据比的基本性质：比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数，0除外，比值不变，将比化成最简整数比；比里面既有分数又有小数的，可以用分数的分子除以分母，将分数化成小数。 用比的前项除以比的后项，所得的商即为比值。单位不统一的，结合1时＝60分，1公顷＝10000平方米，1吨＝1000千克，需要先统一单位，再化简并求比值。 【规范解答】∶0.24 ＝7.2∶0.24 ＝（7.2×100）∶（0.24×100） ＝720∶24 ＝（720÷24）∶（24÷24） ＝30∶1 30÷1＝30 ∶2 ＝（×8）∶（2×8） ＝3∶16 3÷16＝ 3.6∶ ＝3.6∶1.8 ＝（3.6÷1.8）∶（1.8÷1.8） ＝2∶1 2÷1＝2 0.6公顷∶300平方米 ＝（0.6×10000）平方米∶300平方米 ＝6000∶300 ＝（6000÷300）∶（300÷300） ＝20∶1 20÷1＝20 2.5吨∶1500千克 ＝（2.5×1000）千克∶1500千克 ＝2500∶1500 ＝（2500÷500）∶（1500÷500） ＝5∶3 5÷3＝ 小时∶20分 ＝分∶20分 ＝10∶20 ＝（10÷10）∶（20÷10） ＝1∶2 1÷2＝ 9．（24-25六年级下·山东临沂·期末）一块长20米、宽15米的长方形地，划分成两部分分别用来种黄瓜和番茄，并且要使种黄瓜的面积比种番茄的面积大100平方米。这块地应该怎样划分？请你算一算黄瓜地和番茄地分别是多少平方米？并在图中画一画，标注出黄瓜地和番茄地。 【答案】划分方法：将宽度平均分成三段，每段为5米，平行于长度方向进行划分； 200平方米；100平方米； 【思路引导】首先根据长方形的面积＝长×宽，求出整块长方形地的面积； 根据题干信息：黄瓜地面积番茄地面积长方形地的面积；黄瓜地面积番茄地面积100 平方米，分别求出黄瓜地和番茄地面积； 再分别求出黄瓜地面积、番茄地面积与整块长方形地的面积的占比关系，根据占比划分长方形地。 【规范解答】根据分析，长方形地的面积为：（平方米）； 依据等量关系： 黄瓜地面积番茄地面积300平方米； 黄瓜地面积番茄地面积100 平方米， 求得：黄瓜地面积为200平方米、番茄地面积为100平方米； 答：黄瓜地和番茄地分别是200平方米、100平方米。 黄瓜地面积占整块长方形地的面积为：； 番茄地面积占整块长方形地的面积为： 因此，需将整块长方形地的面积平均分为3份，黄瓜地面积占其中2份，番茄地面积占其中1份； 根据题干给出图形，将宽度平均分成三段，每段为米，平行于长度方向进行划分。 图形：略 10．（24-25六年级下·山东德州·期末）你知道吗？ 芯片（Chip），又称集成电路，是一种将大量电子元件（如晶体管、电阻、电容等）集成在微小半导体材料上的微型电子器件，是现代电子设备的核心组件。芯片通过半导体工艺将电路小型化，所有元件集成在半导体晶片或介质基片上，封装后形成具有特定功能的微型结构。其核心材料以硅为主，其他包括钴、砷化镓等。芯片的功能与特点：①微型化：元件密度高，体积小。②高性能：低功耗、高可靠性，支持智能化功能。③核心作用：作为电子设备的“大脑”，负责数据处理、信号控制等。 请回答下面的问题。 (1)一种小型无人机，无人机的架数与芯片的总数量的关系如下表。 数量（架） 0 1 2 3 4 5 6 7 … 芯片数量（个） 0 12 24 36 48 60 72 84 … 无人机的架数与芯片的数量这两个量成什么比例关系？请在表格中选出两组数，组成比例。 (2)张叔叔买5架无人机花了6040元，李叔叔的商店想进货30架同样的无人机，需要准备多少钱？（★用两种方法解答） 【答案】(1)正比例关系；12∶1＝24∶2（答案不唯一） (2)36240元 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系；表示两个比相等的式子叫作比例，选出两组数并写出比例即可； （2）方法1：先根据“单价＝总价÷数量”求出1架无人机的钱数，再根据“总价＝单价×数量”求出李叔叔购买30架无人机需要的钱数； 方法2：无人机的单价不变，一共需要的钱数÷购买无人机的数量＝无人机的单价（一定），则购买无人机的数量与所需钱数成正比例关系，李叔叔需要准备的钱数∶购买无人机的数量＝张叔叔一共花的钱数∶购买无人机的数量，据此列比例解答。 【规范解答】（1）分析可知，（一定），所以无人机的架数与芯片的数量这两个量成正比例关系，12∶1＝24∶2（答案不唯一）。 （2）方法1：6040÷5＝1208（元） 1208×30＝36240（元） 答：需要准备36240元。 方法2：解：设需要准备x元。 x∶30＝6040∶5 5x＝6040×30 5x＝181200 x＝181200÷5 x＝36240 答：需要准备36240元。 【能力提升】 1．（25-26六年级下·湖北襄阳·期末）一个等腰三角形的两条边的长度比是4∶9，这个等腰三角形的周长是（    ）。 A．17 B．15 C．22 D．17或22 【答案】C 【思路引导】根据三角形两边之和大于第三边的规则，先判断等腰三角形腰长对应的份数，排除无法构成三角形的情况，再计算周长。 【规范解答】等腰三角形两条边长度比为4∶9； 若腰长对应4份，底边长对应9份：，，不符合三角形三边关系，舍去。 若腰长对应9份，底边长对应4份：，，符合三角形三边关系。 周长为：。 2．（25-26六年级上·重庆垫江·期末）已知△＋△＋△＝★，★＋★＋★＝□＋□，则△∶□是（    ）。 A．3∶2 B．1∶9 C．2∶3 D．2∶9 【答案】D 【思路引导】先把★用△表示，再代入第二个等式，把所有量都换成△和□，最后直接整理出△和□的比。 【规范解答】从第一个等式△＋△＋△＝★可以得出，★＝3△，也就是1个★等于3个△。 把★＝3△代入第二个等式★＋★＋★＝□＋□，得到3△＋3△＋3△＝2□，也就是9△＝2□。由9△＝2□可以推出△：□＝2：9。 故答案为：D 【考点剖析】重点考查用等量代换建立数量关系，再求比值。 3．（25-26六年级上·江苏常州·期中）下面三个情境中的比，可以用2∶3表示的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 【答案】A 【思路引导】情境①中白球4个、黑球6个，个数比为4∶6，根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数，0除外，比值不变），同时除以2化简得2∶3，符合要求；情境②中钢笔长度1.5dm（需先统一单位为15cm）、铅笔长度10cm，长度比为15∶10，化简后得3∶2，与2∶3不符；情境③中小正方形边长20cm、大正方形边长30cm，面积比需先计算面积（正方形面积＝边长×边长），即（20×20）∶（30×30）＝400∶900，化简后得4∶9，也与2∶3不符。综上，只有1个情境的比可用2∶3表示，答案为A。 【规范解答】情境①中白球4个、黑球6个，个数比为4∶6＝2∶3 情境②钢笔长度1.5dm＝15cm，铅笔长度10cm，长度比为15∶10＝3∶2 情境③面积比（20×20）∶（30×30）＝400∶900＝4∶9 综上，只有1个情境的比可用2∶3表示。 故答案为：A 【考点剖析】比的化简要遵循比的基本性质（前项、后项同乘/除以非零数，比值不变）；涉及不同单位的量（如情境②的长度），需先统一单位再求比；面积比（如情境③）不能直接用边长比，要先根据面积公式计算实际面积再求比。 4．（25-26六年级上·河北保定·期末）已知一个比例的两个外项分别是4和3.2，组成比例的两个比比值是，其中一个内项是8，另一个内项是( )。 【答案】 1.6 【思路引导】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。设另一个内项为x，根据内项积等于外项积，可列出方程求解。同时，需验证比值条件是否满足。 【规范解答】 设另一个内项为x，则： 验证：若内项为8和1.6，根据比值是则比例为 计算比值：4÷8＝0.5，1.6÷3.2＝0.5，比值均为，符合题意。 因此，另一个内项是1.6。 5．（25-26六年级·全国·寒假作业）朝鲜族泡菜做工精细，最受欢迎的泡菜有白菜、萝卜、黄瓜等。一家泡菜店某天售出的白菜泡菜和萝卜泡菜的箱数比是3∶4，萝卜泡菜和黄瓜泡菜的箱数比是6∶5，已知白菜泡菜和黄瓜泡菜共售出57箱，则萝卜泡菜售出了( )箱。 【答案】36 【思路引导】根据比的前项和后项同时乘或者除以同一个数（0除外），比不变；先将萝卜泡菜在两种比中的份数统一，即先求出白菜泡菜、萝卜泡菜、黄瓜泡菜三者箱数的连比为9∶12∶10，可得白菜泡菜箱数占白菜泡菜和黄瓜泡菜的，且两者共售出57箱，把总数57箱看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，求得白菜泡菜售出的箱数；再根据白菜泡菜和萝卜泡菜的箱数比为9∶12，即萝卜泡菜的箱数占白菜泡菜箱数的，再把白菜泡菜的箱数看作单位“1”，利用分数乘法求得萝卜泡菜的箱数。 【规范解答】白菜泡菜箱数∶萝卜泡菜箱数＝3∶4 3∶4 ＝（3×3）∶（4×3） ＝9∶12 萝卜泡菜箱数∶黄瓜泡菜箱数＝6∶5 6∶5 ＝（6×2）∶（5×2） ＝12∶10 所以白菜泡菜箱数∶萝卜泡菜箱数∶黄瓜泡菜箱数＝9∶12∶10； （箱） 27×＝＝36（箱） 即萝卜泡菜售出了36箱。 【考点剖析】主要是利用中间量萝卜泡菜的箱数先求得三者箱数的连比，再结合分数乘法的意义，利用分数乘法运算解答。 6．（2025·重庆渝北·小升初真题）甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。乙的速度是甲的，相遇后两人继续前行，甲到达B地，乙到达A地后立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点20千米，那么A、B两地相距多少千米？ 【答案】50千米 【思路引导】根据乙的速度是甲的，可知甲乙速度比为3∶2，将比的前后项看成份数，第一次相遇时两人共走1个全程，甲走3份，乙走2份，全程为（3＋2）份，相遇点距A地3份。第二次相遇时，两人共走3个全程，甲共走（3×3）份，到达B地后返回（3×3－5）份，相遇点距A地1份。两次相遇点相距2份，对应20千米，故每份10千米，全程5份即50千米。 【规范解答】甲乙速度比为3∶2。 全程总份数：3＋2＝5（份） 第二次相遇，甲走的份数：3×3＝9（份） 到达B地后，甲返回的份数：9－5＝4（份） 第二次相遇，甲距A地份数：5－4＝1（份） 两次相遇点相距份数：3－1＝2（份） 20÷2＝10（千米） 10×5＝50（千米） 答：A、B两地相距50千米。 【考点剖析】关键是确定两人速度比，理解第二次相遇时，两人共走3个全程。 7．（2024·河南漯河·小升初真题）一种奶茶，奶和茶的比是1∶4，现在加入奶和茶各100克后，可得奶茶700克。现在的奶茶中奶和茶的比是多少？现在的奶茶与原来相比，是奶味加重了还是茶味加重了？ 【答案】2∶5；奶味加重了 【思路引导】用700减去两个100可得原来奶茶的总量，再根据比的应用，把原来奶茶的总量看作单位“1”，奶的质量是总量的，茶的质量是总量的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可分别求出原来的奶和茶的质量。再分别用原来的奶的质量加100的和比原来的茶的质量加100的和，再化简比可得第一问；比较原来奶和茶的比是1∶4，即2∶8，而现在的奶和茶的比是2∶5，是奶味加重了。 【规范解答】700－100×2 ＝700－200 ＝500（克） 500× ＝500× ＝100（克） 500× ＝500× ＝400（克） （100＋100）∶（100＋400） ＝200∶500 ＝2∶5 据分析可知，加入的奶和茶各100克，比原来奶味重。 答：在的奶茶中奶和茶的比是2∶5；现在的奶茶与原来相比，是奶味加重了。 【考点剖析】本题的关键是找出原来奶茶的质量，再根据原来奶与茶的比，分别求出奶与茶的质量，由现在奶与茶的质量求现在奶与茶的比，如果奶与茶的比值和以前相比增大，则奶味加重，反之是茶味加重。 8．（24-25六年级下·全国·单元复习）甲、乙两个养马场都有红、白、黑三种颜色不同的马，其中红马总数、白马总数占养马场总数的36%和34%，其中甲养马场中红马占40%，白马占25%；乙养马场中红马占30%，请问乙养马场中黑马占百分之几？ 【答案】22.5% 【思路引导】利用十字相乘法，红马占总数量的36%，甲马场的红马占40%，乙马场的红马占30%，那么甲乙两个养马场的养马总数之比就是甲：乙＝（36%－30%）∶（40%－36%），再根据这个比例由甲养马场中白马占的百分数求出乙养马场白马占的百分数，进而求解。 【规范解答】甲乙两个养马场的养马总数之比为： 甲∶乙＝（36%－30%）∶（40%－36%）＝6%∶4%＝3∶2 解：设甲养马场中白马占的百分数为x。 （x－34%）∶（34%－25%）＝3∶2 （x－34%）∶9%＝3∶2 （x－34%）×2＝9%×3 2x－68%＝27% 2x＝95% x＝47.5% 1－30%－47.5% ＝70%－47.5% ＝22.5% 答：乙养马场中黑马占 22.5%。 9．（2024·湖北荆州·小升初真题）猎犬发现离它15米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 【答案】90米 【思路引导】由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步a米；由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑a×3＝a米；从而可知猎犬与兔子的速度比是2a∶a ＝6∶5，在同一时间里，路程比就是速度比6∶5，当猎狗追上兔子时，它们运动距离相差6－5＝1倍，正好是相差15米，从而求出1倍的，再乘以6就是猎犬追上兔子的距离，据此解答即可。 【规范解答】设猎犬每步a米，则兔子每步a米 （2×a）∶（a×3） ＝2a∶a ＝6∶5 15÷（6－5）×6 ＝15×6 ＝90（米） 答：猎犬至少跑90米才能追上兔子。 【考点剖析】解答此题的关键是求出猎狗和兔子的速度之比，再根据在同一时间里，速度比就是路程比，求出其路程比。 10．加工一批零件，师傅单独加工15天完成，徒弟每天能加工30个。现在先由师傅单独加工3天，然后两人共同加工，完成任务时，师徒加工零件个数的比是3∶2。这批零件一共有多少个？ 【答案】450个 【思路引导】将零件总个数看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，根据完成任务时，师徒加工零件个数的比是3∶2，师傅完成总个数的，徒弟完成总个数的，根据工作总量÷工作效率＝工作时间，求出师傅加工总天数，师傅加工总天数－师傅单独加工的天数＝两人合作天数，即徒弟加工天数，徒弟每天加工个数×徒弟加工天数＝徒弟加工个数，徒弟加工个数÷对应分率＝零件总个数，据此列式解答。 【规范解答】（天） 9－3＝6（天） 30×6÷ ＝180÷ ＝180× ＝450（个） 答：这批零件一共有450个。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，部分数量÷对应分率＝整体数量。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 比的认识『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+7个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共46题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 生活中的比（比的意义） 3 知识点二 比的化简 3 知识点三 比例的认识 4 知识点四 整理与复习（综合应用） 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 比的意义 5 高频考点二 比的读法、写法及各部分的名称 5 高频考点三 求比值 5 高频考点四 比与分数、除法的关系 6 高频考点五 比的基本性质 6 高频考点六 比的化简 6 高频考点七 比例的意义 7 难点突破 奥数拓展 7 奥数拓展一 比的读法、写法及各部分的名称 7 奥数拓展二 求比值 8 奥数拓展三 比与分数、除法的关系 8 奥数拓展四 比的基本性质 9 奥数拓展五 比的化简 9 奥数拓展六 比例的意义 10 优选真题 实战演练 11 【基础通关】 11 【能力提升】 13 知识点一 生活中的比（比的意义） 1. 比的产生与定义 定义：两个数相除，又叫做这两个数的比。 表示方法：长和宽的倍数关系可以写为长和宽的比。例如，长6宽4，写作 6:4，读作 6比4。 2. 比的各部分名称 前项：比号前面的数（如 6:4 中的 6）。 比号：中间的冒号（:）。 后项：比号后面的数（如 6:4 中的 4）。 比值：比的前项除以后项所得的商。计算方法：6 : 4 = 6 ÷ 4 = = 1.5。 注意：比值通常用分数、小数或整数表示。 3. 比在生活中的广泛应用 同类量的比 溶液配比：甘蔗汁和水的体积比是 1:2，表示1份甘蔗汁配2份水。 物体尺寸：树高和影长的比是 6:3，表示树高是影长的2倍。 身体数据：头围与腰围的比、腿长与身高的比等。 不同类量的比（产生新量） 速度：路程与时间的比。例如，马拉松选手跑42km用3小时，速度即为路程与时间的比（42:3 = 14 km/h）。 单价：总价与数量的比。例如，苹果总价9元，数量2kg，单价即为总价与数量的比（9:2 = 4.5 元/kg）。 工作效率：工作总量与工作时间的比（如打字速度）。 知识点二 比的化简 1. 比的性质 核心规律：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。（商不变性质/分数基本性质的推广） 目的：将比化成最简单的整数比（即前项和后项互质）。 2. 化简比的方法 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公因数。 > 例：24 : 42 = (24÷6) : (42÷6) = 4 : 7 分数比：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，转化为整数比，再化简。 > 例：: = (× 20) : (× 20) = 8 : 5 小数比：前项和后项同时扩大相同的倍数（10倍、100倍等），转化为整数比，再化简。 例：0.7 : 0.8 = (0.7 × 10) : (0.8 × 10) = 7 : 8 3. 化简比与求比值的区别 化简比：结果是一个比（如 4:7），前后项通常是互质的整数。 求比值：结果是一个数（如 4/7 或 0.57…），可以是分数、小数或整数。 知识点三 比例的认识 1. 比例的定义 概念：表示两个比相等的式子叫做比例。 判断依据：看两个比的比值是否相等。 > 例：12:6 = 2，8:4 = 2，因为比值相等，所以 12:6 = 8:4 是一个比例。也可以写成分数形式：12/6 = 8/4。 2. 比例的各部分名称 内项：组成比例的四个数中，靠近中间的两个数（如 12:6=8:4 中的 6 和 8）。 外项：组成比例的四个数中，两端的两个数（如 12:6=8:4 中的 12 和 4）。 3. 比例的基本性质 规律：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 > 验证：12 × 4 = 48，6 × 8 = 48。 应用：可以用来判断两个比能否组成比例，或者解比例。 4. 寻找生活中的比例 速度一定：路程和时间的比能组成比例（因为比值都是速度）。 单价一定：总价和数量的比能组成比例（因为比值都是单价）。 图形缩放：图形放大或缩小时，对应边长的比能组成比例（形状不变）。 知识点四 整理与复习（综合应用） 1. 黄金分割比 定义：把一条线段分成两部分，如果较短的一段与较长的一段的比等于较长的一段与整条线段的比，这个比值约为 0.618。 应用：广泛应用于建筑（如帕特农神庙）、绘画、人体美学（肚脐高度与身高的比接近0.618最美观）等领域。 2. 解决实际问题 按比分配：在“蜂蜜水”调配问题中隐含了此逻辑（只要蜂蜜和水的体积比相等，甜度就一样）。 地图比例尺：地图上标注的 1:8000000 也是一种比，表示图上距离与实际距离的比。 数据分析：通过计算不同条件下的比（如不同温度下鲫鱼呼吸次数与时间的比），分析变量之间的关系。 3. 易错点提示 单位统一：求比或化简比时，如果单位不同，必须先统一单位（如 1小时:20分钟，需化为 60:20）。 顺序不能颠倒：A与B的比是 A:B，B与A的比是 B:A，含义完全不同。 后项不为0：比的后项相当于除法中的除数，不能为0。 高频考点一 比的意义 【典例精讲】（25-26六年级上·湖北孝感·期中）如图中两个平行四边形重叠部分的面积相当于甲的，相当于乙的，甲、乙两个平行四边形未重叠部分的面积比是( )。 【变式训练】（24-25六年级下·河北邢台·期末）两根铁丝的长度之比是1∶4，工人师傅把它们围成两个圆，则所围成小圆与大圆的面积比是（    ）。 A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 高频考点二 比的读法、写法及各部分的名称 【典例精讲】2022年卡塔尔世界杯足球比赛中，阿根廷球队以2∶0战胜了墨西哥球队，所以比的后项可以是0。( )（判断对错） 【变式训练】12∶( )＝( )÷24＝0.25＝( )%。 高频考点三 求比值 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）求比值。 7∶84       0.7∶0.02        ∶ 0.31∶9.3     4.9∶1.4         0.125∶0.125 【变式训练】（26-27六年级上·全国·课后作业）某工厂制作一种零件，第一次8个小时加工了640个零件，第二次6.5个小时加工了520个零件。 (1)写出第一次制作的零件总数与第二次制作的零件总数的比，并求出比值。 (2)写出第一次所用时间和第二次所用时间的比，并求出比值。 (3)写出第一次制作零件总数和所用时间的比，并求出比值。 (4)写出第二次制作零件总数和所用时间的比，并求出比值。 高频考点四 比与分数、除法的关系 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏宿迁·期末）9÷　 　 ＝0.75＝　 　 ∶36＝＝　 　 折。 【变式训练】（24-25六年级下·江西赣州·期末） 48÷（    ）＝0.75＝（    ）∶36＝＝（    ）折＝（    ）（填百分数）。 高频考点五 比的基本性质 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期末）如果给9∶5的前项加上18，要使比值不变，可以给后项（    ）。 A．加上18 B．加上5 C．乘2 D．乘3 【变式训练】（2025·江西吉安·小升初模拟）m3∶800dm3的最简整数比是( )，比值是( )。 高频考点六 比的化简 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）化简下面的比并求比值。 40∶120        0.5∶0.25                 【变式训练】（26-27六年级上·全国·课后作业）甲、乙两地相距360千米，A车从甲地到乙地用了6小时，B车从乙地到甲地用了9小时，A车与B车的速度比是多少？ 高频考点七 比例的意义 【典例精讲】24-25六年级下·浙江金华·期末）下面两个比，能组成比例的是（    ）。 A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练】（25-26六年级下·辽宁鞍山·期末）下面的比，能和∶3组成比例的是（    ）。 A． B． C．1∶15 D．3∶5 奥数拓展一 比的读法、写法及各部分的名称 【典例精讲】（2025·吉林长春·小升初真题）为了解决用电矛盾，决定在某小区试点实施居民分时电价，具体通知如下： （1）时段划分：居民分时电价分为高峰时段和低谷时段。高峰时段指每日早8时至晚9时，低谷时段指每日晚9时至次日早8时。 （2）电价标准：高峰时段电价0.55元/千瓦时；低谷时段电价0.30元/千瓦时。 （3）本次更换电能表的费用由供电部门承担。 我们知道居民用电原标准为0.52元/千瓦时。当某居民家在高峰时段的用电量与低谷时段的用电量的比是( )∶( )时，执行原电价标准和实施分时电价标准的费用一样多。 【变式训练】如图是长方形中，点是的中点，阴影部分三角形EFC的高是长方形宽的，阴影部分与空白部分的面积比是（    ）。 A．1∶11 B．1∶10 C．1∶9 D．1∶12 奥数拓展二 求比值 【典例精讲】（2026·重庆渝北·小升初模拟）已知，求______。 【变式训练】（25-26六年级上·江苏扬州·期末）下面说法错误的是（    ）。 A．树叶的长与宽的比值越大，树叶就越狭长。 B．建造一幢教学大楼，计划投资90万元，实际节省了，这句话中的是把“实际投资”看作单位“1”。 C．把错当成进行计算，算出的结果与正确结果相差4。 D．学校生物小组用两种不同的大豆种子做发芽试验，第一种大豆种子的发芽率是92%，第二种大豆种子的发芽率是97%，第二种大豆种子发芽的粒数不一定比第一种多。 奥数拓展三 比与分数、除法的关系 【典例精讲】（25-26六年级下·山东济南·期末）为丰富班级图书角，学校开展“书香校园”图书采购活动，某书店接到一批课外书的供货任务，第一天配送的图书册数与总册数的比是1∶5，第二天配送了660册课外书，两天配送的册数比未配送的册数少。这批课外书的采购任务一共是多少册？ 【变式训练】（25-26六年级上·福建三明·期末）实验小学六（1）班男生人数与女生人数的比是5∶6，后来又转来1名男生，这时男生人数是女生人数的，这个班现在有学生（    ）人。 A．21 B．24 C．35 D．45 奥数拓展四 比的基本性质 【典例精讲】（25-26六年级上·山东济南·期末）小林、小刚和小明相约去书城购书。小林所花钱数与小刚所花钱数的比是2∶3，小刚所花钱数的等于小明所花钱数的，而小明比小林多花了64元。他们购书一共花了多少钱？ 【变式训练】（25-26六年级上·山西朔州·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．0.3＝30%，所以0.3t＝30%t B．用4个圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。 C．圆的半径扩大到原来的4倍，周长和面积也扩大到原来的4倍。 D．如果把5∶7的前项加上35，要使比值不变，后项应加上49。 奥数拓展五 比的化简 【典例精讲】（25-26六年级下·安徽蚌埠·期末）如图，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积是( )，阴影部分与长方形旋转后得到的立体图形的体积之比是( )。 【变式训练】（24-25六年级下·湖北黄石·期末）甲乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是4∶3，他们第一次相遇后，甲的速度提高10%，乙的速度降低20%，这样当甲到B地时，乙离A地还有52千米，那么AB两地的距离是多少千米？ 奥数拓展六 比例的意义 【典例精讲】下面各图中相对应的两个量能组成比例的有（    ）。 （1）平行四边形                  （2）运输       （3）阅读                             （4）糖水        A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式训练】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比例被公认为是最美的美感，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比，这个人的身材比较好看。如图中点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC。 （1）根据上面的线段写出一个比例：（    ）∶（    ）＝（    ）∶（    ）。 （2）一个参加空姐选拔活动的选手，其肚脐以上部分长65厘米，以下部分长100厘米。为了显得更好看一些（精确到1厘米），她应该穿多少厘米高的鞋子？ 【基础通关】 1．（25-26六年级上·山东青岛·期中）农历九月九日是我国的重阳节，也叫登高节。亮亮和强强重阳节相约爬山，从山脚到山顶亮亮爬了20分钟，强强用了16分钟，亮亮和强强的速度比是（    ）。 A．20∶16 B．5∶4 C．4∶5 2．（24-25六年级下·河南驻马店·期末）下面说法中，正确的有（    ）个。 ①如果要反映病人的体温变化，最好做成折线统计图。 ②完成一项任务，甲单独做10小时完工，乙单独做15小时完工，则甲、乙两人的工作效率比是3∶2。 ③求正方体、长方体、圆柱体的体积都可以用底面积乘高。 ④生产的90个零件中，有10个是废品，则合格率是90%。 ⑤若（a、b、c均不为0），那么a、b、c最大的数是c。 A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25六年级下·河南郑州·期末）3月14日不仅是圆周率π的纪念日，更是国际数学日，六年级（1）班要设计一枚会徽，要求外框是正方形，内部是圆形。已知正方形的边长与圆的直径比为4∶3，正方形与圆的周长比是（    ）。 A．4∶3 B．16∶9 C．16∶3π 4．（24-25六年级下·河南新乡·期末）30kg∶0.3t的比值是( )，5分∶0.5时的最简整数比是( )。 5．（24-25六年级下·河南周口·期末）消毒液有一定的刺激性和腐蚀性，在使用时需要严格按照比例加水稀释。如表是某种品牌的消毒液与水的配比表。 通用名称：消毒液 用法用量： 1.餐饮器具：消毒液和水的稀释比为1∶150，泡15分钟； 2.地面、桌面消毒：消毒液和水的稀释比为1∶200，喷雾消毒，消毒后打开门窗彻底通风。 食堂用0.02千克的消毒液配制3千克的水对餐具进行消毒，是否符合标准？我的判断是_______（填“符合”或“不符合”）；我的理由是：____________________。 6．（26-27六年级上·全国·课后作业）比值是的比只有3∶4。( )（判断对错） 7．（24-25六年级下·陕西安康·期末）比的前项扩大到原来的2倍，后项缩小到原来的，比值不变。( )（判断对错） 8．（26-27六年级上·全国·课后作业）化简比并求比值。 ∶0.24            ∶2            3.6∶ 0.6公顷∶300平方米        2.5吨∶1500千克        小时∶20分 9．（24-25六年级下·山东临沂·期末）一块长20米、宽15米的长方形地，划分成两部分分别用来种黄瓜和番茄，并且要使种黄瓜的面积比种番茄的面积大100平方米。这块地应该怎样划分？请你算一算黄瓜地和番茄地分别是多少平方米？并在图中画一画，标注出黄瓜地和番茄地。 10．（24-25六年级下·山东德州·期末）你知道吗？ 芯片（Chip），又称集成电路，是一种将大量电子元件（如晶体管、电阻、电容等）集成在微小半导体材料上的微型电子器件，是现代电子设备的核心组件。芯片通过半导体工艺将电路小型化，所有元件集成在半导体晶片或介质基片上，封装后形成具有特定功能的微型结构。其核心材料以硅为主，其他包括钴、砷化镓等。芯片的功能与特点：①微型化：元件密度高，体积小。②高性能：低功耗、高可靠性，支持智能化功能。③核心作用：作为电子设备的“大脑”，负责数据处理、信号控制等。 请回答下面的问题。 (1)一种小型无人机，无人机的架数与芯片的总数量的关系如下表。 数量（架） 0 1 2 3 4 5 6 7 … 芯片数量（个） 0 12 24 36 48 60 72 84 … 无人机的架数与芯片的数量这两个量成什么比例关系？请在表格中选出两组数，组成比例。 (2)张叔叔买5架无人机花了6040元，李叔叔的商店想进货30架同样的无人机，需要准备多少钱？（★用两种方法解答） 【能力提升】 1．（25-26六年级下·湖北襄阳·期末）一个等腰三角形的两条边的长度比是4∶9，这个等腰三角形的周长是（    ）。 A．17 B．15 C．22 D．17或22 2．（25-26六年级上·重庆垫江·期末）已知△＋△＋△＝★，★＋★＋★＝□＋□，则△∶□是（    ）。 A．3∶2 B．1∶9 C．2∶3 D．2∶9 3．（25-26六年级上·江苏常州·期中）下面三个情境中的比，可以用2∶3表示的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 4．（25-26六年级上·河北保定·期末）已知一个比例的两个外项分别是4和3.2，组成比例的两个比比值是，其中一个内项是8，另一个内项是( )。 5．（25-26六年级·全国·寒假作业）朝鲜族泡菜做工精细，最受欢迎的泡菜有白菜、萝卜、黄瓜等。一家泡菜店某天售出的白菜泡菜和萝卜泡菜的箱数比是3∶4，萝卜泡菜和黄瓜泡菜的箱数比是6∶5，已知白菜泡菜和黄瓜泡菜共售出57箱，则萝卜泡菜售出了( )箱。 6．（2025·重庆渝北·小升初真题）甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。乙的速度是甲的，相遇后两人继续前行，甲到达B地，乙到达A地后立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点20千米，那么A、B两地相距多少千米？ 7．（2024·河南漯河·小升初真题）一种奶茶，奶和茶的比是1∶4，现在加入奶和茶各100克后，可得奶茶700克。现在的奶茶中奶和茶的比是多少？现在的奶茶与原来相比，是奶味加重了还是茶味加重了？ 8．（24-25六年级下·全国·单元复习）甲、乙两个养马场都有红、白、黑三种颜色不同的马，其中红马总数、白马总数占养马场总数的36%和34%，其中甲养马场中红马占40%，白马占25%；乙养马场中红马占30%，请问乙养马场中黑马占百分之几？ 9．（2024·湖北荆州·小升初真题）猎犬发现离它15米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 10．加工一批零件，师傅单独加工15天完成，徒弟每天能加工30个。现在先由师傅单独加工3天，然后两人共同加工，完成任务时，师徒加工零件个数的比是3∶2。这批零件一共有多少个？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 第五单元比的认识『举一反三知识讲练 】(思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+7个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练共46题) 昌讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络.. 2 知识梳理温故知新… 3 知识点一生活中的比（比的意义） .3 知识点二比的化简……… 知识点三比例的认识 ·.4 知识点四整理与复习（综合应用） 考点讲练真题汇总………… 5 高频考点一比的意义… ..5 高频考点二比的读法、写法及各部分的名称........... .....5 高频考点三求比值..5 第1页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点四比与分数、除法的关系 ..6 高频考点五比的基本性质.… b 高频考点六比的化简…… 6 高频考点七比例的意义 > 难点突破奥数拓展.… > 奥数拓展一比的读法、写法及各部分的名称…7 奥数拓展二求比值. .8 奥数拓展三比与分数、除法的关系... 奥数拓展四比的基本性质..· .9 奥数拓展五比的化简. .9 奥数拓展六比例的意义.... 10 优选真题实战演练.…… 11 【基础通关】 11 【能力提升】 .......................13 导图指引梳理脉络 。长和宽的比：长：宽 ◆速度、单价、总价的比 ●比与分数、除法的关系 学 例如：长6。宽4.长和宽的比是64.读作6比4 24：42 ± 0.70.8 比号6：4=6+4--15 66 24+42 1.生活中的比 =0.7+0. =718 表品西个数量之但的传餐革意 例如：世冀计与水的体职比是1上2 时桶行24. 1178:2 9:10 8:5 4比的应用 ●比的速比 数量、总价、单价的 比由两个数鼠或，表两个数相险 0.1:04 16:204:5 0.1513 02 例细：6：4=6+4=2-15 品种总价数量总铃与数量的此比值 5.比的计算 2:8 9元2kg 92 14 A 4.5 141:4 100:60 =20 120 ·用分数表示比，再化简 B 15元3g 15:3 用4每蓝色和7份黄色混合 14蓝色和16黄色观 12元3g 12:3 比和比例应用盟 北：4：7=号 比：4：16=号 时闻/分35 时/分105 2.比的化简 鲁身体部位的比 银里/m210350打字最数/个50 200 空股 求比例中的来知数，关域利用比例的基本性质 3:12=14 +1) 20±80=114+205 6,生活中的比（拓属应用） 第五单元 ●根据配色方案慕衍合要求的出 比的认识 章配色方素 ◆蜂蜜水的配制 精蓝色能韩和黄色植科相 ®©© 工4配成绿色 ·比例的意义 3.比例的认识 正好41了 优格水种华右 ●比例的基本性质 a:b-c:d ·化的实际应用 蜜和本化后量黄整数 “方宜方它 配制。更方便生活与实验 例如1比例尺1：8000000 7,整理与复习（回曦总结 。比的基本形式 ·比，分数，除法的关系 ·商不变规律 。比例的意义与性质 ·实际应用 比由两个数组成表示再个量 比可以写成除法减分数的形式 比的们项和后项时或 比例：两个比相等的式子 树高1影长6：3 例忽：6：4=6+4=多.15例知：4：b=a+b=只(b20) 第2页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 知识梳理温故知新 知识点一生活中的比（比的意义） 1.比的产生与定义 定义：两个数相除，又叫做这两个数的比。 表示方法：长和宽的倍数关系可以写为长和宽的比。例如，长6宽4，写作6：4，读作6比4。 2.比的各部分名称 前项：比号前面的数（如6：4中的6）。 比号：中间的冒号(：)。 后项：比号后面的数（如6：4中的4）。 比值：比的前项除以后项所得的商。计算方法：6：4=6÷4= 6 =1.5。 4 注意：比值通常用分数、小数或整数表示。 3.比在生活中的广泛应用 同类量的比 溶液配比：甘蔗汁和水的体积比是1：2，表示1份甘蔗汁配2份水。 物体尺寸：树高和影长的比是6：3，表示树高是影长的2倍。 身体数据：头围与腰围的比、腿长与身高的比等。 不同类量的比（产生新量） 速度：路程与时间的比。例如，马拉松选手跑42km用3小时，速度即为路程与时间的比(42：3=14km/h)。 单价：总价与数量的比。例如，苹果总价9元，数量2kg,单价即为总价与数量的比(9：2=4.5元/kg)。 工作效率：工作总量与工作时间的比（如打字速度）。 知识点二比的化简 1.比的性质 核心规律：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。（商不变性质/分数基 本性质的推广) 目的：将比化成最简单的整数比（即前项和后项互质）。 2.化简比的方法 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公因数。>例：24：42=(24÷6)：(42÷6)=4：7 第3页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 分数比：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，转化为整数比，再化简。>例： 2.1=(2×20): 545 (×20=8:5 4 小数比：前项和后项同时扩大相同的倍数(10倍、100倍等)，转化为整数比，再化简。 例：0.7：0.8=(0.7×10)：(0.8×10)=7：8 3.化简比与求比值的区别 化简比：结果是一个比（如4：7），前后项通常是互质的整数。 求比值：结果是一个数（如4/7或0.57…），可以是分数、小数或整数。 知识点三比例的认识 1.比例的定义 概念：表示两个比相等的式子叫做比例。 判断依据：看两个比的比值是否相等。>例：12：6=2,8：4=2，因为比值相等，所以12：6=8：4 是一个比例。也可以写成分数形式：12/6=8/4。 2.比例的各部分名称 内项：组成比例的四个数中，靠近中间的两个数（如12：6=8：4中的6和8)。 外项：组成比例的四个数中，两端的两个数（如12：6=8：4中的12和4)。 3.比例的基本性质 规律：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。>验证：12×4=48,6×8=48。 应用：可以用来判断两个比能否组成比例，或者解比例。 4.寻找生活中的比例 速度一定：路程和时间的比能组成比例（因为比值都是速度）。 单价一定：总价和数量的比能组成比例（因为比值都是单价）。 图形缩放：图形放大或缩小时，对应边长的比能组成比例（形状不变）。 知识点四整理与复习（综合应用） 1.黄金分割比 定义：把一条线段分成两部分，如果较短的一段与较长的一段的比等于较长的一段与整条线段的比， 这个比值约为0.618。 应用：广泛应用于建筑（如帕特农神庙）、绘画、人体美学（肚脐高度与身高的比接近0.618最美观） 等领域。 第4页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 2.解决实际问题 按比分配：在“蜂蜜水”调配问题中隐含了此逻辑（只要蜂蜜和水的体积比相等，甜度就一样)。 地图比例尺：地图上标注的1：8000000也是一种比，表示图上距离与实际距离的比。 数据分析：通过计算不同条件下的比（如不同温度下鲫鱼呼吸次数与时间的比），分析变量之间的关 系。 3.易错点提示 单位统一：求比或化简比时，如果单位不同，必须先统一单位（如1小时：20分钟，需化为60：20)。 顺序不能颠倒：A与B的比是A:B,B与A的比是B:A,含义完全不同。 后项不为0：比的后项相当于除法中的除数，不能为0。 考点讲练真题汇总 高频考点一比的意义 【典例精讲】(25-26六年级上·湖北孝感·期中)如图中两个平行四边形重叠部分的面积相当于甲的号， 相当于乙的 ,甲、乙两个平行四边形未重叠部分的面积比是( ）。 之 甲 【变式训练】(24-25六年级下·河北邢台·期末)两根铁丝的长度之比是1：4，工人师傅把它们围成两 个圆，则所围成小圆与大圆的面积比是( )。 A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 高频考点二比的读法、写法及各部分的名称 【典例精讲】2022年卡塔尔世界杯足球比赛中，阿根廷球队以2：0战胜了墨西哥球队，所以比的后项可 以是0。( )(判断对错) 【变式训练】12：（ )=( )÷24=0.25=( )%。 高频考点三求比值 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)求比值。 7:84 0.7:0.02 21:3 33·1 第5页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 0.31:9.3 4.9:1.4 0.125:0.125 【变式训练】(26-27六年级上·全国·课后作业)某工厂制作一种零件，第一次8个小时加工了640个 零件，第二次6.5个小时加工了520个零件。 (1)写出第一次制作的零件总数与第二次制作的零件总数的比，并求出比值。 (2)写出第一次所用时间和第二次所用时间的比，并求出比值。 (3)写出第一次制作零件总数和所用时间的比，并求出比值。 (4)写出第二次制作零件总数和所用时间的比，并求出比值。 高频考点四比与分数、除法的关系 【典例精讲】(24-25六年级下·江苏宿迁·期末)9÷一=075=一：38=”)= 折。 【变式训练】(24-25六年级下·江西赣州·期末) 48÷( )=0.75=( ):36= 9 )折=()（填百分 数)。 高频考点五比的基本性质 【典例精讲】(24-25六年级下·陕西西安·期末)如果给9：5的前项加上18，要使比值不变，可以给后 项( )。 A.加上18 B.加上5 C.乘2 D.乘3 【变式训练】(2025·江西吉安·小升初模拟)n:800m的最简整数比是( ),比值是( )。 高频考点六比的化简 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)化简下面的比并求比值。 40:120 0.5:0.25 5.5 45 124 135 第6页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(26-27六年级上·全国·课后作业)甲、乙两地相距360千米，A车从甲地到乙地用了6小 时，B车从乙地到甲地用了9小时，A车与B车的速度比是多少？ 高频考点七比例的意义 【典例精讲】24-25六年级下·浙江金华·期末)下面两个比，能组成比例的是( )。 A15:31和7：13B.利和 c.3:8和 D.3.2:4.8和48：72 【变式训练】(25-26六年级下·辽宁鞍山·期末)下面的比，能和：3组成比例的是( A.3月 C.1:15 D.3:5 难点突破奥数拓展 奥数拓展一比的读法、写法及各部分的名称 【典例精讲】(2025·吉林长春·小升初真题)为了解决用电矛盾，决定在某小区试点实施居民分时电价， 具体通知如下： (1)时段划分：居民分时电价分为高峰时段和低谷时段。高峰时段指每日早8时至晚9时，低谷时段指每 日晚9时至次日早8时。 (2)电价标准：高峰时段电价0.55元/千瓦时；低谷时段电价0.30元/千瓦时。 (3)本次更换电能表的费用由供电部门承担。 我们知道居民用电原标准为0.52元/千瓦时。当某居民家在高峰时段的用电量与低谷时段的用电量的比是 ）:( )时，执行原电价标准和实施分时电价标准的费用一样多。 第7页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】如图是长方形中，E点是CD的中点，阴影部分三角形EC的高是长方形宽的；，阴影部分与空 白部分的面积比是( )。 A.1:11 B.1:10 C.1:9 D.1:12 奥数拓展二求比值 【典例精讲】(2026·重庆渝北·小升初模拟)已号-台-台-恶等 求a+b-c "a+b+c 【变式训练】(25-26六年级上·江苏扬州·期末)下面说法错误的是( )。 A.树叶的长与宽的比值越大，树叶就越狭长。 B.建造一幢教学大楼，计划投资90万元，实际节省了}这句话中的是把“实际投资”看作单位“1”。 C.把(a+)×5错当成a+×5进行计算，算出的结果与正确结果相差4a。 D.学校生物小组用两种不同的大豆种子做发芽试验，第一种大豆种子的发芽率是92%，第二种大豆种 子的发芽率是97%，第二种大豆种子发芽的粒数不一定比第一种多。 奥数拓展三比与分数、除法的关系 【典例精讲】(25-26六年级下·山东济南·期末)为丰富班级图书角，学校开展“书香校园”图书采购 活动，某书店接到一批课外书的供货任务，第一天配送的图书册数与总册数的比是1：5，第二天配送了660 册课外书，两天配送的册数比未配送的册数少。这批课外书的采购任务一共是多少册？ 【变式训练】(25-26六年级上·福建三明·期末)实验小学六(1)班男生人数与女生人数的比是5：6， 后来又转来1名男生，这时男生人数是女生人数的。，这个班现在有学生( )人。 A.21 B.24 C.35 D.45 第8页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展四比的基本性质 【典例精讲】(25-26六年级上·山东济南·期末)小林、小刚和小明相约去书城购书。小林所花钱数与 小刚所花钱数的比是2：3，小刚所花钱数的等于小明所花钱数的，而小明比小林多花了64元。他们购书 一共花了多少钱？ 【变式训川练】(25-26六年级上·山西朔州·期末)下列说法正确的是( A.0.3=30%,所以0.3t=30%t B.用4个圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。 C.圆的半径扩大到原来的4倍，周长和面积也扩大到原来的4倍。 D.如果把5：7的前项加上35，要使比值不变，后项应加上49。 奥数拓展五比的化简 【典例精讲】(25-26六年级下·安徽蚌埠·期末)如图，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后 得到的立体图形的体积是( )cm3,阴影部分与长方形旋转后得到的立体图形的体积之比是 )。 5cm 3cm 【变式训练】(24-25六年级下·湖北黄石·期末)甲乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行，出发时 他们的速度比是4：3，他们第一次相遇后，甲的速度提高10%，乙的速度降低20%，这样当甲到B地时，乙 离A地还有52千米，那么AB两地的距离是多少千米？ 第9页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展六比例的意义 【典例精讲】下面各图中相对应的两个量能组成比例的有( ) (1)平行四边形 (2)运输 疫情期间，一辆货车，两天运输救援物资情况图 第1天 第2天 运输次数 4 3 总量(T) 20 15 (3)阅读 (4)糖水 每年的4月23日是世界读书 日，六年级3班开展共读一 小熟每天会为妈妈调制 本书活动。小君每天看30 一杯糖水，糖与水的比 页，看了15天。小好每天 为1：6，也就是10克的 看25页，看了18天。 糖要放60克的水。 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【变式训练】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其 比值约为0.618，这个比例被公认为是最美的美感，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合 黄金比，这个人的身材比较好看。如图中点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC。 A C B (1)根据上面的线段写出一个比例：( ):( )=( ):( (2)一个参加空姐选拔活动的选手，其肚脐以上部分长65厘米，以下部分长100厘米。为了显得更好看 一些（精确到1厘米），她应该穿多少厘米高的鞋子？ 第10页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26六年级上·山东青岛·期中)农历九月九日是我国的重阳节，也叫登高节。亮亮和强强重阳节 相约爬山，从山脚到山顶亮亮爬了20分钟，强强用了16分钟，亮亮和强强的速度比是( )。 A.20:16 B.5:4 C.4:5 2.(24-25六年级下·河南驻马店·期末)下面说法中，正确的有( )个。 ①如果要反映病人的体温变化，最好做成折线统计图。 ②完成一项任务，甲单独做10小时完工，乙单独做15小时完工，则甲、乙两人的工作效率比是3：2。 ③求正方体、长方体、圆柱体的体积都可以用底面积乘高。 ④生产的90个零件中，有10个是废品，则合格率是90%。 ⑤若a×写=b×1.2=c×25%(a、b、c均不为0)，那么a、b、c最大的数是c。 A.2 B.3 C.4 D.5 3.(24-25六年级下·河南郑州·期末)3月14日不仅是圆周率π的纪念日，更是国际数学日，六年级(1) 班要设计一枚会徽，要求外框是正方形，内部是圆形。己知正方形的边长与圆的直径比为4：3，正方形与 圆的周长比是( )。 A.4:3 B.16:9 C.16:3π 4.(24-25六年级下河南新乡·期末)30kg:0.3t的比值是（ ),5分0.5时的最简整数比是( )。 5.(24-25六年级下·河南周口·期末)消毒液有一定的刺激性和腐蚀性，在使用时需要严格按照比例加 水稀释。如表是某种品牌的消毒液与水的配比表。 通用名称：消毒液 用法用量： 1.餐饮器具：消毒液和水的稀释比 为1：150，泡15分钟： 2.地面、桌面消毒：消毒液和水的 稀释比为1：200，喷雾消毒，消毒 后打开门窗彻底通风。 食堂用0.02千克的消毒液配制3千克的水对餐具进行消毒，是否符合标准？我的判断是一一一（填“符 合”或“不符合”)；我的理由是： 第11页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 6.(26-27六年级上·全国·课后作业)比值是的比只有3：4。（)（判断对错） 7.(24-25六年级下·陕西安康期末)比的前项扩大到原来的2倍，后项缩小到原来的比值不变。() (判断对错) 8.(26-27六年级上·全国·课后作业)化简比并求比值。 0:024 2 36:1 0.6公顷：300平方米 2.5吨：1500千克 小时：20分 9.(24-25六年级下·山东临沂·期末)一块长20米、宽15米的长方形地，划分成两部分分别用来种黄 瓜和番茄，并且要使种黄瓜的面积比种番茄的面积大100平方米。这块地应该怎样划分？请你算一算黄瓜 地和番茄地分别是多少平方米？并在图中画一画，标注出黄瓜地和番茄地。 10.(24-25六年级下·山东德州·期末)你知道吗？ 芯片(cip),又称集成电路，是一种将大量电子元件（如晶体管、电阻、电容等）集成在微小半导体材 料上的微型电子器件，是现代电子设备的核心组件。芯片通过半导体工艺将电路小型化，所有元件集成在 半导体晶片或介质基片上，封装后形成具有特定功能的微型结构。其核心材料以硅为主，其他包括钴、砷 化镓等。芯片的功能与特点：①微型化：元件密度高，体积小。②高性能：低功耗、高可靠性，支持智能 化功能。③核心作用：作为电子设备的“大脑”，负责数据处理、信号控制等。 请回答下面的问题。 第12页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 (1)一种小型无人机，无人机的架数与芯片的总数量的关系如下表。 数量（架） 0 2 3 4 5 6 … 芯片数量 12 24 36 48 60 72 84 (个) 无人机的架数与芯片的数量这两个量成什么比例关系？请在表格中选出两组数，组成比例。 (2)张叔叔买5架无人机花了6040元，李叔叔的商店想进货30架同样的无人机，需要准备多少钱？（★用 两种方法解答) 【能力提升】 1.(25-26六年级下·湖北襄阳·期末)一个等腰三角形的两条边的长度比是4：9，这个等腰三角形的周 长是( )。 A.17 B.15 C.22 D.17或22 2.(25-26六年级上·重庆垫江·期末)已知△十△十△=★，★+★+★=口十口，则△：口是( ) A.3:2 B.1:9 C.2:3 D.2:9 3.(25-26六年级上·江苏常州·期中)下面三个情境中的比，可以用2：3表示的有( )个。 情境① 情境② 情境③ 1.5dm 30cm 10cm 20cm 白球与黑球 钢笔与铅笔 小正方形与大正 的个数比 的长度比 方形的面积比 A.1 B.2 C.3 4.(25-26六年级上·河北保定·期末)已知一个比例的两个外项分别是4和3.2，组成比例的两个比比 值是，其中一个内项是8，另一个内项是( )。 5.(25-26六年级·全国·寒假作业)朝鲜族泡菜做工精细，最受欢迎的泡菜有白菜、萝卜、黄瓜等。一 家泡菜店某天售出的白菜泡菜和萝卜泡菜的箱数比是3：4，萝卜泡菜和黄瓜泡菜的箱数比是6：5，已知白 菜泡菜和黄瓜泡菜共售出57箱，则萝卜泡菜售出了( )箱。 第13页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 6.(2025·重庆渝北·小升初真题)甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。乙的速度是甲的号 相遇后两人继续前行，甲到达B地，乙到达A地后立即返回，己知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇 的地点20千米，那么A、B两地相距多少千米？ 7.(2024·河南漯河·小升初真题)一种奶茶，奶和茶的比是1：4，现在加入奶和茶各100克后，可得奶 茶7O0克。现在的奶茶中奶和茶的比是多少？现在的奶茶与原来相比，是奶味加重了还是茶味加重了？ 8.(24-25六年级下·全国·单元复习)甲、乙两个养马场都有红、白、黑三种颜色不同的马，其中红马 总数、白马总数占养马场总数的36%和34%，其中甲养马场中红马占40%，白马占25%；乙养马场中红马占 30%,请问乙养马场中黑马占百分之几？ 9.(2024·湖北荆州·小升初真题)猎犬发现离它15米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去， 猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3 步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 第14页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 10.加工一批零件，师傅单独加工15天完成，徒弟每天能加工30个。现在先由师傅单独加工3天，然后 两人共同加工，完成任务时，师徒加工零件个数的比是3：2。这批零件一共有多少个？ 第15页共15页