第三单元 用字母表示（二）-能力提升培优讲义【思维导图+知识卡片+新知梳理+七大考点讲练+难度分层练 共42题】-2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建“用字母表示”单元知识体系，知识梳理涵盖12个知识点，从代数式书写格式到新型题型分层呈现，结合导图指引和知识卡片，清晰展现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于“考点讲练+分层真题”设计，如高频考点“数与形规律”通过典例与变式训练，引导学生将图形规律转化为数字规律，培养抽象能力与推理意识。42道分层题满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升学生自主复习效率。

null2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 第三单元 用字母表示（二）『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+7个考点讲练展+真题难度分层演练 共42题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 代数式的基本书写格式 3 知识点二 关于代数式的简单计算 3 知识点三 用字母或含字母的式子表示数或数量关系 3 知识点四 用字母或含字母的式子表示运算律 3 知识点五 用字母或含字母的式子表示倍数关系 3 知识点六 用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 4 知识点七 五种新型题型其一：数形规律 4 知识点八 五种新型题型其二：定义新运算 4 知识点九 五种新型题型其三：材料定义 4 知识点十 五种新型题型其四：程序框图 4 知识点十一 五种新型题型其五：数列与算式规律探索 4 知识点十二 含有字母的式子求值 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 用字母表示数量关系（2个未知数） 5 高频考点二 数与形(探索规律） 5 高频考点三 数与形（归纳递推） 6 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 7 高频考点五 用字母表示稍复杂的数量关系 7 高频考点六 数表中的规律 8 高频考点七 含有字母式子的化简与求值 9 优选真题 实战演练 11 【基础通关】 11 【能力提升】 12 知识点一 代数式的基本书写格式 1.关于字母与字母相乘的书写 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成A·B或AB。 2.关于数字与字母相乘的书写 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2，B×B×B可写成B3。 4.关于分数的书写 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a  写作，不要写成5÷a。  6. 关于单位的书写 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本。 知识点二 关于代数式的简单计算 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变 知识点三 用字母或含字母的式子表示数或数量关系 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子 知识点四 用字母或含字母的式子表示运算律 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 知识点五 用字母或含字母的式子表示倍数关系 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 知识点六 用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是可以利用画图的方法求解。 知识点七 五种新型题型其一：数形规律 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母的式子进行表示。 知识点八 五种新型题型其二：定义新运算 1. 定义新运算 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2. 解题方法 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 知识点九 五种新型题型其三：材料定义 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 知识点十 五种新型题型其四：程序框图 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 知识点十一 五种新型题型其五：数列与算式规律探索 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 知识点十二 含有字母的式子求值 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算就可以求出含有字母的式子的值。 高频考点一 用字母表示数量关系（2个未知数） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·山西吕梁·期末）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出。甲车每时行驶70km，乙车每时行驶80km，经过x时两车相遇，则70x＋80x表示( )，80x－70x表示( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·广西柳州·期末）参加美术兴趣小组的男生有a人，比女生多b人，美术兴趣小组共有( )人。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2026·重庆·小升初真题）某超市将菠萝、蜜桔、芒果三种水果采用两种不同的方式搭配成A、B礼盒出售，A礼盒中装有菠萝、蜜桔各4千克；B礼盒中装有2千克菠萝、4千克蜜桔、6千克芒果。A礼盒每盒的售价是52元，利润率是30%，两种礼盒一共卖出64盒，每千克蜜桔的成本是芒果的3倍。当天盘点时，发现菠萝与蜜桔的价格标签贴反了，这样，卖出的实际总成本比盘点时结算的成本少300元，那么实际总成本应是多少元？ 高频考点二 数与形(探索规律） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·山东临沂·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”。从右图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作是两个相邻“三角形数”之和。根据这一规律，第五个图形可以用算式( )表示。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·河北石家庄·期末）摆4个连着的五边形需要( )根小棒，摆n个连着的五边形需要( )小棒。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·江西抚州·期末）将一些小正方形按照下图的方式摆放，每幅图有多少个小正方形？ 聪聪首先研究第①幅图有多少个小正方形，他是这样思考的： 可以一层一层地数，第一层有1个，第二层有3个，所以第①幅图中的小正方形个数是：1＋3＝4 也可以先移动一个小正方形，拼成一个大正方形，所以第①幅图的小正方形个数是2×2＝4 由此得到第①幅图有4个小正方形，而且1＋3＝2×2＝4 (1)照这样计算，第②，③，④幅图分别有多少个小正方形？请将算式补充完整。 ①1＋3＝2×2＝4 ②1＋3＋5＝( )×( )＝( ) ③1＋3＋5＋7＝( )×( )＝( ) ④1＋3＋5＋7＋9＝( )×( )＝( ) (2)照这样计算，第n幅图共有( )个小正方形。 高频考点三 数与形（归纳递推） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·浙江台州·期末）如图，搭一个正方体框架用12根小棒，搭2个正方体框架用20根小棒，搭3个正方体框架用28根小棒……照这样搭下去，搭6个正方体框架用( )根小棒，搭n个正方体框架用( )根小棒。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·江西上饶·期末）如图是一组有规律的图案，第20个图案中有( )个三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·全国·期末）蓝夹缬（xie）是温州地方传统印染技艺，国家级非物质文化遗产之一。 (1)师傅单独浸染一批蓝夹缬布料需3小时，徒弟单独浸染同一批需6小时。师徒合作浸染，需要( )小时完成。 (2)蓝夹缬的花纹以菱形组合而成（如图），按照这样的规律，第10幅花纹由( )个菱形构成。 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）如图，用火柴棍搭成一排由三角形组成的图形，搭1个三角形需要用3根火柴棍，搭2个三角形需要用5根火柴棍，搭3个三角形需要用7根火柴棍，……，按照这个规律搭下去，搭n个三角形需要用( )根火柴棍，搭10个三角形需要用( )根火柴棍。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·广东汕尾·期末）淘气在做一道数学题目时，不小心把错写成了，结果比原来（    ）。 A．多4 B．多8 C．多24 D．多32 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（2026·重庆·小升初真题）把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个自然数是( )。 高频考点五 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·浙江金华·期末）a、b、c三个数的平均数刚好是中间数b，b比a大2.8，则c比a（    ）。 A．大2.8 B．大5.6 C．小2.8 D．小5.6 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·新疆昌吉·期末）用一样长的小棒摆出以下三幅图。如果按这三幅图的规律继续摆下去，则第5幅图需要小棒的根数是( )根，第n幅图需要小棒的根数是( )根。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，下列图形都由同样大小的十字星图案按一定的规律组成，其中第一个图形有1个十字星图案，第二个图形有2个十字星图案，第三个图形有5个十字星图案，第四个图形有10个十字星图案……，则第101个图形有( )个十字星图案。 …… 高频考点六 数表中的规律 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·福建福州·期末）填在下面正方形中的四个数都有相同的规律，根据规律，m的值是( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·云南昆明·期末）杨辉三角是我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个数字三角形阵（如图），观察图中数字的排列规律，第7行，从左数第3个数字是( )。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（2026·山东青岛·小升初真题）仔细观察表格中的数据，根据规律，填一填。 下面两个表格都是从上表中截取出来的，请根据发现的规律补全表①和表②。 高频考点七 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·江苏盐城·期末）如图①～图③所示，计算如22－12、32－22、42－32…算式的结果，可采用“数形结合”的方法解决。以图①计算22－12的过程为例，先构造两个边长分别为1和2的正方形，算式22－12的结果即可转化为涂色长方形的面积。再把这个构造与转化过程用算式表示并算出结果： 22－12＝（2＋1）×（2－1）＝3。 (1)先观察图②和图③的构造与转化过程，再用算式表示并算出结果。 32－22＝( )； 42－32＝( )。 (2)若将如上算式用字母式概括表示为（n＋1）2－n2，那么（n＋1）2－n2＝( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）工厂制作大小两种长方体纸盒的尺寸如下：（单位：cm，接头处忽略不计） 长 宽 高 小纸盒 m－0.5n 1 2 大纸盒 3m－n 2 3 (1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？ (2)当m＝3，n＝2时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？ (3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个（a＞10），现从A，B两家商店了解到；两家商店的纸盒价格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元。A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒，B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠。那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含a的式子表示）？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（2025六年级上·广东广州·专题练习）下面四个算式中，＝4（≠0），结果等于的是（    ）。 A．（＋）÷ B．（＋）÷ C．÷（＋） D．÷（＋） 【变式训练3】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·河南焦作·期末）☆，△，○各代表一个数，☆＋☆＋△＝16，△＋○＝7，☆＋△＝10，那么△＝( )，○＝( )。 【基础通关】 1．（25-26六年级下·云南昆明·期末）古希腊数学家毕达哥拉斯将1，3，6，10…这样的数称为三角形数，这些数可以用下面的点阵图来表示，照这样第7个三角形数是（    ）。 A．15 B．21 C．28 D．36 2．（25-26六年级下·北京朝阳·期末）某件商品原价元，第一次降价打七折，第二次降价再降50元。这件商品第二次降价后的售价是（    ）元。 A． B． C． D． 3．（2025·湖北黄石·小升初真题）用下面的图形（    ）可直观得出“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52”。 A．B． C． D． 4．（天津市武清区2025-2026学年人教版六年级下学期7月期末数学试题）观察下列图形规律，第5个图形中有( )个小圆点。 第1个：● 第2个：●●● 第3个：●●●●● …… 5．（2026·新疆和田·小升初真题）按规律填数：1，4，9，16，( )，36，( )。 6．（24-25六年级下·陕西汉中·期末）甲仓库存粮m吨，乙仓库存粮是甲仓库的4.3倍。甲乙共存粮( )吨。 7．（25-26六年级下·贵州黔西南·期末）学校买来9个足球，每个8元，又买来b个足球，每个58元，一共用去（9a＋58）元。( )（判断对错） 8．（2023·广东韶关·小升初真题）图中一共有10条线段。( ) 9．（25-26六年级上·山东德州·期末）符号“f”表示一种运算，表示x在运算f作用下的结果，如表示x在运算f作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下：，，，… 利用上述运算定义计算：。 10．（24-25六年级下·河南郑州·期末）如下图，探探把若干棱长为1分米的小正方体按如下方式层层堆放在墙角。 (1)按这样摆下去，当堆到4层时一共用去多少个小正方体？ (2)当堆到5层时，露在外面的面的面积是多少平方分米？ 【能力提升】 1．（25-26六年级下·陕西宝鸡·期末）把6（x＋5）错看成6x＋5，这样算出来的结果比原来（    ）。 A．少5 B．少25 C．多5 2．（2026·湖南长沙·小升初真题）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月的这7个数的和可能是（    ）。 A．106 B．98 C．84 D．78 3．（2026·湖南长沙·小升初真题）某商店在甲批发市场以每包a元的价格购进35包茶叶，又在乙批发市场以每包b（a＞b）元的价格购进同样的茶叶25包。如果以每包元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店在这次交易中（    ）。 A．盈利了 B．亏损了 C．不能确定 D．不盈不亏 4．（25-26六年级下·江西吉安·期末）金鱼在中国传统文化中有着和平、美好、吉庆的象征。如图，是航航用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”，按照这个规律，搭n条“金鱼”需要( )根火柴。 5．（25-26六年级下·江苏淮安·期末）用黑、白两种颜色的正方形纸片按下面规律拼图案，请你数一数、算一算。 (1)第4个图案中有白色正方形纸片( )张。 (2)第n个图案中有白色正方形纸片( )张。（用含有字母的式子表示） (3)如果第n个图案中有白色正方形纸片61张，则n＝( )。 6．（25-26六年级下·湖南邵阳·阶段检测）用两张完全一样的长方形纸片分别卷成两个圆柱，并装上两个底面，制成的圆柱体积一定相等。( )(判断对错） 7．（24-25六年级下·云南昆明·期末）用小棒摆五边形，按照下图所示的规律摆。 (1)摆5个五边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 (2)按这个规律摆60个五边形，需要几根小棒？ 8．（24-25六年级下·江苏扬州·期末）数形结合是重要的数学思想方法之一，我们常常借助“形”来研究“数”的问题。乐乐在方格纸上将一个大正方形分成两个正方形和两个相同的长方形（如图①），她用两种不同方法表示出大正方形的面积，并得出等式：。 （1）乐乐又继续研究，得出。你知道她是怎么想的吗？请在图②中画一画。 （2）这样的例子能举得完吗？请你借助图想想试试，把你的发现用含有字母的式子表示出来：____________ （3）根据你的发现进行计算：______，______。 9．（25-26六年级下·河南鹤壁·期末）下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗格上所贴的剪纸。 (1)第5个图中所贴剪纸“○”的个数是( )。 (2)第n个图中所贴剪纸“○”的个数是多少？请写出你发现的规律。 10．（25-26六年级下·天津南开·期末）楠楠在边长5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，求剩余部分的面积。她想出两种方法。得到，观察这个等式的特征，回答问题。 方法1： 方法2： (1)是不是任意两个数都有这样的规律呢？请举一个例子进行验证。 (2)如果用a和b分别表示两个数（a＞b），这个规律可以表示为：______________________________ (3)计算下图中圆环的面积，尝试用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 第三单元 用字母表示（二）『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+7个考点讲练展+真题难度分层演练 共42题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 代数式的基本书写格式 3 知识点二 关于代数式的简单计算 3 知识点三 用字母或含字母的式子表示数或数量关系 3 知识点四 用字母或含字母的式子表示运算律 3 知识点五 用字母或含字母的式子表示倍数关系 3 知识点六 用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 4 知识点七 五种新型题型其一：数形规律 4 知识点八 五种新型题型其二：定义新运算 4 知识点九 五种新型题型其三：材料定义 4 知识点十 五种新型题型其四：程序框图 4 知识点十一 五种新型题型其五：数列与算式规律探索 4 知识点十二 含有字母的式子求值 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 用字母表示数量关系（2个未知数） 5 高频考点二 数与形(探索规律） 6 高频考点三 数与形（归纳递推） 8 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 10 高频考点五 用字母表示稍复杂的数量关系 12 高频考点六 数表中的规律 14 高频考点七 含有字母式子的化简与求值 16 优选真题 实战演练 20 【基础通关】 20 【能力提升】 26 知识点一 代数式的基本书写格式 1.关于字母与字母相乘的书写 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成A·B或AB。 2.关于数字与字母相乘的书写 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2，B×B×B可写成B3。 4.关于分数的书写 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a  写作，不要写成5÷a。  6. 关于单位的书写 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本。 知识点二 关于代数式的简单计算 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变 知识点三 用字母或含字母的式子表示数或数量关系 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子 知识点四 用字母或含字母的式子表示运算律 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 知识点五 用字母或含字母的式子表示倍数关系 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 知识点六 用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是可以利用画图的方法求解。 知识点七 五种新型题型其一：数形规律 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母的式子进行表示。 知识点八 五种新型题型其二：定义新运算 1. 定义新运算 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2. 解题方法 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 知识点九 五种新型题型其三：材料定义 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 知识点十 五种新型题型其四：程序框图 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 知识点十一 五种新型题型其五：数列与算式规律探索 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 知识点十二 含有字母的式子求值 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算就可以求出含有字母的式子的值。 高频考点一 用字母表示数量关系（2个未知数） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·山西吕梁·期末）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出。甲车每时行驶70km，乙车每时行驶80km，经过x时两车相遇，则70x＋80x表示( )，80x－70x表示( )。 【答案】 A、B两地的距离 相遇时乙车比甲车多行驶的路程 【思路引导】针对，因为两车是相对开出相遇，所以两车各自行驶的路程和对应两地的总距离，由此推导该式的意义。 针对，因为两车行驶时间相同，速度不同，所以路程的差值对应相遇时两车的行驶路程差，由此推导该式的意义。 【规范解答】70x是甲车小时行驶的路程，是乙车小时行驶的路程；两车相对开出相遇时，总路程就是两车路程之和，因此表示A、B两地的总路程。 是乙车行驶路程减去甲车行驶路程，因此表示相遇时乙车比甲车多行驶的路程。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·广西柳州·期末）参加美术兴趣小组的男生有a人，比女生多b人，美术兴趣小组共有( )人。 【答案】2a－b 【思路引导】男生人数－多的人数＝女生人数，男生人数＋女生人数＝总人数 【规范解答】a－b＋a ＝a＋a－b ＝（2a－b）人 因此，美术兴趣小组共有（2a－b）人。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2026·重庆·小升初真题）某超市将菠萝、蜜桔、芒果三种水果采用两种不同的方式搭配成A、B礼盒出售，A礼盒中装有菠萝、蜜桔各4千克；B礼盒中装有2千克菠萝、4千克蜜桔、6千克芒果。A礼盒每盒的售价是52元，利润率是30%，两种礼盒一共卖出64盒，每千克蜜桔的成本是芒果的3倍。当天盘点时，发现菠萝与蜜桔的价格标签贴反了，这样，卖出的实际总成本比盘点时结算的成本少300元，那么实际总成本应是多少元？ 【答案】 2260元 【思路引导】成本售价（利润率），先由A礼盒的售价和利润率算出其成本，由于A中菠萝和蜜桔重量相同，交换单价后总成本不变；再根据蜜桔与芒果的成本关系，通过替换得出B礼盒交换菠萝、蜜桔单价后的成本与A相同，进而求出盘点时的总结算成本；最后结合成本差算出实际总成本。 【规范解答】A礼盒的成本： （元） 设千克菠萝的成本是元，千克蜜桔的成本价是元，1千克芒果的成本是元 所以 菠萝与蜜桔的价格标签贴反，A礼盒的成本价不变 预算的一盒B礼盒成本是：（元） B礼盒交换菠萝、蜜桔单价后一盒的成本：（元） 总结算成本为：（元） 实际总成本为：（元） 答：实际总成本应是元。 高频考点二 数与形(探索规律） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·山东临沂·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”。从右图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作是两个相邻“三角形数”之和。根据这一规律，第五个图形可以用算式( )表示。 【答案】36＝15＋21 【思路引导】先观察前三个图形的规律：第n个图形对应的正方形数是（n＋1）2，它等于第n个三角形数和第（n＋1）个三角形数的和，按照这个规律即可推出第五个图形对应的算式。 【规范解答】第1个图形：4＝1＋3 第2个图形：9＝3＋6 第3个图形：16＝6＋10 第4个图形：25＝10＋15 第5个图形：36＝15＋21 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·河北石家庄·期末）摆4个连着的五边形需要( )根小棒，摆n个连着的五边形需要( )小棒。 【答案】 17 1＋4n 【思路引导】摆1个五边形需要5根小棒，5＝1＋1×4，摆2个连着的五边形需要9根小棒，9＝1＋2×4，摆3个连着的五边形需要13根小棒，13＝1＋3×4，……，摆n个连着的五边形需要的小棒数为：（1＋4n）根，据此解答即可。 【规范解答】1＋4×4＝1＋16＝17，摆4个连着的五边形需要17根小棒，摆n个连着的五边形需要（1＋4n）小棒。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·江西抚州·期末）将一些小正方形按照下图的方式摆放，每幅图有多少个小正方形？ 聪聪首先研究第①幅图有多少个小正方形，他是这样思考的： 可以一层一层地数，第一层有1个，第二层有3个，所以第①幅图中的小正方形个数是：1＋3＝4 也可以先移动一个小正方形，拼成一个大正方形，所以第①幅图的小正方形个数是2×2＝4 由此得到第①幅图有4个小正方形，而且1＋3＝2×2＝4 (1)照这样计算，第②，③，④幅图分别有多少个小正方形？请将算式补充完整。 ①1＋3＝2×2＝4 ②1＋3＋5＝( )×( )＝( ) ③1＋3＋5＋7＝( )×( )＝( ) ④1＋3＋5＋7＋9＝( )×( )＝( ) (2)照这样计算，第n幅图共有( )个小正方形。 【答案】(1) 3 3 9 4 4 16 5 5 25 (2)（n＋1）2 【思路引导】（1）从上往下数，第①幅图有2层，第1层是1个小正方形，第2层是3个小正方形，且后一层比前一层多2个；第②幅图有3层，第1层是1个小正方形，第2层是3个小正方形，第3层是5个小正方形，且后一层比前一层多2个；第③幅图有4层，第1层是1个小正方形，第2层是3个小正方形，第3层是5个小正方形，第4层是7个小正方形，且后一层比前一层多2个。所以小正方形的数量是从1开始的连续奇数相加，和等于加数个数乘加数个数，即加数个数的平方。 （2）结合（1）的规律来看，第n幅图是从1开始的（n＋1）个连续奇数相加；第n幅图的小正方形总数就是（n＋1）×（n＋1），即（n＋1）2个。 【规范解答】（1）①1＋3＝2×2＝4 ②1＋3＋5＝3×3＝9 ③1＋3＋5＋7＝4×4＝16 ④1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝25 （2）第n幅图的小正方形总数就是（n＋1）×（n＋1），即（n＋1）2个。 高频考点三 数与形（归纳递推） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·浙江台州·期末）如图，搭一个正方体框架用12根小棒，搭2个正方体框架用20根小棒，搭3个正方体框架用28根小棒……照这样搭下去，搭6个正方体框架用( )根小棒，搭n个正方体框架用( )根小棒。 【答案】 52 8n＋4 【思路引导】1个正方体：12＝8×1＋4根；2个正方体：20＝8×2＋4根；3个正方体：28＝8×3＋4根，可以发现： 每多搭1个正方体，只需要增加8根小棒（两个正方体相连会共用4根小棒），搭6个正方体比搭3个正方体多用3个8根，6个正方体需要：（6－3）×8＋28根；搭n个正方体框架，小棒总数为（8n＋4）根。 【规范解答】根据分析，搭6个正方体需要： （6－3）×8＋28 ＝3×8＋28 ＝24＋28 ＝52（根） 搭n个正方体需要（8n＋4）根。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·江西上饶·期末）如图是一组有规律的图案，第20个图案中有( )个三角形。 【答案】61 【思路引导】观察图案可以发现，第1个图案有4个三角形，后一个图案比前一个图案多3个三角形。先求从第1个图案到第20个图案经历了几次增加，就有几组3个三角形，再加上第1个图案中三角形的个数即可。 【规范解答】从第1个图案到第20个图案，共增加了： 20－1＝19（次） 第20个图案中三角形的个数是： 4＋3×19 ＝4＋57 ＝61（个） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·全国·期末）蓝夹缬（xie）是温州地方传统印染技艺，国家级非物质文化遗产之一。 (1)师傅单独浸染一批蓝夹缬布料需3小时，徒弟单独浸染同一批需6小时。师徒合作浸染，需要( )小时完成。 (2)蓝夹缬的花纹以菱形组合而成（如图），按照这样的规律，第10幅花纹由( )个菱形构成。 【答案】(1)2 (2)31 【思路引导】（1）把浸染一批蓝夹缬布料工作量看作单位“1”那么师傅工作效率＝1÷3，徒弟的工作效率＝1÷6，用总工作量除以师傅和徒弟的工作效率之和即可解答。 （2）由图可知，第一幅有4个菱形花纹，第二幅有7个菱形花纹，第三幅图有10个菱形花纹……按照这样的规律，那么第n幅有4＋（n－1）×3个菱形花纹。 【规范解答】（1）1÷3＝ 1÷6＝ 1÷（＋） ＝1÷（） ＝1÷ ＝1×2 ＝2（小时） 所以师徒合作浸染，需要2小时完成。 （2）4＋（10－1）×3 ＝4＋9×3 ＝4＋27 ＝31（个） 所以蓝夹缬的花纹以菱形组合而成（如图），按照这样的规律，第10幅花纹由31个菱形构成。 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）如图，用火柴棍搭成一排由三角形组成的图形，搭1个三角形需要用3根火柴棍，搭2个三角形需要用5根火柴棍，搭3个三角形需要用7根火柴棍，……，按照这个规律搭下去，搭n个三角形需要用( )根火柴棍，搭10个三角形需要用( )根火柴棍。 【答案】 2n＋1/1＋2n 21 【思路引导】观察规律，搭1个三角形用3根火柴棍，搭2个用5根，搭3个用7根。每次增加2根。第1个三角形3根，之后每多搭1个三角形增加2根。搭n个三角形需要的火柴棍数＝3＋（n－1）×2。化简为2n＋1。搭10个代入n＝10计算。 【规范解答】3＋（n－1）×2 ＝3＋2n－2 ＝2n＋1（根） 搭10个：2×10＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·广东汕尾·期末）淘气在做一道数学题目时，不小心把错写成了，结果比原来（    ）。 A．多4 B．多8 C．多24 D．多32 【答案】C 【思路引导】利用乘法分配律将错写的式子去括号展开，得到，然后与原式进行对比，通过计算两者的差值来确定结果的变化情况。 【规范解答】原来的式子是： 错写后的式子是： 根据乘法分配律，将错写后的式子展开： 比较两个式子的大小，用错写后的结果减去原来的结果： 所以结果比原来多24。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（2026·重庆·小升初真题）把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个自然数是( )。 【答案】11 【思路引导】设原来两位数十位上的数是a（1≤a≤9），个位上的数是b（0≤b≤9），那么原来的数可以表示为10a＋b，交换数位后新数为10b＋a，相加并化简，再结合数的特征解答。 【规范解答】设原来两位数十位上的数是a（1≤a≤9），个位上的数是b（0≤b≤9），那么原来的数可以表示为10a＋b，交换数位后新数为10b＋a， 11是质数，是完全平方数，必须是11的倍数，结合数位取值范围，的最大值是， 所以唯一符合条件的取值是，代入计算可得两数之和为，即，因此这个自然数就是11。 高频考点五 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·浙江金华·期末）a、b、c三个数的平均数刚好是中间数b，b比a大2.8，则c比a（    ）。 A．大2.8 B．大5.6 C．小2.8 D．小5.6 【答案】B 【思路引导】根据平均数的定义，三个数的总和等于平均数乘，由此得出、、三个数的和与的关系，可以得到与的和与的关系。再结合已知条件比大，可以得到与的数量关系。 【规范解答】、、三个数的平均数是，所以。 根据等式的性质1，得； 已知比大，得，代入中，得： 根据等式的性质1，等式两边同时减去，得： 。 因此，比大。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·新疆昌吉·期末）用一样长的小棒摆出以下三幅图。如果按这三幅图的规律继续摆下去，则第5幅图需要小棒的根数是( )根，第n幅图需要小棒的根数是( )根。 【答案】 42 8n＋2/2＋8n 【思路引导】观察图形可知： 第1幅图需要小棒10根，10＝1×8＋2； 第2幅图需要小棒18根，18＝2×8＋2； 第3幅图需要小棒26根，26＝3×8＋2； …… 规律：第n幅图需要小棒（8n＋2）根； 按此规律解答。 【规范解答】规律：第n幅图需要小棒的根数是（8n＋2）根。 当n＝5时 8n＋2 ＝8×5＋2 ＝40＋2 ＝42（根） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，下列图形都由同样大小的十字星图案按一定的规律组成，其中第一个图形有1个十字星图案，第二个图形有2个十字星图案，第三个图形有5个十字星图案，第四个图形有10个十字星图案……，则第101个图形有( )个十字星图案。 …… 【答案】10001 【思路引导】观察图形可知： 第一个图形有1个十字星图案，1＝（1－1）2＋1； 第二个图形有2个十字星图案，2＝12＋1＝（2－1）2＋1； 第三个图形有5个十字星图案，5＝22＋1＝（3－1）2＋1； 第四个图形有10个十字星图案，10＝32＋1＝（4－1）2＋1； …… 规律：第n个图形有（n－1）2＋1个十字星图案； 按此规律解答。 【规范解答】规律：第n个图形有（n－1）2＋1个十字星图案。 当n＝101时 （n－1）2＋1 ＝（101－1）2＋1 ＝1002＋1 ＝10000＋1 ＝10001（个） 高频考点六 数表中的规律 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·福建福州·期末）填在下面正方形中的四个数都有相同的规律，根据规律，m的值是( )。 【答案】76 【思路引导】根据题意可知，左上角的数：5，10，15，20，规律是每次加5； 右上角的数：2，4，6，规律是每次加2，据此求出第四个右上角的数； 左下角的数：1，3，5，规律是每次加2，据此求出第四个左下角的数； 右下角的数：左下角的数乘右上角的数加左上角的数等于右下角的数，据此即可求出m值。 【规范解答】第四个右上角的数：6＋2＝8 第四个左下角的数：5＋2＝7 m＝20＋8×7＝20＋56＝76 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·云南昆明·期末）杨辉三角是我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个数字三角形阵（如图），观察图中数字的排列规律，第7行，从左数第3个数字是( )。 【答案】15 【思路引导】每行的首尾数字都是1；除首尾外，每个数等于它上方两个相邻数的和，根据规律逐步推导。 【规范解答】第1行：1； 第2行：1，1； 第3行：1，2，1； 第4行：1，3，3，1； 第5行：1，4，6，4，1； 第6行：1，5，10，10，5，1； 第7行：1，6，15，20，15，6，1。 从上面写出的第7行数字中，我们可以看到从左数第3个数是15。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（2026·山东青岛·小升初真题）仔细观察表格中的数据，根据规律，填一填。 下面两个表格都是从上表中截取出来的，请根据发现的规律补全表①和表②。 【答案】 【思路引导】根据图中的表格得出最下面一排是按照1、2、3、4…这样的顺序； 对应的第一列就是按顺序1的倍数：1、2、3、4… 对应的第二列就是按顺序2的倍数：2、4、6、8… 对应的第三列就是按顺序3的倍数：3、6、9、12… 则对应第n列就是按顺序n的倍数：n、2n、3n、4n… ①中有两个数是48和36，则中间的数就是这两个数的平均数； ②右边一列的数分别是81和90，可得出是第9列，则下面一行就是8的倍数，后面的数是81＝9×9，则前面一个数就是8×9。 【规范解答】（48＋36）÷2 ＝84÷2 ＝42 8×9＝72 则 高频考点七 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·江苏盐城·期末）如图①～图③所示，计算如22－12、32－22、42－32…算式的结果，可采用“数形结合”的方法解决。以图①计算22－12的过程为例，先构造两个边长分别为1和2的正方形，算式22－12的结果即可转化为涂色长方形的面积。再把这个构造与转化过程用算式表示并算出结果： 22－12＝（2＋1）×（2－1）＝3。 (1)先观察图②和图③的构造与转化过程，再用算式表示并算出结果。 32－22＝( )； 42－32＝( )。 (2)若将如上算式用字母式概括表示为（n＋1）2－n2，那么（n＋1）2－n2＝( )。 【答案】(1) （3＋2）×（3－2）＝5 （4＋3）×（4－3）＝7 (2)（2n＋1）/（1＋2n） 【思路引导】（1）正方形面积＝边长×边长＝边长2，观察规律可知，可将两个边长相差1的正方形的面积之差转化成一个长是两个正方形边长之和、宽是两个正方形边长之差的长方形的面积，长方形面积＝长×宽，据此解答； （2）根据（1）中的规律，两个边长相差1的正方形的面积之差＝较小正方形的边长×2＋1，据此解答。 则（n＋1）2－n2＝（n＋1＋n）（n＋1－n）＝2n＋1。 【规范解答】（1）32表示边长为3的正方形面积，22表示边长为2的正方形面积，两个正方形边长之和为（3＋2），边长之差为（3－2）。 32－22＝（3＋2）×（3－2）＝5 42表示边长为4的正方形面积，32表示边长为3的正方形面积，两个正方形边长之和为（4＋3），边长之差为（4－3）。 42－32＝（4＋3）×（4－3）＝7 （2）较小正方形的边长为n，（n＋1）2－n2＝n×2＋1＝（2n＋1）。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）工厂制作大小两种长方体纸盒的尺寸如下：（单位：cm，接头处忽略不计） 长 宽 高 小纸盒 m－0.5n 1 2 大纸盒 3m－n 2 3 (1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？ (2)当m＝3，n＝2时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？ (3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个（a＞10），现从A，B两家商店了解到；两家商店的纸盒价格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元。A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒，B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠。那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含a的式子表示）？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？ 【答案】(1)（36m－13n＋16）平方厘米 (2)98平方厘米 (3)（0.5a＋14）元；（0.4a＋15.2）元；12 【思路引导】（1）长方体的表面积：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，题目要求计算一个大纸盒和一个小纸盒的总用料，即求这两个长方体的表面积之和。 （2）将给定的m和n的值代入第一问求出的代数式中进行计算即可。 （3）需要分别根据 A、B 两家商店的优惠规则计算总费用。 A 商店：买10个大纸盒会赠送10个小纸盒。因为总共需要a个小纸盒且 a＞10，所以还需要额外购买（a－10）个小纸盒。 B商店：所有纸盒（10个大纸盒和a个小纸盒）的总价打八折（即乘0.8）。 最后令两家商店的费用相等，即可求出a的值。 【规范解答】（1）做一个小纸盒用料： 做一个大纸盒用料： 答：制作一大一小两个纸盒共用料（36m－13n＋16）平方厘米。 （2）当m＝3，n＝2时 答：制作一大一小两个纸盒共用料98平方厘米。 （3）由题意得，A商店应付款： B商店应付款： 当时，到两家商店购买付款一样多 解： 答：到A商店付款，到B商店付款，当a为12时，到两家商店购买付款一样多。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（2025六年级上·广东广州·专题练习）下面四个算式中，＝4（≠0），结果等于的是（    ）。 A．（＋）÷ B．（＋）÷ C．÷（＋） D．÷（＋） 【答案】C 【思路引导】根据题意，把＝4（≠0）代入到4个选项中，分别求出它们的值，找出结果等于的算式即可。 【规范解答】A．（＋）÷＝（4＋4）÷＝8÷＝8，结果不等于； B．（＋）÷＝（＋）÷4＝2÷4 ，结果不等于； C．÷（＋）＝÷（4＋4）＝÷8 ，结果等于； D．÷（＋）＝4÷（＋）＝4÷2＝2，结果不等于。 故答案为：C 【变式训练3】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·河南焦作·期末）☆，△，○各代表一个数，☆＋☆＋△＝16，△＋○＝7，☆＋△＝10，那么△＝( )，○＝( )。 【答案】 4 3 【思路引导】我们可根据☆＋☆＋△＝16得出：△＝16－2☆，再把☆＋△＝10中的△用16－2☆替换，根据等式的性质先求出☆等于多少，然后再分别求出△和□等于多少。 【规范解答】因为☆＋☆＋△＝16，所以△＝16－2☆ 所以☆＋△＝☆＋16－2☆＝10 ☆＋16－2☆＝10 解：☆＋16－2☆＋2☆＝10＋2☆ ☆＋16＝10＋2☆ ☆＋16－☆＝10＋2☆－☆ 10＋☆＝16 10＋☆－10＝16－10 ☆＝6 把☆＝6代入☆＋△＝10，得： 6＋△＝10，所以△＝10－6＝4 再把△＝4代入△＋○＝7，得： 4＋○＝7，所以○＝7－4＝3 【基础通关】 1．（25-26六年级下·云南昆明·期末）古希腊数学家毕达哥拉斯将1，3，6，10…这样的数称为三角形数，这些数可以用下面的点阵图来表示，照这样第7个三角形数是（    ）。 A．15 B．21 C．28 D．36 【答案】C 【思路引导】根据题意可知： 第一个三角数：1，1＝1 第二个三角数：3＝1＋2；可以写成：（1＋2）×2÷2 第三个三角数：6＝1＋2＋3；可以写成：（1＋3）×3÷2 第四个三角数：10＝1＋2＋3＋4；可以写成：（1＋4）×4÷2 …… 第n个三角数，可以写成：（1＋n）×n÷2，据此求出第7个三角数。 【规范解答】（7＋1）×7÷2 ＝8×7÷2 ＝28（个） 照这样第7个三角形数是28个。 2．（25-26六年级下·北京朝阳·期末）某件商品原价元，第一次降价打七折，第二次降价再降50元。这件商品第二次降价后的售价是（    ）元。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】“打七折”表示现价是原价的70%，用乘法计算；“再降50元”表示在第一次降价后的价格基础上减去50元，用减法计算。根据题意先后顺序列出代数式即可得出答案。 【规范解答】商品原价为元。第一次降价后的价格为：（元） 第二次降价再降元，第二次降价后的售价为：元 3．（2025·湖北黄石·小升初真题）用下面的图形（    ）可直观得出“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52”。 A．B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52”，找出图形中不同颜色正方形数量分布与算式“先递增到5再递减”的规律一致，且整体构成边长为5的正方形（面积为52）的选项。 【规范解答】A．图形从颜色和数量分布可以看作是1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，不能对应题目中的算式，因此选项A错误； B．图形从颜色和数量分布可以看作是1＋2＋6＋6＋10，不能对应题目中的算式，因此选项B错误； C．图形中不同颜色正方形数量呈现“从1开始递增到5，再递减回1”的分布，完全对应算式“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1”；同时这些正方形组成一个边长为5的大正方形，其面积为52，因此C选项正确。 D．图形中不同颜色正方形数量与“先递增到5再递减”的规律不对应，因此D选项错误。 可直观得出“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52” 的图形是。 4．（天津市武清区2025-2026学年人教版六年级下学期7月期末数学试题）观察下列图形规律，第5个图形中有( )个小圆点。 第1个：● 第2个：●●● 第3个：●●●●● …… 【答案】9 【思路引导】观察图形可知：后一个图形比前一个图形多2个小圆点，第1个图形有1个，第二个图形有1＋2＝3个，第3个图形有1＋2×2＝1＋4＝5个，所以小圆点个数＝（图形序数－1）×2＋1。 【规范解答】根据分析：第5个图形小圆点有： （5－1）×2＋1 ＝4×2＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 5．（2026·新疆和田·小升初真题）按规律填数：1，4，9，16，( )，36，( )。 【答案】 49 【思路引导】每个数是它所在位置序号的平方，第1个数是1×1，第2个数是2×2，第3个数是3×3，第4个数是4×4……据此解答。 【规范解答】根据分析示意图如下： 6．（24-25六年级下·陕西汉中·期末）甲仓库存粮m吨，乙仓库存粮是甲仓库的4.3倍。甲乙共存粮( )吨。 【答案】5.3m 【思路引导】用m乘4.3求出乙仓库存粮多少吨，再加甲仓库存粮m吨，即可解答此题。 【规范解答】4.3m＋m＝5.3m（吨） 甲乙共存粮5.3m吨。 7．（25-26六年级下·贵州黔西南·期末）学校买来9个足球，每个8元，又买来b个足球，每个58元，一共用去（9a＋58）元。( ) 【答案】× 【思路引导】根据“单价×数量＝总价”的数量关系，分别表示出两部分足球的总价，再相加得到总钱数，最后与题干给出的式子进行对比，注意题干中给出的具体数值与字母是否对应。 【规范解答】第一部分足球的总价为：（元） 第二部分足球的总价为：（元） 一共用去的钱数为：（元） 原说法错误 故答案为：× 8．（2023·广东韶关·小升初真题）图中一共有10条线段。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据题意可知： 两点间有1条线段； 三点间有1＋2＝3条线段； 四点间有1＋2＋3＝6条线段； 五点间有1＋2＋3＋4＝10条线段； 由此可知：线段总数等于从1开始依次加到（端点数－1）。据此判断即可。 【规范解答】根据分析可得： 1＋2＋3＋4＝10（条） 即图中共有10条线段，原说法正确。 故答案为：√ 9．（25-26六年级上·山东德州·期末）符号“f”表示一种运算，表示x在运算f作用下的结果，如表示x在运算f作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下：，，，… 利用上述运算定义计算：。 【答案】2 【思路引导】根据题意，，中的就是中的，例如求就是当x＝1时，2x＋1的值，即求含字母的式子的值，和就是分别求当x＝2026和x＝2025时，2x＋1的值。 【规范解答】 ＝2×2026＋1－（2×2025＋1） ＝2×2026＋1－2×2025－1 ＝2×2026－2×2025＋（1－1） ＝2×（2026－2025）＋0 ＝2×1 ＝2 10．（24-25六年级下·河南郑州·期末）如下图，探探把若干棱长为1分米的小正方体按如下方式层层堆放在墙角。 (1)按这样摆下去，当堆到4层时一共用去多少个小正方体？ (2)当堆到5层时，露在外面的面的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)20个 (2)45平方分米 【思路引导】（1）由图可知，堆1层需要1个小正方体； 堆2层需要4个小正方体，增加了3个小正方体（1＋2＝3个）； 堆3层需要10个小正方体，增加了6个小正方体（1＋2＋3＝6个）； 所以堆4层需要增加的小正方体个数为1＋2＋3＋4＝10个，用堆3层的小正方体数量加上增加的10个小正方体即可求出堆4层一共用去的小正方体个数。 （2）堆到第5层时，从前面看到的图形是，共15个小正方形；从右面看到的图形是，共15个小正方形；从上面看到的图形是，共15个小正方形；所以露在外面的面一共有15×3＝45个小正方形。正方形面积＝边长×边长，求出一个正方形的面积；用一个正方形的面积乘45即可求出露在外面的面的面积。 【规范解答】（1）堆1层用去1个小正方体； 1＋2＝3（个） 1＋3＝4（个） 堆2层用去4个小正方体； 1＋2＋3＝6（个） 6＋4＝10（个） 堆3层用去10个小正方体； 1＋2＋3＋4＝10（个） 10＋10＝20（个） 答：当堆到4层时一共用去20个小正方体。 （2）1＋2＋3＋4＋5 ＝3×5 ＝15（个） 15×3＝45（个） 1×1×45 ＝1×45 ＝45（平方分米） 答：露在外面的面的面积是45平方分米。 【能力提升】 1．（25-26六年级下·陕西宝鸡·期末）把6（x＋5）错看成6x＋5，这样算出来的结果比原来（    ）。 A．少5 B．少25 C．多5 【答案】B 【思路引导】利用乘法分配律将正确的算式展开，再和错误的算式的结果比较。 【规范解答】正确的算式： 两个算式的差： 可知算出来的结果比原来少25。 2．（2026·湖南长沙·小升初真题）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月的这7个数的和可能是（    ）。 A．106 B．98 C．84 D．78 【答案】C 【思路引导】组成“U形结构”的数的规律是7个数的和是2＋4＋9＋11＋16＋17＋18＝77，77÷7＝11；商11加上6就是最底下中间数17，即7个数总和一定能被7整除，再用商＋6即可得到最底中间数。先拿四个选项除以7，把除不尽的选项直接排除；剩下能整除的选项，再看对应的日期能不能画出U形结构即可。 【规范解答】106÷7、78÷7都得不到整数，106和78不符合题意； 若总和98，98÷7＝14，14＋6＝20，最底中间数是20，往左推左上角日期是5，5在周五列，列位置不对，画不出U形，排除98； 若总和84：84÷7＝12，12＋6＝18，最底中间数是18，向上推出其余日期都在对应周四、周六列，能画出U形，84符合条件。 3．（2026·湖南长沙·小升初真题）某商店在甲批发市场以每包a元的价格购进35包茶叶，又在乙批发市场以每包b（a＞b）元的价格购进同样的茶叶25包。如果以每包元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店在这次交易中（    ）。 A．盈利了 B．亏损了 C．不能确定 D．不盈不亏 【答案】A 【思路引导】先计算出售出全部茶叶的总售价，再计算购进茶叶的总进价，用总售价减去总进价，根据结果的正负判断盈亏情况。 【规范解答】总进货数量：（包） 总售价： （元） 总进价：（元） 利润： （元） 已知，因此，即总售价大于总进价，商店盈利。 4．（25-26六年级下·江西吉安·期末）金鱼在中国传统文化中有着和平、美好、吉庆的象征。如图，是航航用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”，按照这个规律，搭n条“金鱼”需要( )根火柴。 【答案】2＋6n 【思路引导】通过观察题图可知，搭1条“金鱼”用（2＋6＝2＋6×1＝8）根火柴，搭2条“金鱼”用（2＋6＋6＝2＋6×2＝14）根火柴，搭3条“金鱼”用（2＋6＋6＋6＝2＋6×3＝20）根火柴，以后每多搭一条“金鱼”就多用6根火柴，所以搭n条“金鱼”用（2＋6n）根火柴。 【规范解答】搭1条“金鱼”需要火柴：2＋6×1＝8（根） 搭2条“金鱼”需要火柴：2＋6×2＝14（根） 搭3条“金鱼”需要火柴：2＋6×3＝20（根） …… 所以，搭n条“金鱼”需要（2＋6n）根火柴。 5．（25-26六年级下·江苏淮安·期末）用黑、白两种颜色的正方形纸片按下面规律拼图案，请你数一数、算一算。 (1)第4个图案中有白色正方形纸片( )张。 (2)第n个图案中有白色正方形纸片( )张。（用含有字母的式子表示） (3)如果第n个图案中有白色正方形纸片61张，则n＝( )。 【答案】(1)13 (2)3n＋1 (3)20 【思路引导】（1）观察图案可知，第1个图案中有白色纸片4张，即（3×1＋1）张；第2个图案中有白色纸片7张，即（3×2＋1）张；第3个图案中有白色纸片10张，即（3×3＋1）张，那么第4个图案中有白色图案（3×4＋1）张。 （2）由（1）可知，第1个图案中有白色纸片（3×1＋1）张；第2个图案中有白色纸片7张，即（3×2＋1）张；第3个图案中有白色纸片10张，即（3×3＋1）张……由此可推出第n个图案中有白色纸片（3n＋1）张。 （3）如果第n个图案中有白色正方形纸片61张，即3n＋1＝61，解这个方程即可求解。 【规范解答】（1）3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（张） （2）第1个图案中有白色纸片（3×1＋1）张； 第2个图案中有白色纸片7张，即（3×2＋1）张； 第3个图案中有白色纸片10张，即（3×3＋1）张…… 第n个图案中有白色纸片（3n＋1）张。 （3）3n＋1＝61 解：3n＋1－1＝61－1 3n＝60 3n÷3＝60÷3 n＝20 6．（25-26六年级下·湖南邵阳·阶段检测）用两张完全一样的长方形纸片分别卷成两个圆柱，并装上两个底面，制成的圆柱体积一定相等。( )(判断对错） 【答案】× 【思路引导】解题关键在于理解用长方形纸片卷成圆柱时，可以将长作为底面周长、宽作为高，也可以将宽作为底面周长、长作为高。圆柱的体积公式为，底面半径由底面周长决定。当长方形的长和宽不相等时，两种卷法得到的底面半径和高不同，且半径对体积的影响（平方关系）大于高对体积的影响（一次方关系），因此体积通常不相等。只有当长方形是正方形时，体积才相等。 【规范解答】用长方形纸片卷成圆柱，有两种卷法： 第一种：以长方形的长为底面周长，宽为高。 第二种：以长方形的宽为底面周长，长为高。 设长方形的长为，宽为，且和不相等； 若以长为底面周长，则底面半径 ，高，体积。 若以宽为底面周长，则底面半径，高，体积。 因为，所以，即。 故答案为：× 7．（24-25六年级下·云南昆明·期末）用小棒摆五边形，按照下图所示的规律摆。 (1)摆5个五边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 (2)按这个规律摆60个五边形，需要几根小棒？ 【答案】(1)21根； 摆1个五边形，需要5根小棒，整理得：； 摆2个五边形，需要9根小棒，整理得：； 摆3个五边形，需要13根小棒，整理得：； 摆4个五边形，需要17根小棒，整理得：17＝4×4＋1； 摆n个五边形，需要小棒的根数，可以写成：4n＋1 (2) 241根 【思路引导】（1）根据图观察规律： 摆1个五边形，需要根小棒，整理得：； 摆2个相连的五边形，两个五边形共用1条边，因此只需要增加4根小棒，共根，整理得：； 摆3个相连的五边形，再增加4根小棒，共根，整理得：； 由此可得：每多摆1个五边形，需要增加4根小棒，根据规律解答即可。 （2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。 【规范解答】（1）观察图形可知，摆1个五边形，需要5根小棒，整理得：； 摆2个五边形，需要9根小棒，整理得：； 摆3个五边形，需要13根小棒，整理得：； 摆4个五边形，需要17根小棒，整理得：17＝4×4＋1； 摆5个五边形，需要： 4×5＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 摆n个五边形需要小棒的根数，可以写成：4n＋1 答：摆5个五边形，需要21根小棒。摆n个五边形，需要（4n＋1）根小棒。 （2）把代入公式： 4×60＋1 ＝240＋1 ＝241（根） 结论：摆60个五边形需要241根小棒。 8．（24-25六年级下·江苏扬州·期末）数形结合是重要的数学思想方法之一，我们常常借助“形”来研究“数”的问题。乐乐在方格纸上将一个大正方形分成两个正方形和两个相同的长方形（如图①），她用两种不同方法表示出大正方形的面积，并得出等式：。 （1）乐乐又继续研究，得出。你知道她是怎么想的吗？请在图②中画一画。 （2）这样的例子能举得完吗？请你借助图想想试试，把你的发现用含有字母的式子表示出来：____________ （3）根据你的发现进行计算：______，______。 【答案】（1） （2）（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （3）1225；100 【思路引导】（1）在图②中，将大正方形的边长看作（2＋4），将其分割成两个正方形（边长分别为2和4）和两个相同的长方形（长为4，宽为2），通过图形面积的不同计算方式得出等式。据此作图。 （2）根据前面的例子，可总结出对于边长为（a＋b）的正方形，其面积可以表示为a2＋2ab＋b2，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。 （3），根据发现的规律（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，把a＝30，b＝5，代入计算。 ，根据发现的规律a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，把a＝7.1，b＝2.9，代入计算。 【规范解答】（1）画图略。 （2）对于边长为（a＋b）的正方形，其面积可以表示为a2＋2ab＋b2，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。 用含有字母的式子表示是（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。（表示不唯一） （3） ＝302＋2×30×5＋52 ＝900＋2×30×5＋25 ＝900＋300＋25 ＝1225 ＝（7.1＋2.9）2 ＝102 ＝100 1225，100。 9．（25-26六年级下·河南鹤壁·期末）下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗格上所贴的剪纸。 (1)第5个图中所贴剪纸“○”的个数是( )。 (2)第n个图中所贴剪纸“○”的个数是多少？请写出你发现的规律。 【答案】(1)17 (2)3n＋2； 规律：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 【思路引导】（1）观察可知，第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，可见每增加一个图形，“○”的数量就增加3个，因此用第3个图“○”的数量连续加2个3，即可求出第5个图中“○”的数量。 （2）根据（1）中分析，将每个图形的数量写成3×n＋2的形式，总结出第n个图中所贴剪纸“○”的个数，并写出规律。 【规范解答】（1）第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，依次多3个“○”，则第5个图中所贴剪纸“○”的个数为： 11＋3＋3＝17（个） （2）第1个图有5个“○”，5＝3×1＋2； 第2个图有8个“○”，8＝3×2＋2； 第3个图有11个“○”，11＝3×3＋2； …… 第n个图中“○”的个数为3×n＋2，即（3n＋2）个。 规律为：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 10．（25-26六年级下·天津南开·期末）楠楠在边长5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，求剩余部分的面积。她想出两种方法。得到，观察这个等式的特征，回答问题。 方法1： 方法2： (1)是不是任意两个数都有这样的规律呢？请举一个例子进行验证。 (2)如果用a和b分别表示两个数（a＞b），这个规律可以表示为：______________________________ (3)计算下图中圆环的面积，尝试用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米） 【答案】(1)是，举例： (2) (3)23.55平方厘米 【思路引导】（1）任意举两个数看是否也满足这两个数的平方差等于这两个数的和和差的乘积即可； （2）由（1）可知任意两个数都有这样的规律，也就是任意两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，由此用字母a和b表示规律即可； （3）圆的面积等于，圆环的面积就等于大圆面积减小圆面积即，利用乘法分配律变成，再利用前面的规律计算即可。（取3.14） 【规范解答】（1）假设两个数是6和2，则 所以 所以任意两个数都有这样的规律即任意两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积。 （2）由（1）可知用a和b分别表示两个数（a＞b），这个规律可以表示为： （3）圆环的面积＝ ＝ ＝ ＝3.14×（4.25＋3.25）×（4.25－3.25） ＝3.14×7.5×1 ＝23.55（平方厘米） 答：圆环的面积是23.55平方厘米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 第三单元用字母表示（二） 『举一反三知识讲练』 (能力提升版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+7个考点讲练展+真题难度分层演练共42题) 讲义简介丙容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题， 常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦」 多目录指引丙容知晓 知识梳理温故知新.……… 3 知识点一代数式的基本书写格式 知识点二关于代数式的简单计算.……… 3 知识点三用字母或含字母的式子表示数或数量关系 3 知识点四用字母或含字母的式子表示运算律..· 知识点五用字母或含字母的式子表示倍数关系…3 知识点六用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 知识点七五种新型题型其一：数形规律.…....4 知识点八五种新型题型其二：定义新运算……4 知识点九五种新型题型其三：材料定义 知识点十五种新型题型其四：程序框图…4 知识点十一五种新型题型其五：数列与算式规律探索…4 第1页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 知识点十二含有字母的式子求值.. 考点讲练真题汇总· 5 高频考点一用字母表示数量关系(2个未知数) 5 高频考点二数与形（探索规律） 6 高频考点三数与形（归纳递推) 6 高频考点四含有字母式子的化简与求值.… 7 高频考点五用字母表示稍复杂的数量关系..· .7 高频考点六数表中的规律..， 8 高频考点七含有字母式子的化简与求值.... 优选真题实战演练.。 11 【基础通关】 11 【能力提升】 ，。1,。。。,,,。,。,。,,,。，。,。,,。,,，,。，12 导图指引梳理脉格 1:用字母表示数量关系 2.探素规律 3.日历中的数量关系 1)用字母表示加、减法的数量关系 (1)图形与数量的规律 ()每个月的天数 和■a+b 差=a-b 观察图形姿化，找出数量关系。用字母表示。 天数■星期×7+余数-《余数<7) (2)用字母表示乘、除法的数量关系 积=a×b 商=a+b倍数关系：几倍数倍数基数 泔 i (2)相邻日期的数量关系 同一列上下相差7 相邻列（同一行）相差1 (3)用含字母的式子表示数量关系 (2)数学规律的探素方法 (3)两数之间的关系 a的2倍：2a 比a多3：a+3 画一画一填一填一找规律一用字母表示一验证一交流 相差n天：前一天加，后一天减 例：2023年10月10日是星期二 10月20日是星期几 a与b的和：a+b a与b的差：a-b 2023年10月 (3)式子表示的规律 日一 三四五六 0-10=10天1 如小棒摆三角形：1个三角形用3根小棒， 10÷7=1(周)余3天 ,露在外面的面最少为 摆月个需安2n+1根 屋期二+3天=星期五 答：星期五。 三角形、小棒摆法中的个数关系等 293031 5.解决问顾（应用字母表达解决实际河题） 4花坛的周长 ①某商店苹果每千克a元，买5千克需要多少钱？ 第三单元 (1)认识周长 d元 功 用字母表示( 图形一周的长度就是周长。 ②工程队修一条长1200m的路，已经修了bm, 还剩多少米？ (2)圆形花坛 蓉网 凤且 周长■2江r r:半径 用字母表示的好处 ③学校有蓝球x个，足球比篮球多15个， (3)正方形花坛 足球有多少个？ ①简明、准确地表达数量关系： 周长=4a a:边长 器是个5个 ⊙ ②设于计算和推理； ③发现规律，解决问题更高效。 (4)长方形花坛 周长=2(a+b) a:长，b:宽 ⊙整充势场长am意6m它的网长和面积 用字母表示，就是让数学更简洁、更有力量 答是a的品 巩固练习（含答案）【 1.用字母表示下面各数量关系。 2.观察图形，按规律填式。 3.根据日历回答问恩. 4.计算下面图形的周长。(x取3.14) 5,解决问题 (1)a与b的和。 合？伦留 (1)一本书每本m元，买8本要多少钱？ (1)2023年11月7日是星期 m 答：a+b 1234 14日是累期（二）. 答1周长是31,4m (2)x的3倍减去5 第1个需要5根小棒，第2个需要8根小棒。 小明有 567890u 元小红比小明多6元 (2)2023年11月21日是星期 解：4a=4×12=48(m} 答：3x-5 小红有多少钱？ 第3个需要11根小棒… 2) 12345161718 30日是星期（四， 答：周长是48m (3)比y的2倍多6的数 a=12m (1)第个需要(3+2)根小棒 19202122232425 (3)2023年11月有(30)天 答：2y+6 12(a+)=2×15+8) 2627282930 (3》正方形花坛边长为am,周长是多少米 8m =46(m (2)第10个需要(32)根小棒。 a15 答：周长是46m ★学习小贴士：多用宇母表示，勒于观察、归纳和验证，数学思维会更灵活，解决问题也会更轻松！ 第2页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 知识梳理温故知新 知识点一代数式的基本书写格式 1.关于字母与字母相乘的书写 中间的乘号可用“”表示或省略不写，例如：A×B可写成A·B或AB。 2.关于数字与字母相乘的书写 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写 需要写成平方或立方的形式，例如：BXB可写成B,BXBXB可写成B。 4.关于分数的书写 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5.关于除法的书写 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a写作5，不要写成5÷a。 6.关于单位的书写 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加 减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a本书，他们一共买了(5+a)本。 知识点二关于代数式的简单计算 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变 知识点三用字母或含字母的式子表示数或数量关系 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子 知识点四用字母或含字母的式子表示运算律 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 知识点五用字母或含字母的式子表示倍数关系 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 第3页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 知识点六用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是可以利用画图的方 法求解。 知识点七五种新型题型其一：数形规律 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母的式子进行表示。 知识点八五种新型题型其二：定义新运算 1.定义新运算 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2.解题方法 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入 算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3.注意事项 （1)定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：米、▲、。、©等，它们并不表示实际意义。 (2)在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号 里的，再算中括号里的。 知识点九五种新型题型其三：材料定义 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 知识点十五种新型题型其四：程序框图 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 知识点十一五种新型题型其五：数列与算式规律探索 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 知识点十二含有字母的式子求值 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过 计算就可以求出含有字母的式子的值。 第4页共15页 2025-一2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 考点讲练真题亿邑 高频考点一用字母表示数量关系(2个未知数) 【典例精讲】（★食★☆）(25-26五年级下·山西吕梁·期末)甲、乙两车同时从A、B两地相对开出。 甲车每时行驶70km,乙车每时行驶80km,经过x时两车相遇，则70x+80x表示( ),80x -70x表示( ）。 【变式训练1】（★食食）（25-26六年级下·广西柳州·期末)参加美术兴趣小组的男生有a人，比女 生多b人，美术兴趣小组共有( )人。 【变式训川练2】（◆★★食）(2026·重庆·小升初真题)某超市将菠萝、蜜桔、芒果三种水果采用两 种不同的方式搭配成A、B礼盒出售，A礼盒中装有菠萝、蜜桔各4千克；B礼盒中装有2千克菠萝、4千克 蜜桔、6千克芒果。A礼盒每盒的售价是52元，利润率是30%，两种礼盒一共卖出64盒，每千克蜜桔的成 本是芒果的3倍。当天盘点时，发现菠萝与蜜桔的价格标签贴反了，这样，卖出的实际总成本比盘点时结 算的成本少300元，那么实际总成本应是多少元？ 高频考点二数与形（探索规律） 【典例精讲】（★★★★）(25-26六年级下·山东临沂·期末)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3， 6,10这样的数称为“三角形数”，把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”。从右图中可以发现， 任何一个大于1的“正方形数”都可以看作是两个相邻“三角形数”之和。根据这一规律，第五个图形可 以用算式( )表示。 ●●●● ●●●●●●● ●●●●●●● ●●●●●。●● 4=1+39=3+616=6+10 【变式训练1】（★★★★)(25-26六年级下·河北石家庄·期末)摆4个连着的五边形需要( 根小棒，摆n个连着的五边形需要( )小棒。 第5页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 【变式训练2】（★★★★）(25-26六年级下·江西抚州·期末)将一些小正方形按照下图的方式摆放， 每幅图有多少个小正方形？ ① ② ③ 聪聪首先研究第①幅图有多少个小正方形，他是这样思考的： 可以一层一层地数，第一层有1个，第二层有3 个，所以第①幅图中的小正方形个数是：1+3=4 1+3=4 也可以先移动一个小正方形，拼成一个大正方形， 2X2=4 所以第①幅图的小正方形个数是2×2=4 由此得到第①幅图有4个小正方形，而且1+3=2×2=4 (1)照这样计算，第②，③，④幅图分别有多少个小正方形？请将算式补充完整。 ①1+3=2X2=4 ②1+3+5=( )X( )=( ③1+3+5+7=( )X( )=( ④1+3+5+7+9=( )×( )=( (2)照这样计算，第n幅图共有( )个小正方形。 高频考点三数与形（归纳递推） 【典例精讲】（食★食★）(25-26六年级下·浙江台州·期末)如图，搭一个正方体框架用12根小棒， 搭2个正方体框架用20根小棒，搭3个正方体框架用28根小棒…照这样搭下去，搭6个正方体框架用 )根小棒，搭n个正方体框架用( )根小棒。 第6页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 【变式训练1】（★★★）（25-26六年级下·江西上饶·期末)如图是一组有规律的图案，第20个图 案中有( )个三角形。 【变式训练2】（★★★★）(25-26六年级上·全国·期末)蓝夹缬(xi)是温州地方传统印染技艺， 国家级非物质文化遗产之一。 (1)师傅单独浸染一批蓝夹缬布料需3小时，徒弟单独浸染同一批需6小时。师徒合作浸染，需要( 小时完成。 (2)蓝夹缬的花纹以菱形组合而成（如图)，按照这样的规律，第10幅花纹由( )个菱形构成。 坚州州 高频考点四含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（★食食食）(25-26六年级下·陕西咸阳·期末)如图，用火柴棍搭成一排由三角形组 成的图形，搭1个三角形需要用3根火柴棍，搭2个三角形需要用5根火柴棍，搭3个三角形需要用7根 火柴棍，…，按照这个规律搭下去，搭n个三角形需要用( )根火柴棍，搭10个三角形需要用 )根火柴棍。 【变式训练1】（★食★）(24-25六年级下广东汕尾·期末)淘气在做一道数学题目时，不小心把4a+8 错写成了4(a+8),结果比原来( )。 A.多4 B.多8 C.多24 D.多32 【变式训练2】（★★食）(2026·重庆·小升初真题)把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得 到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个自然数是( ）。 高频考点五用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（★★★）(25-26六年级下·浙江金华·期末)a、b、c三个数的平均数刚好是中间数b, b比a大2.8，则c比a( )。 第7页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 A.大2.8 B.大5.6 C.小2.8 D.小5.6 【变式训练1】（★★★★)(25-26六年级下·新疆昌吉·期末)用一样长的小棒摆出以下三幅图。如 果按这三幅图的规律继续摆下去，则第5幅图需要小棒的根数是( )根，第n幅图需要小棒的根数 是( )根。 ① ② ③ 【变式训练2】（★★★◆）(2025·湖南长沙·小升初真题)如图，下列图形都由同样大小的十字星 图案按一定的规律组成，其中第一个图形有1个十字星图案，第二个图形有2个十字星图案，第三个图形 有5个十字星图案，第四个图形有10个十字星图案…，则第101个图形有( )个十字星图案。 令 第一个 第二个 第三个 第四个 图形 图形 图形 图形 高频考点六数表中的规律 【典例精讲】（★★★★）(25-26六年级下·福建福州·期末)填在下面正方形中的四个数都有相同 的规律，根据规律，m的值是( 5 2 10 4 15 6 20 7 3 22 45 m 【变式训练1】（食食食食)(24-25六年级下·云南昆明·期末)杨辉三角是我国宋代数学家杨辉在其 著作《详解九章算法》中给出的一个数字三角形阵（如图），观察图中数字的排列规律，第7行，从左数 第3个数字是( )。 第1行 -第2行 第3行 第8页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 【变式训练2】（★★食）(2026·山东青岛·小升初真题)仔细观察表格中的数据，根据规律，填一填。 80 90 81 48 3 9 6 12 2 4 6 8 36 1 2 3 4 下面两个表格都是从上表中截取出来的，请根据发现的规律补全表①和表②。 48 80 90 36 81 ① ② 高频考点七含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（★★★★）(24-25六年级下·江苏盐城·期末)如图①~图③所示，计算如2-12、3 一2、4一33…算式的结果，可采用“数形结合”的方法解决。以图①计算2-1的过程为例，先构造两个 边长分别为1和2的正方形，算式2一1的结果即可转化为涂色长方形的面积。再把这个构造与转化过程用 算式表示并算出结果： 2°-1=(2+1)×(2-1)=3。 (1)先观察图②和图③的构造与转化过程，再用算式表示并算出结果。 32-2=( ): 42-3=( )。 (2)若将如上算式用字母式概括表示为(n+1)2-n,那么(n十1)？-n=( )。 第9页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 图① 图② 图③ 【变式训练1】（★★★★）(23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中)工厂制作大小两种长方体纸盒的 尺寸如下：（单位：cm,接头处忽略不计） 长 宽 高 小纸盒 m-0.5n 2 大纸盒 3m-n 2 (1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？ (2)当m=3,n=2时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？ (3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个(a>l0),现从A,B两家商店了解到：两家商店的纸盒价 格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元。A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒， B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠。那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含的式子表 示)？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？ 【变式训练2】（食食★）(2025六年级上·广东广州·专题练习)下面四个算式中，b=4a(a≠0)， 结果等于的是()。 A.(b+b)÷aB.(a+a)÷b C.a÷(b+b) D.b÷(a+a) 第10页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练3】（★★★★）(24-25六年级下·河南焦作·期末)☆，△，O各代表一个数，☆+☆十 △=16，△+=7，☆+△=10，那么△=( ),O=( ）。 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26六年级下·云南昆明·期末)古希腊数学家毕达哥拉斯将1,3,6,10…这样的数称为三角形 数，这些数可以用下面的点阵图来表示，照这样第7个三角形数是( )。 0 ● ●● ●● ●●●… ● ●00 0●00 3 6 10 A.15 B.21 C.28 D.36 2.(25-26六年级下·北京朝阳·期末)某件商品原价a元，第一次降价打七折，第二次降价再降50元。 这件商品第二次降价后的售价是( )元。 A.0.7a B.a-50 C.0.7a-50 D.0.7(a-50) 3.(2025·湖北黄石·小升初真题)用下面的图形( )可直观得出“1+2+3+4+5+4+3+2+ 1=52”。 A. C D 4.（天津市武清区2025-2026学年人教版六年级下学期7月期末数学试题)观察下列图形规律，第5个图 形中有( )个小圆点。 第1个：● 第2个：●●● 第3个：●●●●● 5.(2026·新疆和田·小升初真题)按规律填数1,4,9,16，（ ),36,( )。 6.(24-25六年级下陕西汉中期末)甲仓库存粮m吨，乙仓库存粮是甲仓库的4.3倍。甲乙共存粮( 吨。 第11页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 7.(25-26六年级下·贵州黔西南·期末)学校买来9个足球，每个8元，又买来b个足球，每个58元， 一共用去(9a十58)元。()（判断对错） 8.(2023·广东韶关·小开初真题）ABCD5图肿一共有0条线段。( 9.(25-26六年级上·山东德州·期末)符号“f”表示一种运算，f(x)表示x在运算f作用下的结果，如 f(x)=2x+1表示x在运算f作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下：f(1)=2×1+1=3, f(-3)=2×(-3)+1=-5,f(m+1)=2(m+1)+1=2m+3,… 利用上述运算定义计算：f(2026)-f(2025)。 10.(24-25六年级下·河南郑州·期末)如下图，探探把若干棱长为1分米的小正方体按如下方式层层堆 放在墙角。 一层 二层 三层 (1)按这样摆下去，当堆到4层时一共用去多少个小正方体？ (2)当堆到5层时，露在外面的面的面积是多少平方分米？ 【能力提升】 1.(25-26六年级下·陕西宝鸡·期末)把6(x+5)错看成6x+5,这样算出来的结果比原来( A.少5 B.少25 C.多5 第12页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 2.(2026·湖南长沙·小升初真题)如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”形框中的7个数（如 阴影部分所示)，请你运用所学的数学知识来研究，发现此月的这7个数的和可能是()。 五 6 9 9 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 272829 30 31 A.106 B.98 C.84 D.78 3.(2026·湖南长沙·小升初真题)某商店在甲批发市场以每包元的价格购进35包茶叶，又在乙批发 市场以每包b(>b)元的价格购进同样的茶叶25包。如果以每包三(2a+b)元的价格全部卖出这种茶叶， 那么这家商店在这次交易中( )。 A.盈利了 B.亏损了 C.不能确定 D.不盈不亏 4.(25-26六年级下·江西吉安·期末)金鱼在中国传统文化中有着和平、美好、吉庆的象征。如图，是 航航用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”，按照这个规律，搭n条“金鱼”需要( )根火柴。 >>>>> 8根 14根 20根 5.(25-26六年级下·江苏淮安·期末)用黑、白两种颜色的正方形纸片按下面规律拼图案，请你数一数、 算一算。 do d 第1个 第2个 第3个 (1)第4个图案中有白色正方形纸片( )张。 (2)第n个图案中有白色正方形纸片( )张。（用含有字母的式子表示） (3)如果第n个图案中有白色正方形纸片61张，则n=( )。 6.(25-26六年级下·湖南邵阳·阶段检测)用两张完全一样的长方形纸片分别卷成两个圆柱，并装上两 个底面，制成的圆柱体积一定相等。（ )(判断对错) 第13页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 7.（24-25六年级下·云南昆明·期末)用小棒摆五边形，按照下图所示的规律摆。 (1)摆5个五边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 (2)按这个规律摆60个五边形，需要几根小棒？ 8.(24-25六年级下·江苏扬州·期末)数形结合是重要的数学思想方法之一，我们常常借助“形”来研 究“数”的问题。乐乐在方格纸上将一个大正方形分成两个正方形和两个相同的长方形（如图①），她用 两种不同方法表示出大正方形的面积，并得出等式：(1+3)2=12+1×3×2+32。 1cm 图① 图② 12 1×3 32 方法1： (1+3) 方法2：12+1×3X2+32 (1)乐乐又继续研究，得出(2+4)2=22+2×4×2+4。你知道她是怎么想的吗？请在图②中画一画。 (2)这样的例子能举得完吗？请你借助图想想试试，把你的发现用含有字母的式子表示出来： (3)根据你的发现进行计算：(30+5)2=，7.12+7.1×2.9×2+2.92=一一。 第14页共15页 2025-2026学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 9.(25-26六年级下·河南鹤壁·期末)下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“O”代表窗格上所贴 的剪纸。 片 期 ① ② ③ (1)第5个图中所贴剪纸“O”的个数是( )。 (2)第n个图中所贴剪纸“O”的个数是多少？请写出你发现的规律。 10.(25-26六年级下·天津南开·期末)楠楠在边长5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正 方形，求剩余部分的面积。她想出两种方法。得到52一32=(5+3)×(5一3)，观察这个等式的特征，回答 问题。 方法1： 方法2： 5 3 S阴影=52-32 S阴影=(5+3)×(5-3) (1)是不是任意两个数都有这样的规律呢？请举一个例子进行验证。 (2)如果用a和b分别表示两个数(a>b),这个规律可以表示为： (3)计算下图中圆环的面积，尝试用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米） R=4.25 r=3.25 第15页共15页null