辽宁省2026-2027学年高二上学期数学开学模拟卷01

**基本信息** 聚焦高二开学知识衔接，以立体几何、向量与三角函数为核心，通过梯度化题型与真实情境设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、圆锥体积、三角形性质、向量投影、异面直线夹角等|第6题以三棱柱容器收集雨水为情境，考查空间几何体体积计算，体现数学应用意识| |填空题|3题/15分|向量垂直、重心向量表示、三棱锥外接球表面积|第13题结合重心性质考查向量表示，培养几何直观与抽象能力| |解答题|5题/77分|向量运算、三角函数性质、解三角形、立体几何证明与存在性问题|17题三问递进（求角、面积范围、中点长度范围），19题探究棱上存在性问题，发展推理能力与创新意识|

辽宁省2026-2027年高二数学上学期开学模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三、必修四、选择性必修第一册第一章第一节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）若，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南商丘·期末）已知一圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知为单位向量，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广西河池·期末）在一次化学实验过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.则当底面水平放置时，水面高为（   ） A．30mm B．40mm C．50mm D．60mm 7．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·四川绵阳·期末）三棱柱的所有棱长均相等，且分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·山东滨州·期末）若函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为4 B． C．函数在区间上单调递增 D．方程在区间上的所有实数根的和为 10．（25-26高一下·广东广州·期末）已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若面积为，，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为直角三角形 11．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（    ） A．平面平面 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得平面平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）已知向量，，若，则的值为________． 13．（2026高一下·江苏镇江·专题练习）如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 14．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知三棱锥中，是直角三角形，为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知平面向量，. (1)若，求实数的值； (2)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 16．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，（，），函数，若的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间，最值和最值点． 17．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，分别为锐角的三个内角，，的对边，的面积记为，且． (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)若，为的中点，求线段长的取值范围． 18．（25-26高一下·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，. (1)设平面平面，求证：； (2)求证：； (3)在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 19．（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，正三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027年高二数学上学期开学模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三、必修四、选择性必修第一册第一章第一节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）若，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，则， 故． 2．（25-26高一下·河南商丘·期末）已知一圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的结构特征，结合面积以及体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径和高分别为 由于轴截面为等腰直角三角形，故，且母线， 故侧面积为，则. 体积为. 3．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】B 【详解】因为， 由余弦定理可知 即， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以是等腰或直角三角形. 4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知为单位向量，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算向量的模长，对两边平方求出，再代入投影数量公式计算即可. 【详解】由，可得， 已知，将等式两边平方并展开得， 又因为，所以解得； 则在上的投影数量为，故B正确. 5．（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 6．（25-26高一下·广西河池·期末）在一次化学实验过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.则当底面水平放置时，水面高为（   ） A．30mm B．40mm C．50mm D．60mm 【答案】D 【分析】利用水的体积不变，通过不同放置方式下水的体积表达式来求解水面的高度. 【详解】由题意，， 又， 因为、分别为、的中点，所以， 所以， 又，所以， 又，所以， 即当底面水平放置时，水面高为60mm. 7．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得的图象关于点对称，关于直线对称，通过在上单调递减可得点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，可算出. 【详解】的图象关于点对称， 又当时，取得最值，即的图象关于直线对称， 又在上单调递减，， 点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则. ，又的图象关于点对称，且在上单调递减， 由正弦函数的性质，， 时，. 8．（25-26高一下·四川绵阳·期末）三棱柱的所有棱长均相等，且分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，，则， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·山东滨州·期末）若函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为4 B． C．函数在区间上单调递增 D．方程在区间上的所有实数根的和为 【答案】ABD 【分析】AB选项，根据函数图象求出解析式，AB正确；C选项，得到，故函数在区间上不单调；D选项，求出在区间上的根，相加可得答案 【详解】A选项，设的最小正周期为，则，故，A正确； B选项，由题意得，，故， 将代入得，， 因为，所以只有当，即时满足要求，B正确； C选项，，时，， 因为在上不单调，故在上不单调递增，C错误； D选项，，故，即， 时，， 故或，解得或， 故在区间上的所有实数根的和为，D正确 10．（25-26高一下·广东广州·期末）已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若面积为，，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】ABC 【分析】A可根据正弦定理将角的正弦值转化为边的关系，再根据大边对大角判断即可；B可根据三角形面积公式和余弦定理求出角；C可根据三角函数的诱导公式和两角和的正切公式判断角的正负；D可根据正弦定理和同角三角函数的基本关系判断角的关系. 【详解】A，根据正弦定理（为外接圆半径），可得，， 由已知，即，又，所以， 根据三角形大边对大角的性质，可得，故A正确； B，已知，根据三角形面积公式及余弦定理， 即，所以， 化简得，即，又，所以，故B正确； C，因为，所以，则， 根据两角和的正切公式， 所以，移项可得， 即， 又，即， 因为、、为的内角，所以、、中必有一个小于0， 即、、中必有一个为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； D，因为，根据正弦定理可得，即， 因为，所以，所以，即， 又，所以，所以或， 当时，可得，所以，所以为直角三角形， 当时，可得，所以，所以为钝角三角形，故D错误. 11．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（    ） A．平面平面 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得平面平面 【答案】BD 【分析】 A选项，通过线面垂直的性质及面面垂直的判定定理分析，除非，否则不成立； B选项，取的中点，利用中位线及平行四边形性质证明，进而利用线面平行的判定定理证明； C选项，利用反证法，由到平面距离不等可知平面与平面相交；D选项，当为中点时，结合B选项结论及等腰三角形性质，证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明. 【详解】对于A：因为平面，平面，所以，因为平面，平面，则平面. 平面与平面的交线过点且，所以平面.这意味着平面和平面都垂直于平面. 若要平面平面，则需它们在平面内的交线与垂直，即. 题目仅已知，无法推出，故A错误； 对于B：取的中点，连接.若为的中点，则为的中位线， 所以，且. 又因为平面，平面，所以， 已知，即. 所以且， 则四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面， 所以平面. 故存在点（即中点）满足条件，故B正确； 对于C：假设存在点使得平面平面. 因为平面，平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离. 即， 但这与已知条件矛盾（）.所以假设不成立，故C错误； 对于D：当为的中点时，由选项B可知四点共面，即平面. 因为，为中点，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 故存在点（即中点）满足条件，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）已知向量，，若，则的值为________． 【答案】 【详解】，，． ． 13．（2026高一下·江苏镇江·专题练习）如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算法则，即可得答案. 【详解】延长AM，交BC于点D，因为M为的重心，所以D为BC的中点，且， 则 . 14．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知三棱锥中，是直角三角形，为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为_____． 【答案】 【分析】设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接，在中利用余弦定理可得，从而得到，可证得平面，在中利用勾股定理可求得结果. 【详解】    设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接， 如图，因为是直角三角形，， 所以是以角为直角的直角三角形，所以为圆的直径， 所以. 因为，，， 所以， 得， 所以，故. 因为，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在直线上，且. 在中，，所以，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为：， 故三棱锥外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知平面向量，. (1)若，求实数的值； (2)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两向量垂直，则它们的数量积为0列式求值. （2）根据夹角为锐角，则数量积大于0且两向量不共线列式求值. 【详解】（1）已知平面向量，， 则，， 因为，所以 即， 解得. （2）已知平面向量，， 则， 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 由，解得 当与共线时，由，解得 因为与不共线，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 16．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，（，），函数，若的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间，最值和最值点． 【答案】(1) (2) 单调递减区间为 ；最大值为 ，最大值点为 ；最小值为 ，最小值点为 【分析】（1）由平面向量数量积的计算公式和三角恒等变换的“二倍角公式”、“辅助角公式”即可求出函数的解析式； （2）使用三角函数的“整体代换法”，将函数化归为，结合函数的图象和性质即可求出函数的单调递减区间、最值和最值点. 【详解】（1）， 因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，所以，所以，因为，所以，即函数的解析式为； （2）令，，则，， 所以函数的单调递减区间为， 当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为； 所以函数的最大值为，最大值点为；最小值为，最小值点为. 17．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，分别为锐角的三个内角，，的对边，的面积记为，且． (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)若，为的中点，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式化简求解. （2）利用正弦定理及三角形面积公式，结合差角的正弦及正切函数性质求出范围. （3）利用数量积的运算律，结合正余弦定理及和差角的正弦求解. 【详解】（1）在锐角中，由及余弦定理、三角形面积公式， 得，则， 即，由，得，解得， 所以. （2）由（1）得，又为锐角三角形，则，解得， 由及正弦定理，得， 而，因此， 所以面积的取值范围是. （3）由（1）知，又，由正弦定理，得， 由余弦定理得，则， 由为的中点，得，则， 由（2）令，则， ， 因此，， 所以线段长的取值范围是. 18．（25-26高一下·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，. (1)设平面平面，求证：； (2)求证：； (3)在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为，平面，平面，可得平面， 又因为平面平面，平面，所以. (2)设的中点为，连接， 因为为等边三角形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可得平面，由平面可得， 又因为，，平面， 可得平面，且平面，所以. (3)存在点，使得平面，此时. 【分析】（1）可证平面，结合线面平行的性质定理分析证明； （2）根据面面垂直的性质可得平面，进而可证平面，即可得结果； （3）可证平面，可得，可知平面，进而分析求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设的中点为，连接， 因为为等边三角形，则， 又因为平面，且平面，所以， 且，则， 且，平面，可得平面， 若平面，则，可知平面， 设，连接， 因为，，则点为的中点，可得，符合题意， 所以存在点，使得平面，此时. 19．（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，正三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)因为三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为正三角形，点为的中点，所以， 又因为，平面，所以平面； (2)在棱上存在点，使得平面； (3) 【分析】（1）由题意可得，，利用线面垂直的判定定理可证结论； （2）根据给定条件，证明平面平面，过点作交于点，利用面面垂直的性质可求得结论. （3）利用（2）的结论，把所求距离转化为点到平面的距离求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）知平面，又平面， 所以平面平面， 在平面内过点作交于点， 又平面平面，所以平面， 于是点即为所要找的点，又，所以， 即有，于是，所以， 所以. （3）取的中点，连接，因为点为的中点， 则，， 于是为平行四边形，即，而平面， 平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离, 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 而由（2）知，当时，平面，， 设，则， 所以点到平面的距离. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $