辽宁省2026-2027学年高二上学期开学数学自编模拟试卷02

**基本信息** 聚焦高二开学衔接，融合必修三、四及选择性必修一第一章内容，通过分层题型考查空间向量、三角函数等核心知识，突出空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|正方体动点最值（空间几何）、三角形角平分线最值（解三角形）|基础巩固（向量坐标运算）与能力提升（正四棱台外接球）结合| |填空题|3题15分|空间四点共面（向量应用）、正三棱柱异面直线角（空间观念）|注重数学语言表达（向量关系转化）| |解答题|5题77分|三棱柱线面垂直证明（推理能力）、直三棱柱线面角计算（运算能力）|综合考查空间几何与三角函数，体现数学思维的逻辑性|

辽宁省2026-2027学年高二数学上学期开学自编模拟试卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四+选择性必修第一册第一章第一节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知向量，，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一下·河北邯郸·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）在中，，在边上，平分．若，则的最小值是（    ） A．20 B．18 C．17 D．16 7．（25-26高一下·陕西·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C．1 D． 8．（25-26高二下·甘肃武威·期末）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期末）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B．四边形的周长为 C． D．四边形的面积为 10．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（   ） A．若的一个对称中心为，则 B．若为偶函数，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 11．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（    ） A．截面可以是三角形 B．与底面所成的角为 C．与底面所成的角为 D．当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知向量，，，若，则__________． 13．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 14．（25-26高一下·江西赣州·期末）在正三棱柱中，点分别为棱，，的中点，则异面直线与所成的角为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·四川广安·期末）已知复数（i为虚数单位，） (1)若复数z对应的点在第四象限，求m的取值范围； (2)当时，复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16．（25-26高一下·福建莆田·期末）已知函数， (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的图象． 0 (2)将的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称轴方程． 17．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知内角，，的对边分别为，，，若，. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，且，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 18．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）如图，三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 19．（25-26高一下·辽宁大连·期末）如图，直三棱柱中，，若，分别是，的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 (3)设是中点，求直线与平面所成角的正弦值 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027学年高二数学上学期开学自编模拟试卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四+选择性必修第一册第一章第一节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】因为， 则. 2．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知向量，，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据求出的值，再根据向量夹角的计算公式求出向量与的夹角的余弦值，最后求出夹角. 【详解】因为 ，， 所以， 解得，即. 所以. 故向量与的夹角为. 3．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得： ， 因为为偶函数， 所以， 解得：， 当时，可得. 4．（25-26高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 5．（25-26高一下·河北邯郸·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 与 展开到同一平面,此时取得最小值为,再由余弦定理求解. 【详解】把 与 展开到同一平面,此时取得最小值为. 如图，，,所以 是 中点，，，中，由余弦定理得 ,所以 所以 的最小值为 . 6．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）在中，，在边上，平分．若，则的最小值是（    ） A．20 B．18 C．17 D．16 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式以及基本不等式求解即可. 【详解】   已知AD是的角平分线，，因此. 则. 设，，则， 化简得. . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 所以，此时，满足条件，故最小值为18. 7．（25-26高一下·陕西·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】直线与底面所成角，是直线与其在底面内的射影所成的角，本题中只需找到在底面的投影，计算所求角的正切即可 【详解】正四棱锥中，顶点在底面的投影为底面正方形中心， （高），底面正方形边长为2，对角线长， 因此，且. 是中点，过作平面于，则是中点，， 故，底面，就是直线与底面所成角. ，在中： 因此直线与底面所成角的正切值为，选B. 8．（25-26高二下·甘肃武威·期末）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据上下底边长计算上下底外接圆的半径，通过侧棱长、上下底面外接圆半径的差计算棱台的高，联立方程求解外接球半径，根据计算结果. 【详解】设正四棱台的上下底面的中心分别为，，外接球的球心为，连接，，，，；过作下底面，垂足为，如图所示.    则，，. ，，. ，则. （1）当外接球的球心在棱台内部时，如图：    设，则. ，即，解得. ，即外接球的半径. 外接球的表面积. （2）当外接球的球心在棱台外部时，如图：    设，则. ，即，解得，不符合题意. 综上所述，正四棱台的外接球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期末）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B．四边形的周长为 C． D．四边形的面积为 【答案】AD 【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可. 【详解】如图过作， 由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即，即C错误； 还原平面图为下图， 即，即A正确； 过作，由勾股定理得， 故四边形ABCD的周长为：，即B错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确. 10．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（   ） A．若的一个对称中心为，则 B．若为偶函数，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据辅助角公式及正弦型函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】. 由题意知，则，又，则，所以， 故. 对于A，若的一个对称中心为， 则， 可得，，所以，. 又，所以，A错误. 对于B，若为偶函数，则，， 所以，， 又，所以，B正确. 对于C，当时，， 且区间的长度为， 若在区间内有三个零点，则，，则，， 又因为，故，C正确. 对于D，当时，， 因为，所以， 若在上单调递增，则， 即，解得，故的最大值为，D正确. 11．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（    ） A．截面可以是三角形 B．与底面所成的角为 C．与底面所成的角为 D．当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为 【答案】ACD 【分析】取的中点，证得平面，得到截面为，可判定A正确；过点作平面，结合正棱锥的形状和线面角的定义，求得与底面所成的角，可判定B不正确，C正确；利用锥体的体积公式，求得上下两部分的体积比，可判定D正确. 【详解】对于A，如图所示，取的中点，连接， 因为正四棱锥的所有棱长为，可得和均为正三角形， 所以，又因为，且平面， 所以平面，即截面为，所以A正确； 对于B，过点作平面于点， 因为四棱锥为正四棱锥，所以为底面正方形的中心， 则为的中点，所以即为与底面所成的角， 因为正四棱锥的所有棱长为，所以， 在直角中，可得，可得，所以B不正确； 对于C，由选项B知，即与底面所成的角为，所以C正确； 对于D，由选项A知，平面经过侧棱的中点时，平面即为平面， 此时， 因为, 所以截得的上半部分的体积为， 所以截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为，所以D正确.    第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知向量，，，若，则__________． 【答案】 【分析】计算的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，，则. 又，则 . 即 ，整理得，解得. 13．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 14．（25-26高一下·江西赣州·期末）在正三棱柱中，点分别为棱，，的中点，则异面直线与所成的角为______. 【答案】/ 【分析】取的中点，连接和，分别证得和，得到平面，进而证得，即可得到异面直线与所成的角. 【详解】如图所示，取的中点，连接和， 因为为的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为分别为的中点，可得， 在正中，为的中点，可得，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与所成的角为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·四川广安·期末）已知复数（i为虚数单位，） (1)若复数z对应的点在第四象限，求m的取值范围； (2)当时，复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复平面的相关定义进行求解； （2）先将代入求出具体的复数值，再将这个复数值代入方程进行求解. 【详解】（1）由题意得：，即， 故（舍弃）或，综上解得，故m的取值范围是. （2）若，则．因为复数z是关于x的方程的一个根，所以． ， ．. 16．（25-26高一下·福建莆田·期末）已知函数， (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的图象． 0 (2)将的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称轴方程． 【答案】(1) 画图：在坐标系中描出上述6个点，连接成光滑的正弦曲线即可（一个周期范围为）； (2)对称轴方程为. 【分析】（1）根据五点法作图原理，确定一个周期内相位的五个关键点对应值，依次求解得到对应的和，再描点连线得到函数图象； （2）按照三角函数图象平移、伸缩变换的规则逐步推导得到的解析式，再利用正弦型函数对称轴的性质，令相位等于，求解得到的对称轴方程. 【详解】（1）对于函数 ，结合表格给出的初始值，按五点法计算得下表： 画图：在坐标系中描出上述5个点，连接成光滑的正弦曲线即可（一个周期范围为）。 （2）按平移变换规则逐步推导： 函数 向上平移1个单位得， 横坐标缩短为原来的得， 向右平移个单位得， 正弦函数的对称轴满足， 令解得. 即图象的对称轴方程为. 17．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知内角，，的对边分别为，，，若，. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，且，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理及同角公式求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. （3）利用正弦定理及和差角的正弦公式化简，再利用余弦函数的性质求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 因此，而，所以. （2）由（1）知，，由平分交于点，得， 即，而，整理得， 由余弦定理得， 而，解得，所以的周长为. （3）由（1）得，令， 由为锐角三角形，得，则， 由正弦定理得，则， ， 所以的取值范围是. 18．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）如图，三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)设，连接， 由三棱柱的所有棱长均为2， 则四边形为菱形，所以，， 又为等边三角形，所以， 因为，，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）作出，连接，根据菱形的性质，及等边三角形的性质即可证明结论； （2）解法1：设点到平面的距离为，先求出点到的距离，由（1）知，平面，再根据，即可求出； 解法2：过作，垂足为，由（1）得面面垂直，推出平面，从而得到为点到平面的距离，再求出点到的距离，再根据三角形面积即可求出，进而得解． 【详解】（1）略 （2）解法1：设点到平面的距离为d， 由三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形， 由(1)知， 则在中，，，， 所以可得点到的距离为， 由（1）知，平面，则到平面的距离为， 所以， 又，所以． 解法2：由（1）知，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 过作，垂足为，所以平面， 则为点到平面的距离， 又三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形， 则在中，，，， 可得点到的距离为， 所以，则， 所以点到平面的距离为． 19．（25-26高一下·辽宁大连·期末）如图，直三棱柱中，，若，分别是，的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 (3)设是中点，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】(1)法一：取中点H，连接HG，HF， ，H，F分别为，和中点． ，，，从而， 平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面ABC， 平面ABC，平面ABC，平面HGF，平面HGF， 与HF在平面HGF内且相交，平面平面ABC， 平面HGF，平面. 法二：连接， 为中点，为中点，为中点，， 平面ABC，平面ABC，平面ABC． (2)在直棱柱中，平面ABC， 平面ABC，， 不妨设，，，， ，， 又与在平面内且相交，平面， 平面，平面平面． (3) 【分析】（1）法一：取中点H，连接，，利用线面平行的判定定理证得平面，平面，进而利用面面平行的判定定理得平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明即可； 法二：连接，根据中位线的性质得，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用棱柱性质得，根据勾股定理得，进而利用线面垂直的性质定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）连接，，利用线面角的定义得即为所求的线面角，在直角三角形中求解正弦值即可； 【详解】（1）略 （2）略 （3）连接MB，， 平面ABC，直线BM为直线在平面ABC内的射影， 是与平面ABC所成的角， 在中，， ， 故． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $