课时测评6　空间中的平面与空间向量-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时测评6空间中的平面与空间向量 用书P133 (时间：40分钟满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) √基础排查(1一8每小题5分，共40分) 1.己知a,B是两个不同的平面，给定下列命题：①若n1,2分别是平面a,B的法向量， 则n1∥n2台a∥B;②若n1,n2分别是平面a,B的法向量，则a∥B=n1n2=0;③若n是平 面a的法向量，且向量a与平面a共面，则an=0;④若两个平面的法向量不垂直，则这 两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：①③④正确.②中由a∥B曰n1∥2 2.设直线1的方向向量u=(-2,2,),平面a的一个法向量v=(6,一6,12)，若直线1L 平面a,则实数t等于() A.4 B.-4 C.2 D.-2 答案：B 解析：因国为直线11平面，所以M,则2=2=占，解得仁一4故选B 6=-6121 3.如果直线1的方向向量是a=(一2,0,1)，平面α的法向量是b=(-4,0,2),那么() A.1⊥a B.l∥a C.lca D,1与a斜交 答案：A 解析：因为a=(-2,0,1),b=(-4,0,2)=2a,所以a∥b,所以1⊥a.故选A. 4.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则下列向量中是平面ABC的法向量的是() A.(1,2,-6 B.(-2,1,1) C.(1,-2,2) D.(4,-2,1) 答案：C n·AB=0, 解析：设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则 nAC=0, . 独家授权侵权必究 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 得y=-2,z=2.所以n=(1,-2,2).故选C. 5,如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，M,N分别为A1B,AC的中点，则MN与平面BB1C1C 的位置关系是() ' D A A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 答案：B 解析：根据题意建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,2,2),A1(2,2,0),C(0,0, 2),B(2,0,2),所以M(2,1,1),N(1,1,2),所以MW=(-1,0,1).又平面BB1C1C 的-个法向量为n=(0,1,0),所以MNn=一1X0+0×1+1×0=0,所以MN⊥n,又因为 MN丈平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C故选B. D B A 6者46,2.令卯，-1司c-2,1图是平面a内的三点，设平面a的法向量a =c,y,z),则x:y:z= 答案：2：3：(-4) 7 子8， 得 7 解 -2x-y-4=0, 则xy含F23( 3 7.设平面a与向量a=(-1,2,一4)垂直，平面B与向量b=(2,3,1)垂直，则平面a与 B的位置关系是 独家授权侵权必究 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 答案：垂直 解析：因为ab=-2十6-4=0，所以a⊥b,因此a⊥B 8,如图，在长方体ABCD-A1B1CD1中，A41=AD=1,E为CD的中点，点P在棱A41上， 且DP∥平面BAE,则AP的长为 A D B 案： 解析：建立以AB,AD,A41所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系（图略），设AB= ,点P坐标为0,0，.则B(a,0,),D0,1,0,E61,0=a,0,1)应 =(1,D=0.-1,机，因为DP∥平面B,E,所以存在实数元，设D=+ (a+ 4=0, 所以b=入 u=-1, 1=b, =2所以P0,0,所以AP=2 9.(10分)已知平面a经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面a的 一个法向量， 解：因为A(1,2,3),B(2,0,-1),C3,-2,0), 所以4B=(1,-2,-4),AC=(2,-4,-3). 设平面a的法向量是n=(,y,2). 依题意，得nAB=0且nAC=0, 公0。令=，因=2=0 所以平面a的一个法向量是n=(2,1,0). 10.10分)如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D 是AP的中点，E,F,G分别为PC,PD,CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平 面ABCD,连接PA,PB,PC,形成四棱锥P-ABCD.用向量方法证明：AP∥平面EFG ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B G C 证明：如图，以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角 坐标系D-y2, P F E G 则P(0,0,2),C(0,2,0),G1,2,0),E(0,1,1),F0,0,1),A2,0,0), P=(-2,0,2),EF=0,-1,0,EG=1,1,-1). 设平面EFG的法向量为n=(c,y,z). (nEF=0, 则 即厂y=0, n EG=0, x+y-z=0, 所以代产2， y=0. 令x=1,则z=1,所以n=(1,0,1). 因为n:AP=1×(-2)+0×0+1×2=0, 所以n⊥AP 又AP丈平面EFG, 所以AP∥平面EFG. √综合运用 11.(⑤分)（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，以点D为坐标原点建立空间直角坐标 系，E为BB的中点，F为AD1的中点，则下列向量中，不能作为平面AEF的法向量的是 () ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2) C.(2,-2,1) D.(1,2,-2) 答案：ACD 解析：设平面AEF的法向量为n=(c,y,z),正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A(I, En=0, 0:0,11身哈数=，应=分0所以 即 4Fn=0, +22=0, 所以=一2，经计算，选项A,C,D中的向量均不能作为平面AEF的法向 2+z=0, x=2z 量 12.(5分)由向量a=(1,0,2),b=(0,2,1)确定的平面的一个法向量为n=(x,y,z),则 向量c=(1,V21,2)在n上的射影长是 答案：1 解析：由n是4，b所确定的平面的一个法向量，知62二0，即十22-0， 2y+z=0, 不妨设z=2, 可解得x=-4,y=-1,所以n=(-4,-1,2), 所以c在n上的射影长为cos〈，c=” -4-21+4=1 V21 13.(10分)己知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB =AA1,D,E,F分别为BA,CC,BC的中点. (I)求证：DE∥平面ABC; (2)求证：B1F⊥平面AEF 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 证明：以A为原点，AB,AC,A41的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系A-yz,令AB=A41=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F2,2,0),B1(4, 0,4),D(2,0,2),A1(0,0,4), (1)DE=(-2,4,0),平面ABC的法向量为A41=(0,0,4), 因为DEA41=0,DEt平面ABC, 所以DE∥平面ABC (2)B1F=(-2,2,-4,EF=(2,-2,-2), B1FEF=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, 所以B1F⊥EF,BF⊥EF, BF:AF=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0, 所以B1F⊥AF,所以BF⊥AF 因为AF∩EF=F,所以BF⊥平面AEF √创新拓展 14.(5分（多选）已知空间中三点A0,1,0),B2,2,0),C(一1,3,1)，则下列结论正确 的是() A.AB与AC是共线向量 B.与AB同向的单位向量是 2W55 5,5 C.店与BC夹角的余弦值是 11 D.平面ABC的一个法向量是1，-2,5) 答案：BD 解析对于A,B=2,1,0,AC=一1,2，，因为2 ,所以AB与AC不是共线向量， 271 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 AB 故A错误；对于B，AB=2,1,O,则与AB同向的单位向量是 V52,1,0= AB 255 5,50故B正猜：对于C,=2,1,0,BC=(一3,1,1，所以cos〈B,BC) AB-BC -5 V55 LABIBCT v5×Vi ,故C错误：对于D,=2,1,0,C=仁1,2，)， (nAB=0, 设平面ABC的法向量为n=心，y,z,则 。所以2A+=0, nAC=0, 4g=0.取x=1,则 5,2”得a=,-2,5,故D正骑.哉速BD 15,(15分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中 点，设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面DBQ∥平面PAO? D B 解：建立如图所示的空间直角坐标系D-yz,设正方体的棱长为2， D 则O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2), 所以0A=(1,-1,0),OP=(-1,-1,1),BD1=(-2,-2,2). 设平面PAO的法向量为n1=(c,y,), (104=0, 则 sy=0, n1OP=0 1-x-y+z=0. 令x=1,则y=1,z=2, 所以平面PAO的-个法向量为n1=(1,1,2). ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk,com○ 您身边的互联网+教辅专家 若平面D1BQ∥平面PAO, 则n1也是平面DBQ的一个法向量. 设Q0,2,c),则BQ=(-2,0,c), 所以n1BQ=0,即-2+2c=0,所以c=1, 这时n1BD1=-2-2+4=0, 所以当Q为CC1的中点时，平面DBQ∥平面PAO 学生用书↓第26页 ·独家授权侵权必究。