1.2.5 空间中的距离 同步练--2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 练习围绕空间距离主题，分层覆盖基础计算到综合应用，通过梯度化题型设计适配新授课知识巩固，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（7题）|点到面、点到线距离|直接应用公式，如正方体中点到平面距离计算，强化空间观念| |提升层（6题）|异面直线距离、最值问题|结合几何模型（三棱台、正方体），如异面直线公垂线段长度，发展模型观念| |综合层（2题）|动态问题与证明|向量法解决距离及存在性问题，如动点轨迹下距离最值，体现推理能力|

1.2.5 空间中的距离课后同步练习 1．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 2．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，即，故可取， 则，因， 则点到平面的距离． 3．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      5．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 6．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 7．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 8．（25-26高二下·云南曲靖·期末）（多选）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的数量积、点到平面的距离公式、线面角、空间向量的模的公式逐一判断计算即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，，，， 所以. 所以，所以A正确； 因为，设平面的一个法向量坐标为. 所以，即，令，则. 所以，因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为，D正确. 所以点到平面的距离为，所以B正确. 因为， 所以，所以，C错误. 9．（2026·湖南长沙·三模）（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱上（含端点）的动点，为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若为的中点，则直线与直线是异面直线 B．若为的中点，点到直线的距离为 C．存在点，使得 D．存在点，使得平面 【答案】BC 【详解】选项A， ， 因为为中点，为中点， 所以，所以与在同一平面，所以和不是异面直线. 选项B， ， 建立如图直角坐标系，设，易得，，， 因此， 因为，，. 所以，. 选项C，设，，所以，， 因为，所以，，解得，即存在符合题意. 选项D，因为， 所以，， 设平面法向量， 因为且, 则且,令可得, 所以解得， 若平面，则，，解得，不满足条件，即不存在符合题意的点. 10．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】AD 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，由空间向量线性运算的坐标表示，判断A；求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离的向量求法求得异面直线与间的距离，判断B；根据点到直线的距离的向量求法，求得点到直线的距离，判断C；根据点到平面距离的向量求法求得点到平面的距离，判断D. 【详解】因为平面，且，所以可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 由题可知，. 因为为中点，所以. 对于A，，所以，所以A正确； 对于B，，. 设，且，则，所以. 令，则. 则满足条件的一个向量. 所以异面直线与间的距离为，所以B不正确； 对于C，，所以点到直线的距离为，所以C不正确； 对于D，，，设平面的法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以点到平面的距离，所以D正确. 故选：AD. 11．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______． 【答案】 【分析】使用空间中点到直线的距离公式结合数量积公式即可求解. 【详解】因为，， 则，，， 所以，， 所以点到直线的距离． 12．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则，     即点到平面的距离为. 13．（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为__________. 【答案】 【分析】以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面的法向量，设，且，求，根据平面，可得满足的等式关系，并用表示，确定的取值范围，利用空间中两点距离公式得，结合二次函数的性质，即可确定长度的最大值. 【详解】如图，以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 动点在底面正方形内(包括边界)，则设，且 则，设平面的法向量为，又 则，令，则 因为平面，所以，即， 则，所以 则， 由二次函数的性质可得当时，，时，，所以长度的最大值为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【答案】(1) (2)结合（1）的空间直角坐标系，有，则，， 设，，则，平面的法向量为， 所以，令，得到， 又平面，即， 所以，解得， 所以． 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离； （2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论． 【详解】（1）由底面，，且底面，则，，两两垂直， 所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，且，分别为棱，的中点， 则，，， 所以，， 所以在上的投影向量的模长为， 所以点到直线的距离为． （2）略 15．（2026·北京·三模）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)已知，为中点，可得， 又平面，平面，故， 分别为中点，三棱柱中，故， 又，平面，平面. (2) (3) 【分析】（1）由及为中点，利用等腰三角形“三线合一”得；结合平面及，得到，从而由线面垂直判定定理证得平面； （2）以平面为基础，构造出二面角的平面角；利用已知边长、、，通过勾股定理与面积公式求出与，进而得到余弦值； （3）将点到平面的距离转化为三棱锥的高，利用等体积法建立方程；结合、及，计算得到所求距离. 【详解】（1）略 （2）由(1)可得平面，平面，故， 过作于，连接，因为，平面， 所以平面，又平面，故， 故即为二面角的平面角， 是中点，，则，； 且，， 故， ，得， 因为平面，又平面，故， 在中：， 故，即二面角的余弦值为. （3）三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，即：， 由平面，得：， 计算的面积：，，， 为等腰三角形，底边上的高， 因此：， 设点到平面的距离为，由得：， 解得，即点到平面的距离为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.5 空间中的距离课后同步练习 1．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·云南曲靖·期末）（多选）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 9．（2026·湖南长沙·三模）（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱上（含端点）的动点，为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若为的中点，则直线与直线是异面直线 B．若为的中点，点到直线的距离为 C．存在点，使得 D．存在点，使得平面 10．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 11．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______． 12．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 13．（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为__________. 14．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 15．（2026·北京·三模）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $