1.2.5 空间中的距离 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

空间中的距离 一、选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分 1.已知i=(1,1,1)是平面ABC的一个法向量，且AM=L,2,3),则点M到平面ABC的距离为() A.2 B.2V5 C.4 D.2√6 2.已知直线1过点A(2,3,1),且ā=(1,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线1的距离为() 4.② B.√2 c.0 D.32 2 2 2 3.已知平面a的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面内，则点P(-2,1,4)到平面 《的距腐a为号，则x=() A.-1 B.-11 C.-1或-11 D.-21 4.已知平面a的一个法向量n=(-2,-2,),点A(-1,3,0)在平面a内，则点P(-2,14)到平面a的 距离为() A.10 B.3 c D. 5.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起， 使直线AB与CD成60°角，则B,D间的距离等于() D B A.2 B.1 C.√2或2 D.1或V2 6.正方体ABCD-ABCD的棱长为√2，则平面ABD与平面BDC,的距离为() A.② B.V6 3 D.V6 2 6 7如图，已知直三棱柱4B0-AB0,中，∠40B=子，40=2B0=6D为4的中点，且异面直线 OD与AB垂直，则直线AB到平面AB0的距离为() 0 D A.2 B.3 C.4 D.6 8.已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH,若点P在正方体内部且满足4P=3 2 3 则点P到直线AB的距离为( ) A月 B.187 C.10v30 12 D.V 6 6 9.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为棱AA,,BB,的中点，G为棱A,B,上 一点，且AG=2(0<2<2),则点G到平面D,EF的距离为() A.25 B.2 c.22 D.2V3 5 3 10.(多选)在长方体ABCD-EFGH中，AB=2,，BC=BF=1,P是线段FG上一动点，则P 到平面ACH的距离不可能是() A.3 B.2 D.VG 2 二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分 11.若平面a的一个法向量为n=(1,2,2),AB=（-1,-1,2),AEo,B∈a,则点A到平面 的距离为 12.已知直线AB过点A(-1,2,3),它的一个方向向量为m=1,2,1,则点C(1,3,5)到直线AB的 距离为 13.若两平行平面0，B分别经过原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量为 n=(-1,0,1),则两平面间的距离是 14.己知直线1经过点A2,3,1),且向量i=1,0,-1所在直线与动直线1垂直，则点P(4,3,2)到 1所在平面的距离为 三、解答题：本题共1小题，共16分 15.已知正方体ABCD-AB'CD'的棱长为1. (1)求B'到平面ACB的距离： (2)求平面ACB与平面DAC之间的距离， 参考答案 1.答案：B 解析：依题意，点M到平面4BC的距离d-1-6=25、 故选：B. 2.答案：B 解析：由已知可得AP=（2,0,1,又a=(1,1,1), 所以向量AP在向量ā上的投影向量的模为 d3-5,a=5 所以点P(4,3,2)到直线1的距离为√5-3=√2， 故选：B 3.答案：C 解析：由A(x,3,0),P(-2,1,4),得PA=(x+2,2,-4), d=IPAnl_10 :1-2(x+2)-4-4110 V4+4+1 3 解得x=-1或x=-11. 4.答案：D 解析：由AP=(L,-2,4),得点P到平面a的距离d=Pm_10 5.答案：C 解析：∠ACD=90°，AC.CD=0,同理，AC.BA=0. 又：AB与CD成60°角，.(BA,CD)=60°或(BA,CD)=120°. BD=BA+AC+CD BD=BA+AC+CDP+2BA.AC+2BA.CD+24C.CD =3+2×1×1×cos(BA,CD)=3±1，：BD2=4或BD=2,BD=2或BDV2故选C. B 6.答案：C 解析：如图，由正方体的性质易得平面AB,D,∥平面BDC,则两平面间的距离可转化为点B 到平面ABD的距离.连接AC.显然AC⊥平面AB,D.以D为坐标原点，分别以DA,DC, DD,所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则易得平面ABD的一个法向量为 n=(1,-1,1)·AW2,0,0),B(√2，√2,0)，.BA=(0,-√2,0)，则两平面间的距离 d=BA.nl_2 6 故选C. |n33 A 7.答案：C 解析：由直棱柱的性质，知直线AB,到平面4B0的距离为棱柱的高，不妨设为(t>0).以O为 坐标原点，OA,OB,O0所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 2 B D 则0(0,0,0)，B(0,6,0,A(2,0,),B,(0,6,),则D1,3,).所以AB=(-2,6,-1),0D=1,3,) 所以AB.OD=-2+18-t2=0,所以1=4，故选C. 8.答案：A 解析：建立如图所示的空间直角坐际系，则P00010+a-(得)又 0:AP在4B上的投影向量的长度为=点P到AB的距离 APP-AP6ABe= AB 6 42 E H G P I/ A 9.答案：A 解析：如图所示，以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DD,为z轴，建 立空间直角坐标系，则D(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),G(2,入，2)，故ED=(-2,0,1)， EF=(0,2,0),EG=(0,2,1).设平面DEF的法向量n=(x,y,z),则 [nED=-2x+z=0,取x=1 n·EF=2y=0. ，得m=0,2),故点G到平面D,EF的距离为EGn-2=25 n川V55 D B 10.答案：ABC 解析：如图，以点D为原点，DA,DC,DH所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角 坐标系， G 则A1,0,0),C(0,2,0),H(0,0,1),P(2,2,1)(0≤≤1)， 所以AC=(-1,2,0),AH=(-1,0,1),AP=(2-1,2,1) AC.n=0, 设平面ACH的法向量为n=(x,y,z),则 AH.n=0, 所以 +2y0取y=1,则x=2,:=2,所以n=(2.12). -x+z=0. 设点P到平面4CH的距离为d,则d=MP.m_12-)x2+2x1+1×222+2 n V22+12+22 3 因为0s2≤1，所以号2号所以号号所以点P到年面面离不可能是月 ,2,3.故选ABC. 山答案：} 解析：设点A到平面a的距离为d, 则d= AB.-1-2+4-1 V12+22+223’ 故答案为时 12.答案：√ 解析：因为AC=(2,12,所以AC=V4+1+4=3, 所以点C1,3,5)到直线AB的距离为d= AC.m 2+2+2 /9 =5 1+4+1 故答案为：√5 √2 13.答案： 2 解析：由题意可知两平行平面α，B间的距离即为点O到平面B的距离.而OA=(2,1,1), 所以两平行平面&，B间的距离d=m.0A_-lx2+0x1+1x。1V2 n V(-102+02+122=2 14答案：2 2 解析：PA=（-2,0,-1), 由点到平面的距离公式d= PA_-2x1+0+(-×-_1=2 V12+02+(-1)2 V2-2 故答案为：V② 15.答案：(1) 3 解析：(1)以D为原点，DA,DC,DD的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间 直角坐标系（图略），则D(0,0,0),B(1,1,0),B'(1,1,1),B'B=(0,0,-1). B'B.DB 15 易知DB=(L,L,1)是平面ACB的一个法向量. DBi =3,:B到平面ACB的距离 为3 3 (2)易得平面ACB∥平面DAC,则直线B'D为平面ACB与平面DAC的公垂线， 由)知B"到平面4CB的距离为，同理可得D到平面D4C的距离为 3 又B'D=5,平面ACB与平面DAC之间的距离为 3