1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基础概念到综合应用，分层设计梯度清晰，通过选择、填空、解答题递进巩固，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方向向量概念及简单计算|单选1-3、填空11，直接考查定义，夯实基础| |中档|空间向量性质与异面直线成角|单选4-7、多选8-10、填空12-13，综合概念与运算，发展推理意识| |提升|立体几何证明与向量应用|解答题14-15，结合模型论证计算，体现数学语言表达与空间观念|

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量课后同步练习 1．（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 2．（25-26高二上·吉林松原·阶段检测）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁·阶段检测）下列选项中，不正确的命题是（    ） A．若两条不同直线，的方向向量为，，则 B．若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 5．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北·期中）在直三棱柱中，，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·陕西西安·期中）（多选）向量，，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）（多选）下列命题中为真命题的有（   ） A．若，都是直线l的方向向量，则必有 B．O为空间任意一点，若，且A，B，C，P四点共面，则 C．若为不共线的非零向量，则 D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（   ） A． B．平面 C．平面 D． 11．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 12．（25-26高二下·福建莆田·期末）在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 14．（2026·云南·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：平面； (2)若，求直线BD与直线MC所成角的余弦值． 15．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量课后同步练习 1．（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·吉林松原·阶段检测）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 3．（25-26高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的方向向量与共线判断. 【详解】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 4．（25-26高二下·辽宁·阶段检测）下列选项中，不正确的命题是（    ） A．若两条不同直线，的方向向量为，，则 B．若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 【答案】C 【分析】对于A，根据直线方向向量的定义分析判断，对于B，由三角形重心的定义判断，对于C，由空间向量的基底的定义分析判断，对于D，由共面向量定理判断. 【详解】对于A，由于两条不同直线，的方向向量为，，当时，，当时，，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以， 所以，所以， 设为的中点，所以，所以， 所以点在平面内，且为的重心，所以B正确， 对于C，因为，所以共面， 所以不是空间向量的一组基底，所以C错误， 对于D，由空间向量共面定理可知空间向量，，共面， 则存在不全为0的实数，，使，所以D正确， 故选：C. 5．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 6．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 7．（25-26高二上·湖北·期中）在直三棱柱中，，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明三线两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点坐标得到向量坐标，由向量的数量积求得线线角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中，平面， ∵平面，平面， ∴，，且 ∴如图建立空间直角坐标系， ∴，，，则， 则，， 设直线与所成角为， 则. 故选：C. 8．（25-26高二上·陕西西安·期中）（多选）向量，，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，，设，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 9．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）（多选）下列命题中为真命题的有（   ） A．若，都是直线l的方向向量，则必有 B．O为空间任意一点，若，且A，B，C，P四点共面，则 C．若为不共线的非零向量，则 D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 【答案】BCD 【分析】本题主要涉及向量的基本概念和性质，包括直线方向向量、四点共面的向量关系、向量平行以及向量不共面时的线性组合等知识.通过逐一分析每个选项，根据相应的向量知识来判断其真假性. 【详解】对于A选项，若都是直线的方向向量，则与是平行向量，平行向量不一定相等，它们可能方向相同但模长不同.所以A选项错误. 对于B选项，由题设有，则， 因为，，，四点共面，则. 已知，则.，，.所以B选项正确. 对于C选项，已知.对于和，设， 则.可得方程组，由得， 代入，，成立.所以，C选项正确. 对于D选项，因为向量是三个不共面的向量，若，根据空间向量基本定理，只有.所以D选项正确. 故选：BCD. 10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（   ） A． B．平面 C．平面 D． 【答案】BC 【分析】解法一：利用正三棱柱性质及线面垂直、平行相关定理判断线线、线面、面面关系，对每个选项逐一分析；解法二：建立空间直角坐标系得出各点坐标，进而得到相关向量，利用向量点积判断垂直，用向量与法向量关系判断线面位置，根据向量关系判断线性是否平行，从而得出正确选项. 【详解】解法一：如图，对于A选项，在正三棱柱中， 平面，又平面， 则，即， 因为是正三角形，为中点， 则，即， 又， 所以， 所以不成立，故A选项错误， 对于B选项，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则， 又，，平面， 所以平面，故B选项正确， 对于C选项，因为在正三棱柱中，， 又平面，平面， 所以平面，故C选项正确， 对于D选项，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故D选项错误. 解法二：如图，建立空间直角坐标系， 设正三棱柱的底面边长为2，高为h， 则，因为是正三角形，为中点， 所以，在直角三角形中，， 即，，，，，， 对于A选项，，， 则，即不成立，故A选项错误； 对于B选项和C选项，，，，， 设平面的法向量为，则， 得，令，则，所以，，平面， 则平面，平面，故B选项和C选项正确； 对于D选项，，，则，显然不成立，故D选项错误. 11．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 12．（25-26高二下·福建莆田·期末）在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值可得. 【详解】由于直三棱柱中，且侧棱底面， 故以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系.    设，可得，，，，. 因为为的中点，因此的坐标为. 则直线的方向向量，直线的方向向量. 设异面直线与所成角为，， ， ，； 所以. 因此直线与所成角的余弦值为. 13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 解得（负根舍去），即. 故答案为：1 14．（2026·云南·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：平面； (2)若，求直线BD与直线MC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中，得到，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，由，求得，再由，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：在中，因为， 可得，所以， 因为，且，平面， 所以平面. （2）解：在中，因为， 可得，所以， 由（1）知：平面，平面，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设，可得， 因为，可得， 可得，解得，即，所以， 又由，可得 设异面直线与所成的角为， 可得. 15．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)因为E，F分别为，的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为 ，，且E为的中点，所以， 则四边形为平行四边形， 则.又平面，平面，所以 平面. 因为平面，平面， ，所以平面 平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得到平面和 平面，再利用面面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，从而得到锥体的高，最后利用锥体的体积公式即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 设 （ ），则，，，， 则，. 因为异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得， 故四棱锥的体积为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $