课时测评5　空间中的点、直线与空间向量-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时测评5空间中的点、直线与空间向量对应学生用书P131 (时间：40分钟满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) √基础排查(1一8每小题5分，共40分) 1.已知直线1的一个方向向量m=rc)aws4 alcol2,-1,3),且直线1过点A rc)avs4 allcol(0,a,3)和BIrcVAawvs4 allcol(-1,2,b)两点，则a+b=() A.0 B.1 C.32 D.3 答案：D 解析：因为直线1过点Arc)avs4 allcol(0,a,3)和Brc)aws4 alcol(-1,2,b)两点， 所以=rcy0avs4 alcol(-1,2-a,b-3),又直线1的一个方向向量m=1 ◆ ◆ rcy(aws-4 alcol(2,-l,3),所以∥m,所以=m,所以rc(aws4 allcol(-1,2-a, b-3)=rc)aws4 alcol(2元，-元，3，所以21=-1，-入=2-a,3入=b-3,解得=- f123232),所以a十b=3.故选D. 2.设1的一个方向向量为a=(1,3,一2)，2的一个方向向量为b=(-4,3,m,若4⊥2， 则m等于() A.1 B.52 C.12 D.3 答案：B 解析：因为1⊥2，所以ab=0,即1×(-4)十3×3+(-2)×m=0,所以2m=9-4=5,即 m=52. 3.直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA=90°，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA= CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为() A.110 B.25 C.30)10 D.22 答案：C →→→ 解析：如图，以C1为原点， 、 、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角 坐标系.令AC=BC=C1C=2,则A(0,2,2)、B(2,0,2)、M1,1,0)、N(0,1,0).令 0为4N,BM所在直线成的角，所以=(-1,1，-2)，=(0，-1，-2).cos0=BM-) →)BM→)→)=0-1十4|r(6)5)=30)10.故选C. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1 C 4.直线I的方向向量为a,平面a内有两共点向量一，一，下列关系中能表示1∥a的是() A. B.a=k C.a=p十1 D.以上均不能 答案：D 解析：A,B,C均表示l∥a或lca 5,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的 余弦值为() A.15 B.5)6 C.55 D.2)2 答案：C 解析：方法一：如图(1)， A B 图(1) 在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A'B'BA-A1'B1'B41.连接B1B',由长 方体性质可知，B1B∥AD1,所以∠DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接 DB',由题意，得DB=12+(1+1)2=5,BB1=12+r3)2=2,DB1=12十12+((3》2=5. 在△DBB1中，由余弦定理，得 DB2=B'B21+DB21-2B'B1 DBI cos /DB B', 即5=4+5-2×25Cos∠DB1B,所以cos∠DB1B=5)5.故选C. 方法二：如图(2)， 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 图(2) 以D为原点， →→→ 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，由题 意，得41,0,0，D0,0,0,D0,0,B1,1,,所以=(-1,0，，=1 ，1,,所以=-1X1+0×1+3驴=2，=2，=5，所以c0s〈，)=4D1 →)→)AD1→)→)=22r(5)=55.故选C. 6.已知正四棱柱ABCD-A1B1CD1中，AA1=2AB,E是AA1中点，则异面直线BE与CD 所成角的余弦值为 答案：10)10 解析：如图，连接A1B,则A1B∥D1C,所以∠A1BE为异面直线BE与CD1所成的角.设AB =1,则AA1=2,在△A1BE中，BE=2,A1B=5,A1E=1,由余弦定理得 cos∠A1BE=r2)2+r5)2-122×r2)×r5)=10)10. 7.已知点A(3,3,一5)，B(2,一3,1)，C为线段AB上一点，且=23，则点C的坐标 为 答案：laws4 alcol(0f73),-1,-1) 解析：设C,,,=-3,y-3,计5，=(-1，-6,0，因为=23， 所以x-3=-f23y-3=-4,z十5=4，解得x=73y=-1,z=-1,即C点坐标为 als4\allcol(f(73),-1,-1) 8.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2a, BB=3a,D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面BDE,则AE= ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B C D B 答案：a或2a 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,3a),C(0,2a,0),设E(2a,0,z) 0≤2≤3a,则=2a,-2a,2,→=2a,0,2-30,由题意得.→=0，即2a2+22-3az =0,解得z=a或2a.故AE=a或2a. B D C y 9.(I0分)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交 点，M是PC的中点，在DM上取一点G,过点G和AP作平面交平面BDM于GH求证： 是直线GH的方向向量. D 证明：连接MO,因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点，又M是PC的中 点，所以MO∥PA. 因为MOC平面BDM,PA丈平面BDM, 所以PA∥平面BDM 因为PAc平面PAG,平面PAG∩平面BDM=GH, 所以PA∥GH, 所以是直线GH的方向向量 1O.(I0分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形，AD ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ∥BC,∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1,AD=2,E,F,G分别为BC,PD,PC 的中点. 求EF与DG所成角的余弦值. G B 解：以A为坐标原点，→ 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角 坐标系， 则B1,0,0),C1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1) 因为E,F,G分别为BC,PD,PC的中点， 所以Eavs4 allcol1,f12),0),Favs4 allcol0,1,f12》,Gavs4 alcol(f11l2), =\alvs4allcol(-1,\f(112),=\alvs4allcol(f(1312) 所以→=-12-34+14=-1， 设EF与DG所成的角为0，则cos0=EF→)→)EF→)→)=11十f11f1914)=66)33, 所以EF与DG所成角的余弦值为66)33 √综合运用 11.(5分)直线☑1的方向向量41=(1，-1,1)，直线2的方向向量2=(1,2，-1)，设直线 1与2所成的角为0，则() A.sin0=-2)3 B.sin0=2)3 C.cos0=-2)3 D.cos0=2)3 答案：D 解析：因为cos〈a1,a2〉=a1a2alla2=1-2-1r(3)r6)=-23r(2)=-2)3.所以cos0= 23. 12.(5分)（一题两空）正方体ABCD-A1B1CD1中，BD与BC1夹角的大小是 ，若E, F分别为AB,CC1的中点，则异面直线EF与A1C1夹角的大小是 答案：90°30° 解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则易得D ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),A1(2,0,2),E(2,1,0),F0,2,1) ，所以=(-2,0,2，→=(-2，-2，-2.因为→=0，所以B,D与BC夫角的大 小是90°又=(-2,2,0，=(-2,1，D设异面直线EF与4，C的夫角为0，则c0s 0=f0o(A1C1→)→)A1C1→)→)|)=f4+2+0r6)×r(8)=3)2,所以0=30° D I3.(I0分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD =DC,E为PC的中点，EF⊥BP于点F求证： (I)PA∥平面EDB: (2)PB⊥平面EFD 证明：以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标 系D-X灯yz, 如图，设DC=PD=1,则P(0,0,1), B x A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),Eavs4 alcol(0,f112). 所以=1,1，-1).→=aws4aleo10,f12,→=aws4alco1,N112. 设F,y,,则=c,,名-10， =\alvs4allcol(x,y-\f(112) 因为1， 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以x+aws4 alcol6-f12》-avs4\allcol(z-f12》=0, 即x十y一z=0.① 因为1，可设=1，即x=,②=，③2-1=-儿，④ → → 由①②③④，解得x=f131323), 所以=Falvse4alco10fI116, (I)连接AC交BD于G,则G为底面正方形中心，连EG, 且Gavs4acol0f12,0,因为+=aws4alco1012,+=a,0,-1. 所以=2，所以PA/EG,又EGc平面EDB 所以PA∥平面EDB. → (2)因为·=(1,1，-1)avs4 alcol(0,f112) =0+12-12=0,所以→L, 所以PB⊥DE,因为PB⊥EF,且DE∩EF=E,DE,EFc平面EFD, 所以PB⊥平面EFD √创新拓展 14.(5分)（开放题）已知A(1,2,3),B(-2,2,1)在直线1上，写出直线1的一个方向向量 n= (坐标表示)， 答案：(-3,0，一2)（答案不唯一） 解析：由题意，在直线1中，A(1,2,3),B(一2,2,1)，所以直线1的一个方向向量n= →=(-3,0，-2). 15.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB=BC=PA,点O,D分别是AC,PC 的中点，OP⊥底面ABC B (1)求证：OD∥平面PAB: 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ 解：(1)证明：连接OB, 因为OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC, 所以OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP, 以O为原点，射线OP为z轴，建立空间直角坐标系（如图） D 0 B AB=a,Alals4allcol(fr(2)2)a,0,0),Blalvs4alcol(0,Vr(2)2)a,0),C alvs4alcol(-r(2)2)a,0,0). 设OP=h,则P(0,0,h. 因为D为PC的中点，所以=alvs4 alcol(-f0r(2h2), 又=as4aco1022a.0,-h,所以=-12，所以∥，所以OD∥平面PAB (2)因为△PBC的重心Gavs4 alcol(-fr(2r(213h, 所以'=avs4 alcol(-f0r(2r(213h, 因为OG⊥平面PBC,所以L, =alvs4alcol(0,Vr(2)2)a,-h), 所以.→=1602-13h2=0, 所以h=22a,所以==0，即k=1, 反之，当k=1时，三棱锥O一PBC为正三棱锥， 此时O在平面PBC内的射影为△PBC的重心 学生用书↓第23页 ·独家授权侵权必究·