1.2.2 空间中的平面与空间向量（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习以分层进阶设计为核心，通过A组巩固基础概念与运算、B组提升综合应用、C组深化高考链接，构建从单一知识点到复杂问题解决的路径，适配新授课分层教学，培养数学抽象、空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|平面法向量概念辨析、求法向量、位置关系证明|9道选择填空题，聚焦基础题型，强化概念理解与运算，培养抽象能力| |B组能力进阶|线面关系、空间角计算|8道综合题，结合正方体等几何体，提升推理能力，衔接基础与拔高| |C组思维拔高|翻折问题、动态几何、高考模拟|15道复杂题，含多选题与探究题，深化数学思维与模型应用，对接高考要求|

分层作业 1.2.2　空间中的平面与空间向量   平面法向量的概念及辨析题型01 1 2 3 B C B 求平面的法向量题型02 4 5 6 D B B 空间位置关系的向量证明题型03 7 8 9 C C A 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A C C B C C 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A B C A AC AD BC ACD ACD ABC 19 20 21 22 23 ABC AC CD BD AC 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2.2　空间中的平面与空间向量 目 录 A组 巩固过关 题型01 平面法向量的概念及辨析 题型02 题型03 空间位置关系的向量证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   平面法向量的概念及辨析题型01 1．（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【详解】若，由于是直线的方向向量，这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。 此时直线可能与平面平行，但也可能在平面内，因此不能推出，故充分性不成立； 若，则直线的方向向量必定与平面的法向量垂直，即一定成立，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 2．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．或 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】分别根据直线在平面内和在平面外两种情况判断可得. 【详解】因为直线的方向向量与平面的法向量垂直，若平面，则符合题意； 若平面，则存在直线，且直线，所以. 故选：C 3．（25-26高二上·北京西城·期末）已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用空间向量法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为空间向量和三个不同的点、、，且， 若点在直线上，则，故存在实数使得. 由题设可得，， 即“点在直线上”“”， 若，不妨假设点不在直线上，则为平面的一个法向量，符合题意， 所以“点在直线上”“”， 故“点在直线上”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 求平面的法向量题型02 4．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 5．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 6．（25-26高二上·广西百色·期末）在平面中，，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的一个法向量为，由列式求解即可. 【详解】设平面的一个法向量为，则，∴， ∴，令，得. 故选：B. 空间位置关系的向量证明题型03 7．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 【答案】C 【分析】根据直线与平面平行、平面与平面垂直的性质，得到向量之间的关系，进而列出方程求解 m 和 n，最后求差即可. 【详解】已知，直线 的方向向量 ， 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 因为：所以， 即，所以， 又因为，所以， 即，所以， 所以. 故选：C. 8．（25-26高二上·北京丰台·期末）如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（   ）    A．存在点，使得平面 B．对于任意点， C．存在点，使得平面 D．对于任意点，都是锐角三角形 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量的位置关系判断说法A；由计算两条直线的方向向量的数量积判断说法B；利用向量数量积验证垂直关系判断说法C；利用向量的模和向量夹角的计算，验证说法D. 【详解】以B为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的坐标系，    设正方体的棱长为， 则。 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 若，解得， 则时，，又平面，平面， 即为中点时，平面，故A正确. ，， 故对任意的点都有，故B正确. ， 若平面，则有，方程组无解， 所以不存在点，使得平面，故C错误. ， ， 则中，，都是锐角， ，也是锐角， 所以对于任意点，都是锐角三角形，故正确. 故选：C. 9．（25-26高二上·上海黄浦·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（   ）.    A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 【答案】A 【分析】根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断①②即可. 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系，      则，由为线段上除端点外的点， 设，则点， 对于①，， 由 ，得，则， 因此对任意的，总存在点，使得，①正确； 对于②，， 设平面，平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 由，得，即平面与平面不垂直， 因此对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角，②正确. 故选：A 1．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知为空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面，现有如下命题，正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据线面位置关系性质定理和判定定理逐项分析即可. 【详解】选项A，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交，故A选项不正确； 选项B，因为，， 所以直线分别是平面的法向量所在直线， 又因为，所以两平面的法向量所在直线互相垂直，故，故B选项正确； 选项C，若，，则，又，所以，故C选项不正确； 选项D，若，，， 则与的关系可能为：，，与相交（包括垂直与不垂直）， 故D选项不正确； 故选：B. 2．（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点建系，由向量法求两直线所成角的余弦值，再由平方关系求正弦值. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 设直线与直线所成角为，则. 所以， 故选：B. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 4．（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的法向量为，结合法向量计算方法计算即可. 【详解】由题意，设正方体的棱长为，则， ， 设平面的法向量为， ， 令，则，故平面的法向量为. 故选：C.    5．（25-26高二上·四川广安·期末）若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】据向量的坐标运算求，进而可求模长. 【详解】，所以. 故选：C. 6．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若对空间中任意一点，有，则P、A、B、C四点共面 B．已知向量，，则在上的投影向量为 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】B 【分析】对于A，由，可判断；对于B，应用求解即可；对于C，可证得；对于D，直接求出对称点即可. 【详解】对于A项：因为， 则，而， 所以P、A、B、C四点不共面，A错误； 对于B项：在上的投影向量为，故B正确； 对于C项：因为，则，故C错误； 对于D项：点关于平面对称的点的坐标是，故D错误. 故选：B 7．（2025·云南昆明·模拟预测）已知平行四边形，，，将沿对角线折起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由可得，，从而可求出，关键是判断当三棱锥体积最大时，平面平面，建立空间直角坐标系可得到异面直线夹角的余弦值. 【详解】设，， 因为，所以，而，所以， 所以，，所以， 当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，平面平面， 所以平面， 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设，的夹角为，则， 故选：C． 8．（25-26高三上·江苏·阶段检测）在正方体中，分别为中点，则在正方体的八个顶点中任取两个顶点确定的直线中，与平面平行的条数有（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直，逐一判断即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以 ，所以，， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，所以. 在正方体的8个顶点中任取两点，可以得到12条棱，12条对角线，4条体对角线. 欲求与平面平行的直线，应满足直线的方向向量与平面的法向量垂直， 因为棱的方向向量分别是，显然与都不垂直； 面对角线的方向向量， 显然满足题意，同理可验证只有，， 直线显然都在面外，所以满足题意， 同理体对角线均不满足题意， 所以满足条件的直线有 故选：C 9．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直时，直线与平面的法向量共线，即可得解. 【详解】若直线平面，则直线与平面的法向量共线， 因此，当时，即为A选项，对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误. 故选：A. 10．（25-26高二上·山东·阶段检测）如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】过点向线段的延长线作垂线，垂足为，因为， 所以，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则， 所以，， 故选：B. 11．（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【详解】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 12．（24-25高二上·云南昆明·期中）直四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据已知及直四棱柱的结构特征求出相关向量的数量积及模，结合向量数量积的运算律、夹角公式求异面直线夹角的余弦值. 【详解】如图，设， 直四棱柱中， 所以， ， ， ， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A 13．（25-26高二下·福建龙岩·期末）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 14．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正方体的棱长为，点满足（，，），则（    ） A．当，时，点恰为中点 B．当，时，三棱锥的体积为定值 C．当时，的最小值为 D．当时，则点平面 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，可得，根据中点坐标公式计算判断A；由题意可知点在平面内，举特例可判断B；求解点的轨迹计算可判断C；求得平面的法向量，根据可判断D. 【详解】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意可得，所以， 对于A，当，时，， 因为，所以点为中点，故A正确； 对于B；当，时，设，则点在平面内， 因为点到平面的距离为定值，而的面积不是定值， 例如，当时，此时， 因为，所以点为中点， 此时三点共线，四点共面，三棱锥不存在，其体积为0； 当时，与重合， 此时的面积为，三棱锥体积不为0， 所以三棱锥的体积不为定值，故B错误； 对于C；若，则点到点的距离恒为1， 所以点的轨迹是以点为球心，1为半径的球面， 因为， 所以，故C错误； 对于D，， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， ，因为， 所以，即， 因为点平面，所以点平面，故D正确. 15．（25-26高二上·陕西西安·期末）下列命题正确的是（    ） A．若空间向量，，满足，，则 B．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．若，是两个单位向量，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量、直线与平面的位置关系以及点关于平面的对称点坐标，逐一分析每个选项. 【详解】对于A选项，当为零向量时，不符合，A错误； 对于B选项，因为，所以，B正确； 对于C选项，点关于平面Oyz对称的点的坐标是，C正确； 对于D选项，，D错误． 故选：BC. 16．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列命题正确的有（    ） A．，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由线线位置关系可判断AB，设平面的法向量分别为：，通过向量法可判断CD. 【详解】对于A，根据平行的传递性，若，则，故A正确； 对于B，若，则可能，也可能与平行，异面或相交但不垂直，故B错误； 设平面的法向量分别为：， 因为，所以， 所以，则，故C正确； 设平面的法向量分别为：， 因为， 所以， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 17．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面ABCD是正方形，且，下列选项正确的是（    ）    A． B．异面直线AC与所成角的余弦值为 C． D．点到直线BD的距离为 【答案】ACD 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算即可判断C，由三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A， 由题意有：，所以 ，所以，故A正确； 对于B，，， 所以，所以 ， 所以，故B错误； 对于C，由，， 所以 ，所以，故C正确； 对于D，    连接， 由条件可知， 且，即为直角三角形， 设点到直线BD的距离为， 由三角形面积公式可得，得， 即点到直线BD的距离为，故D正确， 故选：ACD. 18．（25-26高二上·湖北孝感·期末）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，写出所需的点坐标，选项A，利用平行即可得出；选项B，求出平面的法向量，利用法向量与向量数量积为0即可判断；选项C，利用即可验证；选项D，利用即可说明. 【详解】设正方体的棱长为1，以为坐标原点，分别以所在直线 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 选项A，因为， 所以，所以， 由平面，平面， 所以平面，故A正确； 选项B，， 设平面的一个法向量为， 由 由，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由， 所以，直线不在平面内， 故平面，故B正确； 选项C，由， 因为， 所以， 又因为，所以平面，故C正确； 选项D：由， 则，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故D错误， 故选：ABC. 19．（25-26高二上·河南洛阳·期末）左图是一副直角三角板和，其中，现将三角板沿公共边翻折成右图的四面体，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（   ）    A．为线段上的动点，则的最小值为 B．异面直线与所成角的余弦值取值范围是 C．当直线与平面所成角相等时，四面体外接球的表面积为 D．当四面体的体积最大时，若在内部，且，则点的轨迹长度为 【答案】ABC 【分析】根据翻折前后图形的变换，即可分析选项A中的点，进而利用余弦定理求出的最小值，判断选项A，建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角余弦值，即可判断选项B，利用线面夹角定义，分析出，通过空间直角坐标系求出球心坐标，即可判断选项C，当四面体的体积最大时，即可得到坐标，分析在内部，且，得到点的轨迹，即可判断选项D. 【详解】对于A，由题知，最小时，即翻折前的长， 翻折前，因为，所以， 所以，又， 所以在中， ， 所以，A正确；    对于B，如图建立空间直角坐标系， 则，设， 则，又， 所以，解得，所以， 又， 令与的夹角为， 所以，B正确；    对于C，设到平面的距离为， 且直线与平面所成角分别为， 则， 若，则可得， 如图建立空间直角坐标系，取中点为，设， 则，， 所以， 且， 又，即， 由选项B可知，所以解得， 则，设外接球的球心， 所以， 即， 解得，即， 所以外接球半径为， 所以外接球表面积为，C正确；    对于D，当四面体的体积最大时，到平面距离最大， 此时， 因为在内部，且， 所以的轨迹为以为圆心，在内部， 且其半径为， 如图，明显小于半圆对应的弧长，D错误.    故选：ABC 20．（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在三棱锥中，平面分别是的中点，则（   ）    A．平面 B．与平面可能平行 C．与可能垂直 D．与平面可能垂直 【答案】AC 【分析】根据线面垂直的判定定理判断A；记的中点为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，通过判断与平面的法向量能否垂直判断B；通过能否成立，判断C；通过判断与平面的法向量能否平行判断D.或将三棱锥放入长方体中，根据长方体的性质逐项判断. 【详解】方法一：记的中点为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 则． 设， 则． 对于A，因为平面平面，所以． 因为，所以平面，故A正确． 对于B，设平面的法向量为， 因为， 所以 令，得． 若与平面平行，则．因为，所以B错误． 对于，若与垂直，则． 因为可能有解，所以C正确． 对于D，平面的一个法向量为， 若与平面垂直，则． 因为，所以D错误． 故选：AC. 方法二：如图，将三棱锥放入长方体中，    由长方体的性质易知，平面，所以A正确． 取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以，所以平面. 若平面，则平面平面，但明显与不平行， 所以与平面不可能平行，故B不正确． 作，垂足为，则平面， 所以与平面不可能垂直，故不正确． 连接，若，则平面， 此时，而是有可能成立的，所以C正确． 故选：AC. 21．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知空间向量，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 【答案】CD 【分析】根据数量积、模、平行、垂直的坐标逐一运算. 【详解】由题意得，，故A错误； ，则，故B错误； 因为，所以，得，故C正确； 由题意得，，则，得，故D正确. 故选：CD 22．（25-26高二上·浙江湖州·期末）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则（  ） A．平面 B．直线可能相交于同一点 C．平面与平面可能平行 D．正方体表面上满足的动点的轨迹长度为 【答案】BD 【分析】对于A，易证平面平面，故不平行于平面，故A错误； 对于B，直线，直线与的交点即为点，故B正确； 对于C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，若平面与平面平行， 则，事实上，故平面与平面不可能平行. 对于D，由题意得，平面，进而得到动点的轨迹即可求解. 【详解】    对于A，连接，易证平面平面，平面， 故不平行于平面，故A错误； 对于B，连接，并延长交的延长线于点，连接交于点，故B正确； 对于C，如图：建立空间直角坐标系，则， ，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则. 若平面与平面平行，则， 而，，显然不成立， 故平面与平面不可能平行，C错误； 选项D ，由得，，即， 而平面，所以点的轨迹为矩形的四条边， 所以动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：BD 23．（25-26高二上·山东枣庄·期末）在平行六面体中，，．则（   ） A． B．的长为6 C．平面 D． 【答案】AC 【分析】利用数量积的定义计算，判断选项A；利用向量加法计算求出，再利用向量模长公式计算，判断选项B；利用数量积为零证明垂直关系，再利用线面垂直定理证明结论，判断选项C；求出相关向量及模长，再利用向量夹角余弦公式求解，从而判断选项D． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， ，，故B错误； 对于C，， ， ， ， ， ，平面， 平面，故C正确； ， ， ， ，故D错误． 故选：AC． 24 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2.2　空间中的平面与空间向量 目 录 A组 巩固过关 题型01 平面法向量的概念及辨析 题型02 题型03 空间位置关系的向量证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   平面法向量的概念及辨析题型01 1．（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 2．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．或 D．以上说法都不对 3．（25-26高二上·北京西城·期末）已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 求平面的法向量题型02 4．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广西百色·期末）在平面中，，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 空间位置关系的向量证明题型03 7．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 8．（25-26高二上·北京丰台·期末）如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（   ）    A．存在点，使得平面 B．对于任意点， C．存在点，使得平面 D．对于任意点，都是锐角三角形 9．（25-26高二上·上海黄浦·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（   ）.    A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知为空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面，现有如下命题，正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川广安·期末）若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 6．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若对空间中任意一点，有，则P、A、B、C四点共面 B．已知向量，，则在上的投影向量为 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．点关于平面对称的点的坐标是 7．（2025·云南昆明·模拟预测）已知平行四边形，，，将沿对角线折起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏·阶段检测）在正方体中，分别为中点，则在正方体的八个顶点中任取两个顶点确定的直线中，与平面平行的条数有（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 9．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山东·阶段检测）如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·云南昆明·期中）直四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·福建龙岩·期末）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正方体的棱长为，点满足（，，），则（    ） A．当，时，点恰为中点 B．当，时，三棱锥的体积为定值 C．当时，的最小值为 D．当时，则点平面 15．（25-26高二上·陕西西安·期末）下列命题正确的是（    ） A．若空间向量，，满足，，则 B．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．若，是两个单位向量，则 16．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列命题正确的有（    ） A．，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 17．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面ABCD是正方形，且，下列选项正确的是（    ）    A． B．异面直线AC与所成角的余弦值为 C． D．点到直线BD的距离为 18．（25-26高二上·湖北孝感·期末）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 19．（25-26高二上·河南洛阳·期末）左图是一副直角三角板和，其中，现将三角板沿公共边翻折成右图的四面体，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（   ）    A．为线段上的动点，则的最小值为 B．异面直线与所成角的余弦值取值范围是 C．当直线与平面所成角相等时，四面体外接球的表面积为 D．当四面体的体积最大时，若在内部，且，则点的轨迹长度为 20．（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在三棱锥中，平面分别是的中点，则（   ）    A．平面 B．与平面可能平行 C．与可能垂直 D．与平面可能垂直 21．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知空间向量，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 22．（25-26高二上·浙江湖州·期末）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则（  ） A．平面 B．直线可能相交于同一点 C．平面与平面可能平行 D．正方体表面上满足的动点的轨迹长度为 23．（25-26高二上·山东枣庄·期末）在平行六面体中，，．则（   ） A． B．的长为6 C．平面 D． 试卷第1页，共3页 试卷第4页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $