1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 同步练--2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础-综合-拓展三层设计，覆盖空间向量坐标运算、共面判定等核心知识点，梯度衔接合理，注重运算能力与空间观念培养，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|坐标运算、平行垂直判定|单选1-4直接应用定义，填空11-12强化符号运算，对应新授课基础目标| |综合|共面条件、投影向量、夹角计算|单选5-7结合几何直观，多选8-10考查分类讨论，培养推理意识| |拓展|向量综合应用|解答14-15分步设问，如14题先证垂直再求夹角，发展数学表达与问题解决能力|

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课后同步练习 1．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 4．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 5．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知空间四点，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．⊥ D． 6．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 8．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 9．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量（    ） A．当时， B．当为钝角时，且 C．存在实数，使得 D．存在实数，使得为空间的一组基底 11．（25-26高一下·重庆·期末）已知向量，，若，则________． 12．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）已知向量，且，则________________． 13．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 14．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 15．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课后同步练习 1．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，根据得到方程组，求出答案. 【详解】由四边形是平行四边形知， 设，则，又， 所以，解得，即D点坐标为. 故选：C 2．（25-26高一下·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【答案】C 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. 3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 4．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 5．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知空间四点，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．⊥ D． 【答案】D 【分析】AD选项，计算出，故，A错误，D正确；BC选项，利用夹角余弦公式计算出，BC错误. 【详解】AD选项，， 故，故，A错误，D正确； BC选项，， 故， 故与夹角的余弦值为，BC均错误. 故选：D 6．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量， 可得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 7．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 【答案】D 【分析】根据向量共线定理、模的计算公式、投影向量、单位向量的定义逐项判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以，A正确； 对于B：因为，所以，B正确； 对于C：因为，所以， ，所以在上的投影向量是，C正确； 对于D：因为，所以， 所以与共线的单位向量是，D错误. 8．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 9．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量（    ） A．当时， B．当为钝角时，且 C．存在实数，使得 D．存在实数，使得为空间的一组基底 【答案】ACD 【分析】选项A，根据向量平行建立关于的方程求解判断；选项B，结合向量夹角为钝角的充要条件，计算的范围，再排除反向共线的情况；选项C，根据空间向量垂直的充要条件，建立关于的方程，判断方程是否有解；选项D，根据共面向量基本定理建立关于的方程，判断是否存在使方程成立. 【详解】选项A，若，则存在实数使得，对应坐标满足：， 解得，，代入验证所有等式成立，因此正确，A正确； 选项B，若为钝角，等价于且不反向平行， ，得； 若，显然，则对应坐标成比例：，由得， 代入验证，不存在使得， 即时夹角仍为钝角，不需要排除，B错误； 选项C，若，， 解得或，存在实数满足条件，C正确； 选项D，能作为空间的一组基，等价于三个向量不共面，根据共面向量基本定理， 若三个向量共面，则存在实数使得， 代入坐标得方程组：， 整理方程(2)(3)得： 消元解得：. 将代入方程(1)：， 因此方程(1)化简为，即：当且仅当时，三个向量共面； 当时，三个向量不共面，可以作为空间的一组基底，D正确. 11．（25-26高一下·重庆·期末）已知向量，，若，则________． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由已知， 因为，所以，解得. 12．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）已知向量，且，则________________． 【答案】 / 【详解】，解得 . 13．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 【答案】/ 【分析】根据共面向量定理，点在平面内，等价于向量可由不共线的向量线性表示，通过坐标对应相等，列方程组求解. 【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线， 根据共面向量定理，存在实数，使得， 将各向量坐标代入，得， 根据向量相等，对应坐标相等， 得，解得. 14．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 15．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) (3)1 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $