2.2.1 有理数的乘法运算（第一课时）同步练习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦有理数乘法运算，通过“过基础+过能力”分层设计，实现从单一知识点巩固到综合应用提升，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |过基础|有理数乘法法则、倒数概念及应用|18题，选择/填空/解答题结合，直接考查法则应用（如两数相乘符号判断）、倒数求法（如负数倒数）及简单实际问题（如气温变化）| |过能力|乘法符号规律、综合应用及拓展|16题，含多因数符号判断（如负因数个数与积符号关系）、与相反数/绝对值结合（如已知a+b=0求ab）及复杂实际问题（如快递收费、促销方案）|

2.2.1 有理数的乘法运算（第一课时）学习目标、知识点总结与练习题设计（含详情解析） （建议作答时间：45分钟） 第一部分 学习目标与知识点总结 学习目标 1. 理解并掌握有理数乘法法则，能熟练进行两个有理数的乘法运算； 2. 理解倒数的概念，能求一个有理数的倒数； 3. 能运用有理数乘法解决实际问题，体会数学与生活的联系。 知识点一：有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与  相乘，积仍为 。 即： · · · · · 口诀： 同号得正，异号得负，绝对值相乘，零乘任何数都得零。 知识点二：倒数 乘积为  的两个数互为倒数。 即：若 ，则  与  互为倒数。 · 正数的倒数是正数； · 负数的倒数是负数； ·  没有倒数（因为任何数与  相乘都得 ，不可能得 ）。 求法： 求一个数的倒数，交换分子和分母的位置（整数可看作分母为  的分数）。 注意： 互为相反数的两个数相加为 ，互为倒数的两个数相乘为 。 知识点三：有理数乘法的应用 · 实际问题中的乘法运算（面积、行程、价格等）； · 连续多个负数相乘的符号判断； · 利用乘法解决相反意义的量问题。 拓展： 多个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正。 第二部分 练习题巩固（过基础） 知识点一：有理数乘法法则的直接运用 1. [2025·广东广州·荔湾区期末]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  2. [2025·四川成都·青羊区期中]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  3. [2026·湖北武汉·江岸区月考]（选择题） 下列计算正确的是（ ） A.   B.  C.   D.  4. [2025·江苏南京·玄武区期末]（填空题） 计算：。 5. [2026·浙江杭州·西湖区期中]（填空题） 计算：。 6. [2025·山东济南·历下区期末]（解答题） 计算下列各题： （1）；  （2）；  （3）。 知识点二：倒数的概念与求法 7. [2026·陕西西安·碑林区期中]（选择题） 下列各组数中，互为倒数的是（ ） A.  和   B.  和  C.  和   D.  和  8. [2025·湖南长沙·岳麓区期末]（选择题）  的倒数是（ ） A.   B.   C.   D.  9. [2026·福建福州·鼓楼区模拟]（选择题） 下列说法正确的是（ ） A. 任何数都有倒数  B. 一个数的倒数一定比它本身大 C.  没有倒数  D. 互为倒数的两个数一定异号 10. [2025·安徽合肥·包河区期中]（填空题）  的倒数是 ________， 的倒数是 ________。 11. [2026·辽宁沈阳·和平区期末]（填空题） 若  的倒数是 ，则 。 12. [2025·江西南昌·东湖区期末]（解答题） 写出下列各数的倒数： （1）；  （2）；  （3）。 知识点三：有理数乘法的实际应用 13. [2026·广东深圳·南山区期末]（选择题） 某地气温每天下降 C，连续  天后气温变化了多少？正确的列式是（ ） A. （）   B. （） C. （）   D. （） 14. [2025·河南郑州·金水区期中]（选择题） 某公司盈利记为""，亏损记为""，某月每天亏损  万元，则  天的盈亏情况是（ ） A.  万元  B.  万元  C.  万元  D.  万元 15. [2026·山东青岛·市南区期末]（选择题） 一只蜗牛在数轴上从原点出发，每次向左爬行  个单位，共爬行  次，则最终到达的位置表示的数是（ ） A.   B.   C.   D.  16. [2025·吉林长春·朝阳区期末]（填空题） 某水库水位每天下降  m， 天后水位变化了 ________ m。 17. [2026·贵州贵阳·南明区期中]（填空题） 某股票每股价格每天上涨  元， 天后每股价格上涨了 ________ 元。 18. [2025·广西南宁·青秀区期末]（解答题） 某工厂规定：每个工人每天生产  个零件为标准，超过部分记为正，不足部分记为负。某工人一周（ 天）每天的实际产量与标准相比分别为（单位：个）：，，，，。 （1）该工人周四比标准少生产几个？ （2）该工人一周总共比标准多生产几个？ （3）若该工人每多生产  个奖励  元，每少生产  个扣  元，请用有理数乘法计算该工人本周的奖惩金额。 第三部分 过能力（ 选 +  填 +  解答） 1. [2025·北京·海淀区期末]（选择题） 下列各数中，与  的乘积为正数的是（ ） A.   B.   C.   D.  2. [2026·上海·黄浦区期中]（选择题） 若 ，则下列说法正确的是（ ） A.    B.    C.  和  中至少有一个为    D.  和  互为相反数 3. [2025·天津·和平区期末]（选择题） 在 ，，， 中，任取两个数相乘，所得积最小的是（ ） A.   B.   C.   D.  4. [2026·重庆·沙坪坝区期末]（选择题） 已知 ，，且 ，则  的值为（ ） A.  或   B.  或   C.  或   D.  或  5. [2025·江苏苏州·工业园区期中]（选择题） 在数轴上，点  表示的数为 ，将点  向左移动  个单位长度后，再向右移动  个单位长度，此时该点表示的数为（ ） A.   B.   C.   D.  6. [2026·广东佛山·南海区期末]（选择题） 某商品原价为  元，先涨价 ，再打  折出售，则最终售价与原价相比（ ） A. 提高了  元  B. 降低了  元  C. 提高了  元  D. 降低了  元 7. [2025·浙江宁波·海曙区模拟]（选择题） 下列说法中，正确的是（ ） A. 互为相反数的两个数乘积一定为负数 B. 互为倒数的两个数一定异号 C. 任何数的倒数都小于它本身 D. 一个数与它的相反数之积一定不大于  8. [2026·四川成都·高新区期中]（选择题） 若  的相反数是 ， 的倒数是 ，则  的值为（ ） A.   B.   C.   D.  9. [2025·湖北武汉·武昌区期末]（填空题） 计算：。 10. [2026·湖南长沙·开福区期中]（填空题） 若一个数的相反数是 ，倒数是 ，则 。 11. [2025·福建厦门·思明区期末]（填空题） 绝对值小于  的所有整数的乘积为 ________。 12. [2026·山东济南·槐荫区期中]（填空题） 在数轴上，点  表示的数为 ，点  在点  的右侧且 ，则点  表示的数为 ________，。 13. [2025·陕西西安·雁塔区期末]（填空题） 若 ， 的倒数为 ，则  的所有可能值为 ________。 14. [2026·广东广州·天河区期末]（解答题） 某快递公司收费标准如下：首重  kg 内收费  元，续重每  kg 收费  元（不足  kg 按  kg 计算）。 （1）小明邮寄一个  kg 的包裹，需付运费多少元？ （2）若邮寄费用为  元，则包裹最重为多少 kg？ （3）若公司将首重内费用提高  元，续重每  kg 收费降低  元，则邮寄一个  kg 的包裹费用变化了多少元？ 15. [2025·江苏南京·建邺区期末]（解答题） 阅读材料： 的相反数记为 ， 的倒数记为 （）。若 、 互为相反数，、 互为倒数，则 ，。 〖运用〗 （1）若 、 互为相反数，、 互为倒数，求  的值； （2）若  的倒数为 ， 的相反数为 ，求  的值； （3）若 ， 的倒数为 ，求  的值。 16. [2026·浙江杭州·上城区期末]（解答题） 某商场进行促销活动，规定：购物满  元可享受以下两种优惠方案中选一种： 方案一：打  折后再减  元； 方案二：先减  元再打  折。 （1）若小明购物原价为  元，请分别计算两种方案的实际付款金额； （2）若小华购物原价为  元（），请用含  的式子表示两种方案的实际付款金额； （3）当原价为多少元时，两种方案付款金额相同？ 参考答案（含详细分析解析） 一、过基础 知识点一：有理数乘法法则的直接运用 1.【答案】 B 【分析】同号两数相乘得正，并把绝对值相乘。 【解析】。故选 B。 2.【答案】 B 【分析】异号两数相乘得负，并把绝对值相乘。 【解析】。故选 B。 3.【答案】 C 【解析】A 错，；B 错，；C 正确，；D 错，。故选 C。 4.【答案】  【解析】。 5.【答案】  【解析】。 6.【答案及解析】 （1）； （2）； （3）。 知识点二：倒数的概念与求法 7.【答案】 C 【分析】乘积为  的两个数互为倒数。 【解析】，互为倒数。故选 C。 8.【答案】 B 【解析】 的倒数为 。故选 B。 9.【答案】 C 【解析】A 错， 没有倒数；B 错， 的倒数是 ，比它本身大；C 正确， 没有倒数；D 错，互为倒数的两个数同号。故选 C。 10.【答案】 ； 【解析】 的倒数为 ， 的倒数为 。 11.【答案】  【解析】。 12.【答案及解析】 （1） 的倒数为 ； （2） 的倒数为 ； （3） 的倒数为 。 知识点三：有理数乘法的实际应用 13.【答案】 A 【分析】下降记为负，每天下降 C 记为 ， 天为  倍。 【解析】（），表示下降了 C。故选 A。 14.【答案】 B 【分析】亏损记为负，每天亏损  万元记为 。 【解析】（万元），即亏损  万元。故选 B。 15.【答案】 B 【分析】向左为负。 【解析】。故选 B。 16.【答案】  【解析】（m）。 17.【答案】  【解析】（元）。 18.【答案及解析】 （1）周四为  个，即比标准少  个； （2）（个），总共多  个； （3）奖励金额：每多生产  个奖励  元，多生产  个，奖励  元； 扣款金额：每少生产  个扣  元，少生产  个，扣款  元； 奖惩金额  元（即净得奖励  元）。 答：（1）周四少  个；（2）总共多  个；（3）本周净得奖励  元。 二、过能力 1.【答案】 C 【解析】与  相乘得正，需要另一个因数为负。四个选项中只有  为负，选 C。 2.【答案】 C 【解析】，则  或 ，即至少有一个为 。故选 C。 3.【答案】 A 【解析】在 ，，， 中，任取两个相乘， 最小。故选 A。 4.【答案】 A 【解析】，，，则 、 同号。若同为正，；若同为负，。故为  或 。故选 A。 5.【答案】 C 【解析】。故选 C。 6.【答案】 B 【解析】涨价后为  元；打  折后为  元；与原价  元相比降低了  元。故选 B。 7.【答案】 D 【解析】A 错， 的相反数是 ，乘积为  不是负数；B 错，互为倒数的两个数同号；C 错， 的倒数是 ，大于它本身；D 正确，一个数与它的相反数之积为 。故选 D。 8.【答案】 B 【解析】 的相反数是 ； 的倒数是 ；。故选 B。 9.【答案】  【解析】（负因数个数为 ，奇数个，积为负）。 10.【答案】  【解析】一个数的相反数是 ，则这个数是 ， 的倒数为 。 11.【答案】  【解析】绝对值小于  的整数有 ，，，，，其中含有 ，乘积为 。 12.【答案】 ； 【解析】点  表示的数为 ；。 13.【答案】  或  【解析】； 的倒数为 ； 或 。故为  或 。 14.【答案及解析】 （1） kg 按  kg 计算，首重  kg 收费  元，续重  kg， 元，共  元； （2） 元中首重  元，续重  元，续重重量为  kg，总重量为  kg； （3）调整后首重  元，续重每  kg  元， kg 按  kg 计算，续重  kg，费用为  元； 原费用： kg 按  kg 计算， 元； 变化： 元，即增加了  元。 答：（1） 元；（2）最重  kg；（3）费用增加了  元。 15.【答案及解析】 （1），，； （2） 的倒数为 ， 的相反数为 ，； （3）， 的倒数为 ， 或 ，所以  的值为  或 。 答：（1）；（2）；（3） 或 。 16.【答案及解析】 （1）方案一： 元； 方案二： 元； （2）方案一： 元；方案二： 元； （3）令 ， 移项得 ，，。 但 ， 不符合题意，所以当  时，两种方案付款金额不可能相同。 答：（1）方案一  元，方案二  元；（2）方案一  元，方案二  元；（3）在  范围内不存在使两种方案付款相同的原价。 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $