2.2.1 有理数的乘法 课时培优训练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

2.2.1 有理数的乘法 课时培优训练 （满分：100 分 时间：45 分钟） 【一、基础过关（共 40 分）】 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．【考点：有理数乘法法则（两数相乘）】计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2．【考点：数轴与有理数乘法的符号判断】有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，则的结果是（ ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 3．【考点：有理数乘法的符号判断（含多重符号、0）】下列算式的运算结果为正数的是（ ） A． B． C． D． 4．【考点：有理数乘法的符号规律】若，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．，同号 D．，异号 5．【考点：倒数的定义（负分数）】的倒数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 6．【考点：绝对值与倒数】的倒数是 。 7．【考点：倒数的性质】倒数等于它本身的数是 。 8．【考点：相反数与有理数乘法】的相反数与的乘积是 。 9．【考点：求不同形式有理数的倒数】的倒数是 ；的倒数是 。 三、计算题（共 8 分） 10．【考点：有理数乘法的基本运算（整数、小数、分数、含 0）】计算下列各题（每小题 2 分，共 8 分） （1）； （2）； （3）； （4）。 四、解答题（共 5 分） 11．【考点：有理数乘法的实际应用（水位变化）】甲水库水位每天升高，乙水库水位每天下降，3 天后，甲、乙两个水库水位的总变化量分别是多少？ 【模块二、提升训练（共 40 分）】 一、选择题（每小题 4 分，共 12 分） 12．【考点：相反数、倒数与数轴的综合】数轴上有4个点，点对应，点对应，点对应，点对应表示的相反数的倒数的点是（ ） A． B． C． D． 13．【考点：有理数乘法的最值（选数相乘）】从，，，四个有理数中任取两个数相乘，所得的积最小是（ ） A． B． C． D． 14．【考点：绝对值与有理数乘法的综合】已知，，且，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 六、填空题（每小题 4 分，共 12 分） 15．【考点：相反数、倒数的综合代数式求值】若，互为相反数，，互为倒数，则的值是 。 16．【考点：程序框图与有理数乘法】按如图所示的运算程序计算，若输入的值为，则输出的结果是 。 17．【考点：多个有理数相乘的符号规律】若 4 个有理数相乘的积为负数，则这 4 个数中负因数的个数为 个。 七、计算题（共 9 分） 18．【考点：有理数乘法的进阶运算（分数、小数、带分数）】计算下列各题（每小题 3 分，共 9 分） （1）； （2）； （3）。 八、解答题（共 7 分） 19．【考点：有理数乘法的实际综合应用（销售利润）】某文具店以每支 12 元的价格购进 40 支钢笔，针对不同的顾客，40 支钢笔的售价不完全相同。若以 18 元为标准售价，超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表： 售出支数 / 支 8 7 5 9 6 5 售价 /（元 / 支） 请问该文具店售完这批钢笔后，一共赚了多少钱？ 【模块三、综合运用（共 20 分）】 九、新定义运算题（共 10 分） 20．【考点：新定义运算与有理数乘法】规定一种新运算 “”，运算规则为：。 例如：。 根据上面的规定，解答下列问题： （1）求的值；（4 分） （2）与的值相等吗？请通过计算说明理由。（6 分） 十、综合探究题（共 10 分） 21．【考点：有理数乘法的规律探究】观察下列两组等式： 第一组： ① ② ③ …… 第二组： ① ② ③ …… （1）请写出第一组的第 6 个算式；（3 分） （2）请写出第二组的第个算式（为正整数）；（3 分） （3）利用发现的规律，直接写出的结果。（4 分） 参考答案与详细解析 【一、基础过关（共 40 分）】 一、选择题 1．答案：B 解析： 根据有理数乘法法则 “两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”，为同号相乘，结果为正，绝对值相乘，因此结果为 12。 易错点： 易混淆加法与乘法法则，误将两负数相乘判定为负数。 2．答案：B 解析： 由数轴可知，，根据乘法法则，异号两数相乘得负，因此的结果是负数。 核心知识点： 数轴上点的正负性 + 有理数乘法符号法则。 3．答案：D 解析：选项 A：异号相乘得负，； 选项 B：先化简符号，再计算，结果为负； 选项 C：任何数与 0 相乘都得 0； 选项 D：同号相乘得正，，结果为正。 易错点： 多重符号化简时易出错，需先定符号再计算。 4．答案：D 解析： 有理数乘法符号规律：两数相乘，同号得正，异号得负。说明乘积为负，因此，异号。 核心知识点： 有理数乘法的符号规律。 5．答案：D 解析： 乘积为 1 的两个数互为倒数。分数的倒数只需交换分子分母位置，符号不变，的倒数是。 易错点： 求负数的倒数时易漏掉负号。 二、填空题 6．答案： 解析： 先化简绝对值，再求 6 的倒数为。 核心知识点： 绝对值的化简 + 倒数的定义。 7．答案： 解析： 满足 “倒数等于本身” 的数，即，解得。1 的倒数是 1，−1 的倒数是−1。 易错点： 易漏掉，仅填写 1。 8．答案： 解析： 先求的相反数为，再计算乘积。 核心知识点： 相反数的定义 + 有理数乘法运算。 9．答案：； 解析：小数先化分数：，倒数为； 带分数先化假分数：，倒数为。 易错点： 带分数求倒数时，易直接交换整数与分数部分，未先化为假分数。 三、计算题 10．答案：（1）；（2）；（3）；（4） 解析：（1）异号相乘得负，绝对值相乘：； （2）同号相乘得正，绝对值相乘：； （3）同号相乘得正，约分计算：； （4）任何数与 0 相乘都得 0：。 核心知识点： 有理数乘法基本运算法则，覆盖整数、小数、分数、含 0 的乘法场景。 四、解答题 11．答案： 甲水库水位升高，乙水库水位下降。 解析： 水位上升记为正，下降记为负。 甲水库 3 天总变化量：，即水位升高； 乙水库 3 天总变化量：，即水位下降。 答：3 天后，甲水库水位升高，乙水库水位下降。 核心知识点： 有理数乘法的实际应用，正负数的现实意义。 【模块二、提升训练（共 40 分）】 五、选择题 12．答案：C 解析： 先求的相反数为，再求 3 的倒数为，对应数轴上的点。 易错点： 审题不清，易直接求的倒数，忽略 “相反数” 的前置条件。 13．答案：C 解析： 乘积最小需满足异号且绝对值乘积最大。四个数中，绝对值最大的正数是 2，绝对值最大的负数是，乘积为，为所有组合中的最小值。 核心知识点： 有理数乘法的最值判断，需结合符号与绝对值综合分析。 14．答案：B 解析： 由得，由得。 因，故，异号，分两种情况： ① ，时，； ② ，时，。 因此的值为 3 或 − 3。 核心知识点： 绝对值性质 + 乘法符号规律 + 分类讨论思想。 六、填空题 15．答案： 解析： 互为相反数的两数和为 0，故；互为倒数的两数乘积为 1，故。 代入得：。 核心知识点： 相反数、倒数的性质 + 代数式求值。 16．答案： 解析： 按程序逐步迭代计算： 第一次：输入，，，继续运算； 第二次：输入，，，继续运算； 第三次：输入，，，满足输出条件。 易错点： 迭代次数计算错误，或符号运算出错。 17．答案：1 或 3 解析： 多个非零有理数相乘，积的符号由负因数个数决定：负因数为奇数个时积为负，偶数个时积为正。4 个数相乘积为负，负因数个数为奇数，即 1 个或 3 个。 核心知识点： 多个有理数相乘的符号规律。 七、计算题 18．答案：（1）；（2）；（3）。 解析：（1）异号相乘得负，约分计算：； （2）统一为分数形式再计算：，，； （3）带分数化假分数，同号相乘得正：，，。 核心知识点： 分数、小数、带分数的乘法运算，统一形式是计算关键。 八、解答题 19．答案： 一共赚了 267 元。 解析： 先计算售价总差额，再求总售价与利润。 售价总差额： （元） 总售价：标准总售价元，实际总售价元。 总成本：元。 总利润：元。 答：该文具店售完这批钢笔后，一共赚了 267 元。 核心知识点： 有理数乘法的实际应用，正负数的意义，利润问题基本计算。 【模块三、综合运用（共 20 分）】 九、新定义运算题 20．答案：（1）；（2）不相等，理由见解析。 解析：（1）代入新运算规则： 。 （2）计算： 。 因为，所以两个式子的值不相等。 核心知识点： 新定义运算本质是有理数乘法与加减的混合运算，需严格按规则代入计算。 十、综合探究题 21．答案：（1）； （2）（为正整数）； （3）。 解析：（1）第一组规律：第个算式为，因此第 6 个算式为。 （2）第二组规律：第个算式的两个因数为和，乘积为，即。 （3）对应第二组的情况，结果为。 核心知识点： 有理数乘法的规律探究，从特殊到一般的归纳思想。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $