第一章 直线与圆（单元分层自测·培优冲刺卷）数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦直线与圆，通过基础辨析、空间几何及创新情境题（如机器人拦截挑战赛），适配选择性必修第一册第一章复习，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|直线与圆位置关系（第3题距离问题）、充要条件（第1题）|梯度设计，从基础到综合（多选第11题曲线性质）| |填空题|3题15分|圆方程（12题）、距离点个数（13题）|聚焦核心概念辨析| |解答题|5题77分|实际建模（16题机器人拦截）、阿氏圆（18题）|突出逻辑推理与数学应用，如17题公共弦及定值探究|

2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 直线与圆·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．直线：被圆：截得的弦为，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 5．已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知直线l：与圆O：相离，点P在直线l上运动且位于第一象限，过P作圆O的两条切线，切点分别是M、N，直线MN与x轴、y轴分别交于R、T两点，且面积的最小值为，则m的值为（    ）    A．－5 B．－6 C． D． 8．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设O为坐标原点，已知直线l：与圆：有两个交点M，N，则（    ） A．直线l过定点 B． C．当时， D．当时，的最小值为 10．已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（    ） A．直线过定点 B．半径的取值范围是 C．当时，线段长的最小值为 D．当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则 11．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．曲线有且仅有2条对称轴 C．点到直线的距离的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．圆心C为，且半径为3的圆的方程是_______________. 13．已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 14．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知圆过点，，. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点M，N，且，求直线的方程. 16．（15分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败． 已知米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为． (1)若，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到） (2)如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ 17．（15分）已知圆，直线是圆与圆的公共弦AB所在直线，且圆的圆心在直线上. (1)求公共弦AB的长度； (2)求圆的方程； (3)过点分别作直线，，交圆于,,,四点，且，试探究是否为定值，若为定值，请求出该定值;若不为定值，请说明理由. 18．（17分）设是平面上两个定点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且，此时，点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线． （i）证明：直线恒过定点； （ii）若点在圆上，直线与圆交于两点，当弦的长度最短时，求面积的最大值． 19．（17分）已知曲线.    (1)在坐标系中画出C的大致图形，并说明理由. (2)若直线与C的所有交点的纵坐标之和大于，求m的取值范围. (3)若是C上的动点，求的最小值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 直线与圆·培优冲刺（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A D B D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）设圆的方程为， 所以解得，，，..............4分 所以圆的方程为，即...............6分 （2）由（1）可得：圆心，半径， 则圆心到直线的距离...............8分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，所以，..............11分 解得，所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或...............13分 16.解：（1）根据题意，在中，可得， 由正弦定理得：， 可得，..............5分 所以， 所以应在矩形区域内，按照与夹角为的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功.........8分 （2）以所在直线为轴，中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设，根据题意，可得，所以， 所以，..............11分 即点的轨迹是以为圆心，为半径的上半圆在矩形区域内的部分， 所以，当米时，能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲．..............15分 17.解：（1）圆，所以圆的圆心坐标， 半径，圆心到直线的距离，..............3分 公共弦；..............4分 （2）圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，，， 即，到的距离，所以的半径， 所以圆的方程：；..............7分 （3）当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时， ，这时直线的方程为，代入到圆中，， 所以，...............9分 当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时， 设直线为：，则直线为：， 所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，..............12分 ，， 设，当或时，正好是轴及垂直轴， ...............15分 18.解：（1）设，则由得，整理得， 即圆的方程为.............3分 （2）（i）由直线，可得， 所以直线恒过直线与直线的交点， 由解得，即直线恒过定点；............7分 （ii）由（1）圆的方程为，即，圆心，半径. 设直线恒过的定点为N，则当时，弦最短，............10分 由，所以直线的斜率为，方程为，即 此时圆心到直线的距离，弦长.............13分 又点到直线的最大距离为， 所以............17分 19.解：（1）由，得或， 所以C由两条直线与圆组成． 故C的图形如图所示．..............3分    （2）将代入，得， 将代入，得， 则．..............5分 因为，所以l不经过点，，即一共有4个不重合的交点， 故l与圆的所有交点的纵坐标之和大于． 时，l与C的所有交点的纵坐标之和为， 所以不符合题意．..............7分 当时，联立消去x，得． 因为l过定点，且该点在圆的内部， 所以l与圆总有两个交点．..............9分 设l与圆的交点为，， 则，解得， 故m的取值范围为．..............11分    （3）由于是C上的动点，满足， 所以 ，..............13分 不妨设点，直线， 由圆心O到直线的距离，知直线与圆O相离， 设点P，N到直线的距离分别为，则有： ， 故的最小值为．..............17分    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 直线与圆·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．直线：被圆：截得的弦为，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 5．已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知直线l：与圆O：相离，点P在直线l上运动且位于第一象限，过P作圆O的两条切线，切点分别是M、N，直线MN与x轴、y轴分别交于R、T两点，且面积的最小值为，则m的值为（    ）    A．－5 B．－6 C． D． 8．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设O为坐标原点，已知直线l：与圆：有两个交点M，N，则（    ） A．直线l过定点 B． C．当时， D．当时，的最小值为 10．已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（    ） A．直线过定点 B．半径的取值范围是 C．当时，线段长的最小值为 D．当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则 11．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．曲线有且仅有2条对称轴 C．点到直线的距离的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．圆心C为，且半径为3的圆的方程是_______________. 13．已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 14．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知圆过点，，. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点M，N，且，求直线的方程. 16．（15分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败． 已知米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为． (1)若，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到） (2)如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ 17．（15分）已知圆，直线是圆与圆的公共弦AB所在直线，且圆的圆心在直线上. (1)求公共弦AB的长度； (2)求圆的方程； (3)过点分别作直线，，交圆于,,,四点，且，试探究是否为定值，若为定值，请求出该定值;若不为定值，请说明理由. 18．（17分）设是平面上两个定点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且，此时，点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线． （i）证明：直线恒过定点； （ii）若点在圆上，直线与圆交于两点，当弦的长度最短时，求面积的最大值． 19．（17分）已知曲线.    (1)在坐标系中画出C的大致图形，并说明理由. (2)若直线与C的所有交点的纵坐标之和大于，求m的取值范围. (3)若是C上的动点，求的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 直线与圆·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，直线，当时，，推不出，综上，是的充分不必要条件. 2．一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点关于轴的对称点为，故，在反射光线所在的直线上，故，直线方程为，即 3．已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知到的距离，要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得 4．直线：被圆：截得的弦为，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】转化为，圆心，半径为，设圆心到直线：距离为，则，则有. 5．已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由圆的方程为可得圆心，半径，若圆与函数相交，则圆心到直线的距离，即，若函数的图象与圆有四个公共点，则原点在圆的外部，即，解得，综上函数的图象与圆有四个公共点则，所以“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件 6．若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与直线平行，所以，解得，因此直线与直线两平行线间的距离为 7．如图，已知直线l：与圆O：相离，点P在直线l上运动且位于第一象限，过P作圆O的两条切线，切点分别是M、N，直线MN与x轴、y轴分别交于R、T两点，且面积的最小值为，则m的值为（    ）    A．－5 B．－6 C． D． 【答案】A 【解析】直线l：与圆O：相离，故，解得，设， 点P在直线l上运动且位于第一象限，故，连接，则⊥，⊥，则四点共圆，且为直径，其中圆心为，半径为，故所在圆的方程为，化简得，与相减得到直线MN的方程，即，令得，令得，因为，所以，故，，故的面积为，因为，所以当时，的面积取得最大值，最大值为，故，所以. 8．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】在中，在中，故，，因为，故，又角的平分线交于点，则，故.故.以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，，故，，设，则，即，故，化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设O为坐标原点，已知直线l：与圆：有两个交点M，N，则（    ） A．直线l过定点 B． C．当时， D．当时，的最小值为 【答案】BCD 【解析】选项A，直线l可化为，则l过定点，所以A错误；选项B，因为直线l与圆总有两个公共点，且定点在圆内，故，解得，所以B正确；选项C，当时，圆：，所以，又，则，则的最小值为，最大值即为，所以C正确；选项D，当时，圆：， 则，当直线l过时，取得最小值，所以的最小值为，所以D正确． 10．已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（    ） A．直线过定点 B．半径的取值范围是 C．当时，线段长的最小值为 D．当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则 【答案】ACD 【解析】由直线l：，可化为，由方程组，解得，即直线过定点，A正确；因为直线与圆总有两个公共点，得点在圆内部，所以，解得，B不正确；当时，圆的方程为，得圆心，所以，可得线段长的最小值为，C正确；当时，圆的方程为，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，所以到直线的距离为2，所以，D正确. 11．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．曲线有且仅有2条对称轴 C．点到直线的距离的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】因为曲线Ω：，当且时，曲线Ω的方程可化为； 当且时，曲线Ω的方程可化为；当且时，曲线Ω的方程可化为；当且时，曲线Ω的方程可化为.所以曲线Ω的图象如图所示：由图可知，曲线Ω围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和，    从而曲线Ω围成的图形的面积为，故选项A正确；由曲线Ω的图像可知，曲线Ω围成的图形有4条对称轴，分别是x轴，y轴，第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故选项B错误；点到直线的距离，      结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故选项C正确；表示点与点的连线的斜率，由图可知当（且）与直线相切时取得最小值，设切线为，则，    解得或（舍去），所以的最小值为，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．圆心C为，且半径为3的圆的方程是_______________. 【答案】 【解析】因为圆心，半径为3，所以圆的标准方程为： 13．已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为，设到直线的距离为，则有，即，解得，故实数的取值范围为. 14．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】当时，，此时交点为，当时，由直线，斜率为k；由直线，斜率为，所以，又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过，若M为，的交点，则，所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点，综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为，故M的轨迹方程为，即，又，易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点满足，取，则，满足，下面证明任意一点都满足，即，因为，又，所以，所以，又，所以， 如图，当且仅当三点共线，且M位于N，D之间时，等号成立，即最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知圆过点，，. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点M，N，且，求直线的方程. 15.解：（1）设圆的方程为， 所以解得，，，..............4分 所以圆的方程为，即...............6分 （2）由（1）可得：圆心，半径， 则圆心到直线的距离...............8分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，所以，..............11分 解得，所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或...............13分 16．（15分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败． 已知米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为． (1)若，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到） (2)如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ 16.解：（1）根据题意，在中，可得， 由正弦定理得：， 可得，..............5分 所以， 所以应在矩形区域内，按照与夹角为的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功.........8分 （2）以所在直线为轴，中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设，根据题意，可得，所以， 所以，..............11分 即点的轨迹是以为圆心，为半径的上半圆在矩形区域内的部分， 所以，当米时，能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲．..............15分 17．（15分）已知圆，直线是圆与圆的公共弦AB所在直线，且圆的圆心在直线上. (1)求公共弦AB的长度； (2)求圆的方程； (3)过点分别作直线，，交圆于,,,四点，且，试探究是否为定值，若为定值，请求出该定值;若不为定值，请说明理由. 17.解：（1）圆，所以圆的圆心坐标， 半径，圆心到直线的距离，..............3分 公共弦；..............4分 （2）圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，，， 即，到的距离，所以的半径， 所以圆的方程：；..............7分 （3）当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时， ，这时直线的方程为，代入到圆中，， 所以，...............9分 当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时， 设直线为：，则直线为：， 所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，..............12分 ，， 设，当或时，正好是轴及垂直轴， ...............15分 18．（17分）设是平面上两个定点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且，此时，点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线． （i）证明：直线恒过定点； （ii）若点在圆上，直线与圆交于两点，当弦的长度最短时，求面积的最大值． 18.解：（1）设，则由得，整理得， 即圆的方程为.............3分 （2）（i）由直线，可得， 所以直线恒过直线与直线的交点， 由解得，即直线恒过定点；............7分 （ii）由（1）圆的方程为，即，圆心，半径. 设直线恒过的定点为N，则当时，弦最短，............10分 由，所以直线的斜率为，方程为，即 此时圆心到直线的距离，弦长.............13分 又点到直线的最大距离为， 所以............17分 19．（17分）已知曲线.    (1)在坐标系中画出C的大致图形，并说明理由. (2)若直线与C的所有交点的纵坐标之和大于，求m的取值范围. (3)若是C上的动点，求的最小值. 19.解：（1）由，得或， 所以C由两条直线与圆组成． 故C的图形如图所示．..............3分    （2）将代入，得， 将代入，得， 则．..............5分 因为，所以l不经过点，，即一共有4个不重合的交点， 故l与圆的所有交点的纵坐标之和大于． 时，l与C的所有交点的纵坐标之和为， 所以不符合题意．..............7分 当时，联立消去x，得． 因为l过定点，且该点在圆的内部， 所以l与圆总有两个交点．..............9分 设l与圆的交点为，， 则，解得， 故m的取值范围为．..............11分    （3）由于是C上的动点，满足， 所以 ，..............13分 不妨设点，直线， 由圆心O到直线的距离，知直线与圆O相离， 设点P，N到直线的距离分别为，则有： ， 故的最小值为．..............17分    学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $