高中数学单元测试——第一章直线与圆（较难版01）

**基本信息** 高中数学直线与圆单元较难版测试，覆盖直线方程、圆的方程及位置关系等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，适配单元复习，培养几何直观、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线垂直倾斜角、圆的圆心、直线平行、距离公式|基础概念辨析，考查抽象能力| |多选题|3/18|直线图象判断、直线与圆位置关系|多角度辨析，培养推理意识| |填空题|3/15|平行线距离、切线方程、最值问题|知识综合应用，提升空间观念| |解答题|5/77|直线与圆方程、两圆相交、触礁问题、轨迹方程与面积最值|实际情境建模（触礁问题）、逻辑推理（轨迹与最值），体现应用意识与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第一章 直线与圆（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条直线垂直关系得直线的斜率，进而可得所求直线的倾斜角. 【详解】由直线，即，所以直线的斜率为. 再由直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 2．（本题5分）圆的圆心在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 【答案】A 【分析】求得圆心坐标后判断即可求解. 【详解】圆的圆心为，在x轴上. 故选：A 3．（本题5分）已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据直线平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于两直线平行， 所以， 解得. 故选：A 4．（本题5分）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程确定圆心，再根据点到直线的距离公式得解. 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为， 则圆心到直线的距离为， 故选：D. 5．（本题5分）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可. 【详解】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A 6．（本题5分）过原点的直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】明确何时取最小值，结合勾股定理即可求解. 【详解】根据题意，当时，取得最小值. 因为，所以，此时. 故选：C. 7．（本题5分）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 8．（本题5分）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据题意可知圆心和半径，利用勾股定理结合圆的性质分析求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 由题意可知：， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以线段的最小值为5. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用直线的斜截式来观察斜率与截距的正负可得参数范围，从而可作出判断. 【详解】对于A，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故A正确； 对于B，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故B错误； 对于C，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故C正确； 对于D，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故D错误； 故选：AC. 10．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．圆与轴相交于两个不同点 C．若与圆相交，则 D．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 【答案】AC 【分析】令，得，分析可判断A的正误；求出圆的圆心和半径，分析可判断B的正误；由题意，圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式，即可判断C的正误；分析可得圆心在直线上，代入计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：令，得，易知直线过定点，故A正确； 选项B：整理圆的方程，得，则圆心到轴的距离为4，又，所以圆与轴相切，故B错误； 选项C：设圆心到直线的距离为，可得，解得，故C正确； 选项D：因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，所以圆心在直线上，则，解出，故D错误. 故选：AC. 11．（本题6分）点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（    ） A．圆心距 B．的最小值为2 C．的最大值为9 D．圆经过点的最短弦的长为4 【答案】ACD 【分析】求各圆的圆心和半径，进而求，即可判断A；根据圆的性质分析判断BCD. 【详解】由题意可知：圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， 对于选项ABC：圆心距，故A正确； 的最小值为，故B错误； 的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为， 可知点M在圆内，当圆经过点M的弦与垂直时，弦长取最小值， 最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 【答案】/ 【分析】根据平行线间距离公式求解. 【详解】直线与直线之间的距离为. 故答案为：. 13．（本题5分）过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 14．（本题5分）已知点在直线上运动，点,.使的值最小的点坐标是________. 【答案】 【分析】通过找出点关于直线的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点的坐标; 【详解】设关于直线的对称点为，则， 解得，故， 又因为为直线上的一点，则， 当且仅当三点共线时等号成立，此时取得最小值， 点即是直线与直线的交点． 因为，，所以直线的方程为， 由，解得，故所求的点的坐标为．    故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知直线过点且与直线：垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知设出的方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出答案； （2）联立直线与的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案. 【详解】（1）由已知可设直线的方程为. 又直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. （2）联立直线与的方程， 可得， 所以，直线与的交点. 又直线l经过， 代入直线的两点式方程可得，， 整理可得. 16．（本题15分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由斜率关系和中点坐标求出弦的垂直平分线方程，再解出圆心坐标，然后得到圆的标准方程； （2）由两点间距离得到半径，再写出圆的标准方程即可； （3）由圆的一般方程利用待定系数法求解可得. 【详解】（1）由题，所以其垂线斜率，且AB中点为，即， 所以AB的垂直平分线方程为，即， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标， 所以圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 （2）圆心为，且经过点， 故圆的半径为， 故圆的标准方程为． （3）设圆的方程为， 则由题意， ∴圆的方程为：，标准方程为. 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交， (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程. (3)求公共弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆的一般方程，求出圆心和半径，根据圆心距离和半径的关系，说明圆相交即可. （2）由（1）知两圆相交，则根据一般方程作差得公共弦方程，求出结果即可； （3）根据弦长公式，利用半径和弦心距，求出弦长即可. 【详解】（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径； 圆的标准方程为，所以圆心，半径； 两圆圆心距，，； 所以圆与圆相交. （2）由（1）知，圆与圆相交， 所以将圆与圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程， 得，化简得. （3）圆心到的距离为，圆的半径， 此时弦长为，即公共弦长为. 18．（本题17分）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1) (2)不会有触礁危险，理由如下： 以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）略 19．（本题17分）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）设，再利用两点间距离公式计算即可得； （2）①设出直线方程，借助韦达定理与向量数量积计算即可得；②借助韦达定理、点到直线距离公式与弦长公式计算即可得. 【详解】（1）设，则由可得， 化简得，即动点轨迹的方程为； （2）①若直线斜率不存在，则、分别为、， 此时，不符； 则直线斜率存在，设，、， 联立，消去得， 则，即， 有、， ， 即，则， 故直线的方程为或； ②若直线斜率不存在，此时不存在，不符，故直线斜率存在， ， 点到直线的距离， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 直线与圆（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）圆的圆心在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 3．（本题5分）已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 4．（本题5分）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 6．（本题5分）过原点的直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．（本题5分）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、多选题 9．（本题6分）在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．圆与轴相交于两个不同点 C．若与圆相交，则 D．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 11．（本题6分）点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（    ） A．圆心距 B．的最小值为2 C．的最大值为9 D．圆经过点的最短弦的长为4 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 13．（本题5分）过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 14．（本题5分）已知点在直线上运动，点,.使的值最小的点坐标是________. 四、解答题 15．（本题13分）已知直线过点且与直线：垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 16．（本题15分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交， (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程. (3)求公共弦长. 18．（本题17分）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 19．（本题17分）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $