高中数学单元测试——第2章圆与方程（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第2章圆与方程单元复习较难版测试，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合中国拱桥文化、台风影响等现实情境，适配单元核心知识考查与数学眼光、思维、语言素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|圆心坐标、点与圆位置关系、切线长最小值|基础概念与几何直观结合，如第6题切线长计算| |多选题|3/18|直线与圆位置关系、两圆公切线、欧拉线定理|综合推理能力考查，如第11题结合数学史| |填空题|3/15|切线方程、两圆位置关系、内接正方形|空间观念应用，如第14题圆内接正方形半径计算| |解答题|5/77|圆的标准方程、切线方程、台风影响时间|现实问题建模，如第18题台风影响时长计算，体现应用意识|

高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．（本题5分）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或2 B．6或 C． D．2 5．（本题5分）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 6．（本题5分）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 8．（本题5分）已知点，动点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 10．（本题6分）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 11．（本题6分）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．的“欧拉线”方程为 B．若点在圆M上，则的最大值是7 C．圆M上点到直线的最大距离为 D．若点在圆M上，则的最小值是 三、填空题 12．（本题5分）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 13．（本题5分）若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为__________. 14．（本题5分）已知点，是圆内接正方形的一条对角线上的两个端点，则圆的半径大小为______，圆上动点到点的距离的取值范围是______. 四、解答题 15．（本题13分）求满足下列条件的圆的标准方程 (1)已知两点，求以为直径的圆的方程. (2)求以为顶点的三角形的外接圆的标准方程. 16．（本题15分）已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求经过点的圆的切线方程． 17．（本题15分）已知关于x，y的方程. (1)若该方程表示圆C，求m的取值范围； (2)若圆C与圆外切，求m的值； (3)若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 18．（本题17分）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B 2．（本题5分）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据直线经过圆心即可求解. 【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得. 故选：A 4．（本题5分）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或2 B．6或 C． D．2 【答案】C 【分析】首先将圆的方程化成标准方程，再利用直线与圆相切的条件即可求解． 【详解】将圆的方程化成标准方程为， 因为圆与直线相切， 则有，解得． 5．（本题5分）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【答案】C 【分析】先求出圆心和半径，可得圆心到直线的距离d，根据条件，结合弦长公式，可得d，联立即可得答案. 【详解】将圆变为标准方程可得， 圆心坐标为，半径为， 设圆心到直线的距离为d，则， 又直线被圆截得的弦长为， 所以，解得， 所以，解得或. 故选：C 6．（本题5分）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】设切点为，连接、，则， 易知圆心为，圆的半径为， 由勾股定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为. 故选：D. 7．（本题5分）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 8．（本题5分）已知点，动点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意求出动点的轨迹方程，再根据的几何意义，将原问题转化为直线与圆的交点问题. 【详解】因为点，动点满足， 所以，整理得， 即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 又因为表示点与点连线的斜率，记为， 设过点的直线方程为，即， 则直线与圆有交点， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 【答案】AC 【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径进行比较，即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆：，配方得，圆心坐标，半径. 选项A：令，则，与无关，所以直线恒过定点，A正确. 选项B：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，B错误. 选项C：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，C正确. 选项D：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，D错误. 故选：AC. 10．（本题6分）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 11．（本题6分）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．的“欧拉线”方程为 B．若点在圆M上，则的最大值是7 C．圆M上点到直线的最大距离为 D．若点在圆M上，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】由及题意可得的欧拉线为线段的中垂线，求出的中垂线方程判断A；由欧拉线与圆相切可得，圆心到欧拉线的距离等于半径可得的值，表示圆上的点与连线的斜率，设，利用点到直线的距离公式得到不等式，即可求出的取值范围，从而判断B；由圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半径判断C；令，得，代入圆的方程，由方程有根求出的范围判断D. 【详解】对于A，，由题意可得的欧拉线为的中垂线， 由，可得的中点为，且， 线段的中垂线方程为，即，故A正确； 对于B，的“欧拉线”与圆相切， 圆心到直线的距离， 圆的方程为， 因为表示圆上的点与连线的斜率， 设，则，即， 所以，即，解得， 所以的最大值为7，故B正确； 对于C，圆心到直线的距离， 圆上点到直线的距离的最大值为，故C错误； 对于D，令，，代入圆的方程， 可得，由于在圆上，有根， 则，整理得， 解得， 的最小值为，即的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 【答案】 【分析】解：先判断出点在圆上，利用斜率公式求出圆心和连线的斜率，利用两条直线垂直得到过圆上点的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程. 【详解】解：将点代入中，成立， 即点在圆上，圆心和连线的斜率为， 故过圆上点的切线的斜率为， 则切线方程为，即， 故答案为：. 13．（本题5分）若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据题意，得到圆与圆相交，得到，结合，转化为代表点到直线的距离的倍，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 圆，可得圆心，半径. 因为圆与圆有且仅有2条公切线，可得圆与圆相交， 又因为， 所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）， 因为， 所以代表点到直线的距离的倍， 又因为圆心到直线的距离为， 所以圆环内的点到直线的距离， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．（本题5分）已知点，是圆内接正方形的一条对角线上的两个端点，则圆的半径大小为______，圆上动点到点的距离的取值范围是______. 【答案】 【分析】线段为圆的一条直径可求圆心和半径，再判断点与圆的位置关系即可求出范围. 【详解】由题意得，线段为圆的一条直径，且， 所以圆心为，半径为， 因为，所以点在圆外， 则的最大值为，最小值为， 故的取值范围是. 故答案为：； 四、解答题 15．（本题13分）求满足下列条件的圆的标准方程 (1)已知两点，求以为直径的圆的方程. (2)求以为顶点的三角形的外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得和的中点坐标为，得出球心和半径，即可求解； （2）设所求圆的方程为，列出方程组求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由点，可得， 且的中点坐标为，即所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为. （2）解：设所求圆的方程为， 因为在圆上， 可得，即，解得， 即， 所以所求圆的标准方程. 16．（本题15分）已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求经过点的圆的切线方程． 【答案】(1)相离 (2)和 【分析】（1）首先求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出，即可得解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. （2）过点的斜率不存在的直线方程为， 满足圆心到的距离为，符合题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线方程为，即， 综上可得过点的圆的切线方程为和. 17．（本题15分）已知关于x，y的方程. (1)若该方程表示圆C，求m的取值范围； (2)若圆C与圆外切，求m的值； (3)若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)4； (3)或. 【分析】（1）化给定方程为，利用方程表示圆，即可求出范围. （2）根据给定条件，利用两圆相外切，列出方程，求出的值. （3）由（2）求出圆的方程，由圆的弦长公式求出圆心到直线l的距离，再按斜率存在与否分类求出方程. 【详解】（1）方程，变形得， 由方程表示圆，得，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由圆，得，此圆圆心，半径为， 又圆的圆心，半径， 由圆与圆相外切，得，即， 所以. （3）由（2）知，圆的圆心，半径， 由圆的弦长，得圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，解得，直线的方程为， 所以直线l的方程为或. 18．（本题17分）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【答案】(1)； (2)小时. 【分析】（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可. （2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间. 【详解】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆， 要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大， 由，，则，知，则最大. （2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为， 该直线与圆相交的弦长为， 即此人被台风影响持续时间为.    19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)或. (3) 当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组， 整理得， 令，解得， 且，所以， 又由，解得，所以， 因为均在直线上，且 所以. 【分析】（1）设，根据，列出方程，即可求解； （2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，求得，分析斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，即可求解； （3）设直线的斜率为，则，联立方程组，结合和韦达定理，求得和，结合均在直线上，利用，即可求解. 【详解】（1）解：设，因为点且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，圆心为，半径为， 因为，设圆心到的距离，可得，解得， 当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意； 当斜率存在时，设方程：，即， 则，解得，此时. 综上可得，直线的方程为或. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $