第一章 直线与圆（单元分层自测·能力提升卷）数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年选择性必修第一册数学第一章“直线与圆”单元卷，以能力提升为导向，覆盖直线与圆的核心知识，通过基础巩固、综合应用及创新情境题，培养数学眼光、思维与语言，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线与圆位置关系、充要条件等|如第1题结合距离与条件判断，考查逻辑推理| |多选|3/18|阿氏圆、直线定点等|第11题引入数学文化，培养几何直观| |填空|3/15|轨迹方程、距离最值|第12题动点轨迹问题，发展空间观念| |解答|5/77|切线方程、实际应用|第18题公路修建情境，体现模型意识与应用能力|

2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第一章 直线与圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由圆上恰有3个点到直线的距离为1得到圆心到直线的距离为1，则，解得，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的充分不必要条件. 2．已知实数满足，，则的最小值为（ ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】B 【解析】由题意可得，是直线上的点，是直线上的点，则两直线平行，的最小值是平行直线之间的距离的平方，可得最小值为. 3．已知点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切或相离 D．相交或相切 【答案】C 【解析】因为直线的斜率为，，且直线l经过点且与线段AB相交，所以直线l的斜率k的范围为，由圆，可得圆心，直线BC的方程为即.圆心E到直线BC的距离为.故直线l与圆相切或相离.    4．已知圆关于直线对称的圆记为D，点P在D上，，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【解析】由圆，可得圆心，半径，设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以，所以圆关于直线对称的圆D的方程为，又，所以，又点P在圆D上，则的最大值为. 5．若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则圆心，半径，所以与圆心的距离， 所以，则. 6．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【解析】直线过定点，圆，易知 设到距离为，，当时，. 7．若对圆上任意一点的取值与无关，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则表示到与到的距离之和的倍．因为的取值与无关，所以上述距离之和与点在圆上的位置无关．如图，当直线m平移时，点P到直线m，l的距离之和均为m与l两直线的距离，即此时圆在两直线之间．  当直线m与圆相切时，，化简得，解得或（舍），所以，即. 8．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意得，半径，设点坐标，易知直线恒过点，直线恒过，且，则，即，点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点，若点为弦的中点，位置关系如图：  ，连接，由，易知， ，又点分别为圆、圆上的点，所以，当在处取等号，所以， 即的最大值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（    ） A．5 B．4 C． D．3 【答案】BC 【解析】 曲线表示圆在轴的上半部分，且含端点，当直线与圆左上部分相切时，，解得或（舍去），当点在直线上时，，由图可知，实数m的取值范围为，结合选项，知实数的值可能是4，. 10．下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．方程能表示平行于轴的直线 【答案】BC 【解析】对于A，由，可得，则直线过直线与直线的交点，所以直线过定点，故A错误；对于B，点关于直线的对称点为，则，解得，所以点关于直线的对称点为，故B正确；对于C，令，则，令，则，所以直线与两坐标轴的交点为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确；对于D，平行于轴的直线需斜率为0，又直线的斜率不为0，所以方程不能表示平行轴的直线，故D错误. 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．关于直线对称的曲线方程为 C．在上存在点，使得到点的距离为3 D．若，，则在上不存在点，使得 【答案】ABD 【解析】设，则，所以，则，整理得，A对；由上，设对称圆的圆心为，则，所以对称的曲线方程为，B对；由到圆心的距离为，由圆半径，所以到圆的最短距离为，故不存在，使到的距离为3，C错；由中点为，且，则的中垂线为，圆心到的距离，故在上不存在点，使得，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为_________． 【答案】（限制条件写成或也可以） 【解析】设，，，由三点共线，则①，且，，所以，即②，联立①②，消去，为， ，即，由图可知，，所以，整理为， 13．已知，若动点满足，则动点与点距离的最大值为______. 【答案】/ 【解析】设，由可得，化简可得：，则动点轨迹为圆，圆心为，半径为，又，所以点在该圆内，所以动点与点距离的最大值为. 14．已知点，符合点A，B到直线l的距离分别为1，2的直线方程为____（写出一条即可）. 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题意可知直线l是圆与圆的公切线，两圆圆心距为，则两圆为外离关系，所以满足条件的直线l有四条．如图，当直线l是两圆的外公切线时， 有，则，所以，则，即为的中点，则， 设直线l的方程为，则，解得，此时直线l的方程为或；如图，当直线l是两圆的内公切线时， 根据对称性，可得，又，则，所以，则，即，设直线l的方程为，则，解得，此时直线l的方程为或．综上所述，所求直线方程为或或或. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 15.解：（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为.............4分 因为直线l：与圆C相切，所以， 解得，所以圆C的标准方程为.............8分 （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得.............11分 故，解得或. 所以直线m的方程为或.............13分 16．（15分）（1）已知圆，求过点的圆的切线方程； （2）过点作圆的切线，求此切线的方程． 16.解：(1)点在圆上，圆心，由斜率公式得， 故所求切线的斜率为．故所求的切线方程为：，即．............6分 （2）由于，所以点在圆外； ①当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 故，解得，所以切线方程为．............10分 ②当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离也为1，这时直线与圆也相切， 所以另一条切线方程是．............14分 综上所述，所求切线方程为和．............15分 17．（15分）求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： (1)圆心为，且与直线相切； (2)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； 17.解：（1）因为圆M与直线相切， 所以圆心到直线的距离即为圆的半径， 即，............5分 所以圆心为，且与直线相切的圆的方程是.............8分    （2）因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为. 因为圆的半径为2，且与直线相切，所以，............11分 解得或，所以圆心坐标为或. 所以圆的方程为或.............15分    18．（17分）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． （1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故．............4分 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点．............8分 （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为，............10分 令，得．由，解得， 故，解得，............15分 故公路BC所在直线的方程为.............17分 19．（17分）设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． (1)当最大时，求点的坐标； (2)求证：直线恒过定点； (3)当最小时，求直线的方程． 19.解：（1）由直线的斜率为， 当时，最大， 所以直线的方程为：，............2分 所以，解得， 所以；............4分 （2）设点， 由，所以点在以为直径的圆上， 所以的中点为，半径为， 所以圆的方程为，............7分 化简整理得：， 由，两式相减得：， 即直线的方程为：，............9分 又，令，即，解得， 所以直线恒过定点为；............11分 （3）由题意得：，， 所以， 又， 所以当时，取最小值，即取最小值，............14分 由（1）得当时，点， 由（2）得点，此时直线的方程为：， 所以，代入得， 所以直线的方程为.............17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第一章 直线与圆·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D B B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（限制条件写成或也可以） 13．/ 14．（答案不唯一） 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为.............4分 因为直线l：与圆C相切，所以， 解得，所以圆C的标准方程为.............8分 （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得.............11分 故，解得或. 所以直线m的方程为或.............13分 16.解：(1)点在圆上，圆心，由斜率公式得， 故所求切线的斜率为．故所求的切线方程为：，即．............6分 （2）由于，所以点在圆外； ①当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 故，解得，所以切线方程为．............10分 ②当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离也为1，这时直线与圆也相切， 所以另一条切线方程是．............14分 综上所述，所求切线方程为和．............15分 17.解：（1）因为圆M与直线相切， 所以圆心到直线的距离即为圆的半径， 即，............5分 所以圆心为，且与直线相切的圆的方程是.............8分    （2）因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为. 因为圆的半径为2，且与直线相切，所以，............11分 解得或，所以圆心坐标为或. 所以圆的方程为或.............15分    （1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故．............4分 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点．............8分 （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为，............10分 令，得．由，解得， 故，解得，............15分 故公路BC所在直线的方程为.............17分 19.解：（1）由直线的斜率为， 当时，最大， 所以直线的方程为：，............2分 所以，解得， 所以；............4分 （2）设点， 由，所以点在以为直径的圆上， 所以的中点为，半径为， 所以圆的方程为，............7分 化简整理得：， 由，两式相减得：， 即直线的方程为：，............9分 又，令，即，解得， 所以直线恒过定点为；............11分 （3）由题意得：，， 所以， 又， 所以当时，取最小值，即取最小值，............14分 由（1）得当时，点， 由（2）得点，此时直线的方程为：， 所以，代入得， 所以直线的方程为.............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第一章 直线与圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知实数满足，，则的最小值为（ ） A．1 B．4 C．9 D．16 3．已知点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切或相离 D．相交或相切 4．已知圆关于直线对称的圆记为D，点P在D上，，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．6 5．若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 7．若对圆上任意一点的取值与无关，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（    ） A．5 B．4 C． D．3 10．下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．方程能表示平行于轴的直线 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．关于直线对称的曲线方程为 C．在上存在点，使得到点的距离为3 D．若，，则在上不存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为_________． 13．已知，若动点满足，则动点与点距离的最大值为______. 14．已知点，符合点A，B到直线l的距离分别为1，2的直线方程为____（写出一条即可）. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 16．（15分）（1）已知圆，求过点的圆的切线方程； （2）过点作圆的切线，求此切线的方程． 17．（15分）求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： (1)圆心为，且与直线相切； (2)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； 18．（17分）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 19．（17分）设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． (1)当最大时，求点的坐标； (2)求证：直线恒过定点； (3)当最小时，求直线的方程． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第一章 直线与圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知实数满足，，则的最小值为（ ） A．1 B．4 C．9 D．16 3．已知点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切或相离 D．相交或相切 4．已知圆关于直线对称的圆记为D，点P在D上，，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．6 5．若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 7．若对圆上任意一点的取值与无关，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（    ） A．5 B．4 C． D．3 10．下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．方程能表示平行于轴的直线 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．关于直线对称的曲线方程为 C．在上存在点，使得到点的距离为3 D．若，，则在上不存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为_________． 13．已知，若动点满足，则动点与点距离的最大值为______. 14．已知点，符合点A，B到直线l的距离分别为1，2的直线方程为____（写出一条即可）. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 16．（15分）（1）已知圆，求过点的圆的切线方程； （2）过点作圆的切线，求此切线的方程． 17．（15分）求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： (1)圆心为，且与直线相切； (2)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； 18．（17分）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 19．（17分）设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． (1)当最大时，求点的坐标； (2)求证：直线恒过定点； (3)当最小时，求直线的方程． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $