高中数学单元测试——第1章直线与方程（适中版01）

**基本信息** 高中数学第1章“直线与方程”单元卷，覆盖倾斜角、位置关系、距离公式等核心知识，题型多样且梯度分明，通过基础巩固与创新应用结合，适配单元复习需求，培养数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|倾斜角、平行垂直判定|基础概念辨析，如第3题直线平行求参数| |多选题|2/12|直线方程表示、有向距离新定义|概念辨析与创新情境，如第8题结合新定义判断位置关系| |填空题|2/10|中点坐标、周长最小值|几何直观应用，如第10题三角形周长最小值| |解答题|3/48|中线方程、面积计算、λ共轭线对|综合与创新，第13题以“λ共轭线对”新定义考查逻辑推理与运算能力|

高中数学单元测试 —— 第1章 直线与方程（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知直线的方程为，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 3．（本题5分）已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 4．（本题5分）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 二、多选题 7．（本题6分）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 8．（本题6分）（多选）定义点到直线的有向距离为.已知点，到直线的有向距离分别是，，给出以下命题，其中是假命题的是（    ） A．若，则直线与直线平行 B．若，则直线与直线平行 C．若，则直线与直线垂直 D．若，则直线与直线相交 三、填空题 9．（本题5分）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 10．（本题5分）三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为__________. 四、解答题 11．（本题14分）已知三角形的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积； 12．（本题16分）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 13．（本题18分）已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为λ，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点． (1)已知，是一组“共轭线对”，且直线，求直线的方程； (2)已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 直线与方程（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知直线的方程为，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为直线的方程为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 故选：A. 2．（本题5分）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】D 【分析】根据坐标可知直线斜率不存在，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【详解】由题意点和点， 所以直线斜率不存在，且直线的方程为， 所以直线与直线垂直. 故选：D. 3．（本题5分）已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据直线平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于两直线平行， 所以， 解得. 故选：A 4．（本题5分）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】由题意，直线的斜率为2，故与之垂直的直线的斜率为， 又所求直线过点，故其直线方程为，即. 故选：C. 5．（本题5分）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简直线为，得到直线恒过定点，求得，结合图象，即可求解. 【详解】由直线，可得， 又由直线的点斜式方程，可得直线恒过定点， 因为，可得， 如图所示，若直线与线段相交（不包含端点），则， 即直线斜率的取值范围为. 故选：B. 6．（本题5分）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 二、多选题 7．（本题6分）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域可判断A：根据点斜式方程可判断B；根据倾斜角为的直线方程可判断C；根据直线方程的适用范围可判断D. 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 8．（本题6分）（多选）定义点到直线的有向距离为.已知点，到直线的有向距离分别是，，给出以下命题，其中是假命题的是（    ） A．若，则直线与直线平行 B．若，则直线与直线平行 C．若，则直线与直线垂直 D．若，则直线与直线相交 【答案】ABC 【分析】由题意，利用，此时，都在直线上，可判断A，B，C为假命题； 当时，，在直线的两侧，则直线与直线相交，可判断D 【详解】设点，的坐标分别为，，则，.若，则，即，所以 . 若，即，则，都在直线上，此时直线与直线重合，故选项，，均为假命题. 当时，，在直线的两侧，则直线与直线相交，故选项D为真命题. 故选：ABC 三、填空题 9．（本题5分）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【分析】设出截距式方程后借助中点定义计算即可得. 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. 10．（本题5分）三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用轴对称求得对称点，结合图象，可得答案. 【详解】由，则其关于轴的对称点为， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 作图如下：   的周长. 故答案为：. 四、解答题 11．（本题14分）已知三角形的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得中点坐标，再由两点式方程，即可得到结果； （2）由点斜式可得直线的方程，再由点到直线的距离公式以及两点间距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由已知边的中点坐标为， 所以直线的方程为，化简得； （2）直线的方程为，即， 点到直线的距离为，又， 所以的面积为； 12．（本题16分）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. 【详解】（1）因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； （2）由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. （3）直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 13．（本题18分）已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为λ，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点． (1)已知，是一组“共轭线对”，且直线，求直线的方程； (2)已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义求得的斜率，得直线方程； （2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，，，由新定义列方程组解得，再由直线所过点坐标得直线方程； （3）设出直线的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围． 【详解】（1）由已知得，且，∴， ∴直线的方程为． （2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，，， 则解得或 又三条直线的倾斜角均为锐角，所以，，， 故直线PR的方程为，直线PQ的方程为，联立可得． （3）设，，其中，原点O到直线，的距离分别为，， 则 ． 由于（等号成立的条件是），故，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $