专题13直线与圆暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题13直线与圆暑假预习讲义 1. 识记判定：掌握直线与圆三种位置关系（相离、相切、相交），依据圆心到直线距离d和半径r的大小关系判定。 2. 吃透切线：牢记切线判定定理与切线性质定理，分清证切线两种常用思路：连半径证垂直、作垂直证半径。 3. 掌握切线长：理解切线长定义，熟记切线长定理，懂得从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。 4. 认知三角形内切圆：分清内心的位置（三条角平分线交点），明确内心到三边距离相等，会简单求解内切圆半径。 5. 几何计算：结合勾股定理、直角三角形性质，求解切线相关线段长度、角度大小。 6. 图形解题：处理含切线的阴影面积题型，结合扇形、三角形面积公式做和差运算。 7. 规避易错点：判定切线时忽略“半径垂直直线”核心条件，混淆内心（角平分线）与外心（垂直平分线）。 8. 核心思想：运用数形结合、转化思想，建立直线与圆的几何解题思路，备战圆综合题型。 预习必备 知识梳理 1.直线与圆的位置关系 2.切线的核心两大定理 3.核心模型 4.三角形的内切圆与内心 5.高频易错点 6.标准解题模板 常考题型 精讲精练 1.判断直线和圆的位置关系 2.线圆位置求半径取值 3.线圆位置求圆心距 4.直线平移相切求移动距离 5.圆平移相切求圆心路程 6.有关切线的概念辨析 7.判定补全切线成立条件 8.证明某直线是圆的切线 9.切线的性质定理 10.切线性质和判定的综合应用 11.应用切线长定理求解 12.应用切线长定理求证 13.直角三角形内切圆半径边角关系 14.圆外切四边形模型 15.过圆外一点作圆的切线 16.切线的应用 17.圆内知识综合 18.圆与三角形综合 19.圆与四边形综合 20.圆与函数综合 加强题型 解答题13题 直线与圆的位置关系是圆板块的核心内容，是几何证明、线段与角度计算的高频考点。本节围绕直线和圆的交点数量划分三种位置，重点学习切线的判定、性质以及切线长相关结论。 只是想01：直线与圆的三种位置关系 1. 判断依据 设⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d（垂线段长度），分三类： 配套概念 切线：和圆只有一个公共点的直线；公共点叫切点。 割线：和圆有两个公共点的直线。 等价符号：左右条件可以互相推导。 知识点02:切线的核心两大定理（本节重中之重，中考必考） 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 补充区分：判定 vs 性质对比表 类别 使用条件 核心作用 推理方向 切线性质 已知切线 推导垂直关系 切线→垂直半径 切线判定 证切线 证明直线是切线 垂直半径且过半径外端→切线 知识点03：证明直线是圆的切线的方法 知识点04：核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 知识点05：三角形的内切圆与内心 1.内切圆定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2.内心：内切圆圆心，是三角形三条角平分线的交点。 3.核心性质：内心到三角形三条边的距离相等（距离 = 内切圆半径r）。 4.对比外心、内心表格 名称 交点来源 到哪距离相等 位置 外心（外接圆圆心） 三边垂直平分线交点 三个顶点 锐角内、直角斜边中点、钝角外 内心（内切圆圆心） 三条角平分线交点 三条边 永远在三角形内部 直角三角形内切圆半径公式 设直角三角形三边a、b，斜边c，面积S，周长L 通用公式： 直角专用简化： 知识点06：本节高频易错点（课堂重点强调） 1.判定切线漏掉其中一个条件：只垂直半径但不过端点，不算切线； 2.混淆内心、外心：内心角平分线交点，外心垂直平分线交点； 3.切线和切线长概念混淆，切线是直线，切线长是长度； 4.使用切线长定理时，忘记 “从同一点引出两条切线” 的前提； 5.判断直线与圆位置关系，不会先求圆心到直线距离d再和r比较； 6.证明切线题型，分不清 “有交点” 和 “无交点” 两种辅助线做法。 知识点07：标准解题模板 1.判断直线与圆位置：求圆心到直线距离d，对比d与r大小； 2.证明切线： 已知直线与圆有交点：连接圆心和交点，证垂直； 无交点：过圆心作直线垂线，证垂线段 = 半径； 3.切线长计算：直接用PA=PB等量代换求线段； 4.三角形内切圆计算：用面积法求内切圆半径； 5.角度计算：切线性质得 90°，搭配切线长平分角推导角度。 题型1.判断直线和圆的位置关系 【典例】如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【跟踪专练1】已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【跟踪专练2】如图，在中，，，点M是边AC上的动点．过点M作交BC于点N，现将沿MN折叠，得到．若点在上，则以为直径的圆与直线AB的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 题型2.线圆位置求半径取值 【典例】已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 【跟踪专练1】如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【跟踪专练2】如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 题型3.线圆位置求圆心距 【典例】已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正三角形和的边长分别是、，点是中点，将正三角形绕点旋转，在旋转过程中，的面积的取值范围是______． 【跟踪专练3】如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型4.直线平移相切求移动距离 【典例】．如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切． 【跟踪专练1】如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 题型5.圆平移相切求圆心路程 【典例】已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 【跟踪专练1】如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【跟踪专练2】以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6.有关切线的概念辨析 【典例】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____． 【跟踪专练1】如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【跟踪专练2】如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 题型7.判定补全切线成立条件 【典例】如图，为的直径，，当________时，直线与相切． 【跟踪专练1】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 【跟踪专练2】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 题型8.证明某直线是圆的切线 【典例】如图，直线经过上的点C，并且，则直线和的位置关系是________． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【跟踪专练2】如图，在中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．点在外 C．直线与相切 D．直线与只有一个交点 题型9.切线的性质定理 【典例】如图，是的直径，与相切，为切点，连接．已知，则的度数为___________． 【跟踪专练1】是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 【跟踪专练2】如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 题型10.切线性质和判定的综合应用 【典例】如图，已知是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，连接，若，，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，是的弦，是的切线．若，则______． 【跟踪专练2】如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型11.应用切线长定理求解 【典例】如图，是的内切圆，为切点．若，，则的周长为______． 【跟踪专练1】如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【跟踪专练2】如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 题型12.应用切线长定理求证 【典例】如图， 别切⊙O于点A，B，，那么弦的长是（   ） A．4 B．8 C． D． 【跟踪专练1】如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型13.直角三角形内切圆半径边角关系 【典例】如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留）_________． 【跟踪专练1】如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________． 【跟踪专练2】《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 题型14.圆外切四边形模型 【典例】下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【跟踪专练1】如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，边均与相切，且，则四边形的周长为（   ） A．44 B．42 C．46 D．47 题型15.过圆外一点作圆的切线 【典例】如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 【跟踪专练1】已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【跟踪专练2】以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴_____°． ∵为半径，∴为的_____，且_____（填“”、“”或“”）．    题型16.切线的应用 【典例】如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝45°，点P在x正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是_____． 【跟踪专练1】如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【跟踪专练2】如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为，若，则圆心角的度数为______． 题型17.圆内知识综合 【典例】如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是_____．    【跟踪专练1】如图,内接于⊙O,,则⊙O的直径等于__________．    【跟踪专练2】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型18.圆与三角形综合 【典例】如图，A，B是直线l上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与l相切于点A，B，点C是这两个圆的公共点，则圆弧与线段所围成图形的面积S的最大值是___________． 【跟踪专练1】如图，是的切线，点是上一点，连接，，连接并延长交于点，的延长线交于点，若，，则________． 【跟踪专练2】已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 题型19.圆与四边形综合 【典例】如图，A，B，C，D四点都在上，则图中一定和相等的角是_____．    【跟踪专练1】如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【跟踪专练2】如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 题型20.圆与函数综合 【典例】如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为___________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．    解答题 1．在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，求r的取值范围． 2．已知圆与直线相切，求m的值． 3．如图，半圆O的直径DE＝12 cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm.半圆O以2 cm/s的速度自左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为t s，当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8 cm. (1)当t＝________s时，半圆O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为________． (2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？ 4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 5．尺规作图，如图，过点P作弦使得． 6．如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 7．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 8．如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 9．如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 10．如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 11．如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 12．已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且．点是线段的中点．联结并延长交于点，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 13．【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，若 ，则． 【理解】请用所学知识解决问题：已知的半径为3． (1)如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； (2)如图2，已知为切线，，且，求b与a的函数关系式； 【运用】如图3，点P在圆心为，半径为1的圆上运动，点A的坐标为，点B的坐标为，求当面积最大值时P点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13直线与圆暑假预习讲义 1. 识记判定：掌握直线与圆三种位置关系（相离、相切、相交），依据圆心到直线距离d和半径r的大小关系判定。 2. 吃透切线：牢记切线判定定理与切线性质定理，分清证切线两种常用思路：连半径证垂直、作垂直证半径。 3. 掌握切线长：理解切线长定义，熟记切线长定理，懂得从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。 4. 认知三角形内切圆：分清内心的位置（三条角平分线交点），明确内心到三边距离相等，会简单求解内切圆半径。 5. 几何计算：结合勾股定理、直角三角形性质，求解切线相关线段长度、角度大小。 6. 图形解题：处理含切线的阴影面积题型，结合扇形、三角形面积公式做和差运算。 7. 规避易错点：判定切线时忽略“半径垂直直线”核心条件，混淆内心（角平分线）与外心（垂直平分线）。 8. 核心思想：运用数形结合、转化思想，建立直线与圆的几何解题思路，备战圆综合题型。 预习必备 知识梳理 1.直线与圆的位置关系 2.切线的核心两大定理 3.核心模型 4.三角形的内切圆与内心 5.高频易错点 6.标准解题模板 常考题型 精讲精练 1.判断直线和圆的位置关系 2.线圆位置求半径取值 3.线圆位置求圆心距 4.直线平移相切求移动距离 5.圆平移相切求圆心路程 6.有关切线的概念辨析 7.判定补全切线成立条件 8.证明某直线是圆的切线 9.切线的性质定理 10.切线性质和判定的综合应用 11.应用切线长定理求解 12.应用切线长定理求证 13.直角三角形内切圆半径边角关系 14.圆外切四边形模型 15.过圆外一点作圆的切线 16.切线的应用 17.圆内知识综合 18.圆与三角形综合 19.圆与四边形综合 20.圆与函数综合 加强题型 解答题13题 直线与圆的位置关系是圆板块的核心内容，是几何证明、线段与角度计算的高频考点。本节围绕直线和圆的交点数量划分三种位置，重点学习切线的判定、性质以及切线长相关结论。 只是想01：直线与圆的三种位置关系 1. 判断依据 设⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d（垂线段长度），分三类： 配套概念 切线：和圆只有一个公共点的直线；公共点叫切点。 割线：和圆有两个公共点的直线。 等价符号：左右条件可以互相推导。 知识点02:切线的核心两大定理（本节重中之重，中考必考） 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 补充区分：判定 vs 性质对比表 类别 使用条件 核心作用 推理方向 切线性质 已知切线 推导垂直关系 切线→垂直半径 切线判定 证切线 证明直线是切线 垂直半径且过半径外端→切线 知识点03：证明直线是圆的切线的方法 知识点04：核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 知识点05：三角形的内切圆与内心 1.内切圆定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2.内心：内切圆圆心，是三角形三条角平分线的交点。 3.核心性质：内心到三角形三条边的距离相等（距离 = 内切圆半径r）。 4.对比外心、内心表格 名称 交点来源 到哪距离相等 位置 外心（外接圆圆心） 三边垂直平分线交点 三个顶点 锐角内、直角斜边中点、钝角外 内心（内切圆圆心） 三条角平分线交点 三条边 永远在三角形内部 直角三角形内切圆半径公式 设直角三角形三边a、b，斜边c，面积S，周长L 通用公式： 直角专用简化： 知识点06：本节高频易错点（课堂重点强调） 1.判定切线漏掉其中一个条件：只垂直半径但不过端点，不算切线； 2.混淆内心、外心：内心角平分线交点，外心垂直平分线交点； 3.切线和切线长概念混淆，切线是直线，切线长是长度； 4.使用切线长定理时，忘记 “从同一点引出两条切线” 的前提； 5.判断直线与圆位置关系，不会先求圆心到直线距离d再和r比较； 6.证明切线题型，分不清 “有交点” 和 “无交点” 两种辅助线做法。 知识点07：标准解题模板 1.判断直线与圆位置：求圆心到直线距离d，对比d与r大小； 2.证明切线： 已知直线与圆有交点：连接圆心和交点，证垂直； 无交点：过圆心作直线垂线，证垂线段 = 半径； 3.切线长计算：直接用PA=PB等量代换求线段； 4.三角形内切圆计算：用面积法求内切圆半径； 5.角度计算：切线性质得 90°，搭配切线长平分角推导角度。 题型1.判断直线和圆的位置关系 【典例】如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 【跟踪专练1】已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点M是边AC上的动点．过点M作交BC于点N，现将沿MN折叠，得到．若点在上，则以为直径的圆与直线AB的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为．①直线和相交⇔，②直线和相切⇔，③直线l和相离⇔． 连接CP，交于，取中点，证明点到的距离等于小于即可得出结论． 【详解】解：连接CP，交于，取中点， 由折叠可得，，． ∴，即是以为直径的圆的半径. ∵， ∴， ∴点到的距离等于， ∵， ∴点与的中点不重合， ∴， ∴以为直径的圆与直线的位置关系是相交． 故选A． 题型2.线圆位置求半径取值 【典例】已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查直线与圆的关系，根据直线与圆相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径得出，再根据r为整数且，即可得出答案． 【详解】∵直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离．已知， ∴，即， 又∵r为整数且， ∴r可取1，2，3． 故答案为：3 【跟踪专练1】如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 【跟踪专练2】如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题关键在掌握直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离与半径的关系之间的联系是解题的关键． 直接根据直线与圆的位置关系得到半径，再逐项判断即可． 【详解】解：∵直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离， ∴半径． ∴只有D选项符合题意． 故选D． 题型3.线圆位置求圆心距 【典例】已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 【跟踪专练1】如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，正三角形和的边长分别是、，点是中点，将正三角形绕点旋转，在旋转过程中，的面积的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，二次根式，圆的定义，直线和圆的位置关系，熟练掌握利用定点定长确定轨迹圆是解题的关键．连接，先利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出长，可确定点的轨迹为以点为圆心，半径长为的圆，过点作于点，利用直线到圆上一点的距离可知，当、、依次共线时，最小，此时点为如图的点；当、、依次共线时，最大，此时点为如图的点，再计算最大值和最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，点是中点， ∴，， ∴，， ∵在绕点的旋转过程中，， ∴点的轨迹为以点为圆心，半径长为的圆， 过点作于点， 利用直线到圆上一点的距离可知， 当、、依次共线时，最小，此时点为如图的点； 当、、依次共线时，最大，此时点为如图的点； ∵是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴点到的距离的取值范围， ∵的面积， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 题型4.直线平移相切求移动距离 【典例】．如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切． 【答案】3或4/4或3 【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可． 【详解】∵直线AB⊥l， ∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s； 当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 题型5.圆平移相切求圆心路程 【典例】已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 【跟踪专练2】以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与⊙O相切时b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】解：当直线与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图： 在中， 令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形． 连接圆心和切点，则， 则．即； 同理，当直线与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，． 则若直线与相交时，的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题考查圆与一次函数图象相交的问题，关键是由直线与圆相切时求出的值． 题型6.有关切线的概念辨析 【典例】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____． 【答案】切线． 【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断. 【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：切线． 【点睛】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键. 【跟踪专练1】如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 【跟踪专练2】如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定和性质．根据题意可得直线与切于点，再根据角的直角三角形的性质可得结论．掌握切线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，，设交点为， ∴直线与切于点，， 连接， ∴， ∴， ∴的半径为． 故选：D． 题型7.判定补全切线成立条件 【典例】如图，为的直径，，当________时，直线与相切． 【答案】1 【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：当时，直线与相切， ∴（cm）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键． 【跟踪专练1】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 【跟踪专练2】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 题型8.证明某直线是圆的切线 【典例】如图，直线经过上的点C，并且，则直线和的位置关系是________． 【答案】相切 【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质．连接，根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直线经过上的点C， ∴直线和的位置关系是相切． 故答案为：相切 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．点在外 C．直线与相切 D．直线与只有一个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，熟练掌握位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点在圆上判断选项A B错误；再根据直线与圆的位置关系判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 故点在外，故选项A错误； ，故点在上，故选项B错误； ，故直线与相切，故选项C正确； 直线与有两个交点，故选项D错误． 故选C． 题型9.切线的性质定理 【典例】如图，是的直径，与相切，为切点，连接．已知，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】由圆的切线垂直于过切点的半径得，进而即可得解． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴． 【跟踪专练1】是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 【答案】25 【分析】连接，根据切线的定义得到，进而可求出，再根据圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 题型10.切线性质和判定的综合应用 【典例】如图，已知是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】在RT△POC中，根据∠P＝30°，PC＝3，求出OC、OP即可解决问题． 【详解】连接、，如解图所示， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴为等边三边形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是利用切线的性质，在RT△POC解三角形是突破口，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】如图，是的弦，是的切线．若，则______． 【答案】 【分析】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，接、，由切线的性质得，再由圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 与相切于点，与相切于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 题型11.应用切线长定理求解 【典例】如图，是的内切圆，为切点．若，，则的周长为______． 【答案】 【分析】设，则，由切线长定理可得，，，进而即可求解． 【详解】解：设，则， ∵是的内切圆，为切点， ∴，，， ∴的周长． 【跟踪专练1】如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 【跟踪专练2】如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得点，在以为直径的上，连接，证明和都是的切线，利用切线长定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 题型12.应用切线长定理求证 【典例】如图， 别切⊙O于点A，B，，那么弦的长是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，根据切线长定理，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：∵ 别切⊙O于点A，B， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 故选B． 【跟踪专练1】如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，三角形的内心以及全等三角形综合，由切线长定理即可判断①；证即可判断②；取的中点，连接，可得，即可判断③；连接，根据可得，结合可得，即可判断④． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴关于对称， ∴，故②正确； 取的中点，连接，如图所示： 则， 即：， ∴以为圆心，为半径，则四点共圆，故③正确； 连接，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：平分； 同理可得：平分； ∴M是的内心．故④正确； 故选：D． 题型13.直角三角形内切圆半径边角关系 【典例】如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留）_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，勾股定理，利用三角形内切圆的性质求出内切圆的半径是解题关键． 先用勾股定理求出斜边的长度，根据三角形内切圆的性质，结合三角形的周长和面积求出内切圆的半径，再用直角三角形的面积减去内切圆的面积即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴内切圆半径 ， ∴， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查内切圆的性质、三角形的面积等，熟练掌握内切圆的性质是解题的关键． 先连接，设圆的半径为，根据题目条件推出，，最后根据三角形的面积公式，运用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，设圆的半径为， ∵是的内切圆，，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∵ ， 即， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径、切线的性质、勾股定理．首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长为，根据切线的性质可知，利用三角形的面积公式求出内切圆的半径，再根据直径与半径的关系求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、、、、、， 则有、、， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， 答：该直角三角形内切圆的直径是. 题型14.圆外切四边形模型 【典例】下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，边均与相切，且，则四边形的周长为（   ） A．44 B．42 C．46 D．47 【答案】A 【分析】根据圆的切线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形的外切四边形， ∴ ∴四边形的周长 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的切线，四边形的周长问题，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 题型15.过圆外一点作圆的切线 【典例】如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 【答案】C 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角．根据“直径所对的圆周角是直角”解答即可． 【详解】解：由作图知，是的直径， ∴，， ∴得到，均为直角的依据是直径所对的圆周角是直角， 故选：C． 【跟踪专练1】已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 【跟踪专练2】以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴_____°． ∵为半径，∴为的_____，且_____（填“”、“”或“”）．    【答案】 ； 切线； ． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线为切线，同理可证，直线也是的切线，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，    ∵为的直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线， 同理为的切线， ∴， 故答案为：；切线；． 题型16.切线的应用 【典例】如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝45°，点P在x正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是_____． 【答案】0＜x≤2 【分析】根据题意可知，直线和圆有公共点，则直线与圆相交或相切．如图，当直线与圆相切时，x值最大，设切点为C，连接OC，根据∠AOB＝45°，OA∥PC，可知为等腰直角三角形，进而求出斜边的长度，即可得到x的取值范围． 【详解】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝2，OC⊥PC， ∵∠AOB＝45°，OA∥PC， ∴∠OPC＝45°， ∴PC＝OC＝2， ∴OP＝， ∵P在x正半轴上运动， ∴x的取值范围是0＜x≤， 故答案为：0＜x≤． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据题目已知条件，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键． 【跟踪专练1】如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 【跟踪专练2】如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为，若，则圆心角的度数为______． 【答案】/82度 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质、圆周角定理解答即可． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 题型17.圆内知识综合 【典例】如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是_____．    【答案】4 【分析】当AC是直径时，DE最长，求出直径即可解决问题． 【详解】当AC是直径时，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴AB＝BC＝8， ∴AC＝=8， ∵AE＝EB，BD＝DC， ∴DE＝AC＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形中位线性质、圆的有关性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】如图,内接于⊙O,,则⊙O的直径等于__________．    【答案】12 【分析】过B作直径BD，连CD，则可得到包含直径的直角三角形，解直角三角形即可得到直径长度． 【详解】解：如图，过B作直径BD，连CD，∴∠BCD=90°    ∵∠BAC=30°，∴∠D=∠BAC=30°，而BC=6，∴BD=2BC=12． ∴⊙O的直径为12； 故答案为12． 【点睛】本题考查圆的综合问题，灵活运用圆周角和直角三角形的有关性质求解是解题关键 ． 【跟踪专练2】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【详解】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴， 又， ∴， ∴， 故选D． 题型18.圆与三角形综合 【典例】如图，A，B是直线l上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与l相切于点A，B，点C是这两个圆的公共点，则圆弧与线段所围成图形的面积S的最大值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查两圆的位置关系和扇形面积计算公式的应用．扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角（顶角）、圆半径相关，圆心角为，半径为r的扇形面积为．如果其顶角采用弧度单位，则可简化为乘以半径乘以弧长．例如本题就是首先判断出当这两个动圆外切时，面积S取得最大值，然后结合扇形面积进行解答的． 【详解】解析：如图，当时，两圆相切，此时面积S最大， ． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，是的切线，点是上一点，连接，，连接并延长交于点，的延长线交于点，若，，则________． 【答案】 【分析】利用切线和平行线可证，结合推得，再由得，根据三角形外角的性质推出，最后由等角对等边求出． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 【跟踪专练2】已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理；由圆周角定理得出，由得出，连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，过点B作于H，如图所示： ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或（此时不合题意，舍去）． 故选D 题型19.圆与四边形综合 【典例】如图，A，B，C，D四点都在上，则图中一定和相等的角是_____．    【答案】 【分析】可求，，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 四边形是内接四边形， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，掌握性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 【跟踪专练2】如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 题型20.圆与函数综合 【典例】如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为___________． 【答案】 【分析】连接CM，根据抛物线解析式求出OD=5，AO=1，BO=5，AB=6，M（2，0），利用勾股定理求出OC，即可得到CD的长度． 【详解】解：连接CM， ∵抛物线的解析式为，点D是抛物线与y轴的交点 ∴点D的坐标为（0，-5）， ∴OD=5． 设y=0，则0=x2-4x-5，解得：x=-1或5， ∴A（-1，0），B（5，0）． ∴AO=1，BO=5， ∴AB=8，M（2，0）， ∴MC=MB=3，OM=2， 在Rt△COM中，OC=， ∴CD=OD+OC=， 即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 解答题 1．在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，求r的取值范围． 【答案】(1)相离 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理逆定理： （1）根据勾股定理逆定理可得，作于点D，根据，可求出，再根据直线与圆的位置关系解答，即可； （2）根据直线与圆的位置关系解答，即可； （3）根据直线与圆的位置关系，分两种情况：圆与相切时；点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， 作于点D，如图， ， ∵， ∴， ∵以点C为圆心，长为半径画，且， ∴直线与的位置关系是相离． （2）解：∵直线与半径为r的相切， ∴． （3）解：∵， ∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，分两种情况： ①圆与相切时，即； ②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时， 此时，即． ∴r的取值范围是或． 2．已知圆与直线相切，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆的方程得到圆的半径和圆心坐标，然后根据直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径的长，再根据距离公式即可求解． 【详解】解：由圆方程可得圆心，半径， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线距离等于半径： 解得，即． 3．如图，半圆O的直径DE＝12 cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm.半圆O以2 cm/s的速度自左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为t s，当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8 cm. (1)当t＝________s时，半圆O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为________． (2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？ 【答案】（1）1，6 cm；（2）当t为4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切． 【分析】（1）求出路程EC的长，即可以求时间t=1，作C到AB的距离CF，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以得：CF=6； （2）根据C到AB的距离为6cm，圆的半径为6cm，所以O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，t=8÷2=4秒. 【详解】(1)∵DE＝12 cm， ∴OE＝OD＝6 cm. ∵OC＝8 cm， ∴EC＝8－6＝2(cm)， ∴t＝2÷2＝1(s)， 故当t＝1时，半圆O与AC所在直线第一次相切． 如图①，过点C作CF⊥AB于点F. 在Rt△BCF中，∵∠ABC＝30°，BC＝12 cm， ∴CF＝BC＝6 cm. 故答案为1，6 cm. (2)如图②，当半圆O在直线AB的左侧，与直线AB相切时，过点O作OM⊥AB于点M，则OM＝6 cm. ∵∠ABC＝30°， ∴OB＝2OM＝12 cm. 又∵BC＝12 cm， ∴当点O与点C重合，即当点O运动到点C时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时，点O运动了8 cm，运动时间t＝8÷2＝4. 如图③，当半圆O所在的圆在直线AB的右侧与直线AB相切时，设切点为Q，则OQ⊥AB，OQ＝6 cm. 在Rt△QOB中，∠OBQ＝∠ABC＝30°，则OB＝2OQ＝12 cm，此时点O运动了12＋12＋8＝32(cm)，运动时间t＝32÷2＝16. 综上所述，当t为4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切． 【点睛】考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系．利用时间t来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 5．尺规作图，如图，过点P作弦使得． 【答案】见解析 【分析】此题考查了切线的性质，掌握等弦所对的弦心距相等是解题的关键． 法一：根据题意作出以点O到距离为半径的圆，然后作出圆O的两条切线即可； 法二：根据题意做出，，进而求解即可． 【详解】法一：①过点O作的垂线； ②以垂线段画圆O； ③过点P作圆O的两条切线，这两条切线截得的弦、即为所求； 法二：①以O为圆心，为半径作圆，交于点G； ②作，得弦，即为所求； ③作，得弦，即为所求． 过点O作， 由题意得，，， ∴ ∴ ∴ 同理可证得，． 6．如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2)． 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 7．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 8．如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． (2) 【分析】（1）先证、CD为的切线，再根据切线长定理得出，从而得出，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得，得出，最后由切线长定理得出，即可得出结论； （2）设，则，，再在中，由勾股定理得出，解得：，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键． 9．如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）过点作直线，则直线为的切线； （2）连接，作的垂直平分线得到的中点，再以为圆心，为半径作圆交于、两点，则直线、为的切线； 【详解】（1）如图，直线为所作． （2）如图，、为所作． 10．如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可； （2）过点O作，垂足为点F，根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点O作，垂足为点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，的半径为． 在中，， ， 即． 11．如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点， ， ， 平分交于点，， ， 点在上， 又， 与相切； (2) 【分析】（1）过点作于点，首先根据角平分线的性质证明，继而根据切线的判定定理证明与相切． （2）通过证明，得到，根据勾股定理得到，继而得到，在中根据勾股定理解得． 【详解】（1）略； （2）解：，， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 圆的半径为， ， ， ， 在中，，即，解得：， 圆的半径． 12．已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且．点是线段的中点．联结并延长交于点，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 证明：作，垂足为． ∵过圆心，， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴，即点是中点． ∵过圆心，， ∴． ∴， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是梯形． ∵点是线段的中点，点是中点， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：联结交于． ∵与相交于点、， ∴垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）作，垂足为，根据垂径定理可得，，，从而得到，可得到四边形是梯形，即可求证； （2）联结交于，根据题意可得垂直平分，从而得到，，再有，可得，从而得到，可得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 13．【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，若 ，则． 【理解】请用所学知识解决问题：已知的半径为3． (1)如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； (2)如图2，已知为切线，，且，求b与a的函数关系式； 【运用】如图3，点P在圆心为，半径为1的圆上运动，点A的坐标为，点B的坐标为，求当面积最大值时P点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】（1）根据两点间距离公式可得答案； （2）连，根据切线的性质，得方程，化简即可得到答案； （3）过上一点作，则与相切，与轴交于点，此时的面积最大为，过点作，延长与交于点，求得直线的表达式为；再计算得；可证，即，可得，根据，得横坐标为 ，设直线的表达式为：过点，代入即可求得纵坐标，即为所求坐标. 【详解】解：（1）由题可得， 即； （2）如图；连， ∵为切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 整理得：． （3）如图，过上一点作，则与相切，与轴交于点，此时的面积最大为，作点作延长与交于点， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为：； 解得：， ∴直线的表达式为 ； ∴， ∴在， ∴， ∵在中，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴即， 则， 在中，， 过点 作轴于点， ∵ ， ∴，解得：； ∴横坐标为 ； ∵，设直线的表达式为：过点， ∴， 将横坐标为 代入得 ， ∴， 即. 【点睛】本题考查了新定义两点间的距离公式，一次函数，三角函数，勾股定理，相似三角形，圆的综合，辅助线的画法等以及对各个知识点的综合运用，题目难度较大，熟练掌握各个知识点时解题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $