专题08 图形的旋转 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题08 图形的旋转 暑假预习讲义 ✺知识框架 旋转基础认知：梳理图形旋转的完整概念体系，掌握旋转定义、三大构成要素、基础几何名词，明确旋转的变换属性。 旋转核心性质：系统学习旋转的三大不变性质，掌握对应点、对应线段、对应角的位置与数量关系，明确旋转几何推理的核心依据。 旋转作图与变换辨析：掌握平面图形标准旋转作图流程；系统对比平移、轴对称、旋转三类全等变换的区别与共性，完善图形变换知识框架。 ✺学习目标 1.能够准确辨析旋转现象，精准判断旋转中心、旋转方向、旋转角，建立旋转几何认知； 2.熟练运用旋转性质解决线段长度、角度计算问题，具备基础几何推理能力； 3.严格按照课本步骤完成旋转作图，作图规范、痕迹完整、图形标准； 4.能够准确区分平移、轴对称、旋转三类变换，可根据题意判断图形变换类型； 5.熟知旋转常见易错点，规范几何答题书写，养成标准解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.判断生活中的旋转现象 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 题型3.找旋转中心、旋转角、对应点 题型4.旋转中的规律性问题 题型5.根据旋转的性质求解 题型6.根据旋转的性质说明线段或角相等 题型7.旋转的性质及辨析 题型8.画旋转图形 题型9.利用旋转设计图案 题型10.求绕原点旋转90度的点的坐标 题型11.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型12.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型13.坐标与旋转规律问题 题型14.线段问题（旋转综合题） 题型15.面积问题（旋转综合题） 题型16.角度问题（旋转综合题） 题型17.其他问题（旋转综合题） 题型18.坐标系中的旋转 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、图形旋转的定义 定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为图形的旋转。如下图. 关键名词：固定的定点为旋转中心，转动的角度为旋转角，旋转前后相互重合的点为对应点。 核心特征：旋转属于全等变换，仅改变图形位置，不改变图形的形状与大小。 知识点二、旋转三要素 ▲图形的旋转由三大要素唯一确定,是图形判断、作图、解题的核心依据： 旋转中心：旋转过程中固定不动的定点； 旋转方向：分为顺时针、逆时针两种； 旋转角度：图形转动的角度，常见角度为30°、45°、60°、90°、180°等。 ⚠️注意：旋转中心位置不固定，可在图形内部、图形边上或图形外部。 知识点三、图形旋转的基本性质 图形旋转前后保持全等，核心性质共三条，为课内高频考点： 1.距心等长：每一组对应点到旋转中心的距离相等； 2.旋转角相等：任意一组对应点与旋转中心连线的夹角均为旋转角，所有旋转角大小相等； 3.图形全等：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。 知识点四、旋转作图步骤 1.已知图形、旋转中心、旋转方向与旋转角度，可依据以下标准步骤作图： （1）定点连线：找出图形所有关键点，分别连接关键点与旋转中心； （2）旋转定角：以旋转中心为顶点，以连线为一边，按指定方向作出等于旋转角的角； （3）截取等长：在角的另一边上截取线段，使长度等于关键点到旋转中心的距离，得到对应点； （4）连线成形：依次连接所有对应点，得到旋转后的完整图形。 （5）标注结论：标出旋转后图形的对应字母，写出作图结论。 知识点五、三种图形变换对比 对比维度 平移 轴对称 旋转 变换方式 沿直线移动 沿直线翻折 绕定点转动 对应点规律 对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等 对应点连线被对称轴垂直平分 对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 相同点 均为全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变图形位置 ✺题型精讲 题型1.判断生活中的旋转现象 1．下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【答案】C 【详解】解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换， A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意； B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意； C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意； D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意． 2．钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了___． 【答案】/120度 【分析】根据钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟，得到1分钟分针旋转，进而求出20分钟，分针旋转的度数即可． 【详解】解：∵钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴1分钟分针旋转， ∴经过20分钟，分针旋转了：； 故答案为：． 【点睛】本题考查钟表中的旋转．熟练掌握钟表一周为，分针旋转一分钟是，是解题的关键． 3．在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 1．在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用旋转设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转，进而判断得出即可，正确理解旋转图形的特点是解题的关键． 【详解】解：、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、是通过一个基本图形经过旋转得到的，符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 故选：． 2．分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【答案】见解析 【分析】本题考查图形的旋转、轴对称、平移变换，根据图形的位置进行适当的旋转、轴对称、平移变换即可求解． 【详解】解：据左右两图形的位置关系可知，若要由左图得到右图，可以通过以下的途径： （1）把左图绕点A沿顺时针方向旋转一个角度，使左边的树形图案与直线垂直，然后再作轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），即可得到右边的树形图案． （2）把左图先做轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），使左边的树形图案与直线垂直，然后再作平移变换，即可得到右边的树形图案． 3．关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有_______；（填序号） 【答案】（2），（3），（4） 【详解】解：由题意可知，原图形可以由一个三角形绕中心依次旋转形成；或由一个三角形作轴对称形成的；或由一个三角形先平移再旋转形成的． 故(2)、(3)、(4)正确， 故答案为：(2)、(3)、(4) ． 【点睛】本题考查平移、旋转等知识，解题的关键是掌握旋转变换、平移变换的性质． 题型3.找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，点的坐标为，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合均为格点，的对应点是点，则旋转中心点的坐标为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换旋转，画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心点． 【详解】解：作的垂直平分线交于点， 点即为旋转中心，． 2．我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 【答案】90 【分析】本题考查了图形旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转角度． 根据图形的旋转性质，可知顺时针旋转得到，点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D，由此可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵顺时针旋转得到， ∴可知点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D， ∵点O是大正方形对角线的交点， ∴， ∴． 故答案为： ． 3．如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，将三角尺绕点按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转_______°时，边恰好与边平行． 【答案】或 【分析】分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 当在上方时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时边旋转了，即边旋转了； 当在下方时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时边旋转了，即边旋转了； 综上，当边旋转或时，边恰好与边平行． 题型4.旋转中的规律性问题 1．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】观察图形不难发现，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根据商和余数的情况确定即可． 【详解】解：由图可知，四次旋转后矩形又回到初始水平位置， ∵2021÷4=505余1， ∴第2021次旋转后得到的图形为第505个循环组的第一个图，是图①． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，图形变化规律，观察出四次旋转后矩形又回到初始水平位置是解题的关键． 2．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 3．旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 【答案】(1)顺时针 (2)加速 (3) (4)；逆时针 【分析】（1）根据大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮转动方向； （2）根据大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快即可得到答案； （3）根据大齿轮转速大齿轮齿数小齿轮转速小齿轮齿数即可得到答案； （4）根据齿轮转速齿轮齿数齿轮转速齿轮齿数即可得到答案． 【详解】（1）解：大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反， 则小齿轮顺时针转动； （2）解：大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快，因此大齿轮带动小齿轮加速； （3）解：设小齿轮每分钟转圈， ， 解得， 因此小齿轮每分钟转动圈； （4）解：设齿轮齿数为， ， 解得， 齿轮顺时针转动，故齿轮逆时针转动． 题型5.根据旋转的性质求解 1．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形旋转的性质即可求得答案． 【详解】解：根据图形旋转的性质可知， ． 2．“玉兔二号”月球车所需能量主要来自太阳，当太阳光线垂直照射在太阳能板上时，单位时间内接收的太阳能最多．如图所示的太阳能板绕点逆时针方向最少旋转______时，单位时间内接收的太阳能最多． 【答案】 【分析】直接根据题意进行角度运算即可，注意旋转方向． 【详解】解：根据题意，当太阳能板绕点逆时针方向最少旋转时，单位时间内接收的太阳能最多． 3．已知：如图，是等边三角形，为上一点，连接．将旋转得到，与为对应线段，与为对应线段． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴, ∵旋转得到， ∴, ∴， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）根据等边三角形可知，进而即可求证； （2）过点作，根据旋转的性质可知是等边三角形，进而可证,，可知四边形是平行四边形，根据勾股定理可知的长度，根据面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作， 由（1）可知是等边三角形， ∴， ∴ ∵旋转得到，与为对应线段，与为对应线段． ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴, ∴ ∴四边形是平行四边形， 在等边中， ∵，， ∴, ∴ ∴, ∴四边形的面积为：． 题型6.根据旋转的性质说明线段或角相等 1．将绕顶点顺时针旋转得到，若，则下列结论错误的是（     ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等，对应边相等，对应角相等，旋转角相等，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，旋转角， ∴，，，， 因此选项A，C，D结论正确，不符合题意； 选项B中不成立，结论错误，符合题意． 2．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则度数为__________． 【答案】14 【详解】解：由旋转可知，又， ． 3．如图所示，已知，点为上一点，连接、，平分，平分． (1)求证：； (2)将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数； (3)探究旋转后线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， 平分，平分（已知）， ，（角平分线的性质）， ， ． (2) (3)解：，理由如下， 延长与交于点，由旋转性质和对顶角性质得， ， ， ， ． 【分析】（1）利用平行线性质得到，再由平分，平分，得到，．从而推出，则求证可证； （2）利用图形旋转的性质得到 ，再由直角三角形两个锐角互余求出，则的度数可求； （3）延长与交于点，由题意，，根据等量代换求出，则求证可证． 【详解】（1）略； （2）解：由旋转可得， 故 ， ∵， ． （3） 略． 题型7.旋转的性质及辨析 1．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，故A选项错误； 与，与是对应线段，则，，故B选项错误； 与是旋转角，，则，即，故C选项正确； 无法判断，的位置关系，故D选项错误． 2．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可对D进行判断． 【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项正确，不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项错误，符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故C选项正确，不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 3．如图是一个三叶吊扇的图片，回答下列问题： （1）吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，试找出它的旋转中心； （2）当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了多少度？转动到第三个叶片的位置时呢？ （3）在转动过程中，叶片的大小和形状发生变化了吗？ 【答案】（1）旋转中心为吊扇中间转盘的中心；（2）；（3）没有发生变化 【分析】分别利用旋转的性质可依次求解． 【详解】解：（1）旋转中心是三片叶片的交点； （2）第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了120度，第一个叶片转动到第三个叶片的位置时，它转过了240度； （3）在转动过程中，叶片的大小和形状不发生变化． 【点睛】本题考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键． 题型8.画旋转图形 1．如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知将图形绕点逆时针旋转得出符合题意的图形即可．本题考查了生活中的旋转现象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：如图所示：将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是 故选：C． 2．如图，将长方形向______平移______格，再绕______，______时针旋转______，就可以将其移至方框所示的位置． 【答案】 右 5 顺 90 【分析】根据所给图示可知，长方形向右平移5格得到长方形，再将长方形绕顺时针旋转即可． 【详解】解：根据图示可知，将长方形向右平移5格，再绕，顺时针旋转，就可以将其移至方框所示的位置． 故答案为：右，5，，顺，90． 【点睛】本题考查图形的平移和旋转，解题的关键是看懂所给图示，掌握平移和旋转的特点． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求，点的坐标为． 【详解】（1）略 （2） 略 题型9.利用旋转设计图案 1．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：______． 【答案】△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）． 【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程． 【详解】解：△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）． 故答案为△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB． 【点睛】考查了坐标与图形变化-旋转，平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小． 3．如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，画旋转图形； （1）根据轴对称的性质找出对应点位置，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质找出对应点位置，顺次连接即可； （3）根据图形适当涂色即可． 【详解】（1）解：如图1所示： （2）如图2所示： （3）如图3所示： 题型10.求绕原点旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，将点，，，绕点顺时针旋转后，能与点，，组成平行四边形的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】首先根据平面直角坐标系确定点的坐标，利用平行四边形的性质求出能与组成平行四边形的第四个顶点的坐标；然后分别求出点绕点顺时针旋转后的坐标，进行比对即可得出答案． 【详解】解：由图可知，，，． 设能与点组成平行四边形的点为． 根据平行四边形的性质，分三种情况讨论： 当为对角线时，，，即，，解得，即； 当为对角线时，，，即，，解得，即； 当为对角线时，，，即，，解得，即． 综上，点的坐标可能为或或． 由图可知，，，，． 将各点绕点顺时针旋转，可得点旋转后坐标为； 点旋转后坐标为； 点旋转后坐标为； 点旋转后坐标为． 对比可知，点旋转后的坐标与重合，能与点组成平行四边形． 2．如图，在平面直角坐标系中，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的对应点的坐标为_____．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转． 根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：∵绕点O按顺时针方向旋转得到，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度得； (2)画出将绕原点O按逆时针方向旋转得到的． 【答案】(1)解：如图，为所求； (2)解：如图，为所求． 【分析】（1）作出各顶点平移后的对应顶点，，，依次连接即可得到； （2）作出各顶点绕原点O按逆时针方向旋转的对应点，，，依次连接即可得到． 【详解】（1）略 （3） 略 题型11.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，，将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据题意画出图象即可得到答案．解题的关键是正确作出图形． 【详解】解：如图，观察图象，点C的对应点的坐标是 故选：B． 2．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查旋转作图． 根据旋转的性质，进行作图即可求出点旋转后的坐标． 【详解】解：由题意可得绕点按逆时针方向旋转后的图形是，如图所示， 由图象可得点旋转后的坐标是． 故答案为． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为点，，画出，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了坐标系中的旋转，求绕某点（非原点）旋转度的点的坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先画出图形，再写出点的坐标即可. 【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，如图， 点，的对应点分别为点，， ∴点的坐标为． 题型12.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解． 【详解】如图， 三角板绕原点顺时针旋转， 旋转后与轴夹角为， ， ， 点的横坐标为， 纵坐标为， 所以，点的坐标为． 故选：C． 2．如图，已知点A的坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转150°得点A′，则此时点A′的坐标为_____________． 【答案】 【分析】画出图形，根据旋转方向和角度可知点A′落在第三象限，利用全等找到点的坐标即可． 【详解】解：过A作轴于M，过A′作轴于N， 则， ， 因为在第三象限， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的全等，旋转，理解旋转形成的直角三角形的全等是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 题型13.坐标与旋转规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，长方形两边与坐标轴重合， ．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第次旋转结束时，完成了次循环，并再旋转两次，与的位置相同， 的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化—旋转，点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键． 根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段； ， 同理， 如此下去，得到线段，，， ， 由题意可得出线段每旋转次旋转一周， ∵， 点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在直线上， 可设，， ， ，解得， 点的坐标是． 故答案为：． 3．如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）见解析；（2）①，；②；（3） 【分析】（1）分别连接AA1，BB1，分别作其垂直平分线，交点即为旋转中心O； （2）根据图形写出2条不同类型的结论； （3）与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于F，求出BD和PD，知道求出，得到和点D，算出OF，最后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，点即为所求． （2）如图； ①， ② （3）解：如图，与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于， ∵点在上， ∴点到、的距离相等，都是， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， 由勾股定理得，， ∴旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换以及勾股定理的应用，解答本题的关键是找出旋转中心． 题型14.线段问题（旋转综合题） 1．如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD，则DA＝PA，连CD，DP，CP，由△ABC为等边三角形ABC，得到∠DAC＝∠BAP，AC＝AB，于是有△DAC≌△PAB，则DC＝PB，所以PC≤DP＋DC，即可得到PC所能达到的最大值． 【详解】解：把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD， 则DA＝PA，连CD，DP，CP，如图， ∵△ABC为等边三角形ABC， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， ∴∠DAC＝∠PAB， 在△DAC和△PAB中， ， ∴△DAC≌△PAB（SAS）， ∴DC＝PB， ∵DA＝PA，, ∴为等边三角形， ∴, 而PB＝2，PA＝1， ∴DC＝2， ∵PC≤DP＋DC， ∴PC≤3， 所以PC所能达到的最大值为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质． 2．如图，点M为正方形边上一动点，，将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，若E、F分别为中点，当取到最小值时， _______． 【答案】2 【分析】由旋转性质可得，由可证 ，可得，由三角形中位线定理可得，要使有最小值，则取最小值，即取最小值，因此当时，取最小值，即可解答． 【详解】解：如图：过点P作，使，连接， 将点M绕点P顺时针旋转90°到点N， ， ， 在和中， ， , ， E、F分别为PN、PC中点， ， 当取最小值时，有最小值， 即取最小值时，有最小值， 当时，取最小值， 此时，，，， 四边形是矩形， ， 当EF取到最小值时，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，解答本题的关键是添加辅助线构造出全等三角形． 3．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，根据勾股定理求出，由旋转可得，，，证明得到，求出，，可得点坐标，证明得到，求出，，可得点的坐标； （2）由旋转可得，，，证明得到，求出，即可求解； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点，过点作轴于点， 点，点，四边形是矩形， ，，， ， 由旋转可得，，， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 故答案为：，； （2）由旋转可得，，，， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动， ，， ， ，， ． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，解答此题的关键是熟练掌握旋转的性质，相似三角形的判定与性质． 题型15.面积问题（旋转综合题） 1．将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答． 【详解】解：设与交于点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， ， 阴影部分的面积． 故选：． 【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度 2．如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的面积等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．连接，根据旋转的性质和正方形的性质得出，，， 三点共线，三点共线，根据勾股定理得求出长，再分别求出和的面积即可求出阴影面积． 【详解】解：如图，连接，， 正方形绕点顺时针旋转到正方形，， 点三点共线，三点共线，即点在对角线上，对角线过点， 在中，， ，， ， ， ， 的面积， 的面积正方形的面积， 阴影部分的面积的面积的面积 3．如图，与均为等腰直角三角形，，F，G，H分别是，，的中点，连接，，． (1)当E在延长线上时，如图①，的形状是_____； (2)将绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由； (3)若，，绕点C逆时针旋转一周，直接写出面积的最大值和最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)成立，理由见解析 (3)最大值：，最小值： 【分析】（1）根据F、G分别是、的中点和、是等腰直角三角形即可得出结论． （2）分别取和的中点M、N，连接、、、，根据中位线的性质可求得，再结合是等腰直角三角形，可证，从而得出结论． （3）绕点C逆时针旋转一周，则相当于H在点C为圆心，为半径的圆上移动，当点H运动到N点时，有最小值，运动到M点时，有最大值． 【详解】（1）是等腰直角三角形， 解：∵F、G分别为、的中点，且， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴是等腰直角三角形． （2） 成立，理由如下， 解：取的中点M，的中点N，连接、、、，交于点P， ∵F、G分别 、的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， 同理， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：若绕点C逆时针旋转一周，则相当于H在以C为圆心，为半径的圆上移动， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， 由（2）知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，l为H到的距离， ∴当H在与交点N处时，有最小值，在交点M处时有最大值， ∵与相交与点P， ∴， ∴，， ∴面积最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查了三角形旋转的综合问题，涉及到了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定以及垂线段最短，正确做出辅助线是解题的关键． 题型16.角度问题（旋转综合题） 1．如图将绕点C逆时针旋转得到，点B恰好落在上，若，则旋转角为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】C 【分析】先求出，根据旋转的性有，即可证明，即问题得解． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转的性有， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即旋转角度为40°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的定义的知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 2．如图，将绕点逆时针旋转110°，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为______． 【答案】/35度 【分析】根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求解是解题的关键． 3．已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________； (2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由； (3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）； ②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 【答案】(1)8； (2)结论成立，理由见解析； (3)①作图见解析；②（）中的结论不成立，． 【分析】（1）先利用角平分线定理得出，再利用勾股定理求出，即可得出结论； （2）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （3）①依题意即可补全图形； ②先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点是的平分线上的点，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 同理，， ∴， 故答案为； （2）解：上述结论成立．理由：如图，    过点作于，于， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①补全图形如图．    ②上述结论不成立，．理由： 过点作于，于， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 题型17.其他问题（旋转综合题） 1．对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 【答案】A 【分析】据矩形长为宽为，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值． 【详解】解：矩形长为宽为， 矩形的对角线长为：， 矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放， 该正方形的边长不小于， ， 该正方形边长的最小正数为． 故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 2．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转变化，解直角三角形，求点的运动轨迹，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据旋转角度画出图形，在变化的过程中，Q点从点运动到与垂直时，与的交点处，进行计算即可得到答案． 【详解】解：当从到的变化过程中，如图所示， ， ， 当时，点从点开始向方向运动， 当时，的移动到最大距离， 此时， 在中，， ， ， 当时，点开始离开点向点方向运动， 当时，点停止运动， 在中，， ， 点返回运动的路径长为， 点Q移动的路径长为， 故答案为：． 3．如图1—图3所示，是直角三角形，，．点是射线上的一点，点是射线上的一点，且，把点绕点逆时针旋转落在点处，直线和直线相交于点． (1)当点与点重合时，点必然落在上，且点与点重合，如图2所示，请你直接写出此时线段与线段的数量关系及的大小． (2)当点在如图1所示的位置时，（1）中关于线段和线段的数量关系及大小的结论还成立吗？如果成立，请给出证明过程；如果不成立，请说明理由． (3)当点在如图3所示的位置时，（1）中关于线段和线段的数量关系及大小的结论还成立吗？请直接给出结论，不用说明理由． 【答案】(1)， (2)成立，，，见解析 (3)结论仍成立，， 【分析】（1）由，点与点重合，且点与点重合（记作O），把点绕点逆时针旋转落在点处，直接可得，，而，即可得； （2）由，得，关键把点绕点逆时针旋转落在点处，得，，即知，故，可得，从而可得，，进而可证； （3）同（2）可证，． 【详解】（1）∵，点与点重合，且点与点重合（记作O），把点绕点逆时针旋转落在点处， ∴，， ∵， ∴，即， ∴线段与线段的数量关系为，； （2）成立，即仍有，． 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∴． ∴，． （3）结论仍成立，即，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵把点绕点逆时针旋转落在点处， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了几何变换综合应用，设计全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质，证明． 题型18.坐标系中的旋转 1．如图，在三角形中，，，点，点，将三角形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记点C旋转后的对应点为点E，过点C作轴，过点E作轴，可证“一线三等角”全等，，由全等三角形的性质及勾股定理求得，由得，则，由等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：记点C旋转后的对应点为点E，过点C作轴，过点E作轴，则， ∵三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴在中，， ∴， 而 ∴点， 即旋转后点C的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，解题关键是含角的直角三角形的性质． 先根据点的坐标是，求出的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，求出，进而可求出的长，即可得解． 【详解】解：如图所示，设点的对应点为点，过点作轴的垂线，垂足为， ，点的坐标是， ， ，， ， ， 由旋转的性质可得， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，点O为坐标原点．将绕点O逆时针旋转得到，请你在图中画出，并写出点A、B的对应点、的坐标． 【答案】 解：如图所示，即为所求； 由图可知，，． 【分析】本题主要考查了旋转的作图，先画出点A、B、C绕点逆时针旋转后的对应点，再依次连接即可，根据图形即可写出点、的坐标． 【详解】略 ✺巩固测试 一、单选题 1．数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 2．如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵可看成是由旋转得到的， ∴旋转角是和， ∵， ∴旋转角的度数是． 3．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的旋转性质可得，,，因为等边对等角，所以；又因为的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，所以即可求解． 【详解】解：在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 5．如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（      ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由 “SAS”可证△EGN≅△BGN，可得GB=GE，推出，求出EC即可解决问题． 【详解】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BD， ∵AE=2DE， ∴AE=4，DE=2， ∵点N是AB的中点， ∴AN=NB=4， ∴AE=AN， ∵∠A=60°， ∴△AEN是等边三角形， ∴∠AEN=∠FEG=60°， ∴∠AEF=∠NEG， ∵EA=EN，EF=EG， ∴△AEF≅△NEG（SAS)， ∴∠ENG=∠A=60°， ∴∠ANE=60°， ∴∠GNB=180°-60°-60°=60°， ∴点G的运动轨迹是射线NG， ∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG， ∴△EGN≅△BGN（SAS)， ∴GB=GE， ∴GB+GC=GE+GC≥EC， 在Rt△DEH中， ∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°， ∴DH==1，EH=， 在Rt△ECH中，EC=， ∴GB+GC≥， ∴GB+GC的最小值为 故选：A． 【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题 6．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为________ 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为， 点的坐标为，则， 点的坐标为， 依次类推， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， 由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为， 故答案为：． 8．如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝_____度． 【答案】87 【分析】连接OO'，根据切线的性质得到AB⊥OB，根据旋转变换的性质得到OB＝OO'，根据等边三角形的性质得到∠OBO'＝60°，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：连接OO'， ∵⊙O与△OAB的边AB相切， ∴AB⊥OB， 由旋转的性质可知，∠O'BA'＝∠OBA＝90°，BO＝BO'， ∵OB＝OO'， ∴OB＝O'B＝OO'， ∴△OBO'为等边三角形， ∴∠OBO'＝60°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝27°+60°＝87°， 故答案为：87． 【点睛】本题考查了切线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题关键 9．如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案． 【详解】如图，交于点，连接 根据题意得：， ∵ ∴ ∴ ∵正方形绕点顺时针旋转到 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题是面积问题(旋转综合题)，考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质． 10．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，，的延长线与交于点，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，先由旋转性质得到相关线段及角度相等，进而由直角三角形全等的判定定理得到，，再由平行线的性质得到，等量代换确定，然后根据等腰三角形的判定与性质得出，最后由勾股定理及相关线段关系得到，表示出，代入对应线段长度计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点逆时针旋转得到，则， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ， 在中，， 由勾股定理可得， ， 则． 三、解答题 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的，并写出点．、的坐标． 【答案】 如图，即为所求， 由图知：，，． 【分析】本题考查了作图−-旋转变换，坐标与图形等知识，根据旋转的性质和网格的特征作出A、B、C绕点O旋转后对应的点，连接即可． 【详解】略 12．如图，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转到．连接，若A、P、在一条直线上． (1)旋转中心是点______________，旋转角的度数是______________； (2)的度数是______________； (3)若，，求的长． 【答案】(1)B； (2) (3)3 【分析】（1）根据旋转的定义和正方形进行求解即可； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质，进行求解即可； （3）根据解析（2）得出，，，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴旋转中心是点B，旋转角为， ∵四边形为正方形， ∴， 即旋转角的度数是； （2）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：根据解析（2）可得：，，，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 的长为3． 13．如图，点E是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转90°到的位置（），连接． (1)判断的形状为 ； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理． （1）根据旋转的性质，得到，即可得出结论； （2）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得到，即可得出结论． 掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转90°到的位置， ∴， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）∵旋转， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 【答案】(1) (2)尺规作图如图： ； 【分析】（1）根据点A、B的坐标可得的长度，再利用勾股定理可得的长，从而得出点D的坐标； （2）以A为圆心，为半径画弧与相切即可；连接，证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点． ，， ∵四边形是矩形， ，，，， ∵顺时针旋转矩形，得到矩形， ， 在中，， ， ∵， ． （2）解：作图略； 如图，连接， ∵四边形是矩形， ， ∵点D在线段上， ， 由（1）知：，， ， ． 15．如图，在平行四边形中，，，点到的距离为4，是上一点，且，点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，________，当点在边上运动时，长的最小值为________； (2)求点到的距离（用含的代数式要表示）； (3)当点在上运动时，设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式． 【答案】(1)4； (2)当时，点到的距离是；当时，点到的距离是； (3) 【分析】（1）由旋转的性质可知，，，当点恰好落在边上时，点与点重合，此时；当时，的长有最小值，此时长有最小值，连接，过点作于点，利用等面积法求解即可； （2）分两种情况讨论：①当时，点在上，此时点到的距离是；②当时，点在上，过点、、作的垂线，垂足分别为、、，证明，根据相似三角形对应边成比例和勾股定理，求出，则，再证明，得到，即可得解； （3）分两种情况讨论：①当点在上时，如图，过点作于点，此时，利用勾股定理求出，得到，从而推出，则，即可求出重叠部分图形的面积；②当时，设交于点，交于点，此时，结合勾股定理，得到，从而得出，即可求出重叠部分图形的面积． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， 平行四边形， ， 点到的距离为4，， ， 当点恰好落在边上时，点与点重合， ； 由旋转的性质可知，， 若长最小，则长最小， 由垂线段最短可知，当时，的长有最小值，此时长有最小值， 如图，连接，过点作于点， ， ， ， 即长的最小值为； （2）解：① 当时，点在上，此时， 由旋转的性质可知，，， 即点到的距离是； ②当时，点在上，此时， 如图，过点、、作的垂线，垂足分别为、、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 点到的距离是； （3）解：①当点在上时，如图，过点作于点，则，此时， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，； ②当时，如图，设交于点，交于点，此时， 由①可知，，， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴， 综上可知，关于的函数关系式为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 图形的旋转 暑假预习讲义 ✺知识框架 旋转基础认知：梳理图形旋转的完整概念体系，掌握旋转定义、三大构成要素、基础几何名词，明确旋转的变换属性。 旋转核心性质：系统学习旋转的三大不变性质，掌握对应点、对应线段、对应角的位置与数量关系，明确旋转几何推理的核心依据。 旋转作图与变换辨析：掌握平面图形标准旋转作图流程；系统对比平移、轴对称、旋转三类全等变换的区别与共性，完善图形变换知识框架。 ✺学习目标 1.能够准确辨析旋转现象，精准判断旋转中心、旋转方向、旋转角，建立旋转几何认知； 2.熟练运用旋转性质解决线段长度、角度计算问题，具备基础几何推理能力； 3.严格按照课本步骤完成旋转作图，作图规范、痕迹完整、图形标准； 4.能够准确区分平移、轴对称、旋转三类变换，可根据题意判断图形变换类型； 5.熟知旋转常见易错点，规范几何答题书写，养成标准解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.判断生活中的旋转现象 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 题型3.找旋转中心、旋转角、对应点 题型4.旋转中的规律性问题 题型5.根据旋转的性质求解 题型6.根据旋转的性质说明线段或角相等 题型7.旋转的性质及辨析 题型8.画旋转图形 题型9.利用旋转设计图案 题型10.求绕原点旋转90度的点的坐标 题型11.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型12.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型13.坐标与旋转规律问题 题型14.线段问题（旋转综合题） 题型15.面积问题（旋转综合题） 题型16.角度问题（旋转综合题） 题型17.其他问题（旋转综合题） 题型18.坐标系中的旋转 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、图形旋转的定义 定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为图形的旋转。如下图. 关键名词：固定的定点为旋转中心，转动的角度为旋转角，旋转前后相互重合的点为对应点。 核心特征：旋转属于全等变换，仅改变图形位置，不改变图形的形状与大小。 知识点二、旋转三要素 ▲图形的旋转由三大要素唯一确定,是图形判断、作图、解题的核心依据： 旋转中心：旋转过程中固定不动的定点； 旋转方向：分为顺时针、逆时针两种； 旋转角度：图形转动的角度，常见角度为30°、45°、60°、90°、180°等。 ⚠️注意：旋转中心位置不固定，可在图形内部、图形边上或图形外部。 知识点三、图形旋转的基本性质 图形旋转前后保持全等，核心性质共三条，为课内高频考点： 1.距心等长：每一组对应点到旋转中心的距离相等； 2.旋转角相等：任意一组对应点与旋转中心连线的夹角均为旋转角，所有旋转角大小相等； 3.图形全等：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。 知识点四、旋转作图步骤 1.已知图形、旋转中心、旋转方向与旋转角度，可依据以下标准步骤作图： （1）定点连线：找出图形所有关键点，分别连接关键点与旋转中心； （2）旋转定角：以旋转中心为顶点，以连线为一边，按指定方向作出等于旋转角的角； （3）截取等长：在角的另一边上截取线段，使长度等于关键点到旋转中心的距离，得到对应点； （4）连线成形：依次连接所有对应点，得到旋转后的完整图形。 （5）标注结论：标出旋转后图形的对应字母，写出作图结论。 知识点五、三种图形变换对比 对比维度 平移 轴对称 旋转 变换方式 沿直线移动 沿直线翻折 绕定点转动 对应点规律 对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等 对应点连线被对称轴垂直平分 对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 相同点 均为全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变图形位置 ✺题型精讲 题型1.判断生活中的旋转现象 1．下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 2．钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了___． 3．在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 1．在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 2．分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 3．关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有_______；（填序号） 题型3.找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，点的坐标为，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合均为格点，的对应点是点，则旋转中心点的坐标为（     ） A． B． C． D．或 2．我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 3．如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，将三角尺绕点按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转_______°时，边恰好与边平行． 题型4.旋转中的规律性问题 1．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 2．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 3．旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 题型5.根据旋转的性质求解 1．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．“玉兔二号”月球车所需能量主要来自太阳，当太阳光线垂直照射在太阳能板上时，单位时间内接收的太阳能最多．如图所示的太阳能板绕点逆时针方向最少旋转______时，单位时间内接收的太阳能最多． 3．已知：如图，是等边三角形，为上一点，连接．将旋转得到，与为对应线段，与为对应线段． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的面积． 题型6.根据旋转的性质说明线段或角相等 1．将绕顶点顺时针旋转得到，若，则下列结论错误的是（     ） A． B．C． D． 2．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则度数为__________． 3．如图所示，已知，点为上一点，连接、，平分，平分． (1)求证：； (2)将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数； (3)探究旋转后线段与的位置关系，并说明理由． 题型7.旋转的性质及辨析 1．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 2．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 3．如图是一个三叶吊扇的图片，回答下列问题： （1）吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，试找出它的旋转中心； （2）当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了多少度？转动到第三个叶片的位置时呢？ （3）在转动过程中，叶片的大小和形状发生变化了吗？ 题型8.画旋转图形 1．如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将长方形向______平移______格，再绕______，______时针旋转______，就可以将其移至方框所示的位置． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 题型9.利用旋转设计图案 1．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：______． 3．如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽． 题型10.求绕原点旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，将点，，，绕点顺时针旋转后，能与点，，组成平行四边形的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，在平面直角坐标系中，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的对应点的坐标为_____．    3．如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度得； (2)画出将绕原点O按逆时针方向旋转得到的． 题型11.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，，将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为点，，画出，并写出点的坐标． 题型12.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知点A的坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转150°得点A′，则此时点A′的坐标为_____________． 3．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 题型13.坐标与旋转规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，长方形两边与坐标轴重合， ．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是_____． 3．如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 题型14.线段问题（旋转综合题） 1．如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点M为正方形边上一动点，，将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，若E、F分别为中点，当取到最小值时， _______． 3．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 题型15.面积问题（旋转综合题） 1．将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 2．如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为______． 3．如图，与均为等腰直角三角形，，F，G，H分别是，，的中点，连接，，． (1)当E在延长线上时，如图①，的形状是_____； (2)将绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由； (3)若，，绕点C逆时针旋转一周，直接写出面积的最大值和最小值． 题型16.角度问题（旋转综合题） 1．如图将绕点C逆时针旋转得到，点B恰好落在上，若，则旋转角为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 2．如图，将绕点逆时针旋转110°，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为______． 3．已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________； (2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由； (3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）； ②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 题型17.其他问题（旋转综合题） 1．对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 2．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为______． 3．如图1—图3所示，是直角三角形，，．点是射线上的一点，点是射线上的一点，且，把点绕点逆时针旋转落在点处，直线和直线相交于点． (1)当点与点重合时，点必然落在上，且点与点重合，如图2所示，请你直接写出此时线段与线段的数量关系及的大小． (2)当点在如图1所示的位置时，（1）中关于线段和线段的数量关系及大小的结论还成立吗？如果成立，请给出证明过程；如果不成立，请说明理由． (3)当点在如图3所示的位置时，（1）中关于线段和线段的数量关系及大小的结论还成立吗？请直接给出结论，不用说明理由． 题型18.坐标系中的旋转 1．如图，在三角形中，，，点，点，将三角形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点的对应点的坐标是______． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，点O为坐标原点．将绕点O逆时针旋转得到，请你在图中画出，并写出点A、B的对应点、的坐标． ✺巩固测试 一、单选题 1．数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 2．如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 5．如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（      ） A． B． C． D．10 二、填空题 6．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为________ 7．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为______． 8．如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝_____度． 9．如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________． 10．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，，的延长线与交于点，则的长为________． 三、解答题 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的，并写出点．、的坐标． 12．如图，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转到．连接，若A、P、在一条直线上． (1)旋转中心是点______________，旋转角的度数是______________； (2)的度数是______________； (3)若，，求的长． 13．如图，点E是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转90°到的位置（），连接． (1)判断的形状为 ； (2)若，，，求的度数． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 15．如图，在平行四边形中，，，点到的距离为4，是上一点，且，点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，________，当点在边上运动时，长的最小值为________； (2)求点到的距离（用含的代数式要表示）； (3)当点在上运动时，设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $