第二章 函数（单元分层自测·基础通关卷）数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学必修第一册第二章函数单元基础通关卷，覆盖单调性、奇偶性、定义域等核心知识点，通过基础题与实际应用题（如水蜜桃利润问题）梯度设计，培养数学思维与应用意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|单调性（1题）、奇偶性（3题）、定义域（6-7题）|基础巩固，聚焦概念辨析| |多选|3/18|函数图像与几何图形（9题）、函数性质综合（10题）|能力提升，考查直观想象与逻辑推理| |填空|3/15|周期奇函数（12题）、奇函数解析式（13题）|核心知识应用，强化符号意识| |解答|5/77|定义域求解（15题）、单调性证明（18题）、实际利润模型（19题）|分层递进，第19题体现数学建模与应用意识，契合真题趋势|

2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第二章 函数·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B C B C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC CD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：由已知得，即，.......4分 所以函数的定义域由确定........8分 因为，所以，所以函数的定义域是.......13分 16.解：（1）令，则， 原函数可化为，.......5分 ∴........8分 （2）由得， 整理得，等价于，.......13分 ∴不等式的解集为........15分 17.解：（1）已知函数，且，分情况讨论： 当时，． 由，解得，符合条件．.......3分 当时，． 由，解得或． 因为，所以舍去，故． 综上，实数的值为0或2．.......7分 （2）作函数图象如下：    当时，单调递增，所以在时取得最小值，.......9分 在时取得最大值． 当时，单调递增，，.......13分 在时取得，小于． 综上，函数在区间上的最大值为3，最小值为．.......15分 18.解：(1)函数在区间上单调递增， 证明：设，且， 则 ，.......4分 因为，且，故，， 故， 即，故函数在区间上单调递增；.......9分 （2）由（1）可知该函数在区间上单调递增， 故........17分 19.解：（1）由题意，总成本为肥料费用与其他成本之和，即百元， 当时，，则，.......3分 当时，， 则，.......6分 综上： ，且肥料费用x的取值范围为........7分 （2）当时，， 设，.......10分 当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为；.......13分 当时，， 当时等号成立， 由，故利润最大为50百元． 答：当投入的肥料费为7百元时，该水蜜桃树获得的利润最大，即最大值为50百元．.......17分 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10．已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则__________． 13．已知函数是奇函数，当时，，则当时，________. 14．偶函数在区间上的最大值为，则实数________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知，函数的定义域是，求的定义域. 16．（15分）（1）已知函数，求函数的解析式； （2）解不等式． 17．（15分）已知函数    (1)若，求实数的值； (2)作出函数的图像，写出在区间的最大值和最小值． 18．（17分）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值． 19．（17分）南汇水蜜桃素来以皮薄肉厚、汁多味甜而闻名上海乃至全国．某科研小组在果园内研究发现：一棵水蜜桃树的产量w（单位：百千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过5百元时，，投入的肥料费用超过5百元且不超过8百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）3x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为18元/千克（即18百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）． (1)求利润的函数解析以及肥料费用x的取值范围； (2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第二章 函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．若函数为奇函数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 4．设奇函数满足，当时，，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．将某几何图形置于坐标系中，直线从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线左侧部分的面积为，若函数的大致图象如图所示，则该几何图形可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则__________． 13．已知函数是奇函数，当时，，则当时，________. 14．偶函数在区间上的最大值为，则实数________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知，函数的定义域是，求的定义域. 16．（15分）（1）已知函数，求函数的解析式； （2）解不等式． 17．（15分）已知函数    (1)若，求实数的值； (2)作出函数的图像，写出在区间的最大值和最小值． 18．（17分）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值． 19．（17分）南汇水蜜桃素来以皮薄肉厚、汁多味甜而闻名上海乃至全国．某科研小组在果园内研究发现：一棵水蜜桃树的产量w（单位：百千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过5百元时，，投入的肥料费用超过5百元且不超过8百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）3x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为18元/千克（即18百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）． (1)求利润的函数解析以及肥料费用x的取值范围； (2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第二章 函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，解得，所以实数a的取值范围是. 2．已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为定义在上的增函数，且，所以，解得． 3．若函数为奇函数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】因为函数为奇函数，设，则，所以又因为时，，所以，即当时，， 所以. 4．设奇函数满足，当时，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为奇函数，则，又，则，即，故函数周期为4.则. 5．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在上具有单调性，所以或，解得或，即实数的取值范围是. 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，即且，故函数的定义域为. 7．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于函数，有，解得，故函数的定义域为. 8．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误；对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，，所以表示同一函数，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．将某几何图形置于坐标系中，直线从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线左侧部分的面积为，若函数的大致图象如图所示，则该几何图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由已知图像可知面积的增速经历三种变化，首先面积增速越来越大，之后面积匀速增加，最后面积增速越来越小，A选项：由圆的性质可知，面积的增速先越来越大，后越来越小，A选项错误； B选项：面积增速越来越大，之后面积匀速增加，最后面积增速越来越小，B选项正确；C选项：面积增速越来越大，之后面积匀速增加，最后面积增速越来越小，C选项正确；D选项：面积增速越来越小，之后面积匀速增加，最后面积增速越来越大，D选项错误. 10．已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据题意，由奇偶函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减，在R上单调递减，则，，对于A，由题意只能得到，并不能确定的正负号，所以无法判断与的大小，故A错误；对于B，由题意只能得到，并不能确定的正负号，所以无法判断与的大小，故B错误；对于C，因为，在R上单调递减，所以，故C正确；对于D，因为，在R上单调递减，所以，故D正确. 11．已知，，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】对A，因为，所以，则，故A正确；对B，当，则，故B错误；对C， 若，即，则，故，故C正确；对D，因为，而，则，所以，即，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则__________． 【答案】 【解析】函数是定义在上周期为4的奇函数，故且，故，解得，，又，所以. 13．已知函数是奇函数，当时，，则当时，________. 【答案】 【解析】设，则，所以，又函数为奇函数，所以，即时， 14．偶函数在区间上的最大值为，则实数________． 【答案】 【解析】因为是偶函数，则，则，又在区间上的最大值为，且当时，，所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知，函数的定义域是，求的定义域. 15.解：由已知得，即，.......4分 所以函数的定义域由确定........8分 因为，所以，所以函数的定义域是.......13分 16．（15分）（1）已知函数，求函数的解析式； （2）解不等式． 16.解：（1）令，则， 原函数可化为，.......5分 ∴........8分 （2）由得， 整理得，等价于，.......13分 ∴不等式的解集为........15分 17．（15分）已知函数    (1)若，求实数的值； (2)作出函数的图像，写出在区间的最大值和最小值． 17.解：（1）已知函数，且，分情况讨论： 当时，． 由，解得，符合条件．.......3分 当时，． 由，解得或． 因为，所以舍去，故． 综上，实数的值为0或2．.......7分 （2）作函数图象如下：    当时，单调递增，所以在时取得最小值，.......9分 在时取得最大值． 当时，单调递增，，.......13分 在时取得，小于． 综上，函数在区间上的最大值为3，最小值为．.......15分 18．（17分）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值． 18.解：(1)函数在区间上单调递增， 证明：设，且， 则 ，.......4分 因为，且，故，， 故， 即，故函数在区间上单调递增；.......9分 （2）由（1）可知该函数在区间上单调递增， 故........17分 19．（17分）南汇水蜜桃素来以皮薄肉厚、汁多味甜而闻名上海乃至全国．某科研小组在果园内研究发现：一棵水蜜桃树的产量w（单位：百千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过5百元时，，投入的肥料费用超过5百元且不超过8百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）3x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为18元/千克（即18百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）． (1)求利润的函数解析以及肥料费用x的取值范围； (2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 19.解：（1）由题意，总成本为肥料费用与其他成本之和，即百元， 当时，，则，.......3分 当时，， 则，.......6分 综上： ，且肥料费用x的取值范围为........7分 （2）当时，， 设，.......10分 当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为；.......13分 当时，， 当时等号成立， 由，故利润最大为50百元． 答：当投入的肥料费为7百元时，该水蜜桃树获得的利润最大，即最大值为50百元．.......17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $